Recherche de fonctions. Dans cet article, nous parlerons de problèmes dans lesquels les fonctions sont prises en compte et les conditions contiennent des questions liées à leur étude. Considérons les principaux points théoriques qu'il faut connaître et comprendre pour les résoudre.

Il s'agit de tout un groupe de problèmes inclus dans l'examen d'État unifié de mathématiques. Habituellement, la question consiste à trouver le maximum (minimum) de points ou à déterminer la plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction sur un intervalle donné.Considéré:

— Pouvoir et fonctions irrationnelles.

— Fonctions rationnelles.

— Etude d'œuvres et privées.

— Fonctions logarithmiques.

— Fonctions trigonométriques.

Si vous comprenez la théorie des limites, le concept de dérivée, les propriétés de la dérivée pour étudier les graphiques de fonctions et ses , alors de tels problèmes ne vous poseront aucune difficulté et vous les résoudrez facilement.

Les informations ci-dessous sont des points théoriques dont la compréhension vous permettra de comprendre comment résoudre de tels problèmes. J'essaierai de les présenter de manière à ce que même ceux qui ont manqué ce sujet ou qui l'ont mal étudié puissent résoudre de tels problèmes sans trop de difficultés.

Dans les problèmes de ce groupe, comme déjà mentionné, il est nécessaire de trouver soit le point minimum (maximum) de la fonction, soit la plus grande (la plus petite) valeur de la fonction sur l'intervalle.

Points minimum et maximum.Propriétés d'un dérivé.

Considérons le graphique de la fonction :

Le point A est le point maximum ; sur l'intervalle de O à A la fonction augmente, et sur l'intervalle de A à B elle diminue.

Le point B est le point minimum ; sur l'intervalle de A à B la fonction diminue, sur l'intervalle de B à C elle augmente.

En ces points (A et B), la dérivée devient nulle (égale à zéro).

Les tangentes en ces points sont parallèles à l'axe bœuf.

J'ajouterai que les points auxquels la fonction change de comportement de croissant à décroissant (et vice versa, de décroissant à croissant) sont appelés extrema.

Point important :

1. La dérivée à intervalles croissants a un signe positif (nLorsque vous remplacez une valeur d'un intervalle par sa dérivée, vous obtenez un nombre positif).

Cela signifie que si la dérivée à un certain point d'un certain intervalle a valeur positive, alors le graphique de la fonction augmente sur cet intervalle.

2. Sur des intervalles décroissants, la dérivée a signe négatif(lors de la substitution d'une valeur d'un intervalle dans l'expression dérivée, un nombre négatif est obtenu).

Cela signifie que si la dérivée à un certain point d'un certain intervalle a valeur négative, alors le graphique de la fonction diminue sur cet intervalle.

Il faut bien comprendre cela !!!

Ainsi, en calculant la dérivée et en l'assimilant à zéro, vous pouvez trouver des points qui divisent la droite numérique en intervalles.A chacun de ces intervalles, vous pouvez déterminer le signe de la dérivée puis tirer une conclusion sur son augmentation ou sa diminution.

*Une mention spéciale doit être faite sur les points auxquels la dérivée n'existe pas. Par exemple, on peut obtenir une dérivée dont le dénominateur disparaît à un certain x. Il est clair que pour un tel x la dérivée n’existe pas. Ce point doit donc également être pris en compte lors de la détermination des intervalles d'augmentation (diminution).

La fonction aux points où la dérivée est égale à zéro ne change pas toujours de signe. Il y aura un article séparé à ce sujet. Il n'y aura pas de telles tâches lors de l'examen d'État unifié lui-même.

Les propriétés ci-dessus sont nécessaires pour étudier le comportement d’une fonction croissante et décroissante.

Que devez-vous savoir d'autre pour résoudre les problèmes spécifiés : le tableau des dérivées et les règles de différenciation. Il n'y a aucun moyen sans cela. Il s’agit de connaissances de base sur le thème des produits dérivés. Produits dérivés fonctions élémentaires tu devrais le savoir parfaitement.

Calculer la dérivée d'une fonction complexef(g(x)), imaginez la fonctiong(x) c'est une variable puis calculez la dérivéef’(g(x)) en utilisant des formules tabulaires comme dérivée habituelle d'une variable. Multipliez ensuite le résultat par la dérivée de la fonctiong(x) .

Regardez le didacticiel vidéo de Maxim Semenikhin sur les fonctions complexes :

Problèmes de recherche de points maximum et minimum

Algorithme pour trouver les points maximum (minimum) d'une fonction :

1. Trouver la dérivée de la fonction f’(x).

2. Trouvez les zéros de la dérivée (en assimilant la dérivée à zéro f’(x)=0 et résoudre l'équation résultante). On trouve aussi des points où la dérivée n'existe pas(cela s'applique en particulier aux fonctions rationnelles fractionnaires).

3. Nous marquons les valeurs obtenues sur la droite numérique et déterminons les signes de la dérivée sur ces intervalles en substituant les valeurs des intervalles dans l'expression dérivée.

La conclusion sera l’une des deux :

1. Le point maximum est le pointdans lequel la dérivée change de valeur de positive à négative.

2. Le point minimum est le pointdans lequel la dérivée change sa valeur de négative à positive.

Problèmes pour trouver le plus grand ou valeur la plus basse

fonctionne sur un intervalle.

Dans un autre type de problème, il faut trouver la plus grande ou la plus petite valeur d’une fonction sur un intervalle donné.

Algorithme pour trouver la plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction :

1. Déterminez s’il y a un maximum (minimum) de points. Pour ce faire, on trouve la dérivée f’(x) , alors nous résolvons f’(x)=0 (points 1 et 2 de l'algorithme précédent).

2. Nous déterminons si les points obtenus appartiennent à l'intervalle donné et notons ceux qui se trouvent dans ses limites.

3. Nous substituons dans la fonction originale (non pas dans la dérivée, mais dans celle donnée dans la condition) les limites de l'intervalle donné et les points (maximum-minimum) situés dans l'intervalle (élément 2).

4. Calculez les valeurs de la fonction.

5. Nous sélectionnons la valeur la plus grande (la plus petite) parmi celles obtenues, en fonction de la question posée dans le problème, puis notons la réponse.

Question : pourquoi est-il nécessaire de rechercher le maximum (minimum) de points dans les problèmes de recherche de la plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction ?

La meilleure façon d’illustrer cela est de regarder la représentation schématique des graphiques des fonctions spécifiées :

Dans les cas 1 et 2, il suffit de substituer les limites de l'intervalle pour déterminer la plus grande ou la plus petite valeur de la fonction. Dans les cas 3 et 4, il faut retrouver les zéros de la fonction (points maximum-minimum). Si nous substituons les limites de l'intervalle (sans trouver les zéros de la fonction), nous obtiendrons la mauvaise réponse, cela peut être vu sur les graphiques.

Et le problème est que, étant donné une fonction donnée, nous ne pouvons pas voir à quoi ressemble le graphique sur l'intervalle (s'il a un maximum ou un minimum dans l'intervalle). Assurez-vous donc de trouver les zéros de la fonction !!!

Si l'équation f'(x)=0 n'aura pas de solution, cela signifie qu'il n'y a pas de points maximum-minimum (Figure 1,2), et pour trouver le problème posé, on substitue uniquement les limites de l'intervalle dans cette fonction.

Un autre point important. N'oubliez pas que la réponse doit être un nombre entier ou fini décimal. Lorsque vous calculez les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction, vous obtiendrez des expressions e et pi, ainsi que des expressions racine. N'oubliez pas que vous n'avez pas besoin de les calculer complètement et qu'il est clair que le résultat de telles expressions ne sera pas la réponse. Si vous souhaitez calculer une telle valeur, faites-le (nombres : e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

J'ai beaucoup écrit, peut-être que je me suis trompé ? Par exemples spécifiques vous verrez que tout est simple.

Ensuite, je veux te dire petit secret. Le fait est que de nombreux problèmes peuvent être résolus sans connaissance des propriétés de la dérivée et même sans règles de différenciation. Je vais certainement vous parler de ces nuances et vous montrer comment procéder ? ne le manquez pas !

Mais alors pourquoi ai-je présenté la théorie et dit aussi qu'il était nécessaire de la connaître. C'est vrai, vous devez savoir. Si vous le comprenez, aucun problème dans ce sujet ne vous déroutera.

Les « astuces » que vous découvrirez vous aideront à résoudre des problèmes spécifiques (certains) de prototypes. Àeak outil supplémentaire Ces techniques sont bien entendu pratiques à utiliser. Le problème peut être résolu 2 à 3 fois plus rapidement et gagner du temps sur la résolution de la partie C.

Tous mes vœux!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Contenu de l'article

DÉRIVÉ– dérivée de la fonction oui = f(x), donné sur un certain intervalle ( un, b) au point x de cet intervalle est appelée la limite vers laquelle tend le rapport de l'incrément de la fonction fà ce stade à l'incrément correspondant de l'argument lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro.

La dérivée est généralement notée comme suit :

D'autres désignations sont également largement utilisées :

Vitesse instantanée.

Laissons le point M se déplace en ligne droite. Distance s point mobile, compté à partir d'une position initiale M 0 , ça dépend du temps t, c'est-à-dire s il y a une fonction du temps t: s= f(t). Laissez à un moment donné t point en mouvement Métait à distance s depuis la position de départ M 0, et à certains l'instant suivant t+D t s'est retrouvée dans une position M 1 – à distance s+D sà partir de la position initiale ( voir photo.).

Ainsi, sur une période de temps D t distance s modifié du montant D s. Dans ce cas, on dit que pendant l'intervalle de temps D t ampleur s incrément reçu D s.

La vitesse moyenne ne peut pas dans tous les cas caractériser avec précision la vitesse de déplacement d'un point Mà un moment donné t. Si, par exemple, le corps au début de l'intervalle D t s'est déplacé très vite, et à la fin très lentement, puis vitesse moyenne ne sera pas en mesure de refléter les caractéristiques spécifiées du mouvement de la pointe et de donner une idée de la véritable vitesse de son mouvement pour le moment t. Pour exprimer plus précisément la vitesse réelle en utilisant la vitesse moyenne, vous devez prendre une période de temps plus courte D t. Caractérise le plus complètement la vitesse de déplacement d'un point à l'heure actuelle t la limite vers laquelle tend la vitesse moyenne en D t® 0. Cette limite est appelée vitesse actuelle :

Ainsi, la vitesse de déplacement à un instant donné est appelée limite du rapport d'incrémentation de trajectoire D sà l'incrément de temps D t, lorsque l'incrément de temps tend vers zéro. Parce que

Signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphique d'une fonction.

La construction des tangentes est l’un de ces problèmes qui ont conduit à la naissance du calcul différentiel. Le premier ouvrage publié lié au calcul différentiel, écrit par Leibniz, s'intitulait Nouvelle méthode les maxima et les minima, ainsi que les tangentes, pour lesquelles ni les quantités fractionnaires ni irrationnelles, ni un type particulier de calcul pour cela, ne constituent un obstacle.

Laissez la courbe être le graphique de la fonction oui =f(x)V système rectangulaire coordonnées ( cm. riz.).

À une certaine valeur x la fonction compte oui =f(x). Ces valeurs x Et oui le point sur la courbe correspond M 0(x, oui). Si l'argument x donner incrément D x, alors la nouvelle valeur de l'argument x+D x correspond à la nouvelle valeur de la fonction y+ D oui = f(x + D x). Le point correspondant de la courbe sera le point M 1(x+D x,oui+D oui). Si vous dessinez une sécante M 0M 1 et noté j l'angle formé par une transversale avec la direction positive de l'axe Bœuf, d'après la figure, il ressort immédiatement que .

Si maintenant D x tend vers zéro, alors le point M 1 se déplace le long de la courbe, se rapprochant du point M 0 et angle j change avec D x. À Dx® 0 l'angle j tend vers une certaine limite a et la droite passant par le point M 0 et la composante avec la direction positive de l'axe des x, l'angle a, sera la tangente souhaitée. Sa pente est :

Ainsi, f´( x) = tga

ceux. valeur dérivée f´( x) à valeur donnée argument x est égal à la tangente de l'angle formé par la tangente au graphique de la fonction f(x) au point correspondant M 0(x,oui) avec direction d'axe positive Bœuf.

Différentiabilité des fonctions.

Définition. Si la fonction oui = f(x) a une dérivée au point x = x 0, alors la fonction est différentiable à ce stade.

Continuité d'une fonction ayant une dérivée. Théorème.

Si la fonction oui = f(x) est différentiable à un moment donné x = x 0, alors il est continu à ce stade.

Ainsi, la fonction ne peut pas avoir de dérivée aux points de discontinuité. La conclusion opposée est incorrecte, c'est-à-dire du fait qu'à un moment donné x = x 0 fonction oui = f(x) est continue ne signifie pas qu'elle est différentiable à ce stade. Par exemple, la fonction oui = |x| continu pour tout le monde x(–Ґ x x = 0 n'a pas de dérivée. À ce stade, il n'y a pas de tangente au graphique. Il y a une tangente droite et une tangente gauche, mais elles ne coïncident pas.

Quelques théorèmes sur les fonctions différentiables. Théorème sur les racines de la dérivée (théorème de Rolle). Si la fonction f(x) est continu sur le segment [un,b], est différenciable en tout points internes de ce segment et aux extrémités x = un Et x = b va à zéro ( f(un) = f(b) = 0), puis à l'intérieur du segment [ un,b] il y a au moins un point x= Avec, un c b, dans lequel la dérivée fў( x) tend vers zéro, c'est-à-dire fў( c) = 0.

Théorème de l'incrément fini (théorème de Lagrange). Si la fonction f(x) est continue sur l'intervalle [ un, b] et est différentiable en tous points intérieurs de ce segment, puis à l'intérieur du segment [ un, b] il y a au moins un point Avec, un c b ça

f(b) – f(un) = fў( c)(b– un).

Théorème sur le rapport des incréments de deux fonctions (théorème de Cauchy). Si f(x) Et g(x) – deux fonctions continues sur le segment [un, b] et différentiable en tous les points intérieurs de ce segment, et gў( x) ne disparaît nulle part à l'intérieur de ce segment, puis à l'intérieur du segment [ un, b] il y a un tel point x = Avec, un c b ça

Dérivés de diverses commandes.

Laissez la fonction oui =f(x) est différentiable sur un certain intervalle [ un, b]. Valeurs dérivées f ў( x), d’une manière générale, dépendent de x, c'est-à-dire dérivé f ў( x) est également fonction de x. En différenciant cette fonction, on obtient ce qu'on appelle la dérivée seconde de la fonction f(x), ce qui est noté f ўў ( x).

Dérivé n-ème ordre de fonction f(x) est appelée la dérivée (du premier ordre) de la dérivée n- 1- e et est désigné par le symbole oui(n) = (oui(n– 1))ў.

Différentiels de divers ordres.

Fonction différentielle oui = f(x), Où x– variable indépendante, oui mourir = f ў( x)dx, certaines fonctions de x, mais de x seul le premier facteur peut dépendre f ў( x), le deuxième facteur ( dx) est l'incrément de la variable indépendante x et ne dépend pas de la valeur de cette variable. Parce que mourir il y a une fonction de x, alors nous pouvons déterminer la différentielle de cette fonction. La différentielle de la différentielle d'une fonction est appelée différentielle du second ordre ou différentielle du second ordre de cette fonction et est notée d 2oui:

d(dx) = d 2oui = f ўў( x)(dx) 2 .

Différentiel n- du premier ordre est appelé la première différentielle du différentiel n- 1- ème commande:

jn o = d(dn–1oui) = f(n)(x)dx(n).

Dérivée partielle.

Si une fonction ne dépend pas d'un, mais de plusieurs arguments x je(je varie de 1 à n,je= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… xn), puis dans le calcul différentiel est introduit le concept de dérivée partielle, qui caractérise le taux de changement d'une fonction de plusieurs variables lorsqu'un seul argument change, par exemple, x je. dérivée partielle du 1er ordre par rapport à x je est défini comme une dérivée ordinaire, et on suppose que tous les arguments sauf x je, gardez des valeurs constantes. Pour les dérivées partielles, la notation est introduite

Les dérivées partielles du 1er ordre ainsi définies (en fonction des mêmes arguments) peuvent, à leur tour, avoir aussi des dérivées partielles, ce sont des dérivées partielles du second ordre, etc. De telles dérivées tirées d'arguments différents sont dites mixtes. Les dérivées mixtes continues du même ordre ne dépendent pas de l'ordre de différenciation et sont égales les unes aux autres.

Anna Tchougainova

Définition. Laissez la fonction \(y = f(x)\) être définie dans un certain intervalle contenant le point \(x_0\) à l'intérieur. Donnons à l'argument un incrément \(\Delta x \) tel qu'il ne quitte pas cet intervalle. Trouvons l'incrément correspondant de la fonction \(\Delta y \) (lors du passage du point \(x_0 \) au point \(x_0 + \Delta x \)) et composons la relation \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). S'il existe une limite à ce rapport à \(\Delta x \rightarrow 0\), alors la limite spécifiée est appelée dérivée d'une fonction\(y=f(x) \) au point \(x_0 \) et notons \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Le symbole y est souvent utilisé pour désigner la dérivée." Notez que y" = f(x) est nouvelle fonctionnalité, mais naturellement associé à la fonction y = f(x), définie en tous les points x auxquels la limite ci-dessus existe. Cette fonction s'appelle ainsi : dérivée de la fonction y = f(x).

Signification géométrique dérivé est la suivante. S'il est possible de tracer une tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point d'abscisse x=a, qui n'est pas parallèle à l'axe y, alors f(a) exprime la pente de la tangente :
\(k = f"(a)\)

Puisque \(k = tg(a) \), alors l'égalité \(f"(a) = tan(a) \) est vraie.

Interprétons maintenant la définition de la dérivée du point de vue des égalités approximatives. Soit la fonction \(y = f(x)\) avoir une dérivée en un point spécifique \(x\) :
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Cela signifie que près du point x l'égalité approximative \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), c'est-à-dire \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Deltax\). La signification significative de l'égalité approximative résultante est la suivante : l'incrément de la fonction est « presque proportionnel » à l'incrément de l'argument, et le coefficient de proportionnalité est la valeur de la dérivée en un point donné x. Par exemple, pour la fonction \(y = x^2\) l'égalité approximative \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) est valide. Si nous analysons attentivement la définition d'une dérivée, nous constaterons qu'elle contient un algorithme pour la trouver.

Formulons-le.

Comment trouver la dérivée de la fonction y = f(x) ?

1. Corrigez la valeur de \(x\), recherchez \(f(x)\)
2. Donnez à l'argument \(x\) un incrément \(\Delta x\), allez à un nouveau point \(x+ \Delta x \), trouvez \(f(x+ \Delta x) \)
3. Trouvez l'incrément de la fonction : \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Créez la relation \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calculez $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Cette limite est la dérivée de la fonction au point x.

Si une fonction y = f(x) a une dérivée en un point x, alors elle est dite différentiable en un point x. La procédure pour trouver la dérivée de la fonction y = f(x) s'appelle différenciation fonctions y = f(x).

Discutons de la question suivante : comment la continuité et la différentiabilité d'une fonction en un point sont-elles liées l'une à l'autre ?

Soit la fonction y = f(x) être dérivable au point x. Ensuite, une tangente peut être tracée au graphique de la fonction au point M(x; f(x)), et, rappelons-le, le coefficient angulaire de la tangente est égal à f "(x). Un tel graphique ne peut pas « casser » au point M, c'est-à-dire que la fonction doit être continue au point x.

Il s’agissait d’arguments « pratiques ». Donnons un raisonnement plus rigoureux. Si la fonction y = f(x) est dérivable au point x, alors l'égalité approximative \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) est vraie. Si dans cette égalité \(\Delta x \) tend vers zéro, alors \(\Delta y \) tendra vers zéro, et c'est la condition de continuité de la fonction en un point.

Donc, si une fonction est différentiable en un point x, alors elle est continue en ce point.

L’affirmation inverse n’est pas vraie. Par exemple : fonction y = |x| est continue partout, notamment au point x = 0, mais la tangente au graphe de la fonction au « point de jonction » (0 ; 0) n'existe pas. Si, à un moment donné, une tangente ne peut pas être tracée au graphique d’une fonction, alors la dérivée n’existe pas à ce point.

Un autre exemple. La fonction \(y=\sqrt(x)\) est continue sur toute la droite numérique, y compris au point x = 0. Et la tangente au graphique de la fonction existe en tout point, y compris au point x = 0. . Mais à ce stade, la tangente coïncide avec l'axe y, c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, son équation a la forme x = 0. Une telle ligne droite n'a pas de coefficient d'angle, ce qui signifie que \(f. "(0)\) n'existe pas.

Ainsi, nous avons fait connaissance avec une nouvelle propriété d'une fonction : la différentiabilité. Comment peut-on conclure du graphe d’une fonction qu’elle est dérivable ?

La réponse est effectivement donnée ci-dessus. Si, à un moment donné, il est possible de tracer une tangente au graphique d'une fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade, la fonction est dérivable. Si à un moment donné la tangente au graphique d'une fonction n'existe pas ou si elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade la fonction n'est pas dérivable.

Règles de différenciation

L'opération de recherche de la dérivée s'appelle différenciation. Lors de l'exécution de cette opération, vous devez souvent travailler avec des quotients, des sommes, des produits de fonctions, ainsi que des « fonctions de fonctions », c'est-à-dire des fonctions complexes. Sur la base de la définition de la dérivée, nous pouvons dériver des règles de différenciation qui facilitent ce travail. Si C est un nombre constant et f=f(x), g=g(x) sont des fonctions différentiables, alors ce qui suit est vrai règles de différenciation:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg") (g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg") (g^2) $$ Dérivée d'une fonction complexe :
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tableau des dérivées de certaines fonctions

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Dérivée d'une fonction d'une variable.

Introduction.

Réel évolutions méthodologiques destiné aux étudiants de la Faculté de génie industriel et civil. Ils ont été compilés en relation avec le programme du cours de mathématiques dans la section « Calcul différentiel des fonctions à une variable ».

Les développements représentent un guide méthodologique unique, comprenant : de brèves informations théoriques ; problèmes et exercices « standards » avec des solutions détaillées et des explications de ces solutions ; options de tests.

Il y a des exercices supplémentaires à la fin de chaque paragraphe. Cette structure de développements les rend adaptés à une maîtrise indépendante de la section avec une assistance minimale de l'enseignant.

§1. Définition du dérivé.

Signification mécanique et géométrique

dérivé.

Le concept de dérivée est l'un des concepts les plus importants de l'analyse mathématique. Il est apparu au XVIIe siècle. La formation du concept de dérivée est historiquement associée à deux problèmes : le problème de la vitesse du mouvement alternatif et le problème de la tangente à une courbe.

Ces problèmes, malgré leurs contenus différents, conduisent à la même opération mathématique qui doit être effectuée sur une fonction. Cette opération a reçu un nom spécial en mathématiques. C'est ce qu'on appelle l'opération de différenciation d'une fonction. Le résultat de l’opération de différenciation est appelé la dérivée.

Ainsi, la dérivée de la fonction y=f(x) au point x0 est la limite (si elle existe) du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument
à
.

La dérivée est généralement notée comme suit :
.

Ainsi, par définition

Les symboles sont également utilisés pour désigner les dérivés
.

Signification mécanique du dérivé.

Si s=s(t) est la loi du mouvement rectiligne d'un point matériel, alors
est la vitesse de ce point au temps t.

Signification géométrique de la dérivée.

Si la fonction y=f(x) a une dérivée au point , puis le coefficient angulaire de la tangente au graphique de la fonction au point
est égal
.

Exemple.

Trouver la dérivée de la fonction
au point =2:

1) Donnons un point =2 incrément
. Noter que.

2) Trouver l'incrément de la fonction au point =2:

3) Créons le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument :

Trouvons la limite du rapport à
:

.

Ainsi,
.

§ 2. Dérivés de certains

fonctions les plus simples.

L'étudiant doit apprendre à calculer les dérivées de fonctions spécifiques : y=x,y= et en général = .

Trouvons la dérivée de la fonction y=x.

ceux. (x)'=1.

Trouvons la dérivée de la fonction

Dérivé

Laisser
Alors

Il est facile de remarquer une tendance dans les expressions des dérivées de la fonction puissance
avec n=1,2,3.

Ainsi,

. (1)

Cette formule est valable pour tout réel n.

En particulier, en utilisant la formule (1), on a :

;

.

Exemple.

Trouver la dérivée de la fonction

.

.

Cette fonction est un cas particulier d'une fonction de la forme

à
.

En utilisant la formule (1), nous avons

.

Dérivées des fonctions y=sin x et y=cos x.

Soit y=sinx.

Divisez par ∆x, nous obtenons

En passant à la limite en ∆x→0, on a

Soit y = cosx.

En passant à la limite en ∆x→0, on obtient

;
. (2)

§3. Règles de base de différenciation.

Considérons les règles de différenciation.

Théorème1 . Si les fonctions u=u(x) et v=v(x) sont dérivables en un point donnéx, alors à ce stade leur somme est également dérivable, et la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées des termes : (u+v)"=u"+v".(3 )

Preuve : considérons la fonction y=f(x)=u(x)+v(x).

L'incrément ∆x de l'argument x correspond aux incréments ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) des fonctions u et v. Alors la fonction y augmentera

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Ainsi,

Donc, (u+v)"=u"+v".

Théorème2. Si les fonctions u=u(x) et v=v(x) sont dérivables en un point donnéx, alors leur produit est dérivable en ce même point. Dans ce cas, la dérivée du produit se trouve par la formule suivante : ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Preuve : Soit y=uv, où u et v sont des fonctions différentiables de x. Donnons à x un incrément de ∆x ; alors u recevra un incrément de ∆u, v recevra un incrément de ∆v et y recevra un incrément de ∆y.

On a y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ou

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Par conséquent, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

D'ici

En passant à la limite en ∆x→0 et en tenant compte du fait que u et v ne dépendent pas de ∆x, on aura

Théorème 3. La dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le dénominateur est égal au carré du diviseur, et le numérateur est la différence entre le produit de la dérivée du dividende et du diviseur et le produit du dividende et la dérivée du diviseur, c'est-à-dire

Si
Que
(5)

Théorème 4. La dérivée d'une constante est nulle, c'est-à-dire si y=C, où C=const, alors y"=0.

Théorème 5. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée, c'est-à-dire si y=Cu(x), où С=const, alors y"=Cu"(x).

Exemple 1.

Trouver la dérivée de la fonction

.

Cette fonction a la forme
, oùu=x,v=cosx. En appliquant la règle de différenciation (4), on trouve

.

Exemple 2.

Trouver la dérivée de la fonction

.

Appliquons la formule (5).

Ici
;
.

Tâches.

Trouvez les dérivées des fonctions suivantes :

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L’opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation.

À la suite de la résolution des problèmes de recherche de dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau de dérivées est apparu et exactement certaines règles différenciation. Les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés furent Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, vous n'avez pas besoin de calculer la limite mentionnée ci-dessus du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il vous suffit d'utiliser le tableau de dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.

Pour trouver la dérivée, il vous faut une expression sous le signe premier décomposer des fonctions simples en composants et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. Ensuite, on retrouve les dérivées des fonctions élémentaires dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, de la somme et du quotient - dans les règles de différenciation. La table des dérivées et les règles de différenciation sont données après les deux premiers exemples.

Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. À partir des règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de fonctions, c'est-à-dire

À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée de "x" est égale à un et que la dérivée du sinus est égale au cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :

Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. On différencie comme dérivée d'une somme dont le deuxième terme a un facteur constant il peut être soustrait du signe de la dérivée :

Si des questions se posent encore quant à l'origine de quelque chose, elles sont généralement résolues après familiarisation avec le tableau des dérivées et les règles de différenciation les plus simples. Nous passons à eux en ce moment.

Tableau des dérivées de fonctions simples

1. Dérivée d'une constante (nombre). N'importe quel nombre (1, 2, 5, 200...) présent dans l'expression de fonction. Toujours égal à zéro. Il est très important de s’en souvenir, car cela est très souvent nécessaire.
2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent « X ». Toujours égal à un. Il est également important de s'en souvenir longtemps
3. Dérivé du degré. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir des racines non carrées en puissances.
4. Dérivée d'une variable à la puissance -1
5. Dérivé racine carrée
6. Dérivée du sinus
7. Dérivée du cosinus
8. Dérivée de la tangente
9. Dérivée de cotangente
10. Dérivée de l'arc sinus
11. Dérivée de l'arc cosinus
12. Dérivée de l'arctangente
13. Dérivée de l'arc cotangent
14. Dérivée du logarithme népérien
15. Dérivée d'une fonction logarithmique
16. Dérivée de l'exposant
17. Dérivée d'une fonction exponentielle

Règles de différenciation

1. Dérivée d'une somme ou d'une différence
2. Dérivé du produit
2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant
3. Dérivée du quotient
4. Dérivée d'une fonction complexe

Règle 1.Si les fonctions

sont différentiables à un moment donné, alors les fonctions sont différentiables au même point

et

ceux. la dérivée d'une somme algébrique de fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions.

Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par un terme constant, alors leurs dérivées sont égales, c'est-à-dire

Règle 2.Si les fonctions

sont différentiables à un moment donné, alors leur produit est différentiable au même point

et

ceux. La dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et de la dérivée de l'autre.

Corollaire 1. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée:

Corollaire 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chaque facteur et de tous les autres.

Par exemple, pour trois multiplicateurs :

Règle 3.Si les fonctions

différenciable à un moment donné Et , alors à ce stade leur quotient est également dérivableu/v, et

ceux. la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et le numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur.

Où chercher des choses sur d'autres pages

Pour trouver la dérivée d'un produit et d'un quotient dans des problèmes réels, il est toujours nécessaire d'appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, il y a donc plus d'exemples sur ces dérivées dans l'article"Dérivée du produit et quotient des fonctions".

Commentaire. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme dans une somme et comme un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est soustraite du signe des dérivées. Ce erreur typique, ce qui se produit au stade initial de l'étude des dérivées, mais à mesure que l'étudiant moyen résout plusieurs exemples en une ou deux parties, il ne commet plus cette erreur.

Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous disposez d'un terme toi"v, dans lequel toi- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (ce cas est abordé dans l'exemple 10).

Autre erreur courante- solution mécanique de la dérivée d'une fonction complexe comme dérivée d'une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe un article séparé est consacré. Mais nous allons d’abord apprendre à trouver les dérivées de fonctions simples.

En chemin, on ne peut pas se passer de transformer les expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir le manuel dans une nouvelle fenêtre. Des actions avec des pouvoirs et des racines Et Opérations avec des fractions .

Si vous cherchez des solutions aux dérivées de fractions avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis suivez la leçon « Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines ».

Si vous avez une tâche comme , alors vous suivrez la leçon « Dérivées de fonctions trigonométriques simples ».

Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée

Exemple 3. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous définissons les parties de l'expression de fonction : l'expression entière représente un produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre :

Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme le deuxième terme a un signe moins. Dans chaque somme, nous voyons à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, « X » devient un et moins 5 devient zéro. Dans la deuxième expression, « x » est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de « x ». On obtient les valeurs dérivées suivantes :

Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :

Exemple 4. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous devons trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différenciation du quotient : la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l’ancien numérateur. On obtient :

Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel, est pris avec un signe moins :

Si vous cherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de puissances, comme, par exemple, , alors bienvenue en classe "Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines" .

Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors une leçon pour toi "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .

Exemple 5. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, nous voyons un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous avons pris connaissance de la dérivée dans le tableau des dérivées. Selon la règle de différenciation du produit et valeur du tableau dérivée de la racine carrée on obtient :

Exemple 6. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction on voit un quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. En utilisant la règle de différenciation des quotients, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulée de la dérivée de la racine carrée, on obtient :

Pour supprimer une fraction du numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par .