Die Mantelfläche verschiedener Pyramiden. Seitenfläche der Pyramide

Ein Parallelepiped ist ein viereckiges Prisma mit einem Parallelogramm an seiner Basis. Für die Berechnung der Seiten- und Gesamtfläche einer Figur gibt es vorgefertigte Formeln, für die lediglich die Längen dreier Dimensionen des Parallelepipeds benötigt werden.

So ermitteln Sie die Mantelfläche eines rechteckigen Parallelepipeds

Man muss zwischen einem rechteckigen und einem geraden Parallelepiped unterscheiden. Die Basis einer geraden Figur kann ein beliebiges Parallelogramm sein. Die Fläche einer solchen Figur muss mit anderen Formeln berechnet werden.

Die Summe S der Seitenflächen eines rechteckigen Parallelepipeds wird mit der einfachen Formel P*h berechnet, wobei P der Umfang und h die Höhe ist. Die Abbildung zeigt, dass die gegenüberliegenden Seiten eines rechteckigen Parallelepipeds gleich sind und die Höhe h mit der Länge der Kanten senkrecht zur Basis übereinstimmt.

Oberfläche eines Quaders

Die Gesamtfläche der Figur setzt sich aus der Seite und der Fläche von 2 Basen zusammen. So ermitteln Sie die Fläche eines rechteckigen Parallelepipeds:

Wobei a, b und c die Abmessungen des geometrischen Körpers sind.
Die beschriebenen Formeln sind leicht verständlich und nützlich bei der Lösung vieler Geometrieprobleme. Ein Beispiel für eine typische Aufgabe ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Bei der Lösung solcher Probleme ist zu beachten, dass die Grundfläche eines viereckigen Prismas willkürlich gewählt wird. Wenn wir die Fläche mit den Abmessungen x und 3 als Basis nehmen, sind die Werte von Sside unterschiedlich und Stotal bleibt 94 cm2.

Oberfläche eines Würfels

Ein Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped, bei dem alle drei Dimensionen gleich sind. In dieser Hinsicht weichen die Formeln für die Gesamt- und Seitenfläche eines Würfels von den Standardformeln ab.

Der Umfang des Würfels beträgt 4a, daher ist Sside = 4*a*a = 4*a2. Diese Ausdrücke sind zum Auswendiglernen nicht erforderlich, beschleunigen aber die Lösung von Aufgaben deutlich.

Ein Zylinder ist eine Figur, die aus einer Zylinderfläche und zwei parallel angeordneten Kreisen besteht. Die Berechnung der Fläche eines Zylinders ist ein Problem aus dem geometrischen Teilgebiet der Mathematik, das ganz einfach gelöst werden kann. Zur Lösung gibt es mehrere Methoden, die am Ende immer auf eine Formel hinauslaufen.

So ermitteln Sie die Fläche eines Zylinders – Berechnungsregeln

• Um die Fläche des Zylinders herauszufinden, müssen Sie die beiden Flächen der Grundfläche mit der Fläche der Seitenfläche addieren: S = SSeite + 2SGrundfläche. In einer detaillierteren Version sieht diese Formel so aus: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Die Mantelfläche eines gegebenen geometrischen Körpers kann berechnet werden, wenn seine Höhe und der Radius des an seiner Basis liegenden Kreises bekannt sind. In diesem Fall können Sie den Radius aus dem Umfang ausdrücken, sofern dieser angegeben ist. Die Höhe kann ermittelt werden, wenn in der Bedingung der Wert des Generators angegeben wird. In diesem Fall ist die Erzeugende gleich der Höhe. Die Formel für die Mantelfläche dieses Körpers sieht so aus: S= 2 π rh.
• Die Fläche der Basis wird mit der Formel zur Ermittlung der Kreisfläche berechnet: S osn= π r 2 . Bei manchen Aufgaben wird möglicherweise nicht der Radius, wohl aber der Umfang angegeben. Mit dieser Formel lässt sich der Radius recht einfach ausdrücken. С=2π r, r= С/2π. Sie müssen auch bedenken, dass der Radius halb so groß ist wie der Durchmesser.
• Bei all diesen Berechnungen wird die Zahl π normalerweise nicht in 3,14159 übersetzt... Sie muss lediglich neben dem Zahlenwert addiert werden, der als Ergebnis der Berechnungen erhalten wurde.
• Als nächstes müssen Sie nur noch die gefundene Fläche der Basis mit 2 multiplizieren und zur resultierenden Zahl die berechnete Fläche der Seitenfläche der Figur addieren.
• Wenn das Problem darauf hinweist, dass der Zylinder einen axialen Querschnitt hat und es sich um ein Rechteck handelt, sieht die Lösung etwas anders aus. In diesem Fall entspricht die Breite des Rechtecks ​​dem Durchmesser des Kreises, der an der Basis des Körpers liegt. Die Länge der Figur entspricht der Erzeugenden oder Höhe des Zylinders. Es ist notwendig, die erforderlichen Werte zu berechnen und in die bereits bekannte Formel einzusetzen. In diesem Fall muss die Breite des Rechtecks ​​​​durch zwei geteilt werden, um die Grundfläche zu ermitteln. Um die Mantelfläche zu ermitteln, wird die Länge mit zwei Radien und der Zahl π multipliziert.
• Sie können die Fläche eines bestimmten geometrischen Körpers anhand seines Volumens berechnen. Dazu müssen Sie den fehlenden Wert aus der Formel V=π r 2 h ableiten.
• Die Berechnung der Fläche eines Zylinders ist nicht kompliziert. Sie müssen lediglich die Formeln kennen und daraus die für die Berechnung erforderlichen Mengen ableiten können.

Pyramide- eine der Varianten eines Polyeders, der aus Polygonen und Dreiecken besteht, die an der Basis liegen und seine Flächen darstellen.

Darüber hinaus sind an der Spitze der Pyramide (d. h. an einem Punkt) alle Flächen vereint.

Um die Fläche einer Pyramide zu berechnen, lohnt es sich festzustellen, dass ihre Mantelfläche aus mehreren Dreiecken besteht. Und wir können ihre Bereiche leicht finden

verschiedene Formeln. Abhängig davon, welche Daten wir über die Dreiecke wissen, suchen wir nach deren Fläche.

Wir listen einige Formeln auf, mit denen man die Fläche von Dreiecken ermitteln kann:

1. S = (a*h)/2 . In diesem Fall kennen wir die Höhe des Dreiecks H , der seitlich abgesenkt ist A .
2. S = a*b*sinβ . Hier sind die Seiten des Dreiecks A , B , und der Winkel zwischen ihnen ist β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Hier sind die Seiten des Dreiecks a, b, c . Der Radius eines Kreises, der in ein Dreieck eingeschrieben ist, beträgt R .
4. S = (a*b*c)/4*R . Der Radius eines umschriebenen Kreises um ein Dreieck beträgt R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Diese Formel sollte nur angewendet werden, wenn das Dreieck rechtwinklig ist.
6. S = (a²*√3)/4 . Wir wenden diese Formel auf ein gleichseitiges Dreieck an.

Erst nachdem wir die Flächen aller Dreiecke berechnet haben, die die Flächen unserer Pyramide bilden, können wir die Fläche ihrer Seitenfläche berechnen. Dazu verwenden wir die oben genannten Formeln.

Um die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide zu berechnen, gibt es keine Schwierigkeiten: Sie müssen die Summe der Flächen aller Dreiecke ermitteln. Drücken wir dies mit der Formel aus:

Sp = ΣSi

Hier Si ist die Fläche des ersten Dreiecks und S P - Fläche der Seitenfläche der Pyramide.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Bei einer regelmäßigen Pyramide bestehen ihre Seitenflächen aus mehreren gleichseitigen Dreiecken.

« Geometrie ist das mächtigste Werkzeug zur Schärfung unserer geistigen Fähigkeiten».

Galileo Galilei.

und das Quadrat ist die Basis der Pyramide. Darüber hinaus hat die Kante der Pyramide eine Länge von 17 cm. Ermitteln wir die Fläche der Seitenfläche dieser Pyramide.

Wir argumentieren so: Wir wissen, dass die Flächen der Pyramide Dreiecke sind, sie sind gleichseitig. Wir kennen auch die Kantenlänge dieser Pyramide. Daraus folgt, dass alle Dreiecke gleiche Seiten haben und eine Länge von 17 cm haben.

Um die Fläche jedes dieser Dreiecke zu berechnen, können Sie die folgende Formel verwenden:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Da wir also wissen, dass das Quadrat an der Basis der Pyramide liegt, haben wir vier gleichseitige Dreiecke. Damit lässt sich die Mantelfläche der Pyramide ganz einfach mit folgender Formel berechnen: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Unsere Antwort lautet wie folgt: 500,548 cm² – das ist die Fläche der Mantelfläche dieser Pyramide.

Bevor Sie Fragen zu dieser geometrischen Figur und ihren Eigenschaften untersuchen, sollten Sie einige Begriffe verstehen. Wenn jemand von einer Pyramide hört, stellt er sich riesige Gebäude in Ägypten vor. So sehen die einfachsten aus. Es gibt sie jedoch in unterschiedlichen Typen und Formen, was bedeutet, dass die Berechnungsformel für geometrische Formen unterschiedlich sein wird.

Pyramide - geometrische Figur, bezeichnet und repräsentiert mehrere Gesichter. Im Wesentlichen ist dies dasselbe Polyeder, an dessen Basis ein Polygon liegt und an dessen Seiten sich Dreiecke befinden, die an einem Punkt verbunden sind – dem Scheitelpunkt. Die Figur gibt es in zwei Haupttypen:

• richtig;
• gekürzt.

Im ersten Fall ist die Basis ein regelmäßiges Vieleck. Hier sind alle Seitenflächen gleich zwischen sich und der Figur selbst werden das Auge eines Perfektionisten erfreuen.

Im zweiten Fall gibt es zwei Sockel – einen großen ganz unten und einen kleinen dazwischen, der die Form des Hauptsockels wiederholt. Mit anderen Worten, ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder mit einem parallel zur Grundfläche geformten Querschnitt.

Begriffe und Symbole

Schlüsselbegriffe:

• Regelmäßiges (gleichseitiges) Dreieck- eine Figur mit drei gleichen Winkeln und gleichen Seiten. In diesem Fall betragen alle Winkel 60 Grad. Die Figur ist das einfachste reguläre Polyeder. Wenn diese Figur an der Basis liegt, wird ein solches Polyeder als regelmäßiges Dreieck bezeichnet. Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, wird die Pyramide als regelmäßige viereckige Pyramide bezeichnet.
• Scheitel– der höchste Punkt, an dem sich die Kanten treffen. Die Höhe der Spitze wird durch eine gerade Linie gebildet, die von der Spitze bis zur Basis der Pyramide verläuft.
• Rand– eine der Ebenen des Polygons. Sie kann bei einer dreieckigen Pyramide die Form eines Dreiecks oder bei einem Pyramidenstumpf die Form eines Trapezes haben.
• Abschnitt- eine flache Figur, die durch Dissektion entstanden ist. Es sollte nicht mit einem Abschnitt verwechselt werden, da ein Abschnitt auch zeigt, was sich hinter dem Abschnitt verbirgt.
• Apothema- ein Segment, das von der Spitze der Pyramide bis zu ihrer Basis gezogen wird. Es ist auch die Höhe der Fläche, auf der sich der zweite Höhenpunkt befindet. Diese Definition gilt nur in Bezug auf ein reguläres Polyeder. Wenn es sich beispielsweise nicht um einen Pyramidenstumpf handelt, ist die Fläche ein Dreieck. In diesem Fall wird die Höhe dieses Dreiecks zum Apothem.

Flächenformeln

Finden Sie die Mantelfläche der Pyramide Jeder Typ kann auf verschiedene Arten durchgeführt werden. Wenn die Figur nicht symmetrisch ist und ein Polygon mit verschiedenen Seiten ist, dann ist es in diesem Fall einfacher, die Gesamtfläche durch die Gesamtheit aller Flächen zu berechnen. Mit anderen Worten: Sie müssen die Fläche jeder Fläche berechnen und addieren.

Abhängig von den bekannten Parametern können Formeln zur Berechnung eines Quadrats, eines Trapezes, eines beliebigen Vierecks usw. erforderlich sein. Die Formeln selbst in verschiedenen Fällen wird es auch Unterschiede geben.

Bei einer regelmäßigen Figur ist das Auffinden des Bereichs viel einfacher. Es reicht aus, nur wenige Schlüsselparameter zu kennen. In den meisten Fällen sind Berechnungen speziell für solche Zahlen erforderlich. Daher werden im Folgenden die entsprechenden Formeln angegeben. Andernfalls müssten Sie alles über mehrere Seiten hinausschreiben, was Sie nur verwirren und verwirren würde.

Grundformel zur Berechnung Die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide hat folgende Form:

S=½ Pa (P ist der Umfang der Basis und das Apothem)

Schauen wir uns ein Beispiel an. Das Polyeder hat eine Basis mit den Segmenten A1, A2, A3, A4, A5, und alle sind gleich 10 cm. Das Apothem sei gleich 5 cm. Zuerst müssen Sie den Umfang ermitteln. Da alle fünf Flächen der Basis gleich sind, können Sie sie wie folgt ermitteln: P = 5 * 10 = 50 cm. Als nächstes wenden wir die Grundformel an: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm im Quadrat.

Mantelfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide am einfachsten zu berechnen. Die Formel sieht so aus:

S =½* ab *3, wobei a das Apothem und b die Fläche der Basis ist. Der Faktor drei bedeutet hier die Anzahl der Flächen der Basis und der erste Teil ist die Fläche der Seitenfläche. Schauen wir uns ein Beispiel an. Bei einer Figur mit einem Apothem von 5 cm und einer Grundkante von 8 cm berechnen wir: S = 1/2*5*8*3=60 cm im Quadrat.

Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes Es ist etwas schwieriger zu berechnen. Die Formel sieht so aus: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, wobei p_01 und p_02 die Umfänge der Basen sind und das Apothem ist. Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir an, dass bei einer viereckigen Figur die Seitenabmessungen der Grundflächen 3 und 6 cm betragen und das Apothem 4 cm beträgt.

Hier müssen Sie zunächst die Umfänge der Sockel ermitteln: ð_01 =3*4=12 cm; ð_02=6*4=24 cm Es müssen noch die Werte in die Hauptformel eingesetzt werden und wir erhalten: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm im Quadrat.

So können Sie die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide beliebiger Komplexität ermitteln. Sie sollten vorsichtig sein und nicht verwirren diese Berechnungen mit der Gesamtfläche des gesamten Polyeders. Und wenn Sie dies noch tun müssen, berechnen Sie einfach die Fläche der größten Basis des Polyeders und addieren Sie sie zur Fläche der Seitenfläche des Polyeders.

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Oberfläche der Pyramide. In diesem Artikel werden wir uns mit Problemen mit regelmäßigen Pyramiden befassen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass eine regelmäßige Pyramide eine Pyramide ist, deren Basis ein regelmäßiges Vieleck ist, wobei die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Vielecks projiziert wird.

Die Seitenfläche einer solchen Pyramide ist ein gleichschenkliges Dreieck.Die Höhe dieses Dreiecks, das von der Spitze einer regelmäßigen Pyramide ausgeht, wird Apothem genannt, SF – Apothem:

Bei der unten dargestellten Problemart müssen Sie die Oberfläche der gesamten Pyramide oder die Fläche ihrer Seitenfläche ermitteln. Der Blog hat bereits mehrere Probleme mit regelmäßigen Pyramiden besprochen, bei denen es um das Auffinden der Elemente (Höhe, Grundkante, Seitenkante) ging.

In den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens werden in der Regel regelmäßige dreieckige, viereckige und sechseckige Pyramiden untersucht. Ich habe keine Probleme mit regelmäßigen fünfeckigen und siebeneckigen Pyramiden gesehen.

Die Formel für die Fläche der gesamten Oberfläche ist einfach: Sie müssen die Summe der Fläche der Basis der Pyramide und der Fläche ihrer Seitenfläche ermitteln:

Betrachten wir die Aufgaben:

Die Seiten der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide betragen 72, die Seitenkanten betragen 164. Finden Sie die Oberfläche dieser Pyramide.

Die Oberfläche der Pyramide ist gleich der Summe der Flächen der Mantelfläche und der Grundfläche:

*Die Mantelfläche besteht aus vier flächengleichen Dreiecken. Die Basis der Pyramide ist ein Quadrat.

Wir können die Seitenfläche der Pyramide berechnen mit:

Somit beträgt die Oberfläche der Pyramide:

Antwort: 28224

Die Seiten der Basis einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide sind gleich 22, die Seitenkanten sind gleich 61. Finden Sie die Mantelfläche dieser Pyramide.

Die Grundfläche einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist ein regelmäßiges Sechseck.

Die Mantelfläche dieser Pyramide besteht aus sechs Flächen gleicher Dreiecke mit den Seiten 61,61 und 22:

Lassen Sie uns die Fläche des Dreiecks mithilfe der Heron-Formel ermitteln:

Somit beträgt die Mantelfläche:

Antwort: 3240

*Bei den oben dargestellten Problemen könnte die Fläche der Seitenfläche mit einer anderen Dreiecksformel ermittelt werden, dafür müssen Sie jedoch das Apothem berechnen.

27155. Finden Sie die Oberfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, deren Grundseiten 6 und deren Höhe 4 beträgt.

Um die Oberfläche der Pyramide zu ermitteln, müssen wir die Fläche der Basis und die Fläche der Mantelfläche kennen:

Die Grundfläche beträgt 36, da es sich um ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 handelt.

Die Mantelfläche besteht aus vier Flächen, die gleiche Dreiecke sind. Um die Fläche eines solchen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie dessen Basis und Höhe (Apothem) kennen:

*Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus der Grundfläche und der zu dieser Grundfläche gezogenen Höhe.

Die Basis ist bekannt, sie ist gleich sechs. Finden wir die Höhe. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck (gelb hervorgehoben):

Ein Bein ist gleich 4, da dies die Höhe der Pyramide ist, das andere ist gleich 3, da es der halben Kante der Basis entspricht. Wir können die Hypotenuse mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln:

Dies bedeutet, dass die Fläche der Seitenfläche der Pyramide beträgt:

Somit beträgt die Oberfläche der gesamten Pyramide:

Antwort: 96

27069. Die Seiten der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide sind gleich 10, die Seitenkanten sind gleich 13. Finden Sie die Oberfläche dieser Pyramide.

27070. Die Seiten der Basis einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide sind gleich 10, die Seitenkanten sind gleich 13. Finden Sie die Mantelfläche dieser Pyramide.

Es gibt auch Formeln für die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide. Bei einer regelmäßigen Pyramide ist die Basis eine orthogonale Projektion der Mantelfläche, daher:

P- Basisumfang, l- Apothem der Pyramide

*Diese Formel basiert auf der Formel für die Fläche eines Dreiecks.

Wenn Sie mehr über die Ableitung dieser Formeln erfahren möchten, sollten Sie sich die Veröffentlichung von Artikeln nicht entgehen lassen.Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.