Serija članaka o kriterijima djeljivosti se nastavlja test djeljivosti sa 3. Ovaj članak prvo daje formulaciju testa djeljivosti sa 3 i daje primjere korištenja ovog testa da se otkrije koji su od datih cijelih brojeva djeljivi sa 3, a koji nisu. Ispod je dokaz testa djeljivosti sa 3. Razmatraju se i pristupi utvrđivanju djeljivosti sa 3 brojeva datih kao vrijednost nekog izraza.

Navigacija po stranici.

Test djeljivosti sa 3, primjeri

Počnimo sa formulacije testa djeljivosti sa 3: cijeli broj je djeljiv sa 3 ako je zbir njegovih znamenki djeljiv sa 3, ali ako zbir cifara datog broja nije djeljiv sa 3, onda sam broj nije djeljiv sa 3.

Iz gornje formulacije jasno je da se test djeljivosti sa 3 ne može koristiti bez mogućnosti izvođenja. Takođe, da biste uspješno primijenili test djeljivosti sa 3, morate znati da su od svih brojeva 3, 6 i 9 djeljivi sa 3, ali brojevi 1, 2, 4, 5, 7 i 8 nisu djeljivi sa 3 .

Sada možemo razmotriti najjednostavnije primjeri korištenja testa djeljivosti sa 3. Hajde da saznamo da li je broj −42 djeljiv sa 3. Da bismo to učinili, izračunavamo zbir cifara broja −42, on je jednak 4+2=6. Kako je 6 djeljivo sa 3, onda, zbog testa djeljivosti sa 3, možemo reći da je i broj −42 djeljiv sa 3. Ali pozitivni cijeli broj 71 nije djeljiv sa 3, jer je zbir njegovih znamenki 7+1=8, a 8 nije djeljiv sa 3.

Da li je 0 deljivo sa 3? Da biste odgovorili na ovo pitanje, neće vam trebati svojstvo djeljivosti sa 3, ovdje morate zapamtiti odgovarajuće svojstvo djeljivosti, koje kaže da je nula djeljiva s bilo kojim cijelim brojem. Dakle, 0 je deljivo sa 3.

U nekim slučajevima, da bi se pokazalo da dati broj ima ili nema sposobnost da bude djeljiv sa 3, test djeljivosti sa 3 mora se koristiti nekoliko puta zaredom. Dajemo primjer.

Primjer.

Pokažite da je broj 907,444,812 djeljiv sa 3.

Rješenje.

Zbir cifara broja 907 444 812 je 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Da saznamo da li je 39 deljivo sa 3, izračunajmo njegov zbir cifara: 3+9=12. A da bismo saznali da li je 12 deljivo sa 3, nalazimo zbir cifara broja 12, imamo 1+2=3. Pošto smo dobili broj 3 koji je djeljiv sa 3, onda je, na osnovu testa djeljivosti sa 3, broj 12 djeljiv sa 3. Dakle, 39 je deljivo sa 3, jer je zbir njegovih cifara 12, a 12 je deljivo sa 3. Konačno, 907,333,812 je deljivo sa 3, pošto je zbir njegovih cifara 39, a 39 deljivo sa 3.

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje na drugom primjeru.

Primjer.

Da li je −543,205 deljivo sa 3?

Rješenje.

Izračunajmo zbir cifara ovog broja: 5+4+3+2+0+5=19. Zauzvrat, zbir cifara broja 19 je 1+9=10, a zbir cifara broja 10 je 1+0=1. Pošto smo dobili broj 1 koji nije djeljiv sa 3, iz testa djeljivosti sa 3 proizlazi da 10 nije djeljivo sa 3. Dakle, 19 nije deljivo sa 3, jer je zbir njegovih cifara 10, a 10 nije deljivo sa 3. Dakle, originalni broj −543,205 nije djeljiv sa 3, jer zbir njegovih cifara, jednak 19, nije djeljiv sa 3.

odgovor:

br.

Vrijedi napomenuti da nam direktno dijeljenje datog broja sa 3 također omogućava da zaključimo da li je dati broj djeljiv sa 3 ili ne. Ovim želimo reći da ne treba zanemariti dijeljenje u korist kriterija djeljivosti sa 3. U posljednjem primjeru, 543,205 sa 3, pobrinuli bismo se da 543,205 nije jednako deljivo sa 3, iz čega bismo mogli reći da −543,205 nije deljivo sa 3.

Dokaz testa djeljivosti sa 3

Sljedeći prikaz broja a pomoći će nam da dokažemo test djeljivosti sa 3. Svaki prirodni broj a možemo, nakon čega nam omogućava da dobijemo reprezentaciju oblika , gdje su a n, a n−1, ..., a 0 cifre s lijeva na desno u zapisu broja a. Radi jasnoće dajemo primjer takvog prikaza: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.

Zapišimo sada nekoliko prilično očiglednih jednakosti: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 i tako dalje .

Zamjena u jednakost a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 umjesto 10, 100, 1000 i tako dalje, izraze 3·3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 i tako dalje, dobijamo
.

I dozvoljavaju da se rezultirajuća jednakost prepiše na sljedeći način:

Izraz je zbir cifara broja a. Radi kratkoće i praktičnosti, označimo ga slovom A, odnosno prihvatamo . Tada ćemo dobiti prikaz broja a forme kojim ćemo dokazati test djeljivosti sa 3.

Također, da bismo dokazali test djeljivosti sa 3, potrebna su nam sljedeća svojstva djeljivosti:

• Da bi cijeli broj a bio djeljiv cijelim brojem b, potrebno je i dovoljno da a bude djeljiv sa modulom od b;
• ako su u jednakosti a=s+t svi članovi osim jednog djeljivi s nekim cijelim brojem b, onda je i ovaj član djeljiv sa b.

Sada smo u potpunosti spremni i možemo da izvedemo dokaz djeljivosti sa 3, zbog pogodnosti, ovaj kriterij formuliramo u obliku potrebnog i dovoljnog uvjeta za djeljivost sa 3.

Teorema.

Da bi cijeli broj a bio djeljiv sa 3, potrebno je i dovoljno da zbir njegovih cifara bude djeljiv sa 3.

Dokaz.

Za a=0 teorema je očigledna.

Ako a je različit od nule, tada je modul broja a prirodan broj, tada je reprezentacija moguća, gdje je zbir cifara broja a.

Pošto je zbir i proizvod cijelih brojeva cijeli broj, onda je to cijeli broj, onda je, prema definiciji djeljivosti, proizvod djeljiv sa 3 za bilo koje a 0, a 1, ..., a n.

Ako je zbir cifara broja a djeljiv sa 3, odnosno A je djeljiv sa 3, tada je, zbog svojstva djeljivosti naznačenog prije teoreme, djeljiv sa 3, dakle, a je djeljiv sa 3. Dakle, dovoljnost je dokazana.

Ako a je djeljiv sa 3, zatim je djeljiv sa 3, zatim, zbog istog svojstva djeljivosti, broj A je djeljiv sa 3, odnosno zbir cifara broja a je djeljiv sa 3. Neophodnost je dokazana.

Ostali slučajevi djeljivosti sa 3

Ponekad cijeli brojevi nisu specificirani eksplicitno, već kao vrijednost određene vrijednosti za datu vrijednost varijable. Na primjer, vrijednost izraza za neki prirodni broj n je prirodan broj. Jasno je da prilikom specificiranja brojeva na ovaj način, direktno dijeljenje sa 3 neće pomoći da se utvrdi njihova djeljivost sa 3, a test djeljivosti sa 3 ne može se uvijek primijeniti. Sada ćemo pogledati nekoliko pristupa rješavanju takvih problema.

Suština ovih pristupa je da se originalni izraz predstavi kao proizvod više faktora, a ako je barem jedan od faktora djeljiv sa 3, tada će se, zbog odgovarajuće osobine djeljivosti, moći zaključiti da je cijeli proizvod je djeljiv sa 3.

Ponekad vam ovaj pristup omogućava da ga implementirate. Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Da li je vrijednost izraza djeljiva sa 3 za bilo koji prirodni broj n?

Rješenje.

Jednakost je očigledna. Koristimo Newtonovu binomnu formulu:

U posljednjem izrazu možemo uzeti 3 iz zagrada, i dobijemo . Dobiveni proizvod je podijeljen sa 3, jer sadrži faktor 3, a vrijednost izraza u zagradama za prirodno n predstavlja prirodan broj. Stoga je djeljiv sa 3 za bilo koji prirodan broj n.

odgovor:

Da.

U mnogim slučajevima moguće je dokazati djeljivost sa 3. Pogledajmo njegovu primjenu prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Dokažite da je za bilo koji prirodni broj n vrijednost izraza djeljiva sa 3.

Rješenje.

Da bismo to dokazali, koristit ćemo metodu matematičke indukcije.

At n=1 vrijednost izraza je , a 6 je podijeljeno sa 3.

Pretpostavimo da je vrijednost izraza deljiva sa 3 kada je n=k, odnosno deljiva sa 3.

S obzirom da je deljiv sa 3, pokazaćemo da je vrednost izraza za n=k+1 deljiva sa 3, odnosno pokazaćemo da je djeljiv sa 3.

Hajde da napravimo neke transformacije:

Izraz je djeljiv sa 3 i izrazom je djeljiv sa 3, pa je njihov zbir djeljiv sa 3.

Dakle, metodom matematičke indukcije, dokazana je djeljivost sa 3 za bilo koji prirodan broj n.

Pokažimo još jedan pristup dokazivanju djeljivosti sa 3. Ako pokažemo da je za n=3 m, n=3 m+1 i n=3 m+2, gdje je m proizvoljan cijeli broj, vrijednost nekog izraza (sa varijablom n) djeljiva sa 3, to će dokazati Deljivost izraza sa 3 za bilo koji ceo broj n. Razmotrimo ovaj pristup prilikom rješavanja prethodnog primjera.

dakle, za bilo koji prirodan broj n je djeljiv sa 3.

odgovor:

Da.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. i drugi. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.H. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Udžbenik za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških instituta.

Znakovi djeljivosti brojeva- ovo su pravila koja vam omogućavaju da relativno brzo, bez dijeljenja, saznate da li je ovaj broj djeljiv datim brojem bez ostatka.
Neki od znakove djeljivosti prilično jednostavno, nešto komplikovanije. Na ovoj stranici ćete pronaći i znake djeljivosti prostih brojeva, kao što su, na primjer, 2, 3, 5, 7, 11, i znakove djeljivosti složenih brojeva, kao što su 6 ili 12.
Nadam se da će vam ove informacije biti korisne.
Sretno učenje!

Test djeljivosti sa 2

Ovo je jedan od najjednostavnijih znakova djeljivosti. Zvuči ovako: ako se zapis prirodnog broja završava parnom znamenkom, onda je paran (djeljiv bez ostatka sa 2), a ako se zapis prirodnog broja završava neparnom cifrom, onda je ovaj broj neparan .
Drugim riječima, ako je zadnja cifra broja 2 , 4 , 6 , 8 ili 0 - broj je djeljiv sa 2, ako nije, onda nije djeljiv
Na primjer, brojevi: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 su djeljive sa 2 jer su parne.
Brojevi: 23 5 , 137 , 2303
Oni nisu djeljivi sa 2 jer su neparni.

Test djeljivosti sa 3

Ovaj znak djeljivosti ima potpuno drugačija pravila: ako je zbir cifara broja djeljiv sa 3, tada je broj djeljiv sa 3; Ako zbir cifara broja nije djeljiv sa 3, tada broj nije djeljiv sa 3.
To znači da da biste razumjeli da li je broj djeljiv sa 3, trebate samo sabrati brojeve koji ga čine.
To izgleda ovako: 3987 i 141 su djeljivi sa 3, jer je u prvom slučaju 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - deljivo sa 3), au drugom 1+4+1= 6 (6:3=2 - takođe deljivo sa 3).
Ali brojevi: 235 i 566 nisu djeljivi sa 3, jer je 2+3+5= 10 i 5+6+6= 17 (a znamo da ni 10 ni 17 nisu deljivi sa 3 bez ostatka).

Test djeljivosti sa 4

Ovaj znak djeljivosti bit će složeniji. Ako posljednje 2 cifre broja čine broj djeljiv sa 4 ili je 00, tada je broj djeljiv sa 4, u suprotnom dati broj nije djeljiv sa 4 bez ostatka.
Na primjer: 1 00 i 3 64 su djeljive sa 4 jer se u prvom slučaju broj završava na 00 , au drugom na 64 , što je zauzvrat djeljivo sa 4 bez ostatka (64:4=16)
Brojevi 3 57 i 8 86 nisu djeljive sa 4 jer nijedno 57 ni jedno ni drugo 86 nisu djeljive sa 4, što znači da ne odgovaraju ovom kriteriju djeljivosti.

Test djeljivosti sa 5

I opet imamo prilično jednostavan znak djeljivosti: ako se zapis prirodnog broja završava brojem 0 ili 5, onda je ovaj broj djeljiv sa 5 bez ostatka broj nije djeljiv sa 5 bez ostatka.
To znači da su svi brojevi koji završavaju ciframa 0 I 5 , na primjer 1235 5 i 43 0 , potpadaju pod pravilo i djeljive su sa 5.
I, na primjer, 1549 3 i 56 4 ne završavaju brojem 5 ili 0, što znači da se ne mogu podijeliti sa 5 bez ostatka.

Test djeljivosti sa 6

Pred nama je složeni broj 6, koji je proizvod brojeva 2 i 3. Dakle, znak djeljivosti sa 6 je također složen: da bi broj bio djeljiv sa 6, mora odgovarati dvama znakom djeljivost istovremeno: znak djeljivosti sa 2 i znak djeljivosti sa 3. Imajte na umu da takav složeni broj kao što je 4 ima individualni znak djeljivosti, jer je sam po sebi proizvod broja 2. No, vratimo se na test djeljivosti sa 6.
Brojevi 138 i 474 su parni i ispunjavaju kriterijume djeljivosti sa 3 (1+3+8=12, 12:3=4 i 4+7+4=15, 15:3=5), što znači da su djeljivi sa 6. Ali 123 i 447, iako su djeljivi sa 3 (1+2+3=6, 6:3=2 i 4+4+7=15, 15:3=5), ali su neparni, što znači da ne odgovaraju kriteriju djeljivosti sa 2, pa stoga ne odgovaraju kriteriju djeljivosti sa 6.

Test djeljivosti sa 7

Ovaj test djeljivosti je složeniji: broj je djeljiv sa 7 ako je rezultat dvostrukog oduzimanja zadnje cifre od broja desetica ovog broja djeljiv sa 7 ili jednak 0.
Zvuči prilično zbunjujuće, ali u praksi je jednostavno. Uvjerite se sami: broj 95 9 je djeljivo sa 7 jer 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 je podijeljeno sa 7 bez ostatka). Štoviše, ako se pojave poteškoće s brojem dobivenim tijekom transformacije (zbog njegove veličine teško je razumjeti da li je djeljiv sa 7 ili ne, onda se ovaj postupak može nastaviti onoliko puta koliko smatrate potrebnim).
Na primjer, 45 5 i 4580 1 imaju svojstva djeljivosti sa 7. U prvom slučaju, sve je prilično jednostavno: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. U drugom slučaju ćemo uraditi sledeće: 4580 -2*1=4580-2=4578. Teško nam je da shvatimo da li 457 8 sa 7, pa hajde da ponovimo postupak: 457 -2*8=457-16=441. I opet ćemo se poslužiti testom djeljivosti, jer još uvijek imamo trocifreni broj ispred sebe 44 1. Dakle, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, tj. 42 je djeljivo sa 7 bez ostatka, što znači da je 45801 djeljivo sa 7.
Evo brojeva 11 1 i 34 5 nije djeljivo sa 7 jer 11 -2*1=11-2=9 (9 nije deljivo sa 7) i 34 -2*5=34-10=24 (24 nije deljivo sa 7 bez ostatka).

Test djeljivosti sa 8

Test djeljivosti sa 8 zvuči ovako: ako posljednje 3 znamenke čine broj djeljiv sa 8, ili je 000, tada je dati broj djeljiv sa 8.
Brojevi 1 000 ili 1 088 su djeljive sa 8: prva se završava na 000 , drugi 88 :8=11 (djeljivo sa 8 bez ostatka).
A evo i brojeva 1 100 ili 4 757 nisu djeljive sa 8, jer su brojevi 100 I 757 nisu djeljive sa 8 bez ostatka.

Test djeljivosti sa 9

Ovaj znak djeljivosti je sličan znaku djeljivosti sa 3: ako je zbir cifara broja djeljiv sa 9, tada je broj djeljiv sa 9; Ako zbir cifara broja nije djeljiv sa 9, tada broj nije djeljiv sa 9.
Na primjer: 3987 i 144 su djeljivi sa 9, jer je u prvom slučaju 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - djeljivo sa 9 bez ostatka), au drugom 1+4+4= 9 (9:9=1 - takođe deljivo sa 9).
Ali brojevi: 235 i 141 nisu djeljivi sa 9, jer je 2+3+5= 10 i 1+4+1= 6 (a znamo da ni 10 ni 6 nisu deljivi sa 9 bez ostatka).

Znakovi djeljivosti sa 10, 100, 1000 i druge cifrene jedinice

Kombinirao sam ove znakove djeljivosti jer se mogu opisati na isti način: broj se dijeli cifrenom jedinicom ako je broj nula na kraju broja veći ili jednak broju nula na datoj cifrenoj jedinici .
Drugim riječima, na primjer, imamo sljedeće brojeve: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . od kojih su svi djeljivi sa 1 0 ; 46400 i 867 000 također su djeljive sa 1 00 ; a samo jedan od njih je 867 000 djeljivo sa 1 000 .
Bilo koji brojevi koji imaju manje nula na kraju od jedinice cifara nisu djeljivi s tom cifrenom jedinicom, na primjer 600 30 i 7 93 nije djeljivo 1 00 .

Test djeljivosti sa 11

Da biste saznali da li je broj djeljiv sa 11, morate dobiti razliku između zbira parnih i neparnih znamenki ovog broja. Ako je ova razlika jednaka 0 ili je djeljiva sa 11 bez ostatka, tada je sam broj djeljiv sa 11 bez ostatka.
Da bi bilo jasnije, predlažem da pogledate primjere: 2 35 4 je djeljivo sa 11 jer ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 je takođe deljivo sa 11, pošto ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Evo 1 1 1 ili 4 35 4 nije deljivo sa 11, jer u prvom slučaju dobijamo (1+1)- 1 =1, au drugom ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Test djeljivosti sa 12

Broj 12 je složen. Njegov znak djeljivosti je usklađenost sa znakovima djeljivosti sa 3 i 4 u isto vrijeme.
Na primjer, 300 i 636 odgovaraju i predznacima djeljivosti sa 4 (zadnje 2 cifre su nule ili su djeljive sa 4) i predznacima djeljivosti sa 3 (zbir cifara prvog i trećeg broja je djeljiv sa 3), ali na kraju su djeljivi sa 12 bez ostatka.
Ali 200 ili 630 nije djeljivo sa 12, jer u prvom slučaju broj ispunjava samo kriterij djeljivosti sa 4, a u drugom - samo kriterij djeljivosti sa 3. ali ne i oba kriterija istovremeno.

Test djeljivosti sa 13

Znak djeljivosti sa 13 je da ako je broj desetica broja koji se dodaje jedinicama ovog broja pomnožen sa 4 višekratnik 13 ili jednak 0, tada je sam broj djeljiv sa 13.
Uzmimo za primjer 70 2. Dakle, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 je deljivo sa 13 bez ostatka), što znači 70 2 je djeljivo sa 13 bez ostatka. Drugi primjer je broj 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Broj 130 je djeljiv sa 13 bez ostatka, što znači da dati broj odgovara kriteriju djeljivosti sa 13.
Ako uzmemo brojeve 12 5 ili 21 2, onda dobijamo 12 +4*5=32 i 21 +4*2=29, respektivno, a ni 32 ni 29 nisu deljivi sa 13 bez ostatka, što znači da dati brojevi nisu deljivi sa 13 bez ostatka.

Deljivost brojeva

Kao što se može vidjeti iz gore navedenog, može se pretpostaviti da za bilo koji od prirodnih brojeva možete odabrati svoj individualni znak djeljivosti ili "kompozitni" znak ako je broj višekratnik nekoliko različitih brojeva. Ali, kako praksa pokazuje, općenito što je broj veći, to je njegov znak složeniji. Moguće je da vrijeme utrošeno na provjeru kriterija djeljivosti može biti jednako ili veće od samog dijeljenja. Zato obično koristimo najjednostavnije znakove djeljivosti.