Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Probleme zur Wahrscheinlichkeitstheorie Eine symmetrische Münze wird zweimal geworfen
Beschreibung der Präsentation anhand einzelner Folien:
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Lösen von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Mathematiklehrerin MBOU Nivnyanskaya Sekundarschule, Nechaeva Tamara Ivanovna
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Unterrichtsziele: Berücksichtigung verschiedener Arten von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Methoden zu deren Lösung. Ziele des Unterrichts: Den Schülern beibringen, verschiedene Arten von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu erkennen und das logische Denken von Schülern zu verbessern.
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Aufgabe 1. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die gleiche Anzahl Kopf und Zahl erhalten.
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Aufgabe 2. Eine Münze wird viermal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie niemals Köpfe bekommen.
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Aufgabe 3. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau einmal auftauchen. Lösung: Um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses zu ermitteln, müssen alle möglichen Ergebnisse des Experiments berücksichtigt und dann günstige Ergebnisse daraus ausgewählt werden (günstige Ergebnisse sind Ergebnisse, die die Anforderungen des Problems erfüllen). In unserem Fall sind die Ergebnisse günstig, wenn bei zwei Würfen einer symmetrischen Münze nur einmal „Kopf“ erscheint. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird als Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse berechnet. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Werfen einer symmetrischen Münze „Kopf“ nur einmal erscheint, P = 2/4 = 0,5 = 50 %. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass als Ergebnis des obigen Experiments „Kopf“ nur einmal erscheint beträgt 50 %. Experimentnummer 1. Wurf 2. Wurf Anzahl der Male Kopf 1 Kopf Kopf 2 2 Zahl Zahl 0 3 Kopf Zahl 1 4 Zahl Kopf 1
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Aufgabe 4. Die Würfel werden einmal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Augenzahl größer als 4 ist? Lösung: Zufallsexperiment – Würfeln. Das Elementarereignis ist die Zahl auf der fallengelassenen Seite. Antwort: 1/3 Gesamtzahl der Gesichter: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Elementare Ereignisse: N=6 N(A)=2
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Aufgabe 5. Ein Biathlet schießt fünfmal auf Ziele. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Ziele die ersten drei Mal trifft und die letzten beiden Male verfehlt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel. Lösung: Trefferwahrscheinlichkeit = 0,8 Fehlschlagwahrscheinlichkeit = 1 - 0,8 = 0,2 A = (Treffer, Treffer, Treffer, Fehlschuss, Fehlschuss) Gemäß der WahrscheP(A) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 P (A) = 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02 Antwort: 0,02
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Aufgabe 6. In einem Zufallsexperiment werden zwei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gezogenen Punkte 6 beträgt. Runden Sie die Antwort auf das nächste Hundertstel. Lösung: Das elementare Ergebnis dieses Experiments ist ein geordnetes Zahlenpaar. Die erste Zahl erscheint auf dem ersten Würfel, die zweite auf dem zweiten. Es ist praktisch, viele elementare Ergebnisse in einer Tabelle darzustellen. Die Reihen entsprechen der Punktzahl des ersten Würfels, die Spalten dem zweiten Würfel. Die Gesamtzahl der Elementarereignisse beträgt n = 36. Schreiben wir in jede Zelle die Summe der gezeichneten Punkte und färben wir die Zellen ein, bei denen die Summe gleich 6 ist. Es gibt 5 solcher Zellen. Das bedeutet, dass das Ereignis A = (die (Summe der gezogenen Punkte beträgt 6) wird durch 5 Elementarergebnisse begünstigt. Daher ist m = 5. Daher ist P(A) = 5/36 = 0,14. Antwort: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
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Wahrscheinlichkeitsformel Theorem Eine Münze werde n-mal geworfen. Dann kann die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau k-mal erscheinen, durch die Formel ermittelt werden: Wobei Cnk die Anzahl der Kombinationen von n Elementen in k ist, die durch die Formel berechnet wird:
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Aufgabe 7. Eine Münze wird viermal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal „Kopf“ zu bekommen. Lösung Gemäß den Bedingungen des Problems gab es insgesamt n = 4 Würfe. Erforderliche Anzahl Adler: k =3. Wir setzen n und k in die Formel ein: Mit dem gleichen Erfolg können wir die Anzahl der Köpfe zählen: k = 4 − 3 = 1. Die Antwort wird dieselbe sein. Antwort: 0,25
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Aufgabe 8. Eine Münze wird dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie niemals Köpfe bekommen. Lösung: Wir schreiben die Zahlen n und k noch einmal auf. Da die Münze dreimal geworfen wird, ist n = 3. Und da es keine Köpfe geben sollte, ist k = 0. Es müssen noch die Zahlen n und k in die Formel eingesetzt werden: Ich möchte Sie daran erinnern, dass 0! = 1 per Definition. Daher ist C30 = 1. Antwort: 0,125
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Aufgabe 9. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze viermal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass „Kopf“ häufiger vorkommt als „Zahl“. Lösung: Damit es mehr Kopf als Zahl gibt, müssen diese entweder 3 Mal (dann gibt es 1 Zahl) oder 4 Mal (dann gibt es überhaupt keine Zahl) erscheinen. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ereignisse ermitteln. Sei p1 die Wahrscheinlichkeit, dreimal „Kopf“ zu bekommen. Dann ist n = 4, k = 3. Wir haben: Jetzt ermitteln wir p2 – die Wahrscheinlichkeit, dass „Kopf“ alle 4 Mal landet. In diesem Fall ist n = 4, k = 4. Wir haben: Um die Antwort zu erhalten, müssen noch die Wahrscheinlichkeiten p1 und p2 addiert werden. Denken Sie daran: Sie können nur Wahrscheinlichkeiten für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse hinzufügen. Wir haben: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Antwort: 0,3125
Folie 13
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Aufgabe 10. Vor Beginn eines Volleyballspiels losen die Mannschaftskapitäne aus, welche Mannschaft das Spiel mit dem Ball beginnt. Das Team „Stator“ spielt abwechselnd mit den Teams „Rotor“, „Motor“ und „Starter“. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Stator nur das erste und letzte Spiel startet. Lösung. Sie müssen die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von drei Ereignissen ermitteln: „Stator“ startet das erste Spiel, startet das zweite Spiel nicht und startet das dritte Spiel. Die Wahrscheinlichkeit eines Produkts unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit für jeden von ihnen beträgt 0,5, woraus wir finden: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Antwort: 0,125.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es eine Gruppe von Problemen, bei denen es ausreicht, die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit zu kennen und die vorgeschlagene Situation visuell darzustellen. Zu diesen Problemen zählen die meisten Münzwurf- und Würfelwurfprobleme. Erinnern wir uns an die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit.
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A (die objektive Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses in numerischer Hinsicht) ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl aller gleichermaßen möglichen inkompatiblen Elementarergebnisse: P(A)=m/n, Wo:
- m ist die Anzahl der elementaren Testergebnisse, die das Eintreten von Ereignis A begünstigen;
- n ist die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse des Elementartests.
Es ist zweckmäßig, die Anzahl möglicher elementarer Testergebnisse und die Anzahl günstiger Ergebnisse bei den betrachteten Problemen durch Aufzählung aller möglichen Optionen (Kombinationen) und direktes Zählen zu bestimmen.
Aus der Tabelle sehen wir, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=4 beträgt. Günstige Ergebnisse des Ereignisses A = (Köpfe erscheinen 1 Mal) entsprechen Option Nr. 2 und Nr. 3 des Experiments, es gibt zwei solcher Optionen m = 2.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=2/4=0,5
Problem 2 . Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie überhaupt keine Köpfe bekommen.
Lösung
. Da die Münze zweimal geworfen wird, beträgt die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse wie bei Aufgabe 1 n=4. Günstige Ergebnisse des Ereignisses A = (Köpfe erscheinen kein einziges Mal) entsprechen Option Nr. 4 des Experiments (siehe Tabelle in Aufgabe 1). Es gibt nur eine solche Option, das heißt m=1.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=1/4=0,25
Problem 3 . Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau zweimal auftauchen.
Lösung . Wir stellen die möglichen Optionen für drei Münzwürfe (alle möglichen Kopf-Zahl-Kombinationen) in tabellarischer Form vor:
Aus der Tabelle sehen wir, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=8 beträgt. Günstige Ergebnisse des Ereignisses A = (Köpfe erscheinen 2 Mal) entsprechen den Optionen Nr. 5, 6 und 7 des Experiments. Es gibt drei solcher Optionen, was m=3 bedeutet.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=3/8=0,375
Problem 4 . Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze viermal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal „Kopf“ zu bekommen.
Lösung . Wir stellen die möglichen Optionen für vier Münzwürfe (alle möglichen Kopf-Zahl-Kombinationen) in tabellarischer Form vor:
| Option Nr. | 1. Wurf | 2. Wurf | 3. Wurf | 4. Wurf | Option Nr. | 1. Wurf | 2. Wurf | 3. Wurf | 4. Wurf |
| 1 | Adler | Adler | Adler | Adler | 9 | Schwänze | Adler | Schwänze | Adler |
| 2 | Adler | Schwänze | Schwänze | Schwänze | 10 | Adler | Schwänze | Adler | Schwänze |
| 3 | Schwänze | Adler | Schwänze | Schwänze | 11 | Adler | Schwänze | Schwänze | Adler |
| 4 | Schwänze | Schwänze | Adler | Schwänze | 12 | Adler | Adler | Adler | Schwänze |
| 5 | Schwänze | Schwänze | Schwänze | Adler | 13 | Schwänze | Adler | Adler | Adler |
| 6 | Adler | Adler | Schwänze | Schwänze | 14 | Adler | Schwänze | Adler | Adler |
| 7 | Schwänze | Adler | Adler | Schwänze | 15 | Adler | Adler | Schwänze | Adler |
| 8 | Schwänze | Schwänze | Adler | Adler | 16 | Schwänze | Schwänze | Schwänze | Schwänze |
Aus der Tabelle sehen wir, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=16 beträgt. Günstige Ergebnisse des Ereignisses A = (Kopf erscheint dreimal) entsprechen den Optionen Nr. 12, 13, 14 und 15 des Experiments, was m = 4 bedeutet.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=4/16=0,25
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Bestimmung der Wahrscheinlichkeit bei Würfelproblemen
Problem 5 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln (einem fairen Würfel) mehr als 3 Punkte erhalten.
Lösung
. Beim Würfeln (einem normalen Würfel) kann jede seiner sechs Seiten herausfallen, d. h. eines der elementaren Ereignisse eintritt – der Verlust von 1 bis 6 Punkten. Dies bedeutet, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=6 beträgt.
Ereignis A = (mehr als 3 Punkte gewürfelt) bedeutet, dass 4, 5 oder 6 Punkte (Punkte) gewürfelt wurden. Dies bedeutet, dass die Anzahl der günstigen Ergebnisse m=3 beträgt.
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=3/6=0,5
Problem 6 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln nicht mehr als 4 Punkte erzielen. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Tausendstel.
Lösung
. Beim Würfeln kann jede seiner sechs Seiten herausfallen, d. h. eines der elementaren Ereignisse eintritt – der Verlust von 1 bis 6 Punkten. Dies bedeutet, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=6 beträgt.
Ereignis A = (nicht mehr als 4 gewürfelte Punkte) bedeutet, dass 4, 3, 2 oder 1 Punkt (Punkt) gewürfelt wurde. Dies bedeutet, dass die Anzahl der günstigen Ergebnisse m=4 beträgt.
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Problem 7 . Es wird zweimal gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Zahl beide Male kleiner als 4 ist.
Lösung . Da die Würfel (Würfel) zweimal geworfen werden, denken wir wie folgt: Wenn beim ersten Würfel ein Punkt gewürfelt wird, dann können beim zweiten Würfel 1, 2, 3, 4, 5, 6 fallen. Wir erhalten die Paare (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) und so weiter mit jeder Seite. Stellen wir alle Fälle in Form einer Tabelle mit 6 Zeilen und 6 Spalten dar:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Wir berechnen die günstigen Ergebnisse des Ereignisses A = (beide Male war die Zahl kleiner als 4) (sie sind fett hervorgehoben) und erhalten m=9.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=9/36=0,25
Aufgabe 8 . Es wird zweimal gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die größere der beiden gezogenen Zahlen 5 ist. Runden Sie Ihre Antwort auf den nächsten Tausender.
Lösung . In der Tabelle stellen wir alle möglichen Ergebnisse zweier Würfelwürfe vor:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Aus der Tabelle sehen wir, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=6*6=36 beträgt.
Wir berechnen die günstigen Ergebnisse des Ereignisses A = (die größte der beiden gezogenen Zahlen ist 5) (sie sind fett hervorgehoben) und erhalten m=8.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Problem 9 . Es wird zweimal gewürfelt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 4 mindestens einmal gewürfelt wird.
Lösung . In der Tabelle stellen wir alle möglichen Ergebnisse zweier Würfelwürfe vor:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Aus der Tabelle sehen wir, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=6*6=36 beträgt.
Der Ausdruck „mindestens einmal ist eine Zahl kleiner als 4 aufgetaucht“ bedeutet „eine Zahl kleiner als 4 ist ein- oder zweimal aufgetaucht“, dann ist die Anzahl der günstigen Ausgänge des Ereignisses A = (mindestens einmal ist eine Zahl kleiner als 4 aufgetaucht ) (sie sind fett hervorgehoben) m=27.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=27/36=0,75
Problem Formulierung: Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass „Kopf“ (Zahl) nicht ein einziges Mal erscheint (genau/mindestens 1, 2 Mal).
Die Aufgabe ist Teil des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik der Grundstufe für die 11. Klasse unter der Nummer 10 (Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit).
Schauen wir uns anhand von Beispielen an, wie solche Probleme gelöst werden.
Beispielaufgabe 1:
Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es kein einziges Mal „Kopf“ gibt.
OO ODER RO RR
Insgesamt gibt es 4 solcher Kombinationen. Uns interessieren nur diejenigen, die keinen einzigen Adler enthalten. Es gibt nur eine solche Kombination (PP).
P = 1 / 4 = 0,25
Antwort: 0,25
Beispielaufgabe 2:
Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal „Kopf“ zu bekommen.
Betrachten wir alle möglichen Kombinationen, die auftreten können, wenn eine Münze zweimal geworfen wird. Der Einfachheit halber bezeichnen wir Köpfe mit dem Buchstaben O und Schwänze mit dem Buchstaben P:
OO ODER RO RR
Insgesamt gibt es 4 solcher Kombinationen. Uns interessieren nur diejenigen, bei denen Köpfe genau 2 Mal vorkommen. Es gibt nur eine solche Kombination (OO).
P = 1 / 4 = 0,25
Antwort: 0,25
Beispielaufgabe 3:
Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass „Kopf“ genau einmal auftaucht.
Betrachten wir alle möglichen Kombinationen, die auftreten können, wenn eine Münze zweimal geworfen wird. Der Einfachheit halber bezeichnen wir Köpfe mit dem Buchstaben O und Schwänze mit dem Buchstaben P:
OO ODER RO RR
Insgesamt gibt es 4 solcher Kombinationen. Uns interessieren nur diejenigen, bei denen genau 1 Mal „Kopf“ auftauchte. Es gibt nur zwei solcher Kombinationen (OR und RO).
Antwort: 0,5
Beispielaufgabe 4:
Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Köpfe auftauchen.
Betrachten wir alle möglichen Kombinationen, die auftreten können, wenn eine Münze zweimal geworfen wird. Der Einfachheit halber bezeichnen wir Köpfe mit dem Buchstaben O und Schwänze mit dem Buchstaben P:
OO ODER RO RR
Insgesamt gibt es 4 solcher Kombinationen. Uns interessieren nur die, bei denen mindestens einmal ein Kopf vorkommt. Es gibt nur drei solcher Kombinationen (OO, OP und RO).
P = 3 / 4 = 0,75
Bei den Problemen zur Wahrscheinlichkeitstheorie, die im Einheitlichen Staatsexamen Nr. 4 vorgestellt werden, gibt es außerdem Probleme beim Werfen einer Münze und beim Würfeln. Wir werden sie uns heute ansehen.
Probleme beim Münzwurf
Aufgabe 1. Eine symmetrische Münze wird zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau einmal auftauchen.
Bei solchen Problemen ist es praktisch, alle möglichen Ergebnisse aufzuschreiben und sie mit den Buchstaben P (Zahl) und O (Köpfe) zu schreiben. Das Ergebnis des OP bedeutet also, dass es beim ersten Wurf Kopf und beim zweiten Wurf Zahl war. Bei dem betrachteten Problem gibt es 4 mögliche Ergebnisse: RR, RO, OR, OO. Das Ereignis „Zahlen erscheinen genau einmal“ wird durch zwei Ergebnisse begünstigt: RO und OP. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.
Antwort: 0,5.
Aufgabe 2. Eine symmetrische Münze wird dreimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau zweimal auf Kopf landet.
Insgesamt gibt es 8 mögliche Ergebnisse: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Das Ereignis „Kopf erscheint genau zweimal“ wird durch 3 Ergebnisse begünstigt: ROO, ORO, OOR. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.
Antwort: 0,375.
Aufgabe 3. Vor Beginn eines Fußballspiels wirft der Schiedsrichter eine Münze, um zu bestimmen, welche Mannschaft mit dem Ball beginnt. Das Emerald-Team bestreitet drei Spiele mit verschiedenen Teams. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass „Emerald“ in diesen Spielen genau einmal gewinnt.
Diese Aufgabe ähnelt der vorherigen. Lassen Sie jedes Mal, wenn Sie „Kopf“ landen, bedeuten, dass Sie mit dem „Smaragd“ das Los gewinnen (diese Annahme hat keinen Einfluss auf die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten). Dann sind 8 Ergebnisse möglich: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Das Ereignis „Zahl wird genau einmal erscheinen“ wird durch 3 Ergebnisse begünstigt: ROO, ORO, OOR. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.
Antwort: 0,375.
Problem 4. Eine symmetrische Münze wird dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das ROO-Ergebnis eintritt (beim ersten Mal „Kopf“, beim zweiten und dritten Mal „Kopf“).
Wie bei den vorherigen Aufgaben gibt es 8 Ergebnisse: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Die Wahrscheinlichkeit, dass das ROO-Ergebnis eintritt, ist gleich.
Antwort: 0,125.
Probleme beim Würfeln
Aufgabe 5. Es wird zweimal gewürfelt. Wie viele elementare Ergebnisse des Experiments begünstigen das Ereignis „Die Summe der Punkte beträgt 8“?
Problem 6. Es werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 4 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.
Im Allgemeinen gibt es beim Würfeln gleichermaßen mögliche Ergebnisse. Die gleiche Anzahl an Ergebnissen erhält man, wenn man mit demselben Würfel mehrmals hintereinander würfelt.
Das Ereignis „Die Gesamtzahl beträgt 4“ wird durch die folgenden Ergebnisse begünstigt: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Ihre Anzahl ist 3. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit beträgt .
Um den ungefähren Wert eines Bruchs zu berechnen, ist es praktisch, die Winkeldivision zu verwenden. Also ungefähr gleich 0,083..., auf das nächste Hundertstel gerundet ergibt sich 0,08.
Antwort: 0,08
Problem 7. Es werden drei Würfel gleichzeitig geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 5 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.
Als Ergebnis gelten drei Zahlen: die gewürfelten Punkte des ersten, zweiten und dritten Würfels. Es gibt alle gleich mögliche Ergebnisse. Die folgenden Ergebnisse sind für das „Gesamt 5“-Ereignis günstig: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Ihre Zahl ist 6. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit beträgt . Um den ungefähren Wert eines Bruchs zu berechnen, ist es praktisch, die Winkeldivision zu verwenden. Ungefähr erhalten wir 0,027..., auf Hundertstel gerundet erhalten wir 0,03. Quelle „Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Mathematik. Wahrscheinlichkeitstheorie". Herausgegeben von F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabuchowa
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