Ako podijelite sa nulom, ispada. Zašto ne možete podijeliti sa nulom? Dobar primjer

U školi nas sve uče jednostavnom pravilu da ne možete dijeliti sa nulom. Istovremeno, kada postavimo pitanje: „Zašto?“, oni nam odgovaraju: „Ovo je samo pravilo i morate ga znati“. U ovom članku pokušat ću vam objasniti zašto ne možete dijeliti sa nulom. Zašto griješe oni ljudi koji kažu da možete podijeliti sa nulom i onda dobijete beskonačnost?

Zašto ne možete podijeliti sa nulom?

Formalno, u matematici postoje samo dvije radnje. Zbrajanje i množenje brojeva. Pa šta je sa oduzimanjem i deljenjem? Razmotrimo ovaj primjer. 7-4=3, svi znamo da će sedam minus četiri jednako tri. Zapravo, ovaj primjer se formalno može smatrati načinom rješavanja jednadžbe x+4=7. Odnosno, biramo broj koji će, kada se doda četiri, dati 7. Tada nećemo dugo razmišljati i shvatiti da je ovaj broj jednak tri. Isto je i sa podjelom. Recimo 12/3. Ovo će biti isto kao x*3=12.

Odaberemo broj koji će nam, kada se pomnoži sa 3, dati 12. U ovom slučaju, to će biti četiri. Prilično je očigledno. Što je s primjerima poput 7/0. Šta se dešava ako napišemo sedam podeljeno sa nulom? To znači da izgleda da rješavamo jednačinu oblika 0*x=7. Ali ova jednadžba nema rješenja, jer ako se nula pomnoži sa bilo kojim brojem, rezultat je uvijek nula. Odnosno, nema rješenja. Ovo se piše ili riječima nema rješenja, ili ikonicom koja označava prazan skup.

Drugim riječima

Ovo je značenje ovog pravila. Ne možete dijeliti sa nulom jer odgovarajuća jednačina, nula puta x jednako sedam ili bilo koji broj koji pokušavamo podijeliti sa nulom, nema rješenja. Najpažljiviji može reći da ako podijelimo nulu sa nulom, ispostaviće se sasvim pošteno da ako je 0*X=0. Sve je super, pomnožimo nulu nekim brojem, dobijemo nulu. Ali tada naše rješenje može biti bilo koji broj. Ako pogledamo x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0. Ovdje će odgovarati bilo koji broj.

Pa zašto bismo izabrali bilo koju od njih? Zaista nemamo nikakva razmatranja pomoću kojih bismo mogli uzeti jedan od ovih brojeva i reći da su to rješenja jednadžbi. Dakle, postoji beskonačno mnogo rješenja i ovo je također dvosmislen problem za koji se vjeruje da rješenja nema.

Beskonačnost

Gore sam vam rekao razloge zašto se ne možete podijeliti, a sada želim razgovarati s vama. Pokušajmo s oprezom pristupiti dijeljenju nultom operacijom. Prvo podijelimo broj 5 sa dva. Znamo da će rezultat biti decimalni razlomak od 2,5. Sada ćemo smanjiti djelitelj i podijeliti 5 sa 1, biće 5. Sada ćemo podijeliti 5 sa 0,5. Ovo je isto kao pet podijeljeno s jednom polovinom, ili isto kao 5 * 2, tada će biti 10. Imajte na umu da se rezultat dijeljenja, odnosno količnik, povećava: 2,5, 5, 10.

Sada podijelimo 5 sa 0,1, ovo će biti isto kao 5*10=50, količnik se ponovo povećao. Istovremeno smo smanjili djelitelj. Ako podijelimo 5 sa 0,01, to će biti isto kao 5*100=500. Pogledaj. Što manji činimo djelitelj, kvocijent postaje veći. Ako podijelimo 5 sa 0,00001, dobićemo 500000.

Sažmite

Šta je onda deljenje sa nulom, ako to posmatrate u ovom smislu? Primjetite kako smo smanjili svoj količnik? Ako nacrtate osu, možete vidjeti na njoj da smo prvo imali dva, zatim jedan, zatim 0,5, 0,1 i tako dalje. Bili smo sve bliže nuli na desnoj strani, ali nikada nismo stigli do nule. Uzimamo sve manji i manji broj i s njim dijelimo svoj količnik. Postaje sve veći i veći. U ovom slučaju pišu da dijelimo 5 sa X, gdje je X beskonačno mali. Odnosno, sve je bliže i bliže nuli. Upravo u ovom slučaju, kada podijelimo pet sa X, dobijamo beskonačnost. Beskonačno veliki broj. Tu nastaje nijansa.

Ako se približimo nuli s desne strane, onda će ovaj infinitezimal biti pozitivan, i dobićemo plus beskonačnost. Ako priđemo X s lijeve strane, odnosno ako prvo podijelimo sa -2, zatim sa -1, sa -0.5, sa -0.1 i tako dalje. Dobićemo negativan količnik. I tada će pet podijeljeno sa x, pri čemu će x biti beskonačno malo, ali s lijeve strane, biti jednako minus beskonačno. U ovom slučaju pišu: x teži nuli s desne strane, 0+0, pokazujući da težimo nuli s desne strane. Recimo, ako smo ciljali na trojku na desnoj strani, u ovom slučaju pišemo X je ciljanje lijevo. Shodno tome, ciljali bismo na tri na lijevoj strani, pišući ovo kako x teži 3-0.

Kako graf funkcija može pomoći

Grafikon funkcije koji smo proučavali u školi nam pomaže da to bolje razumijemo. Funkcija se naziva inverzna relacija, a njen graf je hiperbola. Hiperbola izgleda ovako: Ovo je kriva čije su asimptote x-osa i y-osa. Asimptota je linija kojoj kriva teži, ali je nikada ne doseže. Takva je matematička drama. Vidimo da što se približavamo nuli, naša vrijednost postaje veća. Manji X postaje, odnosno, kako X teži nuli na desnoj strani, igra postaje sve veća i veća, i juri ka plus beskonačnosti. Prema tome, kada x teži nuli s lijeve strane, kada x teži nuli s lijeve strane, tj. x teži 0-0, mi težimo minus beskonačnosti. Tačno je ovako napisano. Y teži minus beskonačnosti, a X teži nuli na lijevoj strani. Shodno tome, pisaćemo y teži plus beskonačno, a x teži nuli na desnoj strani. To jest, u suštini, ne delimo sa nulom, mi delimo sa beskonačno malom vrednošću.

A oni koji kažu da možete podijeliti sa nulom, jednostavno dobijamo beskonačnost, oni jednostavno misle da ne možete dijeliti sa nulom, ali možete podijeliti brojem blizu nule, odnosno beskonačno malom vrijednošću. Tada ćemo dobiti plus beskonačnost ako podijelimo s infinitezimalnim pozitivnim, a minus beskonačnost podijelimo s infinitezimalnim negativnim.

Nadam se da vam je ovaj članak pomogao da shvatite pitanje koje muči većinu ljudi od djetinjstva, zašto ne možete dijeliti sa nulom. Zašto smo primorani da učimo neko pravilo, a ništa nije objašnjeno. Nadam se da vam je članak pomogao da shvatite da zaista ne možete dijeliti sa nulom, a oni koji kažu da možete podijeliti s nulom zapravo misle da možete podijeliti s beskonačno malom vrijednošću.

Broj 0 može se zamisliti kao određena granica koja odvaja svijet realnih brojeva od imaginarnih ili negativnih. Zbog dvosmislene pozicije, mnoge operacije s ovom numeričkom vrijednošću ne podliježu matematičkoj logici. Nemogućnost dijeljenja sa nulom je odličan primjer za to. A dozvoljene aritmetičke operacije sa nulom mogu se izvoditi koristeći opšte prihvaćene definicije.

Istorija nule

Nula je referentna tačka u svim standardnim sistemima brojeva. Evropljani su ovaj broj počeli koristiti relativno nedavno, ali su mudraci drevne Indije koristili nulu hiljadu godina prije nego što su evropski matematičari redovno koristili prazan broj. Čak i prije Indijanaca, nula je bila obavezna vrijednost u numeričkom sistemu Maja. Ovi Amerikanci su koristili duodecimalni brojevni sistem, a prvi dan svakog mjeseca počinjao je nulom. Zanimljivo je da se kod Maja znak koji označava "nula" potpuno poklapao sa znakom koji označava "beskonačnost". Tako su drevne Maje zaključile da su te količine identične i nespoznatljive.

Matematičke operacije sa nulom

Standardne matematičke operacije sa nulom mogu se svesti na nekoliko pravila.

Dodatak: ako proizvoljnom broju dodate nulu, to neće promijeniti njegovu vrijednost (0+x=x).

Oduzimanje: Prilikom oduzimanja nule od bilo kojeg broja, vrijednost oduzimanja ostaje nepromijenjena (x-0=x).

Množenje: Bilo koji broj pomnožen sa 0 daje 0 (a*0=0).

Podjela: Nula se može podijeliti bilo kojim brojem koji nije jednak nuli. U ovom slučaju, vrijednost takvog razlomka će biti 0. A dijeljenje nulom je zabranjeno.

Eksponencijacija. Ova radnja se može izvesti s bilo kojim brojem. Proizvoljan broj podignut na nulti stepen će dati 1 (x 0 =1).

Nula na bilo koji stepen je jednaka 0 (0 a = 0).

U ovom slučaju odmah nastaje kontradikcija: izraz 0 0 nema smisla.

Paradoksi matematike

Mnogi ljudi iz škole znaju da je dijeljenje sa nulom nemoguće. Ali iz nekog razloga je nemoguće objasniti razlog takve zabrane. Zapravo, zašto formula za dijeljenje sa nulom ne postoji, ali su druge radnje s ovim brojem sasvim razumne i moguće? Odgovor na ovo pitanje daju matematičari.

Stvar je u tome da uobičajene aritmetičke operacije koje školarci uče u osnovnoj školi, zapravo, nisu ni približno jednake kao što mislimo. Sve jednostavne operacije s brojevima mogu se svesti na dvije: zbrajanje i množenje. Ove radnje čine suštinu samog koncepta broja, a ostale operacije su izgrađene na upotrebi ova dva.

Zbrajanje i množenje

Uzmimo standardni primjer oduzimanja: 10-2=8. U školi to jednostavno smatraju: ako od deset predmeta oduzmete dva, ostaje osam. Ali matematičari na ovu operaciju gledaju potpuno drugačije. Uostalom, takva operacija kao što je oduzimanje za njih ne postoji. Ovaj primjer se može napisati na drugi način: x+2=10. Za matematičare, nepoznata razlika je jednostavno broj koji treba dodati dva da bi se dobilo osam. I ovdje nije potrebno oduzimanje, samo trebate pronaći odgovarajuću brojčanu vrijednost.

Množenje i dijeljenje se tretiraju na isti način. U primjeru 12:4=3 možete razumjeti da govorimo o podjeli osam predmeta na dvije jednake gomile. Ali u stvarnosti, ovo je samo obrnuta formula za pisanje 3x4 = 12. Takvi primjeri dijeljenja mogu se davati beskonačno.

Primjeri za dijeljenje sa 0

Ovdje postaje malo jasno zašto ne možete podijeliti sa nulom. Množenje i dijeljenje nulom slijede svoja vlastita pravila. Svi primjeri dijeljenja ove količine mogu se formulirati kao 6:0 = x. Ali ovo je obrnuta notacija izraza 6 * x=0. Ali, kao što znate, bilo koji broj pomnožen sa 0 daje samo 0 u proizvodu. Ovo svojstvo je inherentno samom konceptu nulte vrednosti.

Ispostavilo se da ne postoji takav broj koji, kada se pomnoži sa 0, daje bilo kakvu opipljivu vrijednost, odnosno ovaj problem nema rješenje. Ne biste se trebali bojati ovog odgovora; to je prirodan odgovor za probleme ovog tipa. Samo što rekord 6:0 nema nikakvog smisla i ne može ništa da objasni. Ukratko, ovaj izraz se može objasniti besmrtnim „podjela na nulu je nemoguća“.

Postoji li operacija 0:0? Zaista, ako je operacija množenja sa 0 legalna, može li se nula podijeliti sa nulom? Na kraju krajeva, jednadžba oblika 0x 5=0 je sasvim legalna. Umjesto broja 5 možete staviti 0, proizvod se neće promijeniti.

Zaista, 0x0=0. Ali još uvijek ne možete podijeliti sa 0. Kao što je rečeno, dijeljenje je jednostavno obrnuto od množenja. Dakle, ako u primjeru 0x5=0, trebate odrediti drugi faktor, dobijamo 0x0=5. Ili 10. Ili beskonačnost. Deljenje beskonačnosti sa nulom - kako vam se sviđa?

Ali ako se bilo koji broj uklapa u izraz, onda nema smisla da izaberemo samo jedan od beskonačnog broja brojeva. A ako jeste, to znači da izraz 0:0 nema smisla. Ispada da se ni sama nula ne može podijeliti sa nulom.

Viša matematika

Deljenje sa nulom je glavobolja za matematiku u srednjoj školi. Matematička analiza koja se izučava na tehničkim univerzitetima malo proširuje koncept problema koji nemaju rješenja. Na primjer, već poznatom izrazu 0:0 dodaju se novi, koji nemaju rješenja u školskim predmetima matematike:

beskonačnost podijeljena sa beskonačnošću: ∞:∞;
beskonačnost minus beskonačnost: ∞−∞;
jedinica podignuta na beskonačnu snagu: 1 ∞ ;
beskonačnost pomnožena sa 0: ∞*0;
neke druge.

Nemoguće je riješiti takve izraze elementarnim metodama. Ali viša matematika, zahvaljujući dodatnim mogućnostima za niz sličnih primjera, daje konačna rješenja. To je posebno vidljivo u razmatranju problema iz teorije granica.

Unlocking Uncertainty

U teoriji granica, vrijednost 0 je zamijenjena uslovnom infinitezimalnom varijablom. I izrazi u kojima se, prilikom zamjene željene vrijednosti, dobije podjela sa nulom, pretvaraju se. Ispod je standardni primjer proširenja granice korištenjem običnih algebarskih transformacija:

Kao što možete vidjeti u primjeru, jednostavno smanjenje razlomka dovodi njegovu vrijednost do potpuno racionalnog odgovora.

Kada se razmatraju granice trigonometrijskih funkcija, njihovi izrazi imaju tendenciju da se svedu na prvu izvanrednu granicu. Kada se razmatraju granice u kojima imenilac postaje 0 kada se granica zameni, koristi se druga izuzetna granica.

L'Hopital metoda

U nekim slučajevima, granice izraza mogu se zamijeniti granicama njihovih derivata. Guillaume L'Hopital - francuski matematičar, osnivač francuske škole matematičke analize. On je dokazao da su granice izraza jednake granicama izvoda ovih izraza. U matematičkoj notaciji, njegovo pravilo izgleda ovako.

Matematičari imaju specifičan smisao za humor i neka pitanja vezana za proračune se više ne shvataju ozbiljno. Nije uvijek jasno da li vam ozbiljno pokušavaju objasniti zašto ne možete dijeliti sa nulom ili je ovo samo još jedna šala. Ali samo pitanje nije tako očigledno, ako se u elementarnoj matematici može doći do njegovog rješenja čisto logički, onda u višoj matematici mogu postojati i drugi početni uvjeti.

Kada se pojavila nula?

Broj nula je prepun mnogih misterija:

U Starom Rimu ovaj broj nije bio poznat, sistem brojanja je počeo sa I.
Dugo su se Arapi i Indijci zalagali za pravo da se nazivaju praroditeljima nule.
Istraživanje kulture Maja pokazalo je da je ova drevna civilizacija možda bila prva koja je koristila nulu.
Nula nema brojčanu vrijednost, čak ni minimalnu.
To bukvalno ne znači ništa, odsustvo stvari koje treba računati.

U primitivnom sistemu nije bilo posebne potrebe za takvom figurom, odsustvo nečega se moglo objasniti riječima. Ali sa pojavom civilizacija, ljudske potrebe su takođe porasle u smislu arhitekture i inženjeringa.

Za izvođenje složenijih proračuna i izvođenje novih funkcija bilo je potrebno broj koji bi ukazivao na potpuno odsustvo nečega.

Da li je moguće podijeliti sa nulom?

Oni su dva dijametralno suprotna mišljenja:

U školi, čak i u osnovnim razredima, uče da nikada ne treba dijeliti sa nulom. Ovo se objašnjava krajnje jednostavno:

Zamislimo da imate 20 kriški mandarina.
Ako ih podijelite sa 5, dat ćete 4 kriške petorici prijatelja.
Dijeljenje sa nulom neće raditi, jer se proces dijeljenja između nekoga neće dogoditi.

Naravno, ovo je figurativno objašnjenje, uglavnom pojednostavljeno i nije u potpunosti u skladu sa stvarnošću. Ali na izuzetno pristupačan način objašnjava besmislenost dijeljenja nečega sa nulom.

Uostalom, zapravo, na ovaj način se može označiti činjenica odsustva podjele. Zašto komplikovati matematičke proračune i zapisati odsustvo dijeljenja?

Može li se nula podijeliti brojem?

Sa stanovišta primijenjene matematike, svaka podjela koja uključuje nulu nema mnogo smisla. Ali školski udžbenici su jasni po njihovom mišljenju:

Nula se može podijeliti.
Za dijeljenje se može koristiti bilo koji broj.
Ne možete podijeliti nulu sa nulom.

Treća tačka može izazvati neznatnu zbunjenost, jer je samo nekoliko pasusa iznad naznačeno da je takva podjela sasvim moguća. Zapravo, sve ovisi o disciplini u kojoj radite kalkulacije.

U ovom slučaju, zaista je bolje da to napišu školarci izraz se ne može odrediti , pa stoga nema smisla. Ali u nekim granama algebarske nauke dozvoljeno je napisati takav izraz, dijeleći nulu sa nulom. Posebno kada su u pitanju računari i programski jezici.

Potreba za dijeljenjem nule brojem može se pojaviti prilikom rješavanja bilo koje jednakosti i traženja početnih vrijednosti. Ali u tom slučaju, odgovor će uvek biti nula. Ovdje, kao i kod množenja, bez obzira s kojim brojem podijelite nulu, nećete na kraju dobiti više od nule. Stoga, ako primijetite ovaj dragocjeni broj u ogromnoj formuli, pokušajte na brzinu „odgonetnuti“ hoće li se sve kalkulacije svesti na vrlo jednostavno rješenje.

Ako je beskonačnost podijeljena sa nulom

Nešto ranije je bilo potrebno spomenuti beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti, jer to također otvara neke rupe za dijeljenje, uključujući korištenje nule. To je istina, i tu postoji mala kvaka, jer beskonačno mala vrijednost i potpuno odsustvo vrijednosti su različiti koncepti.

Ali ova mala razlika u našim uslovima se na kraju može zanemariti, proračuni se vrše korišćenjem apstraktnih veličina:

Brojivači moraju sadržavati znak beskonačnosti.
Imenioci su simbolična slika vrijednosti koja teži nuli.
Odgovor će biti beskonačnost, što predstavlja beskonačno veliku funkciju.

Treba napomenuti da još uvijek govorimo o simboličkom prikazu infinitezimalne funkcije, a ne o korištenju nule. Ništa se nije promijenilo sa ovim znakom; još uvijek se ne može podijeliti na vrlo, vrlo rijetke izuzetke.

U većini slučajeva, nula se koristi za rješavanje problema koji postoje čisto teoretskoj ravni. Možda će, nakon decenija ili čak stoljeća, svi moderni proračuni imati praktične primjene, i oni će pružiti neku vrstu grandioznog prodora u nauku.

U međuvremenu, većina matematičkih genija samo sanja o svjetskom priznanju. Izuzetak od ovih pravila je naš sunarodnik, Perelman. Ali poznat je po tome što je riješio istinski epohalni problem s dokazom Poinqueréove pretpostavke i po svom ekstravagantnom ponašanju.

Paradoksi i besmislenost dijeljenja sa nulom

Deljenje sa nulom, uglavnom, nema smisla:

Divizija je predstavljena kao inverzna funkcija množenja.
Možemo pomnožiti bilo koji broj sa nulom i dobiti nulu kao odgovor.
Po istoj logici, bilo koji broj se može podijeliti sa nulom.
Pod takvim uslovima, lako bi se moglo doći do zaključka da je bilo koji broj pomnožen ili podeljen sa nulom jednak svakom drugom broju nad kojim je ova operacija izvršena.
Odbacujemo matematičku operaciju i dobijamo najzanimljiviji zaključak - bilo koji broj je jednak svakom broju.

Pored stvaranja ovakvih incidenata, podjela sa nulom nema praktičnog značenja, od riječi općenito. Čak i ako je moguće izvršiti ovu radnju, neće biti moguće dobiti nikakve nove informacije.

Sa stanovišta elementarne matematike, prilikom deljenja sa nulom, ceo objekat se deli nula puta, odnosno ni jedan put. Jednostavno rečeno - ne dolazi do procesa fisije, dakle, ne može postojati rezultat ovog događaja.

Budući da ste u istom društvu kao matematičar, uvijek možete postaviti par banalnih pitanja, na primjer, zašto ne možete podijeliti sa nulom i dobiti zanimljiv i razumljiv odgovor. Ili iritacija, jer ovo vjerovatno nije prvi put da se neko ovo pita. Pa čak ni u desetom. Zato pazite na svoje prijatelje matematičare, nemojte ih terati da ponove jedno objašnjenje sto puta.

Video: podijelite sa nulom

U ovom videu, matematičarka Anna Lomakova će vam reći šta se dešava ako broj podelite sa nulom i zašto se to ne može uraditi sa matematičke tačke gledišta:

Evgenij Širjajev, nastavnik i šef Matematičke laboratorije Politehničkog muzeja, rekao je AiF.ru o podjeli na nulu:

1. Nadležnost pitanja

Slažete se, ono što pravilo čini posebno provokativnim je zabrana. Kako to ne može da se uradi? Ko je zabranio? Šta je sa našim građanskim pravima?

Ni Ustav Ruske Federacije, ni Krivični zakonik, pa čak ni statut Vaše škole ne protive se intelektualnom djelovanju koje nas zanima. To znači da zabrana nema pravnu snagu i ništa vas ne sprječava da pokušate nešto podijeliti sa nulom upravo ovdje, na stranicama AiF.ru. Na primjer, hiljadu.

2. Podijelimo kako se uči

Zapamtite, kada ste prvi put naučili kako dijeliti, prvi primjeri su rješavani provjerom množenja: rezultat pomnožen djeliteljem morao je biti isti kao i djeljiv. Ako se ne poklapa, nisu odlučili.

Primjer 1. 1000: 0 =...

Zaboravimo na trenutak zabranjeno pravilo i pokušajmo nekoliko puta da pogodimo odgovor.

Neispravni će biti odrezani čekom. Probajte sljedeće opcije: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000 Za svaku od njih provjera će dati isti rezultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Množenjem nule, sve se pretvara u sebe, a nikada u hiljadu. Zaključak je lako formulisati: nijedan broj neće proći test. To jest, nijedan broj ne može biti rezultat dijeljenja broja različitog od nule sa nulom. Takva podjela nije zabranjena, već jednostavno nema rezultata.

3. Nijansa

Zamalo smo propustili jednu priliku da pobijemo zabranu. Da, priznajemo da se broj različit od nule ne može podijeliti sa 0. Ali možda i sam 0 može?

Primjer 2. 0: 0 = ...

Koji su vaši prijedlozi za privatno? 100? Molimo: količnik od 100 pomnožen sa djeliteljem 0 jednak je dividendi 0.

Više opcija! 1? Odgovara takođe. I −23, i 17, i to je to. U ovom primjeru, test će biti pozitivan za bilo koji broj. I da budem iskren, rješenje u ovom primjeru ne treba zvati broj, već skup brojeva. Svi. I ne treba dugo da se složimo da Alis nije Alis, već Meri En, i da su obe zečev san.

4. Šta je sa višom matematikom?

Problem je riješen, nijanse su uzete u obzir, tačke su stavljene, sve je postalo jasno - odgovor na primjer s dijeljenjem nulom ne može biti jedan broj. Rješavanje ovakvih problema je beznadežno i nemoguće. Što znači... zanimljivo! Uzmi dva.

Primjer 3. Smislite kako podijeliti 1000 sa 0.

Ali nema šanse. Ali 1000 se lako može podijeliti drugim brojevima. Pa, učinimo barem ono što možemo, čak i ako promijenimo zadatak. A onda se, vidite, zanesemo i odgovor će se pojaviti sam od sebe. Zaboravimo na nulu na minut i podijelimo sa sto:

Sto je daleko od nule. Napravimo korak ka tome tako što ćemo smanjiti djelitelj:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dinamika je očigledna: što je djelitelj bliži nuli, to je veći količnik. Trend se može dalje promatrati prelaskom na razlomke i nastavkom smanjivanja brojilaca:

Ostaje napomenuti da se možemo približiti nuli koliko god želimo, čineći količnik velikim koliko želimo.

U ovom procesu nema nule i nema posljednjeg količnika. Naznačili smo kretanje prema njima tako što smo broj zamijenili nizom koji konvergira broju koji nas zanima:

Ovo podrazumijeva sličnu zamjenu za dividendu:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Nije uzalud što su strelice dvostrane: neke sekvence mogu konvergirati u brojeve. Tada možemo povezati niz s njegovim brojčanim ograničenjem.

Pogledajmo redoslijed količnika:

Neograničeno raste, ne teži ni jednom broju i ne nadmašuje bilo koji. Matematičari brojevima dodaju simbole ∞ da biste mogli staviti dvostranu strelicu pored takvog niza:

Poređenje s brojem nizova koji imaju ograničenje omogućava nam da predložimo rješenje za treći primjer:

Kada elementarno podijelimo niz koji konvergira do 1000 nizom pozitivnih brojeva koji konvergiraju do 0, dobivamo niz koji konvergira na ∞.

5. A evo nijanse sa dvije nule

Koji je rezultat dijeljenja dva niza pozitivnih brojeva koji konvergiraju nuli? Ako su isti, onda je jedinica identična. Ako niz dividendi brže konvergira na nulu, tada u kvocijentu niz ima nultu granicu. A kada se elementi djelitelja smanjuju mnogo brže od elemenata dividende, slijed kvocijenta će jako rasti:

Neizvjesna situacija. I to se zove: nesigurnost tipa 0/0 . Kada matematičari vide nizove koji odgovaraju takvoj nesigurnosti, ne žure da dijele dva identična broja jedan s drugim, već shvate koji od nizova ide brže do nule i kako točno. I svaki primjer će imati svoj konkretan odgovor!

6. U životu

Ohmov zakon povezuje struju, napon i otpor u kolu. Često se piše u ovom obliku:

Dozvolimo sebi da zanemarimo uredno fizičko razumevanje i formalno posmatramo desnu stranu kao količnik dva broja. Zamislimo da rješavamo školski problem na struju. Uvjet daje napon u voltima i otpor u omima. Pitanje je očigledno, rešenje je u jednoj akciji.

Pogledajmo sada definiciju supravodljivosti: ovo je svojstvo nekih metala da imaju nulti električni otpor.

Pa, hajde da riješimo problem za supravodljivo kolo? Samo to tako postavi R= 0 Ako ne uspije, fizika postavlja zanimljiv problem iza kojeg se, očito, krije naučno otkriće. A ljudi koji su uspjeli podijeliti sa nulom u ovoj situaciji dobili su Nobelovu nagradu. Korisno je moći zaobići sve zabrane!

"Ne možete podijeliti sa nulom!" - Većina školaraca nauči ovo pravilo napamet, bez postavljanja pitanja. Sva djeca znaju šta je "ne možete" i šta će se dogoditi ako na to upitate: "Zašto?" Ali u stvari, vrlo je zanimljivo i važno znati zašto to nije moguće.

Stvar je u tome da su četiri aritmetičke operacije - sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari priznaju samo dva od njih kao validna - sabiranje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključeni su u samu definiciju pojma broja. Sve ostale radnje su izgrađene na ovaj ili onaj način od ove dvije.

Razmotrite, na primjer, oduzimanje. Šta znači 5 – 3 ? Na ovo će učenik jednostavno odgovoriti: treba uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju potpuno drugačije. Nema oduzimanja, postoji samo sabiranje. Stoga unos 5 – 3 znači broj koji, kada se doda broju 3 će dati broj 5 . To je 5 – 3 je jednostavno kratka verzija jednadžbe: x + 3 = 5. U ovoj jednačini nema oduzimanja. Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.

Isto je i sa množenjem i dijeljenjem. Zapis 8: 4 može se shvatiti kao rezultat podjele osam predmeta na četiri jednake hrpe. Ali u stvarnosti ovo je samo skraćeni oblik jednačine 4 x = 8.

Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) podijeliti sa nulom. Zapis 5: 0 je skraćenica za 0 x = 5. Odnosno, ovaj zadatak je pronaći broj koji se pomnoži sa 0 će dati 5 . Ali to znamo kada se pomnoži sa 0 uvek uspe 0 . Ovo je inherentno svojstvo nule, striktno govoreći, dio njegove definicije.

Takav broj, kada se pomnoži sa 0 će dati nešto drugo osim nule, to jednostavno ne postoji. Odnosno, naš problem nema rješenje. (Da, ovo se dešava; nema svaki problem rješenje.) Što znači zapisi 5: 0 ne odgovara nekom određenom broju, i jednostavno ne znači ništa i stoga nema nikakvo značenje. Besmislenost ovog unosa je ukratko izražena rekavši da se ne može dijeliti sa nulom.

Najpažljiviji čitaoci na ovom mjestu sigurno će se zapitati: da li je moguće podijeliti nulu sa nulom? Zaista, jednačina 0 x = 0 uspješno riješeno. Na primjer, možete uzeti x = 0, a onda dobijamo 0 0 = 0. Ispostavilo se 0: 0=0 ? Ali nemojmo žuriti. Hajde da probamo da uzmemo x = 1. Dobijamo 0 1 = 0. zar ne? znači, 0: 0 = 1 ? Ali možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 itd.

Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odabrati bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći kojem broju odgovara unos 0: 0 . A ako je tako, onda smo primorani priznati da i ovaj unos nema smisla. Ispada da se čak ni nula ne može podijeliti sa nulom. (U matematičkoj analizi postoje slučajevi kada se zbog dodatnih uslova zadatka može dati prednost jednom od mogućih rješenja jednačine 0 x = 0; U takvim slučajevima matematičari govore o „neizvjesnosti koja se razvija“, ali se takvi slučajevi ne javljaju u aritmetici.)

To je posebnost operacije divizije. Preciznije, operacija množenja i broj pridružen njoj imaju nulu.

Pa, oni najpedantniji, pročitavši ovo daleko, mogu se zapitati: zašto se dešava da ne možete podijeliti sa nulom, ali možete oduzeti nulu? U određenom smislu, ovdje počinje prava matematika. Na njega možete odgovoriti samo ako se upoznate sa formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacija nad njima. Nije tako teško, ali se to iz nekog razloga ne uči u školi. Ali na predavanjima matematike na univerzitetu, to je ono što će vas prije svega učiti.