Un graphe de fonction est une représentation visuelle du comportement d'une fonction sur un plan de coordonnées. Les graphiques vous aident à comprendre divers aspects fonctions qui ne peuvent pas être déterminées à partir de la fonction elle-même. Vous pouvez créer des graphiques de nombreuses fonctions, et chacune d'elles sera donnée une certaine formule. Le graphique de n'importe quelle fonction est construit à l'aide d'un algorithme spécifique (si vous avez oublié le processus exact de représentation graphique d'une fonction spécifique).

Mesures

Représenter graphiquement une fonction linéaire

Déterminez si la fonction est linéaire. La fonction linéaire est donnée par une formule de la forme F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ou y = k X + b (\ displaystyle y = kx + b)(par exemple, ), et son graphique est une ligne droite. Ainsi, la formule comprend une variable et une constante (constante) sans aucun exposant, signe racine ou autre. Si une fonction d’un type similaire est donnée, il est assez simple de tracer un graphique d’une telle fonction. Voici d'autres exemples de fonctions linéaires :

Utilisez une constante pour marquer un point sur l'axe Y. La constante (b) est la coordonnée « y » du point où le graphique coupe l'axe Y, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un point dont la coordonnée « x » est égale à 0. Ainsi, si x = 0 est substitué dans la formule. , alors y = b (constante). Dans notre exemple y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5) la constante est égale à 5, c'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe Y a les coordonnées (0,5). Tracez ce point sur le plan de coordonnées.

Trouvez la pente de la droite. Il est égal au multiplicateur de la variable. Dans notre exemple y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5) avec la variable « x » il y a un facteur 2 ; ainsi, le coefficient de pente est égal à 2. Le coefficient de pente détermine l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe X, c'est-à-dire que plus le coefficient de pente est grand, plus la fonction augmente ou diminue rapidement.

Écrivez la pente sous forme de fraction. Le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison, c'est-à-dire le rapport de la distance verticale (entre deux points sur une droite) à la distance horizontale (entre les mêmes points). Dans notre exemple, la pente est de 2, nous pouvons donc affirmer que la distance verticale est de 2 et la distance horizontale est de 1. Écrivez ceci sous forme de fraction : 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Si la pente est négative, la fonction est décroissante.

1. À partir du point où la ligne droite coupe l'axe Y, tracez un deuxième point en utilisant les distances verticales et horizontales.

   Une fonction linéaire peut être représentée graphiquement à l’aide de deux points. Dans notre exemple, le point d'intersection avec l'axe Y a pour coordonnées (0,5) ; À partir de ce point, déplacez-vous de 2 cases vers le haut puis d’1 case vers la droite. Marquez un point ; il aura les coordonnées (1,7). Vous pouvez maintenant tracer une ligne droite.À l’aide d’une règle, tracez une ligne droite passant par deux points.

Pour éviter les erreurs, trouvez le troisième point, mais dans la plupart des cas, le graphique peut être tracé en utilisant deux points. Ainsi, vous avez tracé une fonction linéaire.

Représenter graphiquement une fonction complexe Trouvez les zéros de la fonction.

Les zéros d'une fonction sont les valeurs de la variable x où y = 0, c'est-à-dire que ce sont les points où le graphique coupe l'axe X. Gardez à l'esprit que toutes les fonctions n'ont pas de zéros, mais ce sont les premières. étape dans le processus de représentation graphique d’une fonction. Pour trouver les zéros d’une fonction, assimilez-la à zéro. Par exemple: Trouvez et marquez les asymptotes horizontales. Une asymptote est une ligne que le graphique d'une fonction approche mais ne coupe jamais (c'est-à-dire que dans cette région, la fonction n'est pas définie, par exemple lors d'une division par 0). Marquez l'asymptote avec une ligne pointillée. Si la variable « x » est au dénominateur d'une fraction (par exemple, y = 1 4 − X 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2)))) ), mettez le dénominateur à zéro et trouvez « x ». Dans les valeurs obtenues de la variable « x », la fonction n'est pas définie (dans notre exemple, tracez des lignes pointillées passant par x = 2 et x = -2), car vous ne pouvez pas diviser par 0. Mais les asymptotes n'existent pas seulement dans les cas où la fonction contient expression fractionnaire . Il est donc recommandé d'utiliser:

1. bon sens Trouvez les coordonnées de plusieurs points et tracez-les sur le plan de coordonnées. Sélectionnez simplement plusieurs valeurs x et branchez-les dans la fonction pour trouver les valeurs y correspondantes. Tracez ensuite les points sur le plan de coordonnées. Plus la fonction est complexe, plus plus de points

   • doivent être trouvés et appliqués. Dans la plupart des cas, remplacez x = -1 ; x = 0 ; x = 1, mais si la fonction est complexe, trouvez trois points de chaque côté de l'origine. En cas de fonction y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6) branchez les valeurs x suivantes : -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Vous obtiendrez quantité suffisante
   • points. Choisissez judicieusement vos valeurs x. Dans notre exemple, il est facile de comprendre que signe négatif
3. n'a pas d'importance : la valeur de « y » à x = 10 et à x = -10 sera la même. Si vous ne savez pas quoi faire, commencez par la substitution de fonction"x" pour retrouver les valeurs "y" (et donc les coordonnées des points). Théoriquement, un graphique d'une fonction peut être construit en utilisant uniquement cette méthode (si, bien sûr, on y substitue une variété infinie de valeurs « x »).

Considérons la fonction y=k/y. Le graphique de cette fonction est une droite, appelée hyperbole en mathématiques. Vue générale les hyperboles sont représentées dans la figure ci-dessous. (Le graphique montre la fonction y est égale à k divisée par x, pour laquelle k est égal à un.)

On peut voir que le graphique se compose de deux parties. Ces parties sont appelées branches de l'hyperbole. Il convient également de noter que chaque branche de l'hyperbole se rapproche dans l'une des directions de plus en plus proches des axes de coordonnées. Les axes de coordonnées dans ce cas sont appelés asymptotes.

En général, toutes les droites dont le graphique d’une fonction s’approche à l’infini mais ne les atteignent pas sont appelées asymptotes. Une hyperbole, comme une parabole, a des axes de symétrie. Pour l'hyperbole illustrée dans la figure ci-dessus, il s'agit de la droite y=x.

Parlons maintenant de deux cas généraux hyperbole. Le graphe de la fonction y = k/x, pour k ≠0, sera une hyperbole dont les branches sont situées soit dans les premier et troisième angles de coordonnées, pour k>0, soit dans les deuxième et quatrième angles de coordonnées, fourchette<0.

Propriétés de base de la fonction y = k/x, pour k>0

Graphique de la fonction y = k/x, pour k>0

5. y>0 à x>0 ; y6. La fonction décroît à la fois sur l'intervalle (-∞;0) et sur l'intervalle (0;+∞).

10. La plage de valeurs de la fonction est composée de deux intervalles ouverts (-∞;0) et (0;+∞).

Propriétés de base de la fonction y = k/x, pour k<0

Graphique de la fonction y = k/x, en k<0

1. Le point (0;0) est le centre de symétrie de l'hyperbole.

2. Axes de coordonnées - asymptotes de l'hyperbole.

4. Le domaine de définition de la fonction est tout x sauf x=0.

5. y>0 à x0.

6. La fonction augmente à la fois sur l'intervalle (-∞;0) et sur l'intervalle (0;+∞).

7. La fonction n'est limitée ni par le bas ni par le haut.

8. Une fonction n’a ni valeur maximale ni valeur minimale.

9. La fonction est continue sur l'intervalle (-∞;0) et sur l'intervalle (0;+∞). A un écart à x=0.

Ce matériel pédagogique est fourni à titre indicatif uniquement et concerne un large éventail de sujets. L'article donne un aperçu des graphiques des fonctions élémentaires de base et considère la question la plus importante : comment construire un graphique correctement et RAPIDEMENT. Au cours d'études de mathématiques supérieures sans connaissance des graphiques de base fonctions élémentaires Ce sera difficile, il est donc très important de se rappeler à quoi ressemblent les graphiques d'une parabole, d'une hyperbole, d'un sinus, d'un cosinus, etc., et de se souvenir de certaines valeurs de fonction. Nous parlerons également de certaines propriétés des fonctions principales.

Je ne prétends pas à l'exhaustivité et à la rigueur scientifique des matériaux ; l'accent sera mis avant tout sur la pratique - ces choses avec lesquelles on rencontre littéralement à chaque étape, dans n'importe quel sujet de mathématiques supérieures. Des graphiques pour les nuls ? On pourrait le dire.

En raison de nombreuses demandes de lecteurs table des matières cliquable:

De plus, il y a un résumé ultra-court sur le sujet
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Sérieusement, six, même moi j'ai été surpris. Ce résumé contient des graphiques améliorés et est disponible moyennant des frais minimes ; une version de démonstration peut être consultée. Il est pratique d'imprimer le fichier pour que les graphiques soient toujours à portée de main. Merci de soutenir le projet !

Et commençons tout de suite :

Comment construire correctement les axes de coordonnées ?

En pratique, les tests sont presque toujours complétés par les étudiants dans des cahiers séparés, alignés en carré. Pourquoi avez-vous besoin de marquages ​​à carreaux ? Après tout, le travail peut en principe être effectué sur des feuilles A4. Et la cage est nécessaire uniquement pour une conception précise et de haute qualité des dessins.

Tout dessin d'un graphe de fonctions commence par des axes de coordonnées.

Les dessins peuvent être en deux ou trois dimensions.

Considérons d'abord le cas bidimensionnel Système de coordonnées rectangulaires cartésiennes:

1) Dessinez des axes de coordonnées. L'axe s'appelle axe x , et l'axe est axe y . Nous essayons toujours de les dessiner soigné et pas tordu. Les flèches ne doivent pas non plus ressembler à la barbe de Papa Carlo.

2) On signe les axes avec les grosses lettres « X » et « Y ». N'oubliez pas d'étiqueter les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes : dessine un zéro et deux un. Lors de la réalisation d'un dessin, l'échelle la plus pratique et la plus fréquemment utilisée est : 1 unité = 2 cellules (dessin à gauche) - si possible, respectez-la. Cependant, il arrive de temps en temps que le dessin ne rentre pas sur la feuille du cahier - alors on réduit l'échelle : 1 unité = 1 cellule (dessin à droite). C'est rare, mais il arrive que l'échelle du dessin doive être réduite (ou augmentée) encore plus

Il n'y a PAS BESOIN de « mitrailleuse »…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Car le plan coordonné n’est pas un monument à Descartes, et l’étudiant n’est pas une colombe. Nous mettons zéro Et deux unités le long des axes. Parfois au lieu de unités, il est pratique de « marquer » d'autres valeurs, par exemple « deux » sur l'axe des abscisses et « trois » sur l'axe des ordonnées - et ce système (0, 2 et 3) définira également de manière unique la grille de coordonnées.

Il est préférable d'estimer les dimensions estimées du dessin AVANT de construire le dessin. Ainsi, par exemple, si la tâche nécessite de dessiner un triangle avec des sommets , , , alors il est tout à fait clair que l'échelle populaire de 1 unité = 2 cellules ne fonctionnera pas. Pourquoi? Regardons le point - ici, vous devrez mesurer quinze centimètres vers le bas et, évidemment, le dessin ne tiendra pas (ou à peine) sur une feuille de cahier. Par conséquent, nous sélectionnons immédiatement une échelle plus petite : 1 unité = 1 cellule.

À propos, à propos des centimètres et des cellules du cahier. Est-il vrai que 30 cellules de cahier contiennent 15 centimètres ? Pour vous amuser, mesurez 15 centimètres dans votre cahier avec une règle. En URSS, cela aurait pu être vrai... Il est intéressant de noter que si l'on mesure ces mêmes centimètres horizontalement et verticalement, les résultats (dans les cellules) seront différents ! À proprement parler, les cahiers modernes ne sont pas à carreaux, mais rectangulaires. Cela peut sembler absurde, mais dessiner, par exemple, un cercle avec une boussole dans de telles situations est très gênant. Pour être honnête, dans de tels moments, vous commencez à penser à la justesse du camarade Staline, qui a été envoyé dans des camps pour travailler dans la production, sans parler de l'industrie automobile nationale, des chutes d'avions ou de l'explosion de centrales électriques.

En parlant de qualité, ou une brève recommandation sur la papeterie. Aujourd’hui, la plupart des cahiers en vente sont pour le moins de la merde totale. Pour la raison qu'ils sont mouillés, et pas seulement à cause des stylos gel, mais aussi des stylos à bille ! Ils économisent de l'argent sur le papier. Pour effectuer les tests, je recommande d'utiliser des cahiers de l'usine de pâte et papier d'Arkhangelsk (18 feuilles, carrées) ou « Pyaterochka », bien que ce soit plus cher. Il est conseillé de choisir un stylo gel ; même la recharge gel chinoise la moins chère est bien meilleure qu'un stylo à bille, qui tache ou déchire le papier. Le seul stylo à bille « compétitif » dont je me souvienne est l’Erich Krause. Elle écrit clairement, magnifiquement et de manière cohérente – que ce soit avec un noyau plein ou presque vide.

En plus: La vision d'un système de coordonnées rectangulaires à travers les yeux de la géométrie analytique est abordée dans l'article Dépendance linéaire (non) des vecteurs. Base des vecteurs, des informations détaillées sur les quartiers de coordonnées peuvent être trouvées dans le deuxième paragraphe de la leçon Inégalités linéaires.

Cas 3D

C'est presque pareil ici.

1) Dessinez des axes de coordonnées. Standard: application de l'axe – dirigé vers le haut, axe – dirigé vers la droite, axe – dirigé vers le bas vers la gauche strictementà un angle de 45 degrés.

2) Étiquetez les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes. L'échelle le long de l'axe est deux fois plus petite que l'échelle le long des autres axes. Notez également que dans le dessin de droite j'ai utilisé une "encoche" non standard le long de l'axe (cette possibilité a déjà été évoquée plus haut). De mon point de vue, c'est plus précis, plus rapide et plus esthétique - il n'est pas nécessaire de chercher le milieu de la cellule au microscope et de « sculpter » une unité proche de l'origine des coordonnées.

Lorsque vous réalisez un dessin 3D, encore une fois, donnez la priorité à l'échelle
1 unité = 2 cellules (dessin à gauche).

A quoi servent toutes ces règles ? Les règles sont faites pour être enfreintes. C'est ce que je vais faire maintenant. Le fait est que les dessins ultérieurs de l'article seront réalisés par moi dans Excel et que les axes de coordonnées sembleront incorrects du point de vue d'une conception correcte. Je pourrais dessiner tous les graphiques à la main, mais c’est vraiment effrayant de les dessiner car Excel hésite à les dessiner avec beaucoup plus de précision.

Graphiques et propriétés de base des fonctions élémentaires

Une fonction linéaire est donnée par l'équation. Le graphique des fonctions linéaires est direct. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points.

Exemple 1

Construisez un graphique de la fonction. Trouvons deux points. Il est avantageux de choisir zéro comme l'un des points.

Si, alors

Prenons un autre point, par exemple le 1.

Si, alors

Lors de l'exécution des tâches, les coordonnées des points sont généralement résumées dans un tableau :

Et les valeurs elles-mêmes sont calculées oralement ou sur un brouillon, une calculatrice.

Deux points ont été trouvés, faisons un dessin :

Lors de la préparation d'un dessin, nous signons toujours les graphiques.

Il serait utile de rappeler des cas particuliers de fonction linéaire :

Remarquez comment j'ai placé les signatures, les signatures ne doivent pas permettre de divergences lors de l'étude du dessin. Dans ce cas, il était extrêmement indésirable de mettre une signature à côté du point d'intersection des lignes, ou en bas à droite entre les graphiques.

1) Une fonction linéaire de la forme () est appelée proportionnalité directe. Par exemple, . Un graphe de proportionnalité directe passe toujours par l'origine. Ainsi, la construction d'une ligne droite est simplifiée : il suffit de trouver un seul point.

2) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est tracé immédiatement, sans trouver de points. C'est-à-dire que l'entrée doit être comprise comme suit : « le y est toujours égal à –4, pour toute valeur de x ».

3) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est également tracé immédiatement. L'entrée doit être comprise comme suit : « x est toujours, pour toute valeur de y, égal à 1. »

Certains se demanderont pourquoi se souvenir de la 6e année ?! C'est comme ça, c'est peut-être vrai, mais au fil des années de pratique, j'ai rencontré une bonne douzaine d'étudiants qui étaient déconcertés par la tâche de construire un graphique comme ou.

Construire une ligne droite est l’action la plus courante lors de la réalisation de dessins.

La droite est discutée en détail au cours de la géométrie analytique, et ceux que cela intéresse peuvent se référer à l'article Équation d'une droite sur un plan.

Graphique d'une fonction quadratique et cubique, graphique d'un polynôme

Parabole. Graphique d'une fonction quadratique () représente une parabole. Considérons le cas célèbre :

Rappelons quelques propriétés de la fonction.

Donc, la solution de notre équation : – c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. Pourquoi il en est ainsi peut être appris à partir de l'article théorique sur la dérivée et de la leçon sur les extrema de la fonction. En attendant, calculons la valeur « Y » correspondante :

Ainsi, le sommet est au point

On retrouve maintenant d'autres points, tout en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il convient de noter que la fonction – n'est même pas, mais néanmoins personne n'a annulé la symétrie de la parabole.

Dans quel ordre trouver les points restants, je pense que cela ressortira clairement du tableau final :

Cet algorithme de construction peut, au sens figuré, être appelé une « navette » ou le principe du « va-et-vient » avec Anfisa Chekhova.

Faisons le dessin :

Des graphiques examinés, une autre fonctionnalité utile me vient à l’esprit :

Pour une fonction quadratique () ce qui suit est vrai :

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

Des connaissances approfondies sur la courbe peuvent être obtenues dans la leçon Hyperbole et parabole.

Une parabole cubique est donnée par la fonction. Voici un dessin familier de l'école :

Listons les principales propriétés de la fonction

Graphique d'une fonction

Elle représente l'une des branches d'une parabole. Faisons le dessin :

Principales propriétés de la fonction :

Dans ce cas, l'axe est asymptote verticale pour le graphique d'une hyperbole en .

Ce serait une grossière erreur si, lors de l'élaboration d'un dessin, vous permettiez négligemment au graphique de croiser une asymptote.

De plus, les limites unilatérales nous indiquent que l'hyperbole pas limité d'en haut Et non limité par le bas.

Examinons la fonction à l'infini : , c'est-à-dire que si nous commençons à nous déplacer le long de l'axe vers la gauche (ou la droite) jusqu'à l'infini, alors les « jeux » se dérouleront de manière ordonnée. infiniment proche approchez de zéro et, par conséquent, les branches de l'hyperbole infiniment proche se rapprocher de l'axe.

L'axe est donc asymptote horizontale pour le graphique d’une fonction, si « x » tend vers plus ou moins l’infini.

La fonction est impair, et, par conséquent, l’hyperbole est symétrique par rapport à l’origine. Ce fait ressort clairement du dessin, de plus, il est facilement vérifié analytiquement : .

Le graphique d'une fonction de la forme () représente deux branches d'une hyperbole.

Si , alors l'hyperbole est située dans les premier et troisième quartiers de coordonnées(voir photo ci-dessus).

Si , alors l'hyperbole est située dans les deuxième et quatrième quartiers de coordonnées.

Le modèle indiqué de résidence des hyperboles est facile à analyser du point de vue des transformations géométriques des graphiques.

Exemple 3

Construire la branche droite de l'hyperbole

Nous utilisons la méthode de construction par points, et il est avantageux de sélectionner les valeurs pour qu'elles soient divisibles par un tout :

Faisons le dessin :

Il ne sera pas difficile de construire la branche gauche de l'hyperbole ; l'étrangeté de la fonction sera utile ici. Grosso modo, dans le tableau de construction point par point, on ajoute mentalement un moins à chaque nombre, on met les points correspondants et on trace la deuxième branche.

Des informations géométriques détaillées sur la droite considérée peuvent être trouvées dans l'article Hyperbole et parabole.

Graphique d'une fonction exponentielle

Dans cette section, je considérerai immédiatement la fonction exponentielle, puisque dans les problèmes de mathématiques supérieures dans 95 % des cas c'est l'exponentielle qui apparaît.

Permettez-moi de vous rappeler qu'il s'agit d'un nombre irrationnel : , cela sera nécessaire lors de la construction d'un graphe, que, en fait, je construirai sans cérémonie. Trois points suffisent probablement :

Laissons le graphique de la fonction seul pour l’instant, nous y reviendrons plus tard.

Principales propriétés de la fonction :

Les graphiques de fonctions, etc., se ressemblent fondamentalement.

Je dois dire que le deuxième cas est moins fréquent dans la pratique, mais il se produit, j'ai donc jugé nécessaire de l'inclure dans cet article.

Graphique d'une fonction logarithmique

Considérons une fonction avec un logarithme népérien.
Faisons un dessin point par point :

Si vous avez oublié ce qu'est un logarithme, référez-vous à vos manuels scolaires.

Principales propriétés de la fonction :

Domaine de définition:

Plage de valeurs : .

La fonction n'est pas limitée par le haut : , quoique lentement, mais la branche du logarithme monte vers l'infini.
Examinons le comportement de la fonction proche de zéro à droite : . L'axe est donc asymptote verticale pour le graphique d’une fonction lorsque « x » tend vers zéro à partir de la droite.

Il est impératif de connaître et de mémoriser la valeur typique du logarithme: .

En principe, le graphique du logarithme en base est le même : , , (logarithme décimal en base 10), etc. De plus, plus la base est grande, plus le graphique sera plat.

Nous ne considérerons pas ce cas ; je ne me souviens pas de la dernière fois où j’ai construit un graphique avec une telle base. Et le logarithme semble être un invité très rare dans les problèmes de mathématiques supérieures.

À la fin de ce paragraphe, je dirai encore un fait : Fonction exponentielle et fonction logarithmique– ce sont deux fonctions mutuellement inverses. Si vous regardez attentivement le graphique du logarithme, vous pouvez voir qu’il s’agit du même exposant, il est juste situé un peu différemment.

Graphiques de fonctions trigonométriques

Où commencent les tourments trigonométriques à l’école ? Droite. Du sinus

Traçons la fonction

Cette ligne s'appelle sinusoïde.

Je vous rappelle que « pi » est un nombre irrationnel : , et en trigonométrie il éblouit les yeux.

Principales propriétés de la fonction :

Cette fonction est périodique avec point. Qu'est-ce que ça veut dire? Regardons le segment. À gauche et à droite, exactement la même partie du graphique est répétée à l’infini.

Domaine de définition: , c'est-à-dire que pour toute valeur de « x », il existe une valeur sinusoïdale.

Plage de valeurs : . La fonction est limité: , c'est-à-dire que tous les « jeux » se situent strictement dans le segment .
Cela n’arrive pas : ou, plus précisément, cela arrive, mais ces équations n’ont pas de solution.

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Dans cet article, nous examinerons fonction linéaire, graphique d'une fonction linéaire et de ses propriétés. Et, comme d'habitude, nous résoudrons plusieurs problèmes sur ce sujet.

Fonction linéaire appelée fonction de la forme

Dans une équation de fonction, le nombre par lequel nous multiplions est appelé coefficient de pente.

Par exemple, dans l'équation de fonction ;

dans l'équation de la fonction ;

dans l'équation de la fonction ;

dans l'équation de la fonction.

Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite.

1. Pour tracer une fonction, nous avons besoin des coordonnées de deux points appartenant au graphe de la fonction. Pour les trouver, vous devez prendre deux valeurs x, les remplacer dans l'équation de la fonction et les utiliser pour calculer les valeurs y correspondantes.

Par exemple, pour tracer un graphique de fonctions, il est pratique de prendre et , alors les ordonnées de ces points seront égales à et .

On obtient les points A(0;2) et B(3;3). Connectons-les et obtenons un graphique de la fonction :

2 . Dans une équation de fonction, le coefficient est responsable de la pente du graphique de fonction :

Titre="k>0">!}

Le coefficient est responsable du déplacement du graphique le long de l'axe :

Titre="b>0">!}

La figure ci-dessous montre des graphiques de fonctions ; ;

Notez que dans toutes ces fonctions le coefficient supérieur à zéro droite. De plus, que plus de valeur, plus la ligne droite est raide.

Dans toutes les fonctions - et nous voyons que tous les graphiques coupent l'axe OY au point (0;3)

Regardons maintenant les graphiques des fonctions ; ;

Cette fois dans toutes les fonctions le coefficient inférieur à zéro , et tous les graphiques de fonctions sont inclinés gauche.

Notez que plus |k| est grand, plus la ligne droite est raide. Le coefficient b est le même, b=3, et les graphiques, comme dans le cas précédent, coupent l'axe OY au point (0;3)

Regardons les graphiques des fonctions ; ;

Désormais, les coefficients de toutes les équations fonctionnelles sont égaux. Et nous avons trois lignes parallèles.

Mais les coefficients b sont différents, et ces graphiques coupent l'axe OY en différents points :

Le graphique de la fonction (b=3) coupe l'axe OY au point (0;3)

Le graphique de la fonction (b=0) coupe l'axe OY au point (0;0) - l'origine.

Le graphique de la fonction (b=-2) coupe l'axe OY au point (0;-2)

Ainsi, si nous connaissons les signes des coefficients k et b, alors nous pouvons immédiatement imaginer à quoi ressemble le graphique de la fonction.

Si k<0 и b>0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k>0 et b>0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k>0 et b<0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k<0 и b<0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k=0 , alors la fonction se transforme en fonction et son graphique ressemble à :

Les ordonnées de tous les points sur le graphique de la fonction sont égales

Si b=0, alors le graphe de la fonction passe par l'origine :

Ce graphique de proportionnalité directe.

3. Je voudrais noter séparément le graphique de l'équation. Le graphique de cette équation est une droite parallèle à l'axe dont tous les points ont une abscisse.

Par exemple, le graphique de l’équation ressemble à ceci :

Attention! L'équation n'est pas une fonction, puisque différentes valeurs de l'argument correspondent à la même valeur de la fonction, qui ne correspond pas.

4 . Condition de parallélisme de deux droites :

Graphique d'une fonction parallèle au graphique de la fonction, Si

5. La condition de perpendiculaire de deux droites :

Graphique d'une fonction perpendiculaire au graphique de la fonction, si ou

6. Points d'intersection du graphique d'une fonction avec les axes de coordonnées.

Avec axe OY. L'abscisse de tout point appartenant à l'axe OY est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OY, vous devez remplacer zéro dans l'équation de la fonction au lieu de x. On obtient y=b. C'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe OY a les coordonnées (0 ; b).

Avec axe OX : L'ordonnée de tout point appartenant à l'axe OX est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OX, vous devez remplacer zéro dans l'équation de la fonction au lieu de y. On obtient 0=kx+b. D'ici. Autrement dit, le point d'intersection avec l'axe OX a les coordonnées (;0) :

Examinons la résolution de problèmes.

1. Construire un graphique de la fonction si l'on sait qu'elle passe par le point A(-3;2) et est parallèle à la droite y=-4x.

L'équation de la fonction a deux paramètres inconnus : k et b. Le texte du problème doit donc contenir deux conditions caractérisant le graphe de la fonction.

a) Du fait que le graphique de la fonction est parallèle à la droite y=-4x, il s'ensuit que k=-4. Autrement dit, l'équation de la fonction a la forme

b) Il suffit de trouver b. On sait que le graphe de la fonction passe par le point A(-3;2). Si un point appartient au graphique d'une fonction, alors en substituant ses coordonnées dans l'équation de la fonction, on obtient l'égalité correcte :

donc b=-10

Il faut donc tracer la fonction

On connaît le point A(-3;2), prenons le point B(0;-10)

Plaçons ces points dans le plan de coordonnées et connectons-les par une ligne droite :

2. Écrire l'équation de la droite passant par les points A(1;1) ; B(2;4).

Si une ligne passe par des points avec des coordonnées données, les coordonnées des points satisfont à l’équation de la ligne. Autrement dit, si nous substituons les coordonnées des points dans l’équation de la droite, nous obtiendrons l’égalité correcte.

Remplaçons les coordonnées de chaque point dans l'équation et obtenons un système d'équations linéaires.

Soustrayez la première de la deuxième équation du système et obtenez . Remplaçons la valeur de k dans la première équation du système et obtenons b=-2.

Donc, l'équation de la droite.

3. Tracer l'équation

Pour trouver à quelles valeurs de l'inconnue le produit de plusieurs facteurs est égal à zéro, vous devez assimiler chaque facteur à zéro et prendre en compte chaque multiplicateur.

Cette équation n'a aucune restriction sur ODZ. Factorisons la deuxième tranche et fixons chaque facteur égal à zéro. On obtient un ensemble d'équations :

Construisons des graphiques de toutes les équations de l'ensemble dans un plan de coordonnées. Voici le graphique de l'équation :

4. Construire un graphique de la fonction si elle est perpendiculaire à la droite et passe par le point M(-1;2)

Nous ne construirons pas de graphique, nous trouverons seulement l'équation de la droite.

a) Puisque le graphique d'une fonction, si elle est perpendiculaire à une droite, donc donc. Autrement dit, l'équation de la fonction a la forme

b) On sait que le graphe de la fonction passe par le point M(-1;2). Remplaçons ses coordonnées dans l'équation de la fonction. On obtient :

D'ici.

Notre fonction ressemble donc à : .

5. Représenter graphiquement la fonction

Simplifions l'expression du côté droit de l'équation de la fonction.

Important! Avant de simplifier l'expression, trouvons son ODZ.

Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul, donc title="x1">, title="x-1">.!}

Notre fonction prend alors la forme :

Titre="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

C'est-à-dire que nous devons construire un graphique de la fonction et y découper deux points : avec les abscisses x=1 et x=-1 :