Les problèmes mathématiques trouvent leur application dans de nombreuses sciences. Il s’agit non seulement de la physique, de la chimie, de la technologie et de l’économie, mais aussi de la médecine, de l’écologie et d’autres disciplines. Un concept important à maîtriser afin de trouver des solutions à des dilemmes importants est la dérivée d'une fonction. Sa signification physique n’est pas du tout aussi difficile à expliquer qu’il y paraît à ceux qui ne sont pas initiés à l’essence du problème. Il te suffit de trouver exemples appropriés que dans la vraie vie et des situations quotidiennes ordinaires. En fait, tout automobiliste est confronté quotidiennement à une tâche similaire lorsqu'il regarde le compteur de vitesse, déterminant la vitesse de sa voiture à un instant précis et à une heure fixe. Après tout, c'est précisément ce paramètre qui contient l'essence de la signification physique de la dérivée.

Comment trouver de la vitesse

Tout élève de cinquième année peut facilement déterminer la vitesse d'une personne sur la route, connaissant la distance parcourue et le temps de trajet. Pour ce faire, divisez la première des valeurs données par la seconde. Mais tous les jeunes mathématiciens ne savent pas qu'ils trouvent actuellement le rapport des incréments d'une fonction et d'un argument. En effet, si vous imaginez le mouvement sous la forme d'un graphique, en traçant le chemin le long de l'axe des ordonnées et le temps en abscisse, ce sera exactement comme ça.

Cependant, la vitesse d'un piéton ou de tout autre objet, que l'on détermine par grand terrain le chemin, compte tenu de l’uniformité du mouvement, pourrait bien changer. Il existe de nombreuses formes de mouvement connues en physique. Cela peut se produire non seulement avec une accélération constante, mais également avec un ralentissement et une augmentation arbitraires. Il convient de noter que dans dans ce cas la ligne décrivant le mouvement ne sera plus une ligne droite. Graphiquement, il peut prendre en charge les configurations les plus complexes. Mais pour n’importe lequel des points du graphique, nous pouvons toujours tracer une tangente, représentée par une fonction linéaire.

Pour clarifier le paramètre d'évolution du déplacement en fonction du temps, il est nécessaire de raccourcir les segments mesurés. Lorsqu’elles deviennent infinitésimales, la vitesse calculée sera instantanée. Cette expérience nous aide à définir une dérivée. Sa signification physique découle également logiquement d’un tel raisonnement.

D'un point de vue géométrique

On sait que plus la vitesse du corps est grande, plus le graphique de la dépendance du déplacement au temps est raide, et donc l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique en un certain point. Un indicateur de tels changements peut être la tangente de l'angle entre l'axe des abscisses et la ligne tangente. C'est précisément cela qui détermine la valeur de la dérivée et est calculée par le rapport des longueurs du côté opposé au côté adjacent dans triangle rectangle, formé par une perpendiculaire tombant d'un certain point jusqu'à l'axe des abscisses.

C'est signification géométrique dérivée première. La valeur physique se révèle dans le fait que la valeur du côté opposé dans notre cas représente la distance parcourue, et le côté adjacent représente le temps. Dans ce cas, leur rapport est la vitesse. Et encore une fois, nous arrivons à la conclusion que la vitesse instantanée, déterminée lorsque les deux intervalles tendent vers l'infinitésimal, est l'essence, indiquant sa signification physique. Dérivée seconde en dans cet exemple il y aura une accélération du corps, qui à son tour démontre le degré de changement de vitesse.

Exemples de recherche de dérivées en physique

La dérivée est un indicateur du taux de changement de toute fonction, même lorsqu'il ne s'agit pas de mouvement au sens littéral du terme. Pour le démontrer clairement, voici quelques exemples spécifiques. Supposons que l'intensité du courant, en fonction du temps, change selon la loi suivante : je= 0,4t2 . Il faut trouver la valeur de la vitesse à laquelle ce paramètre évolue au bout de la 8ème seconde du processus. Notez que la valeur souhaitée elle-même, comme le montre l'équation, augmente constamment.

Pour résoudre, il est nécessaire de trouver la dérivée première dont la signification physique a été évoquée plus haut. Ici je/ dt = 0,8 t. Ensuite, nous le trouverons à t=8 , nous constatons que la vitesse à laquelle les changements actuels se produisent est égale à 6,4 UN/ c. Ici, on considère que l'intensité du courant est mesurée en ampères et le temps, respectivement, en secondes.

Tout est modifiable

Visible le monde qui nous entoure, constitué de matière, subit constamment des changements, étant dans le mouvement de divers processus qui s'y déroulent. Pour les décrire, vous pouvez utiliser le plus différents paramètres. S'ils sont unis par une dépendance, alors ils sont écrits mathématiquement sous la forme d'une fonction qui montre clairement leurs changements. Et là où il y a mouvement (sous quelque forme qu'il soit exprimé), il existe aussi une dérivée dont nous examinons actuellement la signification physique.

L’exemple suivant concerne cela. Disons que la température corporelle change conformément à la loi T=0,2 t 2 . Vous devriez retrouver la vitesse de sa chauffe au bout de la 10ème seconde. Le problème est résolu d’une manière similaire à celle décrite dans le cas précédent. Autrement dit, nous trouvons la dérivée et substituons la valeur à t= 10 , nous obtenons T= 0,4 t= 4. Cela signifie que la réponse finale est de 4 degrés par seconde, c'est-à-dire que le processus de chauffage et le changement de température, mesuré en degrés, se produisent exactement à cette vitesse.

Résoudre des problèmes pratiques

Bien sûr, dans la vie réelle, tout peut être beaucoup plus compliqué que dans les problèmes théoriques. En pratique, la valeur des grandeurs est généralement déterminée lors d’une expérience. Dans ce cas, on utilise des instruments qui donnent des lectures lors de mesures avec une certaine erreur. Par conséquent, lors du calcul, vous devez gérer des valeurs approximatives des paramètres et recourir à l'arrondi des nombres gênants, ainsi qu'à d'autres simplifications. Ayant pris cela en compte, revenons aux problèmes sur la signification physique de la dérivée, en tenant compte du fait qu'ils ne sont que quelques-uns modèle mathématique processus complexes se produisant dans la nature.

Éruption volcanique

Imaginons qu'un volcan entre en éruption. À quel point peut-il être dangereux ? Pour clarifier cette question, de nombreux facteurs doivent être pris en compte. Nous allons essayer de prendre en compte l'un d'entre eux.

De la bouche du « monstre de feu », les pierres sont lancées verticalement vers le haut, ayant une vitesse initiale à partir du moment où elles sortent. Il est nécessaire de calculer la hauteur maximale qu'elles peuvent atteindre.

Pour trouver la valeur souhaitée, nous établirons une équation de dépendance de la hauteur H, mesurée en mètres, par rapport à d'autres valeurs. Ceux-ci incluent la vitesse et le temps initiaux. On considère la valeur de l'accélération comme connue et environ égale à 10 m/s 2 .

Dérivée partielle

Considérons maintenant la signification physique de la dérivée d'une fonction sous un angle légèrement différent, car l'équation elle-même peut contenir non pas une, mais plusieurs variables. Par exemple, dans le problème précédent, la dépendance de la hauteur de la montée des pierres projetées hors de l’embouchure d’un volcan était déterminée non seulement par un changement dans les caractéristiques temporelles, mais également par la valeur de la vitesse initiale. Cette dernière était considérée comme une valeur constante et fixe. Mais dans d’autres problèmes, avec des conditions complètement différentes, tout pourrait être différent. S'il existe plusieurs grandeurs dont dépend une fonction complexe, les calculs sont effectués selon les formules ci-dessous.

La signification physique de la dérivée fréquente doit être déterminée comme dans le cas habituel. Il s'agit du taux de changement d'une fonction à un certain point à mesure que le paramètre de la variable augmente. Il est calculé de telle manière que toutes les autres composantes sont considérées comme constantes, une seule étant considérée comme variable. Ensuite, tout se passe selon les règles habituelles.

Comprenant la signification physique de la dérivée, il n'est pas difficile de donner des exemples de résolution de problèmes complexes, dont la réponse peut être trouvée avec de telles connaissances. Si nous disposons d'une fonction qui décrit la consommation de carburant en fonction de la vitesse de la voiture, nous pouvons calculer à quels paramètres de cette dernière la consommation d'essence sera la plus faible.

En médecine, il est possible de prédire comment une personne va réagir corps humain sur un médicament prescrit par un médecin. La prise du médicament affecte divers indicateurs physiologiques. Ceux-ci incluent des changements pression artérielle, pouls, température corporelle et bien plus encore. Ils dépendent tous de la dose prise médecine. Ces calculs aident à prédire le déroulement du traitement, tant en termes de manifestations favorables que d’événements indésirables pouvant affecter fatalement les changements dans le corps du patient.

Sans aucun doute, il est important de comprendre la signification physique de la dérivée dans problèmes techniques, notamment dans les domaines de l'électrotechnique, de l'électronique, de la conception et de la construction.

Distance de freinage

Considérons le problème suivant. Se déplaçant à vitesse constante, la voiture, à l'approche du pont, a été obligée de freiner 10 secondes avant l'entrée, le conducteur ayant remarqué un panneau routier interdisant la circulation à une vitesse supérieure à 36 km/h. Le conducteur a-t-il enfreint les règles si sa distance de freinage peut être décrite par la formule S = 26t - t 2 ?

Après avoir calculé la dérivée première, nous trouvons une formule pour la vitesse, nous obtenons v = 28 - 2t. Ensuite, nous substituons la valeur t=10 dans l'expression indiquée.

Puisque cette valeur a été exprimée en secondes, la vitesse s'avère être de 8 m/s, soit 28,8 km/h. Cela permet de comprendre que le conducteur a commencé à freiner à temps et n'a pas enfreint le code de la route, et donc la limite de vitesse indiquée sur le panneau.

Cela prouve l'importance de la signification physique de la dérivée. Un exemple de résolution de ce problème démontre l'étendue de l'utilisation de ce concept dans divers domaines de la vie. Y compris dans les situations du quotidien.

Dérivée en économie

Jusqu’au XIXe siècle, les économistes fonctionnaient principalement avec des moyennes, qu’il s’agisse de la productivité du travail ou du prix des produits manufacturés. Mais à un moment donné, des valeurs limites sont devenues de plus en plus nécessaires pour faire des prévisions efficaces dans ce domaine. Ceux-ci peuvent inclure l’utilité marginale, les revenus ou les coûts. Comprendre cela a donné l'impulsion à la création d'un tout nouvel outil dans recherche économique, qui existe et se développe depuis plus de cent ans.

Pour effectuer de tels calculs, où dominent des notions telles que minimum et maximum, il suffit de comprendre la signification géométrique et physique de la dérivée. Parmi les créateurs base théorique Ces disciplines incluent des économistes anglais et autrichiens aussi éminents que W. S. Jevons, K. Menger et d'autres. Bien entendu, il n'est pas toujours pratique d'utiliser des valeurs limites dans les calculs économiques. Et, par exemple, les rapports trimestriels ne rentrent pas nécessairement dans schéma existant, mais l’application d’une telle théorie est néanmoins utile et efficace dans de nombreux cas.

Considérons une droite arbitraire passant par un point du graphique d'une fonction - point A(x 0, f (x 0)) et croisant le graphique à un moment donné B(x; f(x )). Une telle ligne (AB) est appelée sécante. De ∆ABC : ​​AC = ∆ x ; ВС =∆у ; tgβ =∆y /∆x .

Depuis AC || Bœuf, alors Ð ALO = Ð BAC = β (comme correspondant lorsqu'il est parallèle). MaisÐ ALO est l'angle d'inclinaison de la sécante AB par rapport à la direction positive de l'axe Ox. Moyens, tgβ = k - coefficient angulaire de la droite AB.

Nous allons maintenant réduire ∆x, c'est-à-dire ∆х→ 0. Dans ce cas, le point B s'approchera du point A selon le graphique et la sécante AB tournera. La position limite de la sécante AB à ∆х→ 0 sera une droite ( un ), appelée la tangente au graphe de la fonction y = f (x) au point A.

Si on va à la limite comme ∆x → 0 dans l’égalité tg β =∆ y /∆ x , alors on obtient

ou tg a = f "(x 0 ), puisque
un - angle d'inclinaison de la tangente à la direction positive de l'axe Ox

, par définition d'un dérivé. Mais c'est vrai un = k est le coefficient angulaire de la tangente, ce qui signifie k = tg une = f "(x 0 ).

Ainsi, la signification géométrique de la dérivée est la suivante :

La dérivée de la fonction au point x 0 est égale à la pente tangent au graphique de la fonction tracé au point d'abscisse x 0.

Signification physique du dérivé.

Considérons le mouvement d'un point le long d'une ligne droite. Que la coordonnée d'un point soit donnée à tout moment x(t ). On sait (d'après un cours de physique) que la vitesse moyenne sur une période de temps [ t 0 ; t 0 + ∆t ] est égal au rapport de la distance parcourue pendant cette période de temps au temps, c'est-à-dire

V av = ∆ x /∆ t . Passons à la limite dans la dernière égalité en ∆ t → 0.

lim V av (t) = n (t 0 ) - vitesse instantanée à un moment donné t 0 , ∆ t → 0.

et lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (par définition de dérivé).

Donc n(t) = x"(t).

La signification physique de la dérivée est la suivante : dérivée de la fonction oui = f( x) au pointx 0 est le taux de changement de la fonction f(x) au pointx 0

La dérivée est utilisée en physique pour trouver la vitesse à partir d'une fonction connue des coordonnées en fonction du temps, l'accélération à partir d'une fonction connue de la vitesse en fonction du temps.

u (t) = x "(t) - vitesse,

a(f) = n"(t ) - accélération, ou

une(t) = x"(t).

Si la loi du mouvement d'un point matériel dans un cercle est connue, alors on peut trouver la vitesse angulaire et l'accélération angulaire pendant le mouvement de rotation :

φ = φ (t ) - changement d'angle avec le temps,

ω = φ "(t ) - vitesse angulaire,

ε = φ "(t ) - accélération angulaire, ouε = φ "(t).

Si la loi de distribution de masse d'un bâtonnet inhomogène est connue, alors la densité linéaire d'un bâtonnet inhomogène peut être trouvée :

m = m (x) - masse,

x О , l - longueur de la tige,

p = m "(x) - densité linéaire.

Grâce à la dérivée, les problèmes de la théorie de l'élasticité et des vibrations harmoniques sont résolus. Donc, selon la loi de Hooke

F = -kx,x – coordonnée variable, k - coefficient d'élasticité du ressort. Puttingω2 = k/m , nous obtenons équation différentielle pendule à ressort x"( t ) + ω 2 X(t ) = 0,

où ω = √ k /√ m fréquence d'oscillation ( l/c ), k - rigidité du ressort ( H/m).

Équation de la forme y" +ω2y = 0 est appelée l'équation des oscillations harmoniques (mécaniques, électriques, électromagnétiques). La solution de telles équations est la fonction

y = Asin (ωt + φ 0) ou y = Acos (ωt + φ 0), où

A est l'amplitude des oscillations,ω - fréquence cyclique,

φ 0 - phase initiale.

La dérivée de la fonction f (x) au point x0 est la limite (si elle existe) du rapport de l'incrément de la fonction au point x0 à l'incrément de l'argument Δx, si l'incrément de l'argument tend à zéro et est noté f '(x0). Le fait de trouver la dérivée d’une fonction est appelé différenciation.
La dérivée d'une fonction a la signification physique suivante : la dérivée d'une fonction en un point donné est le taux de variation de la fonction en un point donné.

Signification géométrique de la dérivée. La dérivée au point x0 est égale à la pente de la tangente au graphique de la fonction y=f(x) en ce point.

Signification physique du dérivé. Si un point se déplace le long de l'axe x et que ses coordonnées changent selon la loi x(t), alors la vitesse instantanée du point est :

Le concept de différentiel, ses propriétés. Règles de différenciation. Exemples.

Définition. La différentielle d'une fonction en un certain point x est la partie principale et linéaire de l'incrément de la fonction. La différentielle de la fonction y = f(x) est égale au produit de sa dérivée et de l'incrément de la variable indépendante x. (argument).

C'est écrit ainsi :

ou

Ou


Propriétés différentielles
Le différentiel a des propriétés similaires à celles de la dérivée :





À règles de base de différenciation inclure:
1) placer un facteur constant en dehors du signe de la dérivée
2) dérivée d'une somme, dérivée d'une différence
3) dérivée du produit de fonctions
4) dérivée du quotient de deux fonctions (dérivée d'une fraction)

Exemples.
Démontrons la formule : Par définition de dérivée nous avons :

Un facteur arbitraire peut être pris au-delà du signe de passage à la limite (cela est connu grâce aux propriétés de la limite), donc

Par exemple: Trouver la dérivée d'une fonction
Solution: Utilisons la règle consistant à placer le multiplicateur en dehors du signe de la dérivée :

Bien souvent, il est nécessaire de simplifier d'abord la forme de la fonction différentiable afin d'utiliser le tableau des dérivées et les règles de recherche des dérivées. Les exemples suivants le confirment clairement.

Formules de différenciation. Application du différentiel dans les calculs approximatifs. Exemples.

L'utilisation d'un différentiel dans les calculs approximatifs vous permet d'utiliser un différentiel pour approximer les valeurs d'une fonction.
Exemples.
À l'aide du différentiel, calculez environ
Pour calculer valeur donnée appliquons la formule de la théorie
Introduisons une fonction en considération et représentons la valeur donnée sous la forme
alors calculons

En substituant tout dans la formule, on obtient finalement
Répondre:

16. Règle de L'Hôpital pour la divulgation des incertitudes de la forme 0/0 Ou ∞/∞. Exemples.
La limite du rapport de deux quantités infiniment petites ou de deux quantités infiniment grandes est égale à la limite du rapport de leurs dérivées.

1)

17. Fonctions croissantes et décroissantes. Extremum de la fonction. Algorithme d'étude d'une fonction de monotonie et d'extremum. Exemples.

Fonction augmente sur un intervalle si pour deux points quelconques de cet intervalle reliés par la relation , l'inégalité est vraie. C'est, valeur plus élevée l'argument correspond à une valeur plus grande de la fonction, et son graphique va « de bas en haut ». La fonction de démonstration augmente au fil de l'intervalle

De même, la fonction diminue sur un intervalle si pour deux points quelconques d'un intervalle donné tel que , l'inégalité est vraie. Autrement dit, une valeur plus grande de l’argument correspond à une valeur plus petite de la fonction, et son graphique va « de haut en bas ». Le nôtre diminue à intervalles diminue à intervalles .

Extrêmes Un point est appelé point maximum de la fonction y=f(x) si l'inégalité est vraie pour tout x à son voisinage. La valeur de la fonction au point maximum est appelée maximum de la fonction et désignent .
Un point est appelé point minimum de la fonction y=f(x) si l'inégalité est vraie pour tout x à proximité. La valeur de la fonction au point minimum est appelée fonction minimale et désignent .
Le voisinage d'un point s'entend comme l'intervalle , où est un nombre positif suffisamment petit.
Les points minimum et maximum sont appelés points extremum, et les valeurs de fonction correspondant aux points extremum sont appelées extrema de la fonction.

Pour explorer la fonction à la monotonie, utiliser schéma suivant:
- Trouver le domaine de définition de la fonction ;
- Trouver la dérivée de la fonction et le domaine de définition de la dérivée ;
- Trouver les zéros de la dérivée, c'est-à-dire la valeur de l'argument pour lequel la dérivée est égale à zéro ;
- Sur la ligne numérique, marquer la partie commune du domaine de définition de la fonction et le domaine de définition de sa dérivée, et sur celle-ci - les zéros de la dérivée ;
- Déterminer les signes de la dérivée sur chacun des intervalles résultants ;
- A l'aide des signes de la dérivée, déterminer sur quels intervalles la fonction augmente et sur quels intervalles elle diminue ;
- Écrivez les intervalles appropriés séparés par des points-virgules.

Algorithme de recherche fonction continue y = f(x) pour la monotonie et les extrema:
1) Trouver la dérivée f ′(x).
2) Trouver les points stationnaires (f ′(x) = 0) et critiques (f ′(x) n'existe pas) de la fonction y = f(x).
3) Marquez les points stationnaires et critiques sur la droite numérique et déterminez les signes de la dérivée sur les intervalles résultants.
4) Tirer des conclusions sur la monotonie de la fonction et ses points extremum.

18. Convexité de la fonction. Points d'inflexion. Algorithme d'étude d'une fonction de convexité (concavité) Exemples.

convexe vers le bas sur l'intervalle X si son graphique n'est pas situé plus bas que la tangente à celui-ci en tout point de l'intervalle X.

La fonction à différencier s'appelle convexe vers le haut sur l'intervalle X si son graphique n'est pas situé plus haut que la tangente à lui en tout point de l'intervalle X.

La formule des points s'appelle point d'inflexion du graphique fonction y=f(x), si en un point donné il y a une tangente au graphique de la fonction (elle peut être parallèle à l'axe Oy) et qu'il existe un tel voisinage du point une formule à l'intérieur de laquelle à gauche et à droite du point M le graphique de la fonction a différentes directions renflement.

Recherche d'intervalles de convexité :

Si la fonction y=f(x) a une dérivée seconde finie sur l'intervalle X et si l'inégalité est vérifiée (), alors le graphe de la fonction a une convexité dirigée vers le bas (vers le haut) en X.
Ce théorème permet de trouver les intervalles de concavité et de convexité d'une fonction ; il suffit de résoudre les inégalités et, respectivement, sur le domaine de définition de la fonction d'origine.

Exemple: Connaître les intervalles sur lesquels le graphique de la fonction Connaître les intervalles sur lesquels le graphique de la fonction a une convexité dirigée vers le haut et une convexité dirigée vers le bas. a une convexité dirigée vers le haut et une convexité dirigée vers le bas.
Solution: Le domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des nombres réels.
Trouvons la dérivée seconde.

Le domaine de définition de la dérivée seconde coïncide avec le domaine de définition de la fonction originale, donc, pour connaître les intervalles de concavité et de convexité, il suffit de résoudre et en conséquence. Par conséquent, la fonction est convexe vers le bas sur la formule d’intervalle et convexe vers le haut sur la formule d’intervalle.

19) Asymptotes de la fonction. Exemples.

La ligne droite s'appelle asymptote verticale graphique de la fonction si au moins une des valeurs limites est égale à ou .

Commentaire. Une ligne droite ne peut pas être une asymptote verticale si la fonction est continue en ce point. Par conséquent, des asymptotes verticales doivent être recherchées aux points de discontinuité de la fonction.

La ligne droite s'appelle asymptote horizontale graphique de la fonction si au moins une des valeurs limites ou est égale à .

Commentaire. Le graphique d’une fonction ne peut avoir qu’une asymptote horizontale droite ou seulement une gauche.

La ligne droite s'appelle asymptote oblique graphique de fonction si

EXEMPLE:

Exercice. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. Portée de la fonction :

a) asymptotes verticales : ligne droite - asymptote verticale, puisque

b) asymptotes horizontales : on retrouve la limite de la fonction à l'infini :

c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'asymptote horizontale.

c) asymptotes obliques :

Ainsi, l'asymptote oblique est : .

Répondre. L'asymptote verticale est droite.

L'asymptote oblique est droite.

20) Régime général rechercher la fonction et tracer le graphique. Exemple.

un.
Trouvez l'ODZ et les points de discontinuité de la fonction.

b. Trouver les points d'intersection du graphique de la fonction avec les axes de coordonnées.

2. Mener une étude de la fonction en utilisant la dérivée première, c'est-à-dire trouver les points extrêmes de la fonction et les intervalles d'augmentation et de diminution.

3. Étudiez la fonction à l'aide de la dérivée du second ordre, c'est-à-dire trouvez les points d'inflexion du graphique de fonction et les intervalles de sa convexité et de sa concavité.

4. Trouvez les asymptotes du graphe de fonction : a) verticale, b) oblique.

5. Sur la base de la recherche, construisez un graphique de la fonction.

Notez qu'avant de tracer un graphique, il est utile de déterminer si une fonction donnée est paire ou impaire.

Rappelons qu'une fonction est appelée même si changer le signe de l'argument ne change pas la valeur de la fonction : f(-x) = f(x) et une fonction est dite impaire si f(-x) = -f(x).

Dans ce cas, il suffit d'étudier la fonction et de tracer son graphique à valeurs positives arguments appartenant à ODZ. À valeurs négatives argument, le graphique est complété sur la base que pour une fonction paire, il est symétrique par rapport à l'axe Oy, et pour les impairs par rapport à l'origine.

Exemples. Explorez les fonctions et construisez leurs graphiques.

Domaine de fonction ré(y)= (–∞; +∞). Il n'y a pas de points de rupture.

Intersection avec l'axe Bœuf: x = 0,y= 0.

La fonction est étrange, elle ne peut donc être étudiée que sur l'intervalle )