Si la dérivée est égale à zéro alors la fonction. Application de la dérivée à l'étude des fonctions

Tâche.

La fonction y=f(x) est définie sur l'intervalle (-5 ; 6). La figure montre un graphique de la fonction y=f(x). Trouvez parmi les points x 1, x 2, ..., x 7 les points auxquels la dérivée de la fonction f(x) est égale à zéro. En réponse, notez le nombre de points trouvés.

Solution:

Le principe pour résoudre ce problème est le suivant : il y a trois comportements possibles de la fonction sur cet intervalle :

1) lorsque la fonction augmente (la dérivée y est supérieure à zéro)

2) lorsque la fonction est décroissante (où la dérivée est inférieure à zéro)

3) lorsque la fonction n'augmente ni ne diminue (où la dérivée est nulle ou n'existe pas)

Nous sommes intéressés par la troisième option.

La dérivée est égale à zéro lorsque la fonction est lisse et n'existe pas aux points de rupture. Regardons tous ces points.

x 1 - la fonction augmente, ce qui signifie la dérivée f′(x) >0

x 2 - la fonction prend un minimum et est lisse, ce qui signifie la dérivée f ′(x) = 0

x 3 - la fonction prend un maximum, mais à ce stade il y a une pause, ce qui signifie dérivé f ′(x) n'existe pas

x4 - la fonction prend un maximum, mais à ce stade il y a une pause, ce qui signifie dérivé f ′(x) n'existe pas

x 5 - dérivée f ′(x) = 0

x6 - la fonction augmente, ce qui signifie la dérivée f′(x) >0

x7 - la fonction prend un minimum et est fluide, ce qui signifie dérivée f ′(x) = 0

Nous voyons que f ′(x) = 0 aux points x 2, x 5 et x 7, un total de 3 points.

La dérivée d'une fonction est l'un des sujets difficiles dans programme scolaire. Tous les diplômés ne répondront pas à la question de savoir ce qu'est un dérivé.

Cet article explique de manière simple et claire ce qu'est un dérivé et pourquoi il est nécessaire.. Nous ne rechercherons pas maintenant la rigueur mathématique dans la présentation. Le plus important est d’en comprendre le sens.

Rappelons la définition :

La dérivée est le taux de variation d'une fonction.

La figure montre des graphiques de trois fonctions. Selon vous, lequel connaît la croissance la plus rapide ?

La réponse est évidente : la troisième. Il présente le taux de variation le plus élevé, c'est-à-dire la dérivée la plus importante.

Voici un autre exemple.

Kostya, Grisha et Matvey ont trouvé un emploi en même temps. Voyons comment leurs revenus ont évolué au cours de l'année :

Le graphique montre tout en même temps, n'est-ce pas ? Les revenus de Kostya ont plus que doublé en six mois. Et les revenus de Grisha ont également augmenté, mais juste un peu. Et les revenus de Matvey sont tombés à zéro. Les conditions de départ sont les mêmes, mais le taux de changement de la fonction, c'est-à-dire dérivé, - différent. Quant à Matvey, sa dérivée de revenu est généralement négative.

Intuitivement, nous estimons facilement le taux de changement d’une fonction. Mais comment faire cela ?

Ce que nous examinons réellement, c'est la vitesse à laquelle le graphique d'une fonction monte (ou descend). En d’autres termes, à quelle vitesse y change-t-il lorsque x change ? Évidemment, la même fonction en différents points peut avoir sens différent dérivé - c'est-à-dire qu'il peut changer plus rapidement ou plus lentement.

La dérivée d'une fonction est notée .

Nous allons vous montrer comment le trouver à l’aide d’un graphique.

Un graphique d'une fonction a été dessiné. Prenons un point marqué en abscisse. Traçons une tangente au graphique de la fonction à ce stade. Nous voulons estimer la vitesse à laquelle le graphique de fonction augmente. Une valeur pratique pour cela est tangente de l'angle tangent.

La dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle tangent tracé au graphique de la fonction en ce point.

Veuillez noter que comme angle d'inclinaison de la tangente, nous prenons l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe.

Parfois, les élèves demandent ce qu’est une tangente au graphique d’une fonction. Il s’agit d’une droite qui a un seul point commun avec le graphique de cette section, et comme le montre notre figure. Cela ressemble à une tangente à un cercle.

Trouvons-le. On se souvient que la tangente d'un angle aigu dans triangle rectangleégal au rapport du côté opposé au côté adjacent. Du triangle :

Nous avons trouvé la dérivée à l'aide d'un graphique sans même connaître la formule de la fonction. De tels problèmes se retrouvent souvent dans l'examen d'État unifié de mathématiques sous le numéro.

Il existe une autre relation importante. Rappelons que la droite est donnée par l'équation

La quantité dans cette équation est appelée pente d'une droite. Elle est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe.

.

Nous obtenons cela

Rappelons cette formule. Il exprime la signification géométrique de la dérivée.

La dérivée d'une fonction en un point est égale à la pente de la tangente tracée au graphique de la fonction en ce point.

En d’autres termes, la dérivée est égale à la tangente de l’angle tangent.

Nous avons déjà dit qu'une même fonction peut avoir des dérivées différentes en différents points. Voyons comment la dérivée est liée au comportement de la fonction.

Traçons un graphique d'une fonction. Laissez cette fonction augmenter dans certains domaines et diminuer dans d’autres, et à des rythmes différents. Et laissez cette fonction avoir des points maximum et minimum.

À un moment donné, la fonction augmente. La tangente au graphique tracé au point forme angle aigu; avec une direction d'axe positive. Cela signifie que la dérivée en ce point est positive.

Au point où notre fonction diminue. La tangente forme en ce point un angle obtus ; avec une direction d'axe positive. Depuis la tangente angle obtus est négatif, au point où la dérivée est négative.

Voici ce qui se passe :

Si une fonction est croissante, sa dérivée est positive.

Si elle diminue, sa dérivée est négative.

Que se passera-t-il aux points maximum et minimum ? On voit qu'aux points (point maximum) et (point minimum) la tangente est horizontale. Par conséquent, la tangente de l'angle tangent en ces points égal à zéro, et la dérivée est également nulle.

Point - point maximum. A ce stade, l’augmentation de la fonction est remplacée par une diminution. Par conséquent, le signe de la dérivée change au point de « plus » à « moins ».

Au point - le point minimum - la dérivée est également nulle, mais son signe passe de « moins » à « plus ».

Conclusion : en utilisant la dérivée, on peut apprendre tout ce qui nous intéresse sur le comportement d'une fonction.

Si la dérivée est positive, alors la fonction augmente.

Si la dérivée est négative, alors la fonction diminue.

Au point maximum, la dérivée est nulle et change de signe de « plus » à « moins ».

Au point minimum, la dérivée est également nulle et change de signe de « moins » à « plus ».

Écrivons ces conclusions sous forme de tableau :

	augmente	point maximum	diminue	point minimum	augmente
+	0	-	0	+

Apportons deux petites précisions. Vous en aurez besoin pour résoudre le problème. Un autre - en première année, avec une étude plus sérieuse des fonctions et des dérivées.

Il est possible que la dérivée d'une fonction à un moment donné soit égale à zéro, mais la fonction n'a ni maximum ni minimum à ce stade. C'est ce qu'on appelle :

En un point, la tangente au graphique est horizontale et la dérivée est nulle. Cependant, avant ce point, la fonction augmentait - et après ce point, elle continue d'augmenter. Le signe de la dérivée ne change pas - il reste positif comme avant.

Il arrive aussi qu'au point de maximum ou de minimum la dérivée n'existe pas. Sur le graphique, cela correspond à une rupture brutale, lorsqu'il est impossible de tracer une tangente en un point donné.

Comment trouver la dérivée si la fonction est donnée non pas par un graphique, mais par une formule ? Dans ce cas, cela s'applique

Continuité et différentiabilité d'une fonction.

Théorème de Darboux . Intervalles de monotonie.

Points critiques . Extrême (minimum, maximum).

Conception d’études fonctionnelles.

Relation entre continuité et différentiabilité d'une fonction. Si la fonction f(x)est différentiable à un moment donné, alors il est continu à ce point. L’inverse n’est pas vrai : fonction continue ne peut pas avoir de dérivé.

Illustration. Si la fonction est discontinue à un moment donné, alors il n’a pas de dérivée à ce stade.

Signes suffisants de monotonie d’une fonction.

Si f’(x) > 0 en chaque point de l'intervalle (une, b), alors la fonction f (x)augmente sur cet intervalle.

Si f’(x) < 0 en chaque point de l'intervalle (une, b) , alors la fonction f(x)diminue sur cet intervalle.

Théorème de Darboux. Points auxquels la dérivée d'une fonction est 0ou n'existe pas, ils divisent le domaine de définition de la fonction en intervalles à l'intérieur desquels la dérivée conserve son signe.

En utilisant ces intervalles, nous pouvons trouver intervalles de monotonie fonctions, ce qui est très important lors de leur étude.

Par conséquent, la fonction augmente au fil des intervalles (- , 0) et ( 1, + ) et diminue sur l'intervalle ( 0, 1). Point x= 0 n'est pas inclus dans le domaine de définition de la fonction, mais à mesure que l'on se rapprochex terme k0 x - 2 augmente indéfiniment, donc la fonction augmente également indéfiniment. Au pointx= 1 la valeur de la fonction est 3. D'après cette analyse on peut posterreprésenter graphiquement la fonction ( Figure 4 b ) .

Points critiques. Points intérieurs du domaine fonctionnel, dans lequel la dérivée est égale à nul ou n'existe pas, sont appelés critique points cette fonction. Ces points sont très importants lors de l'analyse d'une fonction et du tracé de son graphique, car ce n'est qu'à ces points que la fonction peut avoir extrême (minimum ou maximum , Figure 5 UN,b).

Aux points x 1 , x 2 (Fig.5 un) Et x 3 (Fig.5 b) la dérivée est 0 ; aux points x 1 , x 2 (Fig.5 b) la dérivée n'existe pas. Mais ce sont tous des points extrêmes.

Une condition nécessaire pour un extremum. Si x 0 - point extrême de la fonction f(x) et la dérivée f’ existe à ce stade, alors f’(x 0)= 0.

Ce théorème est nécessaireétat extrême. Si la dérivée d'une fonction à un moment donné est 0,ça ne veut pas dire ça la fonction a un extremum à ce stade. Par exemple, la dérivée de la fonctionf (x) = x 3 est égal à 0 à x= 0, mais cette fonction n'a pas d'extremum à ce stade (Fig. 6).

Par contre, la fonctionoui = | x| , présenté sur la figure 3, a un minimum au pointx= 0, mais à ce stade la dérivée n'existe pas.

Conditions suffisantes pour un extremum.

Si la dérivée en passant par le point x 0 change son signe de plus en moins, puis x 0 - point maximum.

Si la dérivée en passant par le point x 0 change son signe de moins à plus, puis x 0 - point minimum.

Conception d’études fonctionnelles. Pour représenter graphiquement une fonction, vous avez besoin de :

1) trouver le domaine de définition et la plage de valeurs de la fonction,

2) déterminer si la fonction est paire ou impaire,

3) déterminer si la fonction est périodique ou non,

4) trouver les zéros de la fonction et ses valeurs àx = 0,

5) trouver des intervalles de signe constant,

6) trouver des intervalles de monotonie,

7) trouver des points extremum et des valeurs de fonction en ces points,

8) analyser le comportement de la fonction à proximité de points « singuliers »

Et aux grandes valeurs de modulex .

EXEMPLE Explorez la fonctionnalitéf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 et tracez un graphique.

Solution. Étudions la fonction selon le schéma ci-dessus.

1) domaine de définitionxR. (x– n'importe quel réel nombre);

Plage de valeursouiR. , parce que f (x) – polynôme impair

diplômes;

2) fonction f (x) n'est ni pair ni impair

(veuillez expliquer);

3) f (x) est une fonction non périodique (prouvez-le vous-même) ;

4) le graphique de la fonction coupe l'axeOui au point (0, – 2),

Parce que f (0) = - 2 ; pour trouver les zéros de la fonction dont vous avez besoin

Résolvez l'équation :x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, une des racines

Lequel ( x= 1) est évident. D'autres racines sont

(s'ils existent ! ) en résolvant l'équation quadratique :

x 2 + 3 x+ 2 = 0, qui s'obtient en divisant le polynôme

x 3 + 2 x 2 - x- 2 par binôme ( x– 1). Facile à vérifier

Quelles sont les deux autres racines :x 2 = - 2 et x 3 = - 1. Ainsi,

Les zéros de la fonction sont : - 2, - 1 et 1.

5) Cela signifie que l'axe des nombres est divisé par ces racines par

Quatre intervalles de constance de signe, à l'intérieur desquels

La fonction conserve son signe :

Ce résultat peut être obtenu en développant

polynôme en facteurs :

x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)

Et une évaluation du signe de l'œuvre .

6) Dérivé f' (x) = 3 x 2 + 4 x- 1 n’a aucun point auquel

Il n'existe pas, son domaine de définition est doncR. (Tous

Chiffres réels); des zérosf' (x) sont les racines de l'équation :

3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .

Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau :

Lors de la résolution de divers problèmes de géométrie, de mécanique, de physique et d'autres branches de la connaissance, le besoin s'est fait sentir d'utiliser le même processus analytique à partir de cette fonction. y=f(x) recevoir nouvelle fonctionnalité qui s'appelle fonction dérivée(ou juste dérivée) d'une fonction donnée f(x) et est désigné par le symbole

Le processus par lequel, à partir d'une fonction donnée f(x) obtenir une nouvelle fonctionnalité f" (x), appelé différenciation et il comprend les trois étapes suivantes : 1) donner l'argument x incrément  x et déterminer l'incrément correspondant de la fonction  y = f(x+ x) -f(x);

2) établir une relation x 3) compter  x constante et
0, on trouve f" (x), que nous désignons par x, comme pour souligner que la fonction résultante dépend uniquement de la valeur , à laquelle nous allons à la limite.: Définition Dérivée y " =f " (x) fonction donnée y=f(x) pour un x donné
est appelée la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument, à condition que l'incrément de l'argument tende vers zéro, si, bien entendu, cette limite existe, c'est-à-dire fini. Ainsi,

, ou x Notez que si pour une certaine valeur , par exemple quand x=une
, attitude  xà f(x)0 ne tend pas vers la limite finie, alors dans ce cas on dit que la fonction , par exemple quandà , par exemple quand(ou au point , par exemple quand.

) n’a pas de dérivée ou n’est pas différentiable au point

Considérons le graphique de la fonction y = f (x), différentiable au voisinage du point x 0

f(x)

Considérons une ligne droite arbitraire passant par un point du graphique d'une fonction - point A(x 0, f (x 0)) et coupant le graphique en un point B(x;f(x)). Une telle ligne (AB) est appelée sécante. De ∆ABC : ​​AC = ∆x ;

ВС =∆у ; tgβ=∆y/∆x.

Depuis AC || Ox, alors ALO = BAC = β (comme correspondant au parallèle). Mais ALO est l'angle d'inclinaison de la sécante AB par rapport à la direction positive de l'axe Ox. Cela signifie que tanβ = k est la pente de la droite AB.

Nous allons maintenant réduire ∆x, c'est-à-dire ∆х→ 0. Dans ce cas, le point B s'approchera du point A selon le graphique et la sécante AB tournera. La position limite de la sécante AB en ∆x→ 0 sera une droite (a), appelée tangente au graphique de la fonction y = f (x) au point A.
Si on va à la limite quand ∆x → 0 dans l’égalité tgβ =∆y/∆x, on obtient
ortg =f "(x 0), puisque
-angle d'inclinaison de la tangente à la direction positive de l'axe Ox

, par définition d'un dérivé. Mais tg = k est le coefficient angulaire de la tangente, ce qui signifie k = tg = f" (x 0).

Ainsi, la signification géométrique de la dérivée est la suivante : 0 Dérivée d'une fonction au point x 0 .

égale à la pente de la tangente au graphique de la fonction tracée au point d'abscisse x

3. Signification physique du dérivé.

Considérons le mouvement d'un point le long d'une ligne droite. Soit donnée la coordonnée d'un point à tout instant x(t). On sait (d'après un cours de physique) que la vitesse moyenne sur une période de temps est égale au rapport de la distance parcourue pendant cette période de temps au temps, c'est-à-dire

Vav = ∆x/∆t. Allons à la limite de la dernière égalité comme ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - vitesse instantanée au temps t 0, ∆t → 0.

et lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (par définition de dérivée).

Donc, (t) =x"(t).oui = f(xLa signification physique de la dérivée est la suivante : dérivée de la fonctionx 0 ) au pointfest le taux de changement de la fonctionx 0

(x) au point

La dérivée est utilisée en physique pour trouver la vitesse à partir d'une fonction connue des coordonnées en fonction du temps, l'accélération à partir d'une fonction connue de la vitesse en fonction du temps.

(t) = x"(t) - vitesse,

a(f) = "(t) - accélération, ou

Si la loi du mouvement d'un point matériel dans un cercle est connue, alors on peut trouver la vitesse angulaire et l'accélération angulaire pendant le mouvement de rotation :

φ = φ(t) - changement d'angle au fil du temps,

ω = φ"(t) - vitesse angulaire,

ε = φ"(t) - accélération angulaire, ou ε = φ"(t).

Si la loi de distribution de masse d'un bâtonnet inhomogène est connue, alors la densité linéaire d'un bâtonnet inhomogène peut être trouvée :

m = m(x) - masse,

p = m"(x) - densité linéaire.

Grâce à la dérivée, les problèmes de la théorie de l'élasticité et des vibrations harmoniques sont résolus. Donc, selon la loi de Hooke

F = -kx, x – coordonnée variable, k – coefficient d'élasticité du ressort. En mettant ω 2 =k/m, on obtient l'équation différentielle du pendule à ressort x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

où ω = √k/√m fréquence d'oscillation (l/c), k - rigidité du ressort (H/m).

Une équation de la forme y" + ω 2 y = 0 est appelée l'équation des oscillations harmoniques (mécaniques, électriques, électromagnétiques). La solution de ces équations est la fonction

y = Asin(ωt + φ 0) ou y = Acos(ωt + φ 0), où

A - amplitude des oscillations, ω - fréquence cyclique,

φ 0 - phase initiale.

Le problème B9 donne le graphique d’une fonction ou d’une dérivée à partir de laquelle vous devez déterminer l’une des quantités suivantes :

1. La valeur de la dérivée à un moment donné x 0,
2. Points maximum ou minimum (points extremum),
3. Intervalles de fonctions croissantes et décroissantes (intervalles de monotonie).

Les fonctions et dérivées présentées dans ce problème sont toujours continues, ce qui rend la solution beaucoup plus facile. Malgré le fait que la tâche appartient à la section de l'analyse mathématique, même les étudiants les plus faibles peuvent la réaliser, car aucune connaissance théorique approfondie n'est requise ici.

Pour trouver la valeur de la dérivée, des points extrêmes et des intervalles de monotonie, il existe des algorithmes simples et universels - ils seront tous discutés ci-dessous.

Lisez attentivement les conditions du problème B9 pour éviter de commettre des erreurs stupides : parfois vous tombez sur des textes assez longs, mais conditions importantes, qui influencent le cours de la décision, il y en a peu.

Calcul de la valeur dérivée. Méthode en deux points

Si le problème est donné un graphique d'une fonction f(x), tangente à ce graphique en un certain point x 0, et qu'il est nécessaire de trouver la valeur de la dérivée à ce point, l'algorithme suivant est appliqué :

1. Trouvez deux points « adéquats » sur le graphique tangent : leurs coordonnées doivent être entières. Notons ces points comme A (x 1 ; y 1) et B (x 2 ; y 2). Notez correctement les coordonnées - c'est point clé solutions, et toute erreur ici entraîne une réponse incorrecte.
2. Connaissant les coordonnées, il est facile de calculer l'incrément de l'argument Δx = x 2 − x 1 et l'incrément de la fonction Δy = y 2 − y 1 .
3. Enfin, on retrouve la valeur de la dérivée D = Δy/Δx. En d'autres termes, vous devez diviser l'incrément de la fonction par l'incrément de l'argument - et ce sera la réponse.

Notons encore une fois : les points A et B doivent être recherchés précisément sur la tangente, et non sur le graphe de la fonction f(x), comme cela arrive souvent. La ligne tangente contiendra nécessairement au moins deux de ces points - sinon le problème ne sera pas formulé correctement.

Considérez les points A (−3 ; 2) et B (−1 ; 6) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2 ; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Trouvons la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .

Considérez les points A (0 ; 3) et B (3 ; 0), trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3 ; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

On trouve maintenant la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .

Considérez les points A (0 ; 2) et B (5 ; 2) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5 ; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Reste à trouver la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Depuis dernier exemple on peut formuler une règle : si la tangente est parallèle à l'axe OX, la dérivée de la fonction au point de tangence est nulle. Dans ce cas, vous n’avez même pas besoin de compter quoi que ce soit : il suffit de regarder le graphique.

Calcul des points maximum et minimum

Parfois, au lieu d'un graphique d'une fonction, le problème B9 donne un graphique de la dérivée et nécessite de trouver le point maximum ou minimum de la fonction. Dans cette situation, la méthode en deux points est inutile, mais il existe un autre algorithme encore plus simple. Tout d'abord, définissons la terminologie :

1. Le point x 0 est appelé le point maximum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≥ f(x).
2. Le point x 0 est appelé le point minimum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≤ f(x).

Afin de trouver les points maximum et minimum à partir du graphique dérivé, suivez simplement ces étapes :

1. Redessinez le graphique dérivé en supprimant toutes les informations inutiles. Comme le montre la pratique, les données inutiles ne font qu'interférer avec la décision. Par conséquent, nous marquons les zéros de la dérivée sur l'axe des coordonnées - et c'est tout.
2. Découvrez les signes de la dérivée sur les intervalles entre zéros. Si pour un point x 0 on sait que f'(x 0) ≠ 0, alors seules deux options sont possibles : f'(x 0) ≥ 0 ou f'(x 0) ≤ 0. Le signe de la dérivée est facile à déterminer à partir du dessin original : si le graphe dérivé se situe au-dessus de l'axe OX, alors f'(x) ≥ 0. Et vice versa, si le graphe dérivé se situe en dessous de l'axe OX, alors f'(x) ≤ 0.
3. Nous vérifions à nouveau les zéros et les signes de la dérivée. Là où le signe passe de moins à plus, c'est le point minimum. A l’inverse, si le signe de la dérivée passe du plus au moins, c’est le point maximum. Le comptage se fait toujours de gauche à droite.

Ce schéma ne fonctionne que pour les fonctions continues – il n’y en a pas d’autres dans le problème B9.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−5; 5]. Trouvez le point minimum de la fonction f(x) sur ce segment.

Débarrassons-nous des informations inutiles et ne laissons que les limites [−5; 5] et les zéros de la dérivée x = −3 et x = 2,5. On note également les signes :

Évidemment, au point x = −3, le signe de la dérivée passe de moins à plus. C'est le point minimum.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7]. Trouvez le point maximum de la fonction f(x) sur ce segment.

Redessinons le graphique en ne laissant que les limites [−3; 7] et les zéros de la dérivée x = −1,7 et x = 5. Notons les signes de la dérivée sur le graphique résultant. Nous avons:

Évidemment, au point x = 5, le signe de la dérivée passe du plus au moins - c'est le point maximum.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−6 ; 4]. Trouver le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant au segment [−4; 3].

Des conditions du problème il résulte qu'il suffit de considérer uniquement la partie du graphe limitée par le segment [−4 ; 3]. Par conséquent, nous construisons un nouveau graphe sur lequel nous marquons uniquement les frontières [−4 ; 3] et les zéros de la dérivée à l'intérieur. A savoir, les points x = −3,5 et x = 2. On obtient :

Sur ce graphique il n'y a qu'un seul point maximum x = 2. C'est à ce point que le signe de la dérivée passe du plus au moins.

Une petite note sur les points avec des coordonnées non entières. Par exemple, dans le dernier problème, le point x = −3,5 a été considéré, mais avec le même succès nous pouvons prendre x = −3,4. Si le problème est écrit correctement, de tels changements ne devraient pas affecter la réponse, puisque les points « sans lieu précis résidence" ne participent pas directement à la résolution du problème. Bien entendu, cette astuce ne fonctionnera pas avec des points entiers.

Trouver des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes

Dans un tel problème, comme les points maximum et minimum, il est proposé d'utiliser le graphe dérivé pour trouver les zones dans lesquelles la fonction elle-même augmente ou diminue. Tout d’abord, définissons ce que sont l’augmentation et la diminution :

1. Une fonction f(x) est dite croissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En d’autres termes, plus la valeur de l’argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
2. Une fonction f(x) est appelée décroissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Ceux. valeur plus élevée L’argument correspond à la plus petite valeur de la fonction.

Formulons conditions suffisantes ascendant et descendant :

1. Pour qu'une fonction continue f(x) augmente sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit positive, c'est-à-dire f'(x) ≥ 0.
2. Pour qu'une fonction continue f(x) décroisse sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit négative, c'est-à-dire f'(x) ≤ 0.

Acceptons ces déclarations sans preuves. Ainsi, nous obtenons un schéma pour trouver des intervalles d'augmentation et de diminution, qui est à bien des égards similaire à l'algorithme de calcul des points extremum :

1. Supprimez toutes les informations inutiles. Dans le graphique original de la dérivée, nous nous intéressons principalement aux zéros de la fonction, nous ne les laisserons donc que.
2. Marquez les signes de la dérivée aux intervalles entre les zéros. Où f’(x) ≥ 0, la fonction augmente, et où f’(x) ≤ 0, elle diminue. Si le problème impose des restrictions sur la variable x, nous les marquons en plus sur un nouveau graphique.
3. Maintenant que l'on connaît le comportement de la fonction et les contraintes, il reste à calculer la quantité requise dans le problème.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7.5]. Trouver les intervalles de diminution de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des entiers compris dans ces intervalles.

Comme d'habitude, redessinons le graphique et marquons les limites [−3 ; 7,5], ainsi que les zéros de la dérivée x = −1,5 et x = 5,3. Puis on note les signes de la dérivée. Nous avons:

Puisque la dérivée est négative sur l'intervalle (− 1,5), c'est l'intervalle de fonction décroissante. Il reste à additionner tous les entiers qui se trouvent à l'intérieur de cet intervalle :
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−10 ; 4]. Trouver les intervalles d'augmentation de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux.

Débarrassons-nous des informations inutiles. Laissons seulement les frontières [−10 ; 4] et les zéros de la dérivée, qui étaient cette fois quatre : x = −8, x = −6, x = −3 et x = 2. Marquons les signes de la dérivée et obtenons l'image suivante :

Nous nous intéressons aux intervalles de fonction croissante, c'est-à-dire tel que f'(x) ≥ 0. Il existe deux de ces intervalles sur le graphique : (−8 ; −6) et (−3 ; 2). Calculons leurs longueurs :
l 1 = − 6 − (−8) = 2 ;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Puisque nous devons trouver la longueur du plus grand des intervalles, nous notons la valeur l 2 = 5 comme réponse.