Transformation de coordonnées affines. Transformations affines utilisant des coordonnées homogènes. Système de coordonnées rectangulaires

Tout d’abord, définissons ce que sont les transformations ? Disons que nous avons un modèle (pour plus de simplicité, que ce soit un triangle). Et trois espaces de coordonnées : l'espace objet (dans lequel ce triangle est décrit), l'espace monde et l'espace caméra. Ainsi, une transformation est une expression des coordonnées d'un objet situé dans un système de coordonnées (objet), en utilisant les coordonnées d'un autre système de coordonnées (d'abord le monde, puis la chambre).

Comme je l'ai déjà écrit, l'utilisation de différents espaces de coordonnées facilite la création d'un monde virtuel. Les objets sont créés dans l'espace objet et chaque objet possède son propre espace de coordonnées. L'espace du monde relie tous les objets du monde virtuel et permet de rendre très simples des choses très difficiles (par exemple, déplacer des objets). Une fois la scène créée et tous les objets déplacés, les coordonnées du monde sont converties en espace de coordonnées de la caméra. Nous n'utiliserons qu'une seule caméra, mais dans des situations réelles, il est possible d'en créer plusieurs. Plusieurs caméras, par exemple, ont été utilisées dans le brillant jeu Earth 2150 : Escape from the blue Planet.

Alors de quoi je parle : des transformations sont nécessaires pour utiliser plusieurs espaces de coordonnées.

Tout d’abord, rappelons quelque chose à propos des vecteurs. La figure suivante nous y aidera :

Que voyons-nous ici : l'espace de coordonnées mondial formé par les axes x, y, z. Vecteurs unitaires je, j, k sont appelés vecteurs unitaires ou vecteurs de base de l'espace de coordonnées mondial. En utilisant la somme de ces vecteurs, vous pouvez obtenir n’importe quel vecteur dans l’espace de coordonnées mondial.

v- un vecteur qui relie l'origine des coordonnées du monde et l'origine des coordonnées de l'objet. La longueur du vecteur v est égale à la distance entre l'origine des coordonnées du monde et l'origine des coordonnées de l'objet. Considérons la forme vectorielle v=(5,2,5):

v=x* je+ oui* j+z* k = 5*je + 2*j + 5*k

Comme je l'ai écrit ci-dessus, à l'aide de vecteurs de base, vous pouvez représenter n'importe quel point (vecteur) d'un espace donné, ce que démontre cette équation.

Vecteurs p,q,r- vecteurs de base de l'espace objet. Veuillez noter que je,j,k ne sera pas nécessairement égal p,q,r.

Dans cette figure, j'ai omis un certain nombre de détails : dans l'espace de coordonnées de l'objet, trois points sont spécifiés qui forment un triangle. De plus, je n'ai pas indiqué la caméra, qui est dirigée vers le triangle.

Transformations de coordonnées linéaires à l'aide de matrices

Tout d'abord, regardons les vecteurs unitaires je,j,k, dont la direction coïncide avec les axes de coordonnées de l'espace mondial et sont appelés vecteurs unitaires ou vecteurs de base de l'espace mondial.

Écrivons ces vecteurs sous forme de coordonnées sous forme de matrices :

je= [ je x je y je z ] = [ 1 0 0 ] j= [ j x j y j z ] = [ 0 1 0 ] k= [ k X k y k z ] = [ 0 0 0 ]

Ici, les vecteurs sont représentés par des matrices 1x3 (matrices de lignes).

Nous pouvons écrire ces vecteurs de base en utilisant une seule matrice :

Et même, ce qui est bien plus important, on peut écrire ces vecteurs comme ceci :

Comme vous pouvez le voir, le résultat est une matrice unitaire de taille 3x3 ou 4x4.

Il semblerait, qu'est-ce qui ne va pas avec ça ? Pensez-y, il est possible d'écrire des vecteurs de base stupides de l'espace dans une seule matrice. Mais non, vous ne « penserez » pas !!! C’est là que se cache l’un des secrets les plus terribles de la programmation tridimensionnelle.

Comme je l'ai écrit plus haut, tout point présent dans le monde virtuel peut être écrit sous forme vectorielle :

v=x* je+ oui* j+z* k

Où v- point dans l'espace, x,y,z - coordonnées du point v, UN je,j,k- les vecteurs de base de l'espace. Notez que nous parlons ici d’un point, mais nous regardons un vecteur. J'espère que vous vous souvenez qu'un vecteur et un point sont essentiellement la même chose.

La formule ci-dessus est appelée la forme vectorielle d'un vecteur. Il existe un autre nom : une combinaison linéaire de vecteurs. C'est d'ailleurs vrai.

Maintenant, regardons à nouveau le vecteur v. Écrivons-le dans une matrice de lignes : v = [ 5 2 5 ]

Notez que la longueur du vecteur v est la distance entre l'origine de l'espace de coordonnées du monde et l'origine de l'espace de coordonnées de l'objet.

Essayons de multiplier ce vecteur par une matrice dans laquelle sont écrits les vecteurs de base de l'espace mondial (j'espère que vous vous souvenez de la formule de multiplication matricielle) :

En conséquence, nous obtenons l'équation suivante :

v M = [ (xi x + yj x + zk x) (xi y + yj y + zk y) (xi z + yj z + zk z) ]

Nous avons un vecteur. Ceux. Le résultat de la multiplication d'un vecteur par une matrice est un vecteur. Dans ce cas, le vecteur n’a pas changé. Mais si les éléments de la matrice ne sont pas des uns (sur la diagonale principale) et des zéros (tous les autres éléments), mais d'autres nombres, alors le vecteur changera. On peut donc dire que la matrice M effectue une transformation des espaces de coordonnées. Considérons la formule générale :

a, b sont des vecteurs, M est la matrice de transformation des espaces de coordonnées. La formule peut se lire ainsi : « la matrice M transforme le point a en point b ».

Pour plus de clarté, regardons un exemple. Nous devons convertir les coordonnées de l'espace objet (p, q) en espace monde (i, j) :

je,j- les vecteurs fondamentaux de l'espace mondial, p,q- vecteurs de base de l'espace objet. Sur l'image, vous pouvez voir que l'espace de coordonnées de l'objet pivote de -45 degrés autour de l'axe z (ce n'est pas visible sur l'image). De plus, les vecteurs q,p 1,5 fois plus de vecteurs je,j, ce qui signifie que les objets définis dans l'espace objet paraîtront une fois et demie plus petits dans l'espace mondial.

Pour visualiser à quoi ressemblera le modèle d'espace objet après la transformation, vous pouvez ajouter un cadre pour les vecteurs. je,j:

Vous pouvez dessiner le même cadre pour p,q, mais je n'ai pas encombré le dessin.

Supposons maintenant que nous ayons dessiné un triangle dans l’espace objet (Fig. a). Dans l'espace mondial, ce triangle sera tourné de 45 degrés et réduit d'un tiers (Fig. b) :

Rassemblons maintenant tous les éléments du puzzle : comme nous le savons, la transformation peut se faire à l'aide d'une matrice. Les lignes des matrices sont les vecteurs de base. Les coordonnées des vecteurs de base de l'espace de coordonnées mondial dans l'espace objet sont les suivantes :

je = [ 0.473 0.473 ] j = [ -0.473 0.473 ]

Comment avons-nous trouvé les coordonnées ? Premièrement, nous savons que les espaces de coordonnées pivotent les uns par rapport aux autres de 45 degrés. Deuxièmement, les vecteurs de base de l’espace objet sont 1,5 fois plus longs que les vecteurs de base de l’espace mondial. Sachant cela, nous avons facilement calculé les coordonnées des vecteurs je,j.

En conséquence, nous obtenons la matrice de transformation suivante (dans ce cas, rotation ou rotation) :

Ou dans un espace tridimensionnel :

Toutes les valeurs sont approximatives.

Il s'agit d'une matrice permettant de transformer les coordonnées de l'espace objet en espace inertiel (je vous rappelle que les vecteurs de base de l'espace inertiel coïncident avec les vecteurs de base de l'espace mondial). Pour convertir un triangle de l'espace objet en espace inertiel, vous devez multiplier tous les points (vecteurs) du triangle par la matrice de transformation.

Dans le dernier exemple, nous avons rencontré deux transformations : rotation et mise à l'échelle. Ces deux transformations sont linéaires.

Maintenant que nous avons examiné des exemples de transformations linéaires, nous pouvons nous familiariser avec la définition :

Les transformations linéaires sont des transformations de coordonnées qui ne déforment pas les espaces. Ceux. toutes les lignes parallèles restent parallèles (il y a cependant une exception). Ou tout simplement : avec les transformations linéaires, un triangle ne se transformera jamais en cercle ou en carré, mais restera toujours un triangle.

Maintenant que nous comprenons à peu près ce que sont les transformations linéaires, examinons des formules spécifiques :

Échelle

k 1 ,k 2 ,k 3 - facteurs d'échelle. Si k 1, les objets augmentent.

Rotation

Rotation autour de l'axe x :

Rotation autour de l'axe y :

Rotation autour de l'axe z :

D’ailleurs, c’est cette matrice (de rotation autour de l’axe z) que nous avons utilisée plus haut.

La rotation peut s'effectuer non seulement autour des axes formant l'espace de coordonnées, mais également autour de lignes droites arbitraires. La formule de rotation autour d'une droite arbitraire est assez complexe, nous ne sommes pas encore prêts à la considérer.

La chose la plus importante à retenir de ce qui précède est la suivante : les lignes de la matrice de transformation contiennent les vecteurs de base du nouvel espace de coordonnées, exprimés en termes de coordonnées de l'ancien espace de coordonnées. .

Si vous comprenez cette chose simple (que la matrice contient les vecteurs de base du nouvel espace), alors en regardant la matrice de transformation, vous pouvez facilement voir le nouvel espace de coordonnées.

Et la dernière chose :
Les transformations linéaires ne peuvent pas déplacer les objets. Ceux. les objets peuvent être agrandis/réduit, ils peuvent être tournés, mais ils resteront immobiles.

Transformations affines

Les transformations affines sont des transformations linéaires avec translation. En utilisant des transformations affines, vous pouvez déplacer des objets.

La formule est très simple :

A = bM + v ;

Où b est le point de départ, M est la matrice de transformation linéaire, a est le point de transformation et v est le vecteur reliant les deux espaces. Ou en d'autres termes, c'est un vecteur dont la longueur est égale à la distance entre deux espaces de coordonnées.

Dans l'image du début de la leçon, c'est la transformation affine qui est nécessaire : d'abord, une transformation linéaire de l'espace objet vers l'espace inertiel, puis le transfert de tous les points de l'espace objet vers l'espace monde à l'aide du vecteur v.

Pour simplifier les calculs dans la programmation graphique 3D, des vecteurs 4D, des matrices 4x4 et des coordonnées dites homogènes sont utilisés. La quatrième dimension ne joue aucun rôle, elle est introduite uniquement pour simplifier les calculs.

Comme vous l’avez peut-être deviné, un vecteur à quatre dimensions utilise quatre composantes : x, y, z et w. La quatrième composante du vecteur est appelée coordonnée homogène.

Il est très difficile de représenter géométriquement une coordonnée homogène. Par conséquent, nous considérerons un espace homogène tridimensionnel de coordonnées (x, y, w). Imaginons qu'un plan bidimensionnel soit défini au point w=1. Ainsi, un point bidimensionnel est représenté dans un espace homogène par les coordonnées suivantes (x,y,1). Tous les points de l'espace qui ne sont pas dans le plan (ils sont dans des plans où w != 1) peuvent être calculés par projection sur un plan bidimensionnel. Pour ce faire, vous devez diviser tous les composants de ce point en un élément homogène. Ceux. si w!=1, dans le plan « physique » (où l'on travaille et où w=1) les coordonnées du point seront les suivantes : (x/w,y/w,w/w) ou (x/w ,o/w ,1). Regarde l'image:

Les coordonnées des vecteurs sont les suivantes :

V 1 = [ 3 3 3 ] v 2 = [ 3 1 0 ] v 3 = [ 3 -2 -2 ]

Ces vecteurs sont projetés sur le plan « physique » (w=1) de la manière suivante :

V 1 = [ 1 1 1 ] v 3 = [ -1,5 1 1 ]

La figure montre trois vecteurs. Veuillez noter que lorsqu'un point se trouve dans le plan w=0, alors ce point ne peut pas être projeté sur le plan physique (vecteur v 2).

Pour chaque point du plan physique, il existe un nombre infini de points dans un espace homogène.

Dans un espace à quatre dimensions, tout est exactement pareil. Nous travaillons dans l'espace physique où w = 1 : (x,y,z,1). Si, à la suite de calculs, w != 1, alors vous devez diviser toutes les coordonnées du point en une coordonnée homogène : (x/w,y/w,z/w,w/w) ou (x/ w,y/w,z/w,1 ). Il existe également un cas particulier où w = 0. Nous y reviendrons plus tard.

Passons maintenant à la pratique : pourquoi diable avons-nous besoin d'une coordonnée homogène ?

Comme nous l'avons déjà découvert, une matrice 3x3 représente une transformation linéaire, c'est-à-dire il ne contient pas de transfert (mouvement). Un vecteur distinct est utilisé pour le transfert (et il s'agit d'une transformation affine) :

V = unM + b

Ceux. on multiplie tous les points (vecteurs) de l'objet par la matrice de transformation M pour aller au système de coordonnées inertielle (dont les vecteurs de base coïncident avec les vecteurs de base du système de coordonnées mondial), puis on arrive à l'espace mondial en utilisant le vecteur b . Permettez-moi de vous rappeler que le vecteur b relie le début de l'espace objet et le début de l'espace monde.

Ainsi, en utilisant quatre dimensions, vous pouvez regrouper à la fois les transformations linéaires (rotation, mise à l'échelle) et la traduction dans une seule matrice.

Imaginons que la quatrième composante soit toujours égale à un (même si nous avons déjà découvert que ce n'est pas le cas). La transformation linéaire peut maintenant être représentée à l'aide d'une matrice 4x4 :

Regardons la formule pour multiplier les vecteurs par une matrice de transformation dans un espace à quatre dimensions :

V x = (xi x + yj x + zk x + w*0) v y = (xi y + yj y + zk y + w*0) v z = (xi z + yj z + zk z + w*0) v w = (x*0 + y*0 + z*0 + w*1) Comme on peut le voir, les composantes du vecteur transformé utilisant une matrice 4x4 sont égales aux composantes du vecteur transformé utilisant une matrice 3x3. Le quatrième composant, comme nous l'avons convenu, sera toujours égal à un, il peut donc simplement être ignoré. On peut donc dire que les transformations effectuées par des matrices de taille 3x3 et 3x4 sont équivalentes.

Regardons maintenant la matrice de transfert :

Multipliez n'importe quel vecteur de l'espace objet (voir la figure au début de la leçon) par cette matrice et vous pourrez exprimer ce vecteur dans l'espace de coordonnées mondial (c'est si les vecteurs de base des espaces objet et mondial sont égaux).

Veuillez noter qu'il s'agit également d'une transformation linéaire, uniquement dans un espace à quatre dimensions.

En utilisant le produit matriciel, nous pouvons combiner la matrice de rotation et la matrice de translation :

Cette dernière matrice est exactement ce dont nous avions besoin dès le début. Vous devez avoir une bonne compréhension de la signification exacte de tous ses éléments (à l’exception de la 4ème colonne).

En coordonnées homogènes, un point s'écrit comme pour n'importe quel facteur d'échelle. De plus, si un point est représenté en coordonnées homogènes, alors ses coordonnées cartésiennes bidimensionnelles peuvent être trouvées comme et .

La signification géométrique des coordonnées homogènes est la suivante (Fig. 6). point arbitraire sur une ligne

Riz. 6. Interprétation géométrique de coordonnées homogènes

Ainsi, une correspondance biunivoque s'établit entre le point productif de coordonnées (x, y) et l'ensemble des triplets de nombres de la forme (W×x, W×y, W), W≠0, ce qui permet nous devons considérer les nombres W×x, W×y, W nouvelles coordonnées de ce point. Ainsi, les coordonnées homogènes peuvent être représentées comme une intégration d'un plan bidimensionnel mis à l'échelle par un facteur W dans le plan z = W (ici z = 1) dans l'espace tridimensionnel.

L'utilisation de coordonnées homogènes s'avère pratique pour résoudre même les problèmes les plus simples.

Si le dispositif d'affichage fonctionne uniquement avec des nombres entiers (ou s'il est nécessaire de travailler uniquement avec des nombres entiers), alors pour une valeur arbitraire de W (par exemple, W=1) un point de coordonnées uniformes (0,5 ; 0,1 ; 2,5) ne peut pas être représentée . Cependant, avec un choix raisonnable de W, il est possible de s'assurer que les coordonnées de ce point sont des nombres entiers. En particulier, avec W=10 pour l'exemple considéré nous avons (5 ; 1 ; 25).

Un autre cas. Pour éviter que les résultats de la transformation conduisent à un débordement arithmétique, pour un point de coordonnées (80000 ; 40000 ; 1000), on peut prendre par exemple W=0,001. En conséquence, nous obtenons (80 ; 40 ; 1).

Cependant, la principale application des coordonnées homogènes concerne les transformations géométriques, puisqu'à l'aide de triplets de coordonnées homogènes et de matrices du troisième ordre, toute transformation affine dans le plan peut être décrite. De même, en utilisant des quadruples de coordonnées homogènes et des matrices du quatrième ordre, vous pouvez décrire n'importe quelle transformation dans un espace tridimensionnel.

Comme on le sait, les transformations de translation, de mise à l'échelle et de rotation sous forme matricielle s'écrivent sous la forme

P' = P × S ;

La traduction est implémentée séparément (en utilisant l'addition) de la mise à l'échelle et de la rotation (en utilisant la multiplication). Si nous exprimons les points en coordonnées homogènes, alors les trois transformations peuvent être réalisées à l'aide de multiplications. Ici, nous examinerons les transformations 2D.

Les équations de transport s'écrivent sous la forme d'une matrice de transformation de coordonnées homogènes comme suit :

P' = P × T(dx, dy),

.

Parfois, de telles expressions s'écrivent comme suit :

Prenons par exemple la traduction en double point. Supposons qu'il soit nécessaire de déplacer le point P vers le point P' à une distance (dx1, dy1), puis vers P'' à une distance (dx2, dу2). Le transfert total doit être égal à la distance (dх1+d2, dу1+dу2). Écrivons les données sous la forme

P' = P × T (dx1, dy1) ;

P'' = P' × T (dx2, dy2).

En remplaçant la première formule par la seconde, on obtient

P'' = P × (T (dx1, dy1) × T (dx2, dy2)).

Le produit matriciel T (dx1, dy1) ∙ T (dx2, dy2) est

Ainsi, le transfert résultant est (dx1+dx2, dy1+dy2), c'est-à-dire les portages successifs sont additifs.

Les équations d'échelle sous forme matricielle utilisant des coordonnées homogènes s'écrivent sous la forme

,

.

P' = P' × S(Sx, Sy).

Le produit matriciel S(Sx1, Sy1) × S(Sx2, Sy2) est

Ainsi, les mises à l’échelle successives sont multiplicatives.

Enfin, l'équation de rotation (dans un système droitier) peut être représentée comme

.

Les rotations successives sont additives.

Composition de transformations 2D utilisant des coordonnées homogènes. Le produit matriciel est appelé dans différents cas union, connexion, concaténation Et composition. Nous utiliserons le dernier des termes énumérés.

Considérons, par exemple, la rotation d'un objet par rapport à un point arbitraire P1. Puisque nous savons seulement comment faire une rotation autour de l’origine, nous divisons le problème initial en trois sous-problèmes :

Translation, dans laquelle le point P1 est déplacé vers l'origine ;

Tourner;

Une translation dans laquelle un point de l'origine est ramené à sa position d'origine P1.

La séquence de ces transformations est présentée sur la figure. 7.1.

Riz. 7.1. Faire pivoter un objet autour d'un point arbitraire

La transformation qui en résulte ressemble à

En utilisant une approche similaire, vous pouvez redimensionner un objet par rapport à un point arbitraire P1 : déplacez P1 vers l'origine, redimensionnez-le, ramenez-le au point P1. La transformation résultante dans ce cas ressemblera à

Considérons une transformation plus complexe. Supposons que nous devions redimensionner, faire pivoter et positionner un objet au bon endroit (la maison sur la figure 7.2), où le centre de rotation et de mise à l'échelle est le point P1.

Riz. 7.2. exemple de séquence de conversion

La séquence de transformations consiste à déplacer le point P1 vers l'origine, à le mettre à l'échelle et à le faire pivoter, puis à passer de l'origine à une nouvelle position P2. La structure de données du programme d'application qui contient cette transformation peut contenir le(s) facteur(s) d'échelle, l'angle de rotation et les quantités de translation, ou la matrice de transformation résultante peut s'écrire :

T (-x1, -y1) × S (Sx, Sy) × R (A) × T (x2, y2).

En général, la multiplication matricielle est non commutative. Si M1 et M2 représentent une translation, une mise à l'échelle ou une rotation élémentaire, la commutativité est valable dans les cas particuliers suivants :

M1	M2
Traduire la mise à l'échelle Rotation la mise à l'échelle (à Sx=Sy)	Traduire Zoom Rotation Rotation

La composition de la forme la plus générale, constituée des opérations R, S et T, a pour matrice

Sa partie supérieure 2 × 2 est la matrice combinée de rotation et de mise à l'échelle, tandis que tx et ty décrivent la translation nette. Pour calculer P∙M comme produit d’un vecteur et d’une matrice 3 × 3, 9 opérations de multiplication et 6 opérations d’addition sont nécessaires. La structure de la dernière colonne de la matrice généralisée permet de simplifier les actions réellement réalisées.

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Problème de transformation de coordonnées est la suivante : connaître les coordonnées de la nouvelle origine et des nouveaux vecteurs de coordonnées dans l'ancien système :

, , , (3)

exprimer les coordonnées x,y points M dans l'ancien système de coordonnées, via les coordonnées ce point dans le nouveau système.

Des formules (3), il s'ensuit que

; ; . (4)

(selon la règle du triangle).

Parce que , , puis par définition des coordonnées du point , , c'est à dire. ; .

Ensuite, en utilisant les formules (4), on obtient :

où l'on trouve :

(5) ;

C'est ainsi que les coordonnées sont exprimées x,y point arbitraire M dans l'ancien système grâce à ses coordonnées dans le nouveau système .

Les formules (5) sont appelées formules pour transformer un système de coordonnées affines.

Coefficients à - coordonnées du nouveau vecteur dans l'ancien système ; coefficients , quand sont les coordonnées du nouveau vecteur dans l'ancien système, termes libres , sont les coordonnées de la nouvelle origine dans l'ancien système :

Coordonnées des points M

dans le nouveau système

X

à

=

=

+

+

+

+

Tableau est appelée la matrice de transition de la base , à la base , .

Cas particuliers de transformation affine

Systèmes de coordonnées

1. Transfert du début.

Avec cette transformation , , UN (Fig. 40).

Trouvons les coordonnées des vecteurs dans l'ancien système, c'est-à-dire , , Et :

Þ Þ , ;

Þ Þ , .

Alors les formules (5) prendront la forme :

À PROPOS DE"

Riz. 40

(7)

Les formules (7) sont appelées formules pour remplacer les vecteurs de coordonnées.

Le concept d'angle directionnel entre les vecteurs.

Conversion d'un système de coordonnées rectangulaires

La notion d'angle directionnel entre vecteurs est introduite sur un plan orienté.

Soient et des vecteurs non nuls spécifiés dans un certain ordre ( - le premier vecteur, - le deuxième vecteur).

Si || , Que angle directionnel entre le vecteur et le vecteur appelé

ordre de grandeur , si base , - c'est vrai ;

ordre de grandeur , si la base est laissée.

Si , Que angle directionnel entre eux est considéré comme égal si , puis (Fig. 42).

Considérons deux systèmes de coordonnées cartésiennes rectangulaires et . Laisser M(x;y) V, V . Puisqu'un système de coordonnées rectangulaires est un cas particulier d'un système affine, nous pouvons utiliser les formules (5) du §12, mais les coefficients , , , ne peut plus être arbitraire.

Trouvons les coordonnées des vecteurs dans l'ancien système. Considérons deux cas.

1) Les bases , et , sont orientées de manière identique (Fig. 43).

Un 1

UN

DANS

EN 1

À PROPOS DE"

Riz. 44

un

un

Triangles rectangles Et égal en hypoténuse et en angle aigu (
, ), ainsi, Et .

Depuis nous trouvons:

Ainsi, .

Ainsi, . Alors les formules (5) prendront la forme :

Notez que le déterminant de la matrice de transition de base , à base ,

.

2) Les bases , et , sont orientées de manière opposée (Fig. 45).

À PROPOS

À PROPOS DE"

Riz. 45

À PROPOS

À PROPOS DE"

DANS

EN 1

UN

Un 1

un

Riz. 46

Laisser . Ramenons les vecteurs à une origine commune À PROPOS(Fig. 46).

En raisonnant de manière similaire au cas 1), on obtient :

Ainsi, ; .

Alors les formules (5) prendront la forme :

Notez que le déterminant de la matrice de transition de base à base, dans ce cas

Les formules (8) et (9) peuvent être combinées :

, Où

.

Cas particuliers de transformation

Système de coordonnées rectangulaires

1. Transfert du début : , .

Coordonnées polaires

Si une règle est spécifiée selon laquelle la position des points sur un plan peut être déterminée à l'aide de paires ordonnées de nombres réels, alors ils disent qu'un système de coordonnées est spécifié sur le plan. En plus du système de coordonnées affines, évoqué au §10, un système de coordonnées polaires sur un plan est souvent utilisé en mathématiques.

Le système de coordonnées polaires est introduit sur un plan orienté.

Paire composée d'un point À PROPOS et le vecteur unitaire est appelé système de coordonnées polaires et est désigné ou . Directionnelle droite appelé axe polaire, point À PROPOS- pôle(Fig. 48).

Ainsi, . Si M coïncide avec À PROPOS, Que . Pour n'importe quel point M son rayon polaire

Si M coïncide avec le pôle À PROPOS, alors j n'est pas défini. De la définition de l'angle directionnel entre vecteurs (voir §13) il résulte que l'angle polaire

R.

Riz. 51

M

j

M1

Dérivons des formules pour la transition des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes rectangulaires et vice versa.

Soit un système de coordonnées polaires sur un plan orienté, , V. Attachons au système polaire un vecteur unitaire orthogonal au vecteur de manière à ce que la base soit droite (Fig. 51).

, .

Laisser M(x;y) V. Alors ; (Fig. 51).

A obtenu formules pour la transition des coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires:

Mettons au carré les deux côtés de ces égalités et ajoutons :

, où (la racine est prise avec le signe « + », car ). Þ Þ
;
.

un

À PROPOS

V

Riz. 52

Commentaire . Lors de la résolution de problèmes impliquant le passage des coordonnées cartésiennes rectangulaires aux coordonnées polaires, il ne suffit pas de trouver uniquement ou juste , parce que Il est impossible de déterminer sans ambiguïté l'angle polaire à partir d'une fonction trigonométrique : dans l'intervalle il y a deux angles avec les mêmes cosinus (deux angles avec les mêmes sinus) (Fig. 52). Par conséquent, vous ne pouvez trouver correctement l'angle polaire j que si vous calculez simultanément Et .