Was ist die Summe eines Trapezes? Merken Sie sich die Eigenschaften eines Trapezes und wenden Sie sie an

Der Geometriekurs für die 8. Klasse beinhaltet das Studium der Eigenschaften und Merkmale konvexer Vierecke. Dazu gehören Parallelogramme, deren Sonderfälle Quadrate, Rechtecke und Rauten sind, sowie Trapeze. Und wenn das Lösen von Problemen bei verschiedenen Variationen eines Parallelogramms meist keine großen Schwierigkeiten bereitet, ist es etwas schwieriger herauszufinden, welches Viereck Trapez genannt wird.

Definition und Typen

Im Gegensatz zu anderen Vierecken, die im Lehrplan der Schule studiert werden, wird ein Trapez normalerweise als eine solche Figur bezeichnet, bei der zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind und die anderen beiden nicht. Es gibt eine andere Definition: Es handelt sich um ein Viereck mit zwei ungleichen und parallelen Seiten.

Die verschiedenen Typen sind im Bild unten dargestellt.

Bild Nummer 1 zeigt ein beliebiges Trapez. Nummer 2 weist auf einen Sonderfall hin – ein rechteckiges Trapez, dessen eine Seite senkrecht zu seiner Basis steht. Auch die letzte Figur ist ein Sonderfall: Es handelt sich um ein gleichschenkliges (gleichseitiges) Trapez, also ein Viereck mit gleichen Seiten.

Die wichtigsten Eigenschaften und Formeln

Um die Eigenschaften eines Vierecks zu beschreiben, ist es üblich, bestimmte Elemente hervorzuheben. Betrachten Sie als Beispiel ein beliebiges Trapez ABCD.

Es enthält:

Basen BC und AD – zwei Seiten parallel zueinander;
die Seiten AB und CD sind zwei nichtparallele Elemente;
Diagonalen AC und BD sind Segmente, die gegenüberliegende Eckpunkte der Figur verbinden;
die Höhe des Trapezes CH ist ein Segment senkrecht zu den Basen;
Mittellinie EF – Linie, die die Mittelpunkte der seitlichen Seiten verbindet.

Grundlegende Eigenschaften von Elementen

Um geometrische Probleme zu lösen oder Aussagen zu beweisen, werden am häufigsten die Eigenschaften verwendet, die die verschiedenen Elemente eines Vierecks verbinden. Sie sind wie folgt formuliert:

Darüber hinaus ist es oft hilfreich, die folgenden Aussagen zu kennen und anzuwenden:

Eine aus einem beliebigen Winkel gezogene Winkelhalbierende trennt an der Basis ein Segment, dessen Länge gleich der Seite der Figur ist.
Beim Zeichnen von Diagonalen entstehen 4 Dreiecke; Davon sind zwei Dreiecke, die aus den Grundflächen und Segmenten der Diagonalen bestehen, ähnlich, und das verbleibende Paar hat die gleiche Fläche.
Durch den Schnittpunkt der Diagonalen O, die Mittelpunkte der Grundflächen sowie den Punkt, an dem sich die Verlängerungen der Seiten schneiden, kann eine Gerade gezogen werden.

Berechnung von Umfang und Fläche

Der Umfang wird als Summe der Längen aller vier Seiten berechnet (ähnlich wie bei jeder anderen geometrischen Figur):

P = AD + BC + AB + CD.

Beschrifteter und umschriebener Kreis

Ein Kreis um ein Trapez kann nur beschrieben werden, wenn die Seiten des Vierecks gleich sind.

Um den Radius eines umschriebenen Kreises zu berechnen, müssen Sie die Länge der Diagonale, der Seite und der größeren Basis kennen. Größe P, Der in der Formel verwendete Wert wird als halbe Summe aller oben genannten Elemente berechnet: p = (a + c + d)/2.

Für einen eingeschriebenen Kreis gilt folgende Bedingung: Die Summe der Grundflächen muss mit der Summe der Seiten der Figur übereinstimmen. Sein Radius kann durch die Höhe ermittelt werden und ist gleich r = h/2.

Sonderfälle

Betrachten wir einen häufig vorkommenden Fall – ein gleichschenkliges (gleichseitiges) Trapez. Seine Vorzeichen sind die Gleichheit der Seiten oder die Gleichheit der gegenüberliegenden Winkel. Alle Aussagen treffen auf sie zu, die für ein beliebiges Trapez charakteristisch sind. Weitere Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes:

Das rechteckige Trapez kommt bei Problemen nicht sehr häufig vor. Seine Zeichen sind das Vorhandensein zweier benachbarter Winkel von 90 Grad und das Vorhandensein einer Seite senkrecht zu den Basen. Die Höhe in einem solchen Viereck ist auch eine seiner Seiten.

Alle betrachteten Eigenschaften und Formeln werden üblicherweise zur Lösung planimetrischer Probleme verwendet. Sie müssen jedoch auch bei einigen Aufgaben aus einem Stereometriekurs verwendet werden, beispielsweise bei der Bestimmung der Oberfläche eines Pyramidenstumpfs, der wie ein volumetrisches Trapez aussieht.

Unterrichtsthema

Trapez

Lernziele

Führen Sie weiterhin neue Definitionen in die Geometrie ein.
Festigen Sie Ihr Wissen über bereits untersuchte geometrische Formen;
Stellen Sie die Formulierung und den Nachweis der Eigenschaften des Trapezes vor.
Den Einsatz der Eigenschaften verschiedener Figuren bei der Lösung von Problemen und der Erledigung von Aufgaben lehren;
Die Aufmerksamkeit, das logische Denken und die mathematische Sprache der Schüler weiter entwickeln;
Wecken Sie Interesse am Thema.

Lernziele

Interesse an Geometriekenntnissen wecken;
Schulen Sie die Schüler weiterhin darin, Probleme zu lösen.
Wecken Sie kognitives Interesse am Mathematikunterricht.

Unterrichtsplan

1. Überprüfen Sie den zuvor untersuchten Stoff.
2. Einführung in das Trapez, seine Eigenschaften und Merkmale.
3. Probleme lösen und Aufgaben erledigen.

Wiederholung von zuvor gelerntem Material

In der vorherigen Lektion haben Sie eine solche Figur wie ein Viereck kennengelernt. Lassen Sie uns den behandelten Stoff zusammenfassen und die gestellten Fragen beantworten:

1. Wie viele Winkel und Seiten hat ein Viereck?
2. Formulieren Sie die Definition eines Vierecks?
3. Wie heißen die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks?
4. Welche Arten von Vierecken kennen Sie? Listen Sie sie auf und definieren Sie sie jeweils.
5. Zeichnen Sie ein Beispiel für ein konvexes und nicht konvexes Viereck.

Trapez. Allgemeine Eigenschaften und Definition

Ein Trapez ist eine viereckige Figur, bei der nur ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel ist.

In der geometrischen Definition ist ein Trapez ein Viereck, das zwei parallele Seiten hat, die anderen beiden jedoch nicht.

Der Name einer so ungewöhnlichen Figur wie „Trapez“ kommt vom Wort „Trapez“, was aus dem Griechischen übersetzt das Wort „Tisch“ bedeutet, von dem auch das Wort „Mahlzeit“ und andere verwandte Wörter stammen.

In einigen Fällen ist bei einem Trapez ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel, das andere Paar jedoch nicht parallel. In diesem Fall wird das Trapez als krummlinig bezeichnet.

Trapezförmige Elemente

Das Trapez besteht aus Elementen wie der Basis, den Seitenlinien, der Mittellinie und seiner Höhe.

Die Basis eines Trapezes sind seine parallelen Seiten;
Die lateralen Seiten sind die beiden anderen Seiten des Trapezes, die nicht parallel sind;
Die Mittellinie eines Trapezes ist das Segment, das die Mittelpunkte seiner Seiten verbindet;
Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand zwischen seinen Basen.

Arten von Trapezen

Übung:

1. Formulieren Sie die Definition eines gleichschenkligen Trapezes.
2. Welches Trapez heißt rechteckig?
3. Was bedeutet ein spitzwinkliges Trapez?
4. Welches Trapez ist ein stumpfes?

Allgemeine Eigenschaften eines Trapezes

Erstens verläuft die Mittellinie des Trapezes parallel zur Basis der Figur und ist gleich ihrer Halbsumme;

Zweitens ist die Strecke, die die Mittelpunkte der Diagonalen einer viereckigen Figur verbindet, gleich der halben Differenz ihrer Grundflächen;

Drittens schneiden in einem Trapez parallele Linien, die die Seiten des Winkels einer bestimmten Figur schneiden, proportionale Segmente von den Seiten des Winkels ab.

Viertens beträgt bei jedem Trapeztyp die Summe der an seine Seite angrenzenden Winkel 180°.

Wo sonst gibt es das Trapez?

Das Wort „Trapez“ kommt nicht nur in der Geometrie vor, es hat auch eine breitere Anwendung im Alltag.

Wir können auf dieses ungewöhnliche Wort stoßen, wenn wir Sportwettkämpfe beobachten, bei denen Turner akrobatische Übungen am Trapez durchführen. Als Trapez bezeichnet man im Turnen ein Sportgerät, das aus einer an zwei Seilen aufgehängten Querstange besteht.

Auch beim Training im Fitnessstudio oder beim Bodybuilding hört man dieses Wort, denn der Trapezius ist nicht nur eine geometrische Figur oder ein sportliches Akrobatikgerät, sondern auch kräftige Rückenmuskeln, die sich im Nacken befinden.

Das Bild zeigt ein Lufttrapez, das der Künstler Julius Leotard bereits im 19. Jahrhundert in Frankreich für Zirkusakrobaten erfunden hat. Zunächst installierte der Urheber dieser Nummer sein Projektil in geringer Höhe, doch am Ende wurde es direkt unter der Zirkuskuppel bewegt.

Luftakrobaten im Zirkus führen Tricks des Fliegens von Trapez zu Trapez vor, führen Querflüge durch und vollführen Saltos in der Luft.

Im Pferdesport ist Trapez eine Übung zur Dehnung bzw. Streckung des Pferdekörpers, die für das Tier sehr sinnvoll und angenehm ist. Wenn das Pferd in der Trapezstellung steht, wirkt die Streckung der Beine bzw. der Rückenmuskulatur des Tieres. Wir können diese schöne Übung beim Verbeugen oder beim sogenannten „Front Crunch“ beobachten, wenn sich das Pferd tief beugt.

Aufgabe: Nennen Sie eigene Beispiele dafür, wo sonst im Alltag das Wort „Trapez“ zu hören ist?

Wussten Sie, dass der berühmte französische Modedesigner Christian Dior 1947 zum ersten Mal eine Modenschau veranstaltete, bei der die Silhouette eines A-Linien-Rocks zu sehen war? Und obwohl mehr als sechzig Jahre vergangen sind, ist diese Silhouette immer noch in Mode und verliert bis heute nicht an Aktualität.

In der Garderobe der englischen Königin wurde der A-Linien-Rock zu einem unverzichtbaren Kleidungsstück und zu ihrer Visitenkarte.

Der gleichnamige Rock ähnelt der geometrischen Form eines Trapezes und passt perfekt zu allen Blusen, Blusen, Tops und Jacken. Der Klassizismus und der demokratische Charakter dieses beliebten Stils ermöglichen das Tragen mit formellen Jacken und leicht frivolen Oberteilen. Es wäre angebracht, einen solchen Rock sowohl im Büro als auch in einer Disco zu tragen.

Probleme mit Trapez

Um das Lösen von Problemen mit Trapezen zu erleichtern, ist es wichtig, sich einige Grundregeln zu merken:

Zeichnen Sie zunächst zwei Höhen: BF und CK.

In einem der Fälle erhalten Sie als Ergebnis ein Rechteck - ВСФК, woraus klar ist, dass FК = ВС.

AD=AF+FK+KD, also AD=AF+BC+KD.

Außerdem ist sofort ersichtlich, dass ABF und DCK rechtwinklige Dreiecke sind.

Eine andere Option ist möglich, wenn das Trapez nicht ganz dem Standard entspricht

AD=AF+FD=AF+FK–DK=AF+BC–DK.

Aber die einfachste Möglichkeit ist, wenn unser Trapez gleichschenklig ist. Dann wird die Lösung des Problems noch einfacher, da ABF und DCK rechtwinklige Dreiecke sind und gleich sind. AB=CD, da das Trapez gleichschenklig ist, und BF=CK, da die Höhe des Trapezes ist. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der entsprechenden Seiten.

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Der Zweck der Lektion:

lehrreich– das Konzept eines Trapezes vorstellen, sich mit den Arten von Trapezen vertraut machen, die Eigenschaften eines Trapezes studieren, den Schülern beibringen, das erworbene Wissen bei der Lösung von Problemen anzuwenden;
Entwicklung– Entwicklung der kommunikativen Qualitäten der Schüler, Entwicklung der Fähigkeit, Experimente durchzuführen, zu verallgemeinern, Schlussfolgerungen zu ziehen, Entwicklung des Interesses am Thema.
lehrreich– Aufmerksamkeit kultivieren, eine Erfolgssituation schaffen, Freude an der selbstständigen Überwindung von Schwierigkeiten haben, bei den Schülern das Bedürfnis nach Selbstdarstellung durch verschiedene Arten von Arbeit entwickeln.

Arbeitsformen: frontal, Dampfbad, Gruppe.

Form der Organisation von Kinderaktivitäten: die Fähigkeit zuzuhören, eine Diskussion aufzubauen, einen Gedanken, eine Frage oder eine Ergänzung auszudrücken.

Ausrüstung: Computer, Multimedia-Projektor, Leinwand. Auf Schülertischen: Schneiden Sie Material aus, um auf jedem Schülertisch ein Trapez anzufertigen. Karten mit Aufgaben (Ausdrucke von Zeichnungen und Aufgaben aus den Unterrichtsunterlagen).

WÄHREND DES UNTERRICHTS

I. Organisatorischer Moment

Begrüßung, Überprüfung der Bereitschaft des Arbeitsplatzes für den Unterricht.

II. Wissen aktualisieren

Entwicklung von Fähigkeiten zur Klassifizierung von Objekten;
Identifizierung von Haupt- und Nebenmerkmalen bei der Klassifizierung.

Betrachten Sie Zeichnung Nr. 1.

Als nächstes folgt eine Diskussion der Zeichnung.
– Woraus besteht diese geometrische Figur? Die Antwort finden die Jungs in den Bildern: [aus einem Rechteck und Dreiecken].
– Wie sollten die Dreiecke aussehen, aus denen ein Trapez besteht?
Alle Meinungen werden angehört und diskutiert, eine Option wird ausgewählt: [die Dreiecke müssen rechteckig sein].
– Wie entstehen Dreiecke und ein Rechteck? [Damit die gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks mit den Schenkeln jedes Dreiecks zusammenfallen].
– Was wissen Sie über die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks? [Sie sind parallel].
- Dieses Viereck wird also parallele Seiten haben? [Ja].
- Wie viele sind es? [Zwei].
Nach der Diskussion demonstriert der Lehrer die „Königin des Unterrichts“ – das Trapez.

III. Erläuterung des neuen Materials

1. Definition von Trapez, Elemente des Trapezes

Bringen Sie den Schülern bei, ein Trapez zu definieren.
benennen Sie seine Elemente;
Entwicklung des assoziativen Gedächtnisses.

– Versuchen Sie nun, eine vollständige Definition eines Trapezes zu geben. Jeder Schüler überlegt sich eine Antwort auf die Frage. Sie tauschen paarweise Meinungen aus und bereiten eine einheitliche Antwort auf die Frage vor. Eine mündliche Antwort wird einem Schüler aus 2-3 Paaren gegeben.
[Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind].

– Wie heißen die Seiten eines Trapezes? [Die parallelen Seiten werden die Basen des Trapezes genannt, und die anderen beiden werden die lateralen Seiten genannt].

Der Lehrer schlägt vor, die ausgeschnittenen Formen zu Trapezen zu falten. Die Schüler arbeiten zu zweit und fügen Figuren hinzu. Es ist gut, wenn Schülerpaare unterschiedliche Niveaus haben, dann ist einer der Schüler Berater und hilft einem Freund bei Schwierigkeiten.

– Bauen Sie in Ihren Notizbüchern ein Trapez und notieren Sie die Namen der Seiten des Trapezes. Stellen Sie Ihrem Nachbarn Fragen zur Zeichnung, hören Sie sich seine Antworten an und teilen Sie ihm Ihre Antwortmöglichkeiten mit.

Historische Referenz

„Trapez“- ein griechisches Wort, das in der Antike „Tisch“ bedeutete (im Griechischen bedeutet „trapedzion“ Tisch, Esstisch). Die geometrische Figur wurde so benannt, weil sie äußerlich einem kleinen Tisch ähnelt.
In den Elementen (griechisch Στοιχεῖα, lateinisch Elementa) – das Hauptwerk Euklids, geschrieben um 300 v. Chr. e. und der systematischen Konstruktion der Geometrie gewidmet) wird der Begriff „Trapez“ nicht im modernen Sinne, sondern in einem anderen Sinne verwendet: jedes Viereck (kein Parallelogramm). „Trapez“ in unserem Sinne findet sich erstmals bei dem antiken griechischen Mathematiker Posidonius (1. Jahrhundert). Im Mittelalter wurde laut Euklid jedes Viereck (kein Parallelogramm) als Trapez bezeichnet; erst im 18. Jahrhundert. Dieses Wort erhält eine moderne Bedeutung.

Konstruieren eines Trapezes aus seinen gegebenen Elementen. Die Jungs erledigen die Aufgaben auf Karte Nr. 1.

Die Schüler müssen Trapeze in verschiedenen Anordnungen und Formen konstruieren. In Schritt 1 müssen Sie ein rechteckiges Trapez konstruieren. In Punkt 2 wird es möglich, ein gleichschenkliges Trapez zu konstruieren. In Punkt 3 liegt das Trapez „auf der Seite“. In Absatz 4 geht es bei der Zeichnung um die Konstruktion eines Trapezes, bei dem eine der Basen ungewöhnlich klein ausfällt.
Die Schüler „überraschen“ den Lehrer mit verschiedenen Figuren, die einen gemeinsamen Namen haben – Trapez. Der Lehrer demonstriert mögliche Möglichkeiten zur Konstruktion von Trapezen.

Problem 1. Sind zwei Trapeze gleich, wenn jeweils eine der Grundflächen und zwei Seiten gleich sind?
Besprechen Sie die Lösung des Problems in Gruppen und beweisen Sie die Richtigkeit der Argumentation.
Ein Schüler aus der Gruppe zeichnet eine Zeichnung an die Tafel und erläutert die Begründung.

2. Arten von Trapezen

Entwicklung des motorischen Gedächtnisses, Fähigkeiten, ein Trapez in bekannte Figuren zu zerlegen, die zur Lösung von Problemen erforderlich sind;
Entwicklung von Fähigkeiten zum Verallgemeinern, Vergleichen, Definieren durch Analogien und Aufstellen von Hypothesen.

Schauen wir uns das Bild an:

– Wie unterscheiden sich die im Bild gezeigten Trapeze?
Den Jungs ist aufgefallen, dass die Art des Trapezes von der Art des Dreiecks auf der linken Seite abhängt.
- Vervollständigen Sie den Satz:

Ein Trapez heißt rechteckig, wenn...
Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn...

3. Eigenschaften eines Trapezes. Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes.

in Analogie zu einem gleichschenkligen Dreieck eine Hypothese über die Eigenschaft eines gleichschenkligen Trapezes aufstellen;
Entwicklung analytischer Fähigkeiten (vergleichen, Hypothesen aufstellen, beweisen, aufbauen).

Die Strecke, die die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet, ist gleich der halben Differenz der Basen.
Ein gleichschenkliges Trapez hat an jeder Basis gleiche Winkel.
Ein gleichschenkliges Trapez hat gleiche Diagonalen.
Bei einem gleichschenkligen Trapez wird es durch die vom Scheitelpunkt zur größeren Basis abgesenkte Höhe in zwei Segmente geteilt, von denen eines der Hälfte der Summe der Basen und das andere der Hälfte der Differenz der Basen entspricht.

Aufgabe 2. Beweisen Sie, dass in einem gleichschenkligen Trapez: a) die Winkel an jeder Basis gleich sind; b) die Diagonalen sind gleich. Um diese Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes zu beweisen, erinnern wir uns an die Gleichheitszeichen der Dreiecke. Die Studierenden bearbeiten die Aufgabe in Gruppen, diskutieren und notieren die Lösung in ihren Heften.
Ein Student aus der Gruppe führt einen Beweis an der Tafel durch.

4. Aufmerksamkeitsübung

5. Beispiele für die Verwendung von Trapezformen im Alltag:

in Innenräumen (Sofas, Wände, abgehängte Decken);
in der Landschaftsgestaltung (Rasenränder, künstliche Teiche, Steine);
in der Modebranche (Bekleidung, Schuhe, Accessoires);
bei der Gestaltung von Alltagsgegenständen (Lampen, Geschirr, Verwendung von Trapezformen);
in der Architektur.

Praktische Arbeit(je nach Optionen).

– Konstruieren Sie in einem Koordinatensystem gleichschenklige Trapeze basierend auf den angegebenen drei Eckpunkten.

Option 1: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…; …) und (– 6; – 5), (4; – 5), (– 4; – 3) , (…; …).
Option 2: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) und (1; – 2), (4; – 3), (4; – 7), ( …; …).

– Bestimmen Sie die Koordinaten des vierten Scheitelpunkts.
Die Lösung wird von der gesamten Klasse überprüft und kommentiert. Die Schüler geben die Koordinaten des vierten gefundenen Punktes an und versuchen verbal zu erklären, warum die gegebenen Bedingungen nur einen Punkt bestimmen.

Eine interessante Aufgabe. Falten Sie ein Trapez aus: a) vier rechtwinkligen Dreiecken; b) aus drei rechtwinkligen Dreiecken; c) aus zwei rechtwinkligen Dreiecken.

IV. Hausaufgaben

Förderung des richtigen Selbstwertgefühls;
Schaffung einer „Erfolgssituation“ für jeden Schüler.

S.44, die Definition kennen, Elemente eines Trapezes, seine Typen, die Eigenschaften eines Trapezes kennen, sie beweisen können, Nr. 388, Nr. 390.

V. Zusammenfassung der Lektion. Am Ende der Unterrichtsstunde wird es den Kindern ausgehändigt Fragebogen, Dies ermöglicht Ihnen eine Selbstanalyse und eine qualitative und quantitative Bewertung des Unterrichts .

- (griechisches Trapez). 1) in der Geometrie ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind und zwei nicht. 2) eine für Gymnastikübungen geeignete Figur. Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZ... ... Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache

Trapez- Trapez. TRAPEZ (vom griechischen trapezion, wörtlich Tisch), ein konvexes Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind (die Basen des Trapezes). Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Grundflächen (Mittellinie) und der Höhe. ... Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

Viereck, Projektil, Querlatte Wörterbuch der russischen Synonyme. trapezförmiges Substantiv, Anzahl der Synonyme: 3 Querbalken (21) ... Synonymwörterbuch

- (von griechisch trapezion, wörtlich Tisch), ein konvexes Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind (die Basen eines Trapezes). Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Grundflächen (Mittellinie) und der Höhe... Moderne Enzyklopädie

- (vom griechischen Trapez, wörtl. Tabelle), ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten, die Basen des Trapezes genannt, parallel sind (in der Abbildung n. Chr. und v. Chr.) und die anderen beiden nicht parallel sind. Der Abstand zwischen den Basen wird als Höhe des Trapezes bezeichnet (bei ... ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

TRAPEZ, eine viereckige flache Figur, bei der zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Die Fläche eines Trapezes ist gleich der halben Summe der parallelen Seiten multipliziert mit der Länge der Senkrechten zwischen ihnen... Wissenschaftliches und technisches Enzyklopädisches Wörterbuch

TRAPEZ, Trapez, Damen (vom griechischen Trapeztisch). 1. Viereck mit zwei parallelen und zwei nicht parallelen Seiten (Mat.). 2. Ein Turngerät, bestehend aus einer an zwei Seilen aufgehängten Querstange (Sport). Akrobatisch... ... Uschakows erklärendes Wörterbuch

TRAPEZ und weiblich. 1. Ein Viereck mit zwei parallelen und zwei nicht parallelen Seiten. Die Basen des Trapezes (seine parallelen Seiten). 2. Ein Zirkus- oder Turngerät ist eine an zwei Seilen aufgehängte Querstange. Ozhegovs erklärendes Wörterbuch. MIT … Ozhegovs erklärendes Wörterbuch

Weiblich, geom. ein Viereck mit ungleichen Seiten, von denen zwei parallel (parallel) sind. Trapez, ein ähnliches Viereck, bei dem alle Seiten auseinanderlaufen. Trapezoeder, ein Körper, der aus Trapezen besteht. Dahls erklärendes Wörterbuch. IN UND. Dal. 1863 1866 … Dahls erklärendes Wörterbuch

- (Trapeze), USA, 1956, 105 Min. Melodrama. Der aufstrebende Akrobat Tino Orsini schließt sich einer Zirkustruppe an, in der Mike Ribble, ein berühmter ehemaliger Trapezkünstler, arbeitet. Mike trat einmal mit Tinos Vater auf. Der junge Orsini will Mike... Enzyklopädie des Kinos

Ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind. Der Abstand zwischen parallelen Seiten wird aufgerufen. Höhe T. Wenn parallele Seiten und Höhe a, b und h Meter enthalten, dann enthält die Fläche von T Quadratmeter ... Enzyklopädie von Brockhaus und Efron

In den Materialien verschiedener Tests und Prüfungen sind sie sehr häufig zu finden Trapezprobleme, deren Lösung die Kenntnis seiner Eigenschaften erfordert.

Lassen Sie uns herausfinden, welche interessanten und nützlichen Eigenschaften ein Trapez zur Lösung von Problemen hat.

Nachdem man die Eigenschaften der Mittellinie eines Trapezes untersucht hat, kann man sie formulieren und beweisen Eigenschaft eines Segments, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet. Die Strecke, die die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der halben Differenz der Grundflächen.

MO ist die Mittellinie des Dreiecks ABC und entspricht 1/2BC (Abb. 1).

MQ ist die Mittellinie des Dreiecks ABD und entspricht 1/2AD.

Dann ist OQ = MQ – MO, also OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Bei der Lösung vieler Probleme auf einem Trapez besteht eine der Haupttechniken darin, zwei Höhen darin einzuzeichnen.

Folgendes berücksichtigen Aufgabe.

Sei BT die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes ABCD mit den Basen BC und AD, mit BC = a, AD = b. Finden Sie die Längen der Segmente AT und TD.

Lösung.

Das Problem zu lösen ist nicht schwierig (Abb. 2), aber es erlaubt Ihnen zu bekommen Eigenschaft der Höhe eines gleichschenkligen Trapezes, das vom Scheitelpunkt eines stumpfen Winkels gezogen wird: Die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes, das vom Scheitelpunkt eines stumpfen Winkels gezogen wird, teilt die größere Basis in zwei Segmente, von denen das kleinere gleich der Hälfte der Differenz der Basen und das größere gleich der Hälfte der Summe der Basen ist .

Wenn Sie die Eigenschaften eines Trapezes untersuchen, müssen Sie auf eine Eigenschaft wie Ähnlichkeit achten. So teilen beispielsweise die Diagonalen eines Trapezes es in vier Dreiecke, und die an die Grundflächen angrenzenden Dreiecke sind ähnlich und die an den Seiten angrenzenden Dreiecke sind gleich groß. Diese Anweisung kann aufgerufen werden Eigenschaft von Dreiecken, in die ein Trapez durch seine Diagonalen zerlegt wird. Darüber hinaus lässt sich der erste Teil der Aussage sehr einfach durch das Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken in zwei Winkeln beweisen. Lasst uns beweisen zweiter Teil der Aussage.

Die Dreiecke BOC und COD haben eine gemeinsame Höhe (Abb. 3), wenn wir die Segmente BO und OD als Basis nehmen. Dann ist S BOC /S COD = BO/OD = k. Daher ist S COD = 1/k · S BOC .

Ebenso haben die Dreiecke BOC und AOB eine gemeinsame Höhe, wenn wir die Segmente CO und OA als Basis nehmen. Dann ist S BOC /S AOB = CO/OA = k und S A O B = 1/k · S BOC .

Aus diesen beiden Sätzen folgt, dass S COD = S A O B.

Bleiben wir nicht bei der formulierten Aussage, sondern finden wir sie die Beziehung zwischen den Flächen der Dreiecke, in die das Trapez durch seine Diagonalen unterteilt wird. Dazu lösen wir das folgende Problem.

Punkt O sei der Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes ABCD mit den Basen BC und AD. Es ist bekannt, dass die Flächen der Dreiecke BOC und AOD gleich S 1 bzw. S 2 sind. Finden Sie die Fläche des Trapezes.

Da S COD = S A O B, dann ist S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke BOC und AOD folgt BO/OD = √(S₁/S 2).

Daher ist S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), was bedeutet, dass S COD = √(S 1 · S 2).

Dann ist S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Mit Hilfe der Ähnlichkeit wird das bewiesen Eigenschaft eines Segments, das durch den Schnittpunkt der Diagonalen eines Trapezes parallel zu den Basen verläuft.

Lassen Sie uns überlegen Aufgabe:

Punkt O sei der Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes ABCD mit den Basen BC und AD. BC = a, AD = b. Bestimmen Sie die Länge des Segments PK, das durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes parallel zu den Basen verläuft. Durch welche Segmente wird PK durch Punkt O geteilt (Abb. 4)?

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke AOD und BOC folgt AO/OC = AD/BC = b/a.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke AOP und ACB folgt AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Daher PO = BC b / (a + b) = ab/(a + b).

In ähnlicher Weise folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke DOK und DBC, dass OK = ab/(a + b).

Daher ist PO = OK und PK = 2ab/(a + b).

Die nachgewiesene Eigenschaft lässt sich also wie folgt formulieren: Ein Segment parallel zu den Basen des Trapezes, das durch den Schnittpunkt der Diagonalen verläuft und zwei Punkte an den Seiten verbindet, wird durch den Schnittpunkt der in zwei Hälften geteilt Diagonalen. Seine Länge ist das harmonische Mittel der Basen des Trapezes.

Nachfolgend Vier-Punkte-Eigenschaft: Bei einem Trapez liegen der Schnittpunkt der Diagonalen, der Schnittpunkt der Fortsetzung der Seiten, die Mittelpunkte der Basen des Trapezes auf derselben Linie.

Die Dreiecke BSC und ASD sind ähnlich (Abb. 5) und in jedem von ihnen teilen die Mediane ST und SG den Scheitelwinkel S in gleiche Teile. Daher liegen die Punkte S, T und G auf derselben Linie.

Ebenso liegen die Punkte T, O und G auf derselben Linie. Dies ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke BOC und AOD.

Das bedeutet, dass alle vier Punkte S, T, O und G auf derselben Geraden liegen.

Sie können auch die Länge des Segments ermitteln, das das Trapez in zwei ähnliche Segmente teilt.

Wenn die Trapeze ALFD und LBCF ähnlich sind (Abb. 6), dann ist a/LF = LF/b.

Daher ist LF = √(ab).

Somit hat ein Segment, das ein Trapez in zwei ähnliche Trapeze teilt, eine Länge, die dem geometrischen Mittel der Längen der Basen entspricht.

Lasst uns beweisen Eigenschaft eines Segments, das ein Trapez in zwei gleiche Flächen teilt.

Die Fläche des Trapezes sei S (Abb. 7). h 1 und h 2 sind Teile der Höhe und x ist die Länge des gewünschten Segments.

Dann ist S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 und

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Lasst uns ein System schaffen

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Auf diese Weise, die Länge des Segments, das das Trapez in zwei gleiche Teile teilt, ist gleich √((a 2 + b 2)/2)(mittleres Quadrat der Basislängen).

Für das Trapez ABCD mit den Basen AD und BC (BC = a, AD = b) haben wir also bewiesen, dass das Segment:

1) MN, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet, ist parallel zu den Basen und gleich ihrer Halbsumme (dem arithmetischen Mittel der Zahlen a und b);

2) PK, das durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes parallel zu den Basen verläuft, ist gleich
2ab/(a + b) (harmonisches Mittel der Zahlen a und b);

3) LF, das ein Trapez in zwei ähnliche Trapeze aufteilt, hat eine Länge gleich dem geometrischen Mittel der Zahlen a und b, √(ab);

4) EH, das ein Trapez in zwei gleiche Teile teilt, hat die Länge √((a 2 + b 2)/2) (der quadratische Mittelwert der Zahlen a und b).

Zeichen und Eigenschaft eines beschrifteten und umschriebenen Trapezes.

Eigenschaft eines beschrifteten Trapezes: Ein Trapez kann genau dann in einen Kreis eingeschrieben werden, wenn es gleichschenklig ist.

Eigenschaften des beschriebenen Trapezes. Ein Trapez lässt sich genau dann um einen Kreis beschreiben, wenn die Summe der Grundlängen gleich der Summe der Seitenlängen ist.

Nützliche Konsequenzen aus der Tatsache, dass ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben ist:

1. Die Höhe des umschriebenen Trapezes entspricht zwei Radien des eingeschriebenen Kreises.

2. Die Seite des umschriebenen Trapezes ist vom Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises im rechten Winkel sichtbar.

Das erste liegt auf der Hand. Um die zweite Folgerung zu beweisen, muss festgestellt werden, dass der Winkel COD richtig ist, was ebenfalls nicht schwierig ist. Aber wenn Sie diese Folgerung kennen, können Sie bei der Lösung von Problemen ein rechtwinkliges Dreieck verwenden.

Lassen Sie uns spezifizieren Folgerungen für ein gleichschenkliges umschriebenes Trapez:

Die Höhe eines gleichschenkligen umschriebenen Trapezes ist das geometrische Mittel der Basen des Trapezes
h = 2r = √(ab).

Die betrachteten Eigenschaften ermöglichen es Ihnen, das Trapez besser zu verstehen und mithilfe seiner Eigenschaften erfolgreich Probleme zu lösen.

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