Beispiele für Lösungen komplexer Exponentialgleichungen. Gleichungen online
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Erinnern wir uns zunächst an die Grundformeln der Kräfte und ihre Eigenschaften.
Produkt einer Zahl A n-mal auf sich selbst vorkommt, können wir diesen Ausdruck als a a … a=a n schreiben
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Potenz- oder Exponentialgleichungen– Dies sind Gleichungen, in denen die Variablen Potenzen (oder Exponenten) sind und die Basis eine Zahl ist.
Beispiele für Exponentialgleichungen:
In diesem Beispiel ist die Zahl 6 die Basis; sie steht immer unten und ist die Variable X Grad oder Indikator.
Lassen Sie uns weitere Beispiele für Exponentialgleichungen geben.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Schauen wir uns nun an, wie Exponentialgleichungen gelöst werden.
Nehmen wir eine einfache Gleichung:
2 x = 2 3
Dieses Beispiel kann sogar im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x=3. Damit die linke und rechte Seite gleich sind, müssen Sie schließlich die Zahl 3 anstelle von x eingeben.
Sehen wir uns nun an, wie diese Entscheidung formalisiert wird:
2 x = 2 3
x = 3
Um eine solche Gleichung zu lösen, haben wir entfernt identische Gründe(also Zweier) und aufgeschrieben, was noch übrig war, das sind Grade. Wir haben die Antwort bekommen, nach der wir gesucht haben.
Fassen wir nun unsere Entscheidung zusammen.
Algorithmus zur Lösung der Exponentialgleichung:
1. Muss überprüft werden das gleiche ob die Gleichung rechts und links Basen hat. Sollten die Gründe nicht die gleichen sein, suchen wir nach Lösungsmöglichkeiten für dieses Beispiel.
2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, gleichsetzen Grad und lösen Sie die resultierende neue Gleichung.
Schauen wir uns nun ein paar Beispiele an:
Beginnen wir mit etwas Einfachem.
Die Basen auf der linken und rechten Seite entsprechen der Zahl 2, was bedeutet, dass wir die Basis wegwerfen und ihre Kräfte gleichsetzen können.
x+2=4 Man erhält die einfachste Gleichung.
x=4 – 2
x=2
Antwort: x=2
Im folgenden Beispiel können Sie sehen, dass die Basen unterschiedlich sind: 3 und 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Verschieben wir zunächst die Neun auf die rechte Seite, erhalten wir:
Jetzt müssen Sie die gleichen Grundlagen erstellen. Wir wissen, dass 9=3 2. Verwenden wir die Potenzformel (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Wir erhalten 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Nun ist klar, dass auf der linken und rechten Seite die Basen gleich und gleich drei sind, was bedeutet, dass wir sie verwerfen und die Grade gleichsetzen können.
3x=2x+16 erhalten wir die einfachste Gleichung
3x - 2x=16
x=16
Antwort: x=16.
Schauen wir uns das folgende Beispiel an:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Zunächst schauen wir uns die Basen an, die Basen zwei und vier. Und wir brauchen, dass sie gleich sind. Wir transformieren die vier mit der Formel (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Und wir verwenden auch eine Formel a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Zur Gleichung hinzufügen:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Aus den gleichen Gründen haben wir ein Beispiel gegeben. Aber die anderen Nummern 10 und 24 stören uns. Was tun mit ihnen? Wenn Sie genau hinschauen, können Sie sehen, dass wir auf der linken Seite 2 2x wiederholt haben. Hier ist die Antwort: Wir können 2 2x aus Klammern setzen:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Berechnen wir den Ausdruck in Klammern:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Wir teilen die gesamte Gleichung durch 6:
Stellen wir uns 4=2 2 vor:
2 2x = 2 2 Basen sind gleich, wir verwerfen sie und setzen die Grade gleich.
2x = 2 ist die einfachste Gleichung. Teilen Sie es durch 2 und wir erhalten
x = 1
Antwort: x = 1.
Lösen wir die Gleichung:
9 x – 12*3 x +27= 0
Lassen Sie uns transformieren:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Wir erhalten die Gleichung:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Unsere Basen sind gleich drei. In diesem Beispiel können Sie sehen, dass die ersten drei einen doppelten Grad (2x) haben als der zweite (nur x). In diesem Fall können Sie es lösen Ersatzmethode. Wir ersetzen die Zahl durch den kleinsten Grad:
Dann ist 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Wir ersetzen alle x Potenzen in der Gleichung durch t:
t 2 - 12t+27 = 0
Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Wenn wir die Diskriminante auflösen, erhalten wir:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Zurück zur Variablen X.
Nimm t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Das ist,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten von t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Antwort: x 1 = 2; x 2 = 1.
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Vorlesung: „Methoden zur Lösung von Exponentialgleichungen.“
1 . Exponentielle Gleichungen.
Gleichungen, die Unbekannte in Exponenten enthalten, werden Exponentialgleichungen genannt. Die einfachste davon ist die Gleichung ax = b, wobei a > 0, a ≠ 1.
1) Bei b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Für b > 0 hat die Gleichung unter Verwendung der Monotonie der Funktion und des Wurzelsatzes eine eindeutige Wurzel. Um es zu finden, muss b in der Form b = aс, ax = bс ó x = c oder x = logab dargestellt werden.
Exponentialgleichungen führen durch algebraische Transformationen zu Standardgleichungen, die mit folgenden Methoden gelöst werden:
1) Methode der Reduktion auf eine Basis;
2) Bewertungsmethode;
3) grafische Methode;
4) Methode zur Einführung neuer Variablen;
5) Faktorisierungsmethode;
6) Exponential – Potenzgleichungen;
7) demonstrativ mit einem Parameter.
2 . Methode der Reduktion auf eine Basis.
Die Methode basiert auf der folgenden Eigenschaft von Graden: Wenn zwei Grade gleich sind und ihre Basen gleich sind, dann sind ihre Exponenten gleich, d. h. man muss versuchen, die Gleichung auf die Form zu reduzieren
Beispiele. Löse die Gleichung:
1 . 3x = 81;
Stellen wir die rechte Seite der Gleichung in der Form 81 = 34 dar und schreiben wir die Gleichung, die dem Original entspricht: 3 x = 34; x = 4. Antwort: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">und kommen wir zur Gleichung für die Exponenten 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Antwort: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Beachten Sie, dass die Zahlen 0,2, 0,04, √5 und 25 Potenzen von 5 darstellen. Machen wir uns dies zunutze und transformieren die ursprüngliche Gleichung wie folgt:
, woraus 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, woraus wir die Lösung x = -1 finden. Antwort 1.
5. 3x = 5. Per Definition des Logarithmus ist x = log35. Antwort: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Schreiben wir die Gleichung in der Form 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8 um, also.png" width="181" height="49 src="> Daher x – 4 =0, x = 4. Antwort: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Unter Verwendung der Potenzeigenschaften schreiben wir die Gleichung in der Form 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, dann 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, also x+1 = 2, x =1. Antwort 1.
Problembank Nr. 1.
Löse die Gleichung:
Test Nr. 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) keine Wurzeln |
1) 7;1 2) keine Wurzeln 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Test Nr. 2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) keine Wurzeln 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Bewertungsmethode.
Wurzelsatz: Wenn die Funktion f(x) im Intervall I zunimmt (abnimmt), die Zahl a ein beliebiger Wert ist, den f in diesem Intervall annimmt, dann hat die Gleichung f(x) = a eine einzige Wurzel im Intervall I.
Bei der Lösung von Gleichungen mit der Schätzmethode werden dieser Satz und die Monotonieeigenschaften der Funktion verwendet.
Beispiele. Gleichungen lösen: 1. 4x = 5 – x.
Lösung. Schreiben wir die Gleichung als 4x +x = 5 um.
1. Wenn x = 1, dann ist 41+1 = 5, 5 = 5 wahr, was bedeutet, dass 1 die Wurzel der Gleichung ist.
Funktion f(x) = 4x – wächst auf R und g(x) = x – wächst auf R => h(x)= f(x)+g(x) wächst auf R, als Summe der steigenden Funktionen, dann ist x = 1 die einzige Wurzel der Gleichung 4x = 5 – x. Antwort 1.
2.
Lösung. Schreiben wir die Gleichung im Formular um .
1. wenn x = -1, dann , 3 = 3 ist wahr, was bedeutet, dass x = -1 die Wurzel der Gleichung ist.
2. Beweisen Sie, dass er der Einzige ist.
3. Funktion f(x) = - nimmt auf R ab, und g(x) = - x – nimmt auf R ab => h(x) = f(x)+g(x) – nimmt auf R ab, als Summe von abnehmende Funktionen. Das bedeutet, dass nach dem Wurzelsatz x = -1 die einzige Wurzel der Gleichung ist. Antwort 1.
Problembank Nr. 2. Löse die Gleichung
a) 4x + 1 =6 – x;
B)
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Methode zur Einführung neuer Variablen.
Die Methode ist in Abschnitt 2.1 beschrieben. Die Einführung einer neuen Variablen (Substitution) erfolgt in der Regel nach Transformationen (Vereinfachung) der Gleichungsglieder. Schauen wir uns Beispiele an.
Beispiele. R Löse die Gleichung: 1. .
Schreiben wir die Gleichung anders um: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = „45“>
Lösung. Schreiben wir die Gleichung anders um:
Nennen wir https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nicht geeignet.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationale Gleichung. Das bemerken wir
Die Lösung der Gleichung ist x = 2,5 ≤ 4, was bedeutet, dass 2,5 die Wurzel der Gleichung ist. Antwort: 2.5.
Lösung. Schreiben wir die Gleichung in der Form um und dividieren beide Seiten durch 56x+6 ≠ 0. Wir erhalten die Gleichung
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind t1 = 1 und t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Lösung . Schreiben wir die Gleichung im Formular um
und beachten Sie, dass es sich um eine homogene Gleichung zweiten Grades handelt.
Teilen Sie die Gleichung durch 42x, wir erhalten
Ersetzen wir https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Antwort: 0; 0,5.
Problembank Nr. 3. Löse die Gleichung
B)
G)
Test Nr. 3 mit einer Auswahl an Antworten. Mindestniveau.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) keine Wurzeln 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) keine Wurzeln 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Test Nr. 4 mit einer Auswahl an Antworten. Allgemeines Niveau.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) keine Wurzeln |
5. Faktorisierungsmethode.
1. Lösen Sie die Gleichung: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Lösung..png" width="169" height="69"> , von wo
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Lösung. Setzen wir 6x in Klammern auf die linke Seite der Gleichung und 2x auf die rechte Seite. Wir erhalten die Gleichung 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Da 2x >0 für alle x gilt, können wir beide Seiten dieser Gleichung durch 2x dividieren, ohne befürchten zu müssen, Lösungen zu verlieren. Wir erhalten 3x = 1ó x = 0.
3.
Lösung. Lösen wir die Gleichung mit der Faktorisierungsmethode.
Wählen wir das Quadrat des Binomials aus
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 ist die Wurzel der Gleichung.
Gleichung x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Test Nr. 6 Allgemeines Niveau.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Exponential – Potenzgleichungen.
Den Exponentialgleichungen benachbart sind die sogenannten Exponentialpotenzgleichungen, also Gleichungen der Form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Wenn bekannt ist, dass f(x)>0 und f(x) ≠ 1, dann wird die Gleichung, wie die Exponentialgleichung, durch Gleichsetzung der Exponenten g(x) = f(x) gelöst.
Wenn die Bedingung die Möglichkeit von f(x)=0 und f(x)=1 nicht ausschließt, müssen wir diese Fälle bei der Lösung einer Exponentialgleichung berücksichtigen.
1..png" width="182" height="116 src=">
2.
Lösung. x2 +2x-8 – macht für jedes x Sinn, da es ein Polynom ist, was bedeutet, dass die Gleichung der Gesamtheit entspricht
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
B)
7. Exponentialgleichungen mit Parametern.
1. Für welche Werte des Parameters p hat Gleichung 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) eine eindeutige Lösung?
Lösung. Führen wir die Ersetzung 2x = t, t > 0 ein, dann nimmt Gleichung (1) die Form t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 an. (2)
Diskriminante der Gleichung (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Gleichung (1) hat eine eindeutige Lösung, wenn Gleichung (2) eine positive Nullstelle hat. Dies ist in den folgenden Fällen möglich.
1. Wenn D = 0, also p = 1, dann nimmt Gleichung (2) die Form t2 – 2t + 1 = 0 an, daher ist t = 1, daher hat Gleichung (1) eine eindeutige Lösung x = 0.
2. Wenn p1, dann 9(p – 1)2 > 0, dann hat Gleichung (2) zwei verschiedene Wurzeln t1 = p, t2 = 4p – 3. Die Bedingungen des Problems werden von einer Menge von Systemen erfüllt
Wenn wir t1 und t2 in die Systeme einsetzen, erhalten wir
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Lösung. Lassen dann nimmt Gleichung (3) die Form t2 – 6t – a = 0 an. (4)
Finden wir die Werte des Parameters a, für die mindestens eine Wurzel der Gleichung (4) die Bedingung t > 0 erfüllt.
Führen wir die Funktion f(t) = t2 – 6t – a ein. Folgende Fälle sind möglich.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Fall 2. Gleichung (4) hat eine eindeutige positive Lösung, wenn
D = 0, wenn a = – 9, dann nimmt Gleichung (4) die Form (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 an.
Fall 3. Gleichung (4) hat zwei Wurzeln, aber eine davon erfüllt nicht die Ungleichung t > 0. Dies ist möglich, wenn
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Somit hat Gleichung (4) für a 0 eine einzige positive Wurzel . Dann hat Gleichung (3) eine eindeutige Lösung
Wenn ein< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
wenn ein< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
wenn a = – 9, dann x = – 1;
wenn a 0, dann
Vergleichen wir die Methoden zur Lösung der Gleichungen (1) und (3). Beachten Sie, dass beim Lösen von Gleichung (1) auf eine quadratische Gleichung reduziert wurde, deren Diskriminante ein perfektes Quadrat ist; Daher wurden die Wurzeln der Gleichung (2) sofort mit der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung berechnet und anschließend wurden Rückschlüsse auf diese Wurzeln gezogen. Gleichung (3) wurde auf eine quadratische Gleichung (4) reduziert, deren Diskriminante kein perfektes Quadrat ist. Daher ist es bei der Lösung von Gleichung (3) ratsam, Sätze über die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms zu verwenden und ein grafisches Modell. Beachten Sie, dass Gleichung (4) mit dem Satz von Vieta gelöst werden kann.
Lassen Sie uns komplexere Gleichungen lösen.
Aufgabe 3: Lösen Sie die Gleichung
Lösung. ODZ: x1, x2.
Lassen Sie uns einen Ersatz einführen. Sei 2x = t, t > 0, dann nimmt die Gleichung als Ergebnis von Transformationen die Form t2 + 2t – 13 – a = 0 an. (*) Finden wir die Werte von a, für die mindestens eine Wurzel von die Gleichung (*) erfüllt die Bedingung t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Antwort: wenn a > – 13, a 11, a 5, dann wenn a – 13,
a = 11, a = 5, dann gibt es keine Wurzeln.
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Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Potenz- oder Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen die Variablen in Potenzen vorliegen und die Basis eine Zahl ist. Zum Beispiel:
Das Lösen einer Exponentialgleichung besteht aus zwei ziemlich einfachen Schritten:
1. Sie müssen prüfen, ob die Grundlagen der Gleichung rechts und links gleich sind. Wenn die Gründe nicht dieselben sind, suchen wir nach Möglichkeiten, dieses Beispiel zu lösen.
2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, setzen wir die Grade gleich und lösen die resultierende neue Gleichung.
Angenommen, wir erhalten eine Exponentialgleichung der folgenden Form:
Es lohnt sich, die Lösung dieser Gleichung mit einer Analyse der Basis zu beginnen. Die Basen sind unterschiedlich – 2 und 4, aber zum Lösen müssen sie gleich sein, also transformieren wir 4 mit der folgenden Formel –\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
Wir ergänzen die ursprüngliche Gleichung:
Nehmen wir es aus Klammern \
Lassen Sie uns \ ausdrücken
Da die Grade gleich sind, verwerfen wir sie:
Antwort: \
Wo kann ich eine Exponentialgleichung mit einem Online-Löser lösen?
Sie können die Gleichung auf unserer Website https://site lösen. Mit dem kostenlosen Online-Löser können Sie Online-Gleichungen beliebiger Komplexität in Sekundenschnelle lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Auf unserer Website können Sie sich auch Videoanleitungen ansehen und erfahren, wie Sie die Gleichung lösen. Und wenn Sie noch Fragen haben, können Sie diese in unserer VKontakte-Gruppe http://vk.com/pocketacher stellen. Treten Sie unserer Gruppe bei, wir helfen Ihnen gerne weiter.
Dies ist die Bezeichnung für Gleichungen der Form, bei denen die Unbekannte sowohl im Exponenten als auch in der Basis der Potenz enthalten ist.
Sie können einen völlig klaren Algorithmus zum Lösen einer Gleichung der Form angeben. Dazu müssen Sie darauf achten, wann Oh) ungleich Null, Eins und minus Eins, Gradgleichheit mit den gleichen Basen (sei es positiv oder negativ) ist nur möglich, wenn die Exponenten gleich sind. Das heißt, alle Wurzeln der Gleichung sind die Wurzeln der Gleichung f(x) = g(x) Die umgekehrte Aussage ist nicht wahr, wenn Oh)< 0 und Bruchwerte f(x) Und g(x) Ausdrücke Oh) f(x) Und
Oh) g(x) verlieren ihre Bedeutung. Das heißt, beim Wechsel von nach f(x) = g(x)(für und Fremdwurzeln können auftreten, die durch Vergleich mit der ursprünglichen Gleichung ausgeschlossen werden müssen. Und Fälle a = 0, a = 1, a = -1 müssen gesondert betrachtet werden.
Um die Gleichung vollständig zu lösen, betrachten wir die Fälle:
a(x) = O f(x) Und g(x) werden positive Zahlen sein, dann ist dies die Lösung. Ansonsten nein
a(x) = 1. Die Wurzeln dieser Gleichung sind auch die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.
a(x) = -1. Wenn für einen Wert von x, der diese Gleichung erfüllt, f(x) Und g(x) Sind ganze Zahlen gleicher Parität (entweder beide gerade oder beide ungerade), dann ist dies die Lösung. Ansonsten nein
Wann und wir lösen die Gleichung f(x)= g(x) und indem wir die erhaltenen Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, schneiden wir die überflüssigen Wurzeln ab.
Beispiele für die Lösung von Exponentialpotenzgleichungen.
Beispiel Nr. 1.
1) x - 3 = 0, x = 3. weil 3 > 0 und 3 2 > 0, dann ist x 1 = 3 die Lösung.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Beide Indikatoren sind gerade. Diese Lösung ist x 3 = 1.
4) x - 3 ? 0 und x? ± 1. x = x 2, x = 0 oder x = 1. Für x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - diese Lösung ist richtig: x 4 = 0. Für x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 – diese Lösung ist richtig x 5 = 1.
Antwort: 0, 1, 2, 3, 4.
Beispiel Nr. 2.
Per Definition einer arithmetischen Quadratwurzel: x - 1? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 oder x = 1, = 0, 0 0 ist keine Lösung.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 passt nicht in ODZ.
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - keine Wurzeln.