Metode rješavanja sistema eksponencijalnih jednačina. Sažetak lekcije "sistem eksponencijalnih jednačina i nejednačina." Rješavanje tipičnih eksponencijalnih jednačina

“Nejednakosti sa jednom varijablom” - Ne možete prestati učiti. Odredite najveći cijeli broj koji pripada intervalu. Učimo na primjerima. Rješenje nejednakosti u jednoj varijabli je vrijednost varijable. Linearna nejednakost. Nađi grešku. Nejednakosti. Ciljevi lekcije. Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje svih njenih rješenja. Istorijska referenca.

“Algoritam za rješavanje nejednačina” - Funkcija. Zadatak. Dešava se. Puno rješenja. Rješavanje nejednačina. Nejednakosti. Rješenje nejednakosti. Razmotrimo diskriminator. Rešimo nejednačinu metodom intervala. Najjednostavnija linearna nejednakost. Algoritam za rješavanje nejednačina. Osa. Sada riješimo kvadratnu nejednačinu.

“Logaritamske jednadžbe i nejednačine” - Saznajte da li je broj pozitivan ili negativan. Svrha lekcije. Riješite jednačinu. Svojstva logaritama. Logaritmi. Formule za prelazak na novu bazu. Uvježbavanje vještina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. Definicija logaritma. Izračunati. Označite proces rješavanja sljedećih jednačina.

“Dokaz nejednakosti” - Primjena metode matematičke indukcije. Za n=3 dobijamo. Dokaži to za bilo koji n? N Dokaz. po Bernoullijevoj teoremi, kako se zahtijeva. Ali ovo jasno dokazuje da je naša pretpostavka netačna. Metoda se zasniva na svojstvu nenegativnosti kvadratnog trinoma, ako i. Nejednakost Cauchy-Bunyakovsky.

“Rješavanje nejednačina metodom intervala” - Rješavanje nejednačina metodom intervala. 2. Algoritam za rješavanje nejednakosti metodom intervala. S obzirom na graf funkcije: Riješite nejednačinu:

“Rješavanje iracionalnih jednačina i nejednačina” - Strani korijeni. Skup zadataka. Unesite množitelj ispod predznaka korijena. Rad sa zadatkom. Iracionalne jednačine i nejednačine. Ažuriranje znanja. Iracionalna jednadžba. Definicija. Birajte one koji su iracionalni. Iracionalne jednadžbe. Za koje vrijednosti A je tačna jednakost. Iracionalne nejednakosti.

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na rješavanje složenijih eksponencijalnih jednadžbi i podsjetiti se osnovnih teorijskih principa u vezi s eksponencijalnom funkcijom.

1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije, metode rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih jednačina

Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava eksponencijalne funkcije. Rješenje svih eksponencijalnih jednačina i nejednačina zasniva se na ovim svojstvima.

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stepen, a ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y je zavisna varijabla, funkcija.

Rice. 1. Grafikon eksponencijalne funkcije

Grafikon prikazuje rastuće i opadajuće eksponente, ilustrujući eksponencijalnu funkciju s bazom većom od jedan i manjom od jedan, ali većom od nule.

Obje krive prolaze kroz tačku (0;1)

Svojstva eksponencijalne funkcije:

Domena: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona, raste sa, opada sa.

Monotona funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti zadanu vrijednost jednog argumenta.

Kada se argument poveća od minus do plus beskonačno, funkcija se povećava sa nule uključujući na plus beskonačno. Naprotiv, kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule, ne uključujući.

2. Rješavanje standardnih eksponencijalnih jednačina

Podsjetimo vas kako riješiti najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe. Njihovo rješenje je bazirano na monotonosti eksponencijalne funkcije. Gotovo sve složene eksponencijalne jednadžbe mogu se svesti na takve jednačine.

Jednakost eksponenata sa jednakim bazama je posledica svojstva eksponencijalne funkcije, odnosno njene monotonosti.

Metoda rješenja:

Izjednačiti osnove stepeni;

Izjednačite eksponente.

Idemo dalje na razmatranje složenijih eksponencijalnih jednačina, naš cilj je da svaku od njih svedemo na najjednostavniju.

Riješimo se korijena s lijeve strane i dovedemo stupnjeve na istu bazu:

Da bi se složena eksponencijalna jednačina svela na najjednostavniju, često se koristi zamjena varijabli.

Koristimo svojstvo snage:

Predstavljamo zamjenu. Neka bude onda

Pomnožimo rezultirajuću jednačinu sa dva i pomjerimo sve članove na lijevu stranu:

Prvi korijen ne zadovoljava raspon vrijednosti y, pa ga odbacujemo. Dobijamo:

Smanjimo stepene na isti indikator:

Hajde da predstavimo zamjenu:

Neka bude onda . Sa takvom zamjenom, očito je da y poprima striktno pozitivne vrijednosti. Dobijamo:

Znamo kako riješiti takve kvadratne jednadžbe, možemo zapisati odgovor:

Da biste bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, možete provjeriti pomoću Vietine teoreme, tj. pronaći zbroj korijena i njihovog proizvoda i usporediti ih s odgovarajućim koeficijentima jednadžbe.

Dobijamo:

3. Metodologija rješavanja homogenih eksponencijalnih jednačina drugog stepena

Proučimo sljedeće važne vrste eksponencijalnih jednačina:

Jednačine ovog tipa nazivaju se homogenima drugog stepena u odnosu na funkcije f i g. Na njegovoj lijevoj strani nalazi se kvadratni trinom u odnosu na f s parametrom g ili kvadratni trinom u odnosu na g s parametrom f.

Metoda rješenja:

Ova jednačina se može riješiti kao kvadratna jednačina, ali je lakše to učiniti drugačije. Postoje dva slučaja za razmatranje:

U prvom slučaju dobijamo

U drugom slučaju, imamo pravo podijeliti najvećim stepenom i dobiti:

Potrebno je uvesti promjenu varijabli, dobijamo kvadratnu jednačinu za y:

Napomenimo da funkcije f i g mogu biti bilo koje, ali nas zanima slučaj kada su to eksponencijalne funkcije.

4. Primjeri rješavanja homogenih jednačina

Premjestimo sve članove na lijevu stranu jednačine:

Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednačinu sa , bez razmatranja slučaja kada:

Dobijamo:

Hajde da predstavimo zamjenu: (prema svojstvima eksponencijalne funkcije)

Dobili smo kvadratnu jednačinu:

Određujemo korijene pomoću Vietine teoreme:

Prvi korijen ne zadovoljava raspon vrijednosti y, odbacujemo ga, dobijamo:

Koristimo svojstva stupnjeva i sve stepene svesti na jednostavne baze:

Lako je uočiti funkcije f i g:

Odjeljci: Matematika

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: naučiti kako rješavati sisteme eksponencijalnih jednačina; konsolidovati vještine rješavanja jednačina uključenih u ove sisteme

Vaspitno: njegovati urednost.

Razvojni: razvijati kulturu pismenog i usmenog govora.

Oprema: kompjuter; multimedijalni projektor.

Tokom nastave

Organiziranje vremena

Učitelju. Danas ćemo nastaviti proučavanje poglavlja “Eksponencijalna funkcija”. Temu lekcije ćemo formulirati malo kasnije. Tokom lekcije ćete popunjavati formulare za odgovore koji se nalaze na vašim stolovima ( cm. aplikacija br. 1 ). Odgovori će biti sumirani.

Ažuriranje znanja.

Učenici odgovaraju na pitanja:

Kakav je oblik eksponencijalne funkcije?

Usmeni rad. Radite na slajdovima 1 do 5.

Koja se jednačina naziva eksponencijalna?

Koje metode rješenja poznajete?

Usmeni rad na slajdovima 6 do 10.

Koje se svojstvo eksponencijalne funkcije koristi pri rješavanju eksponencijalnih nejednačina?

Usmeni rad na slajdovima 11 do 15.

Vježbajte. Odgovore na ova pitanja zapišite na listu odgovora br. 1. ( cm. aplikacija br. 1 ). (slajdovi 16 do 31)

Provjera domaćeg
.

Domaći zadatak provjeravamo na sljedeći način.

Zamijenite korijene jednadžbi odgovarajućim slovom i pogodite riječ.

Učenici gledaju list za odgovore br. 2 ( Aneks 1) . Nastavnik pokazuje slajd broj 33

(Učenici imenuju riječ (slajd br. 34)).

Koje se pojave dešavaju prema zakonima ove funkcije?

Od učenika se traži da riješe zadatke sa Jedinstvenog državnog ispita B12 (slajd 35) i zapišu rješenje na obrascu za odgovore broj 3 ( Aneks 1).

Prilikom provjere domaće zadaće i rješavanja zadatka B12, ponavljat ćemo metode za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Studenti zaključuju da je za rješavanje jednadžbe u dvije varijable potrebna još jedna jednačina.

Zatim se formuliše tema lekcije (slajd broj 37).

Sistem je zapisan u sveskama (slajd br. 38).

Da bismo riješili ovaj sistem, ponavljamo metodu zamjene (slajd broj 39).

Metoda sabiranja se ponavlja tokom rješavanja sistema (slajdovi 38 do 39).

Primarna konsolidacija proučenog materijala
:

Studenti samostalno rješavaju sisteme jednačina u obrascima za odgovore br. 4 ( Aneks 1 ), primaju individualne konsultacije nastavnika.

Rezimirajući. Refleksija.

Nastavite rečenice.

Danas sam na času ponovio...
Danas sam na času pojačao...
Danas na času sam naučio...
Danas na času sam naučio...

Na kraju časa učenici zapisuju svoje domaće zadatke i predaju formulare za odgovore.

Zadaća:
br. 59 (parni) i br. 62 (parni).

Književnost

Svi zadaci Jedinstvene državne ispitne grupe 3000 zadataka - Izdavačka kuća “Ispit” Moskva, 2011. Uredio A.L. Semenova, I.V. Yashchenko.
S.A. Šestakov, P.I. Zakharov Jedinstveni državni ispit 2010 matematički zadatak C1 urednik A.L. Semenova, I.V. Yashchenko moskovska izdavačka kuća “MCNMO”.
Udžbenik Algebra i počeci matematičke analize, 10. razred Yu.M Koljagin Moskva „Prosvjeta“, 2008.

U fazi pripreme za završni test srednjoškolci treba da usavrše svoje znanje o temi „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci kod školaraca izazivaju određene poteškoće. Dakle, srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju temeljito savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose s ovom vrstom problema, maturanti mogu računati na visoke ocjene prilikom polaganja Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.

Pripremite se za ispitno testiranje sa Shkolkovom!

Prilikom pregleda materijala koji su obradili, mnogi učenici se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na internetu traje dugo.

Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. Implementiramo potpuno novu metodu pripreme za završni test. Učenjem na našoj web stranici moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju na one zadatke koji izazivaju najveće poteškoće.

Nastavnici Školkova prikupili su, sistematizirali i predstavili sav materijal potreban za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.

Osnovne definicije i formule su predstavljene u odeljku „Teorijska pozadina“.

Kako biste bolje razumjeli gradivo, preporučujemo da vježbate ispunjavanje zadataka. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina s rješenjima predstavljenim na ovoj stranici da biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga, nastavite sa izvršavanjem zadataka u odjeljku “Direktoriji”. Možete početi s najjednostavnijim zadacima ili ići direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

One primjere sa indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u „Favorite“. Na ovaj način možete ih brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa svojim učiteljem.

Da biste uspješno položili Jedinstveni državni ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!

Metode rješavanja sistema jednačina

Za početak, prisjetimo se ukratko koje metode općenito postoje za rješavanje sistema jednačina.

Postoji četiri glavna načina rješenja sistema jednačina:

Metoda zamjene: uzmite bilo koju od datih jednačina i izrazite $y$ u terminima $x$, a zatim se $y$ zamjenjuje u sistemsku jednačinu, odakle se nalazi varijabla $x.$. Nakon toga možemo lako izračunati varijabla $y.$

Metoda sabiranja: U ovoj metodi, trebate pomnožiti jednu ili obje jednačine takvim brojevima da kada obje zbrojite, jedna od varijabli „nestane“.

Grafička metoda: obje jednačine sistema su prikazane na koordinatnoj ravni i pronađena je tačka njihovog presjeka.

Metoda uvođenja novih varijabli: u ovoj metodi zamjenjujemo neke izraze kako bismo pojednostavili sistem, a zatim koristimo jednu od gore navedenih metoda.