1. Fonction linéaire fractionnaire et son graphique

Une fonction de la forme y = P(x) / Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes, est appelée fonction rationnelle fractionnaire.

Avec la notion nombres rationnels vous vous connaissez probablement déjà. De même fonctions rationnelles sont des fonctions qui peuvent être représentées comme le quotient de deux polynômes.

Si une fonction rationnelle fractionnaire est le quotient de deux fonctions linéaires - polynômes du premier degré, c'est-à-dire fonction du formulaire

y = (ax + b) / (cx + d), alors on l'appelle fractionnaire linéaire.

Notons que dans la fonction y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (sinon la fonction devient linéaire y = ax/d + b/d) et que a/c ≠ b/d (sinon la la fonction est constante). La fonction fractionnaire linéaire est définie pour tous les nombres réels sauf x = -d/c. Les graphiques de fonctions linéaires fractionnaires ne diffèrent pas par leur forme du graphique y = 1/x que vous connaissez. Une courbe qui est un graphique de la fonction y = 1/x est appelée hyperbole. Avec une augmentation illimitée de x valeur absolue la fonction y = 1/x décroît indéfiniment en valeur absolue et les deux branches du graphique se rapprochent de l'axe des x : celle de droite s'approche par le haut, et celle de gauche par le bas. Les lignes auxquelles s'approchent les branches d'une hyperbole sont appelées ses asymptote.

Exemple 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Solution.

Sélectionnons la partie entière : (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Or il est facile de voir que le graphe de cette fonction est obtenu à partir du graphe de la fonction y = 1/x par les transformations suivantes : décalage de 3 segments unitaires vers la droite, s'étirant le long de l'axe Oy 7 fois et se décalant de 2 segments unitaires vers le haut.

Toute fraction y = (ax + b) / (cx + d) peut s'écrire de la même manière, en mettant en évidence la « partie entière ». Par conséquent, les graphiques de toutes les fonctions linéaires fractionnaires sont des hyperboles, décalées de diverses manières le long des axes de coordonnées et étirées le long de l'axe Oy.

Pour construire un graphique de n'importe quelle fonction linéaire fractionnaire arbitraire, il n'est pas du tout nécessaire de transformer la fraction définissant cette fonction. Puisque l'on sait que le graphe est une hyperbole, il suffira de trouver les droites auxquelles se rapprochent ses branches - les asymptotes de l'hyperbole x = -d/c et y = a/c.

Exemple 2.

Trouvez les asymptotes du graphique de la fonction y = (3x + 5)/(2x + 2).

Solution.

La fonction n'est pas définie, à x = -1. Cela signifie que la droite x = -1 sert d'asymptote verticale. Pour trouver l’asymptote horizontale, découvrons à quoi se rapprochent les valeurs de la fonction y(x) lorsque l’argument x augmente en valeur absolue.

Pour ce faire, divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par x :

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Lorsque x → ∞ la fraction tendra vers 3/2. Cela signifie que l'asymptote horizontale est la droite y = 3/2.

Exemple 3.

Représentez graphiquement la fonction y = (2x + 1)/(x + 1).

Solution.

Sélectionnons la « partie entière » de la fraction :

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Or il est facile de voir que le graphique de cette fonction est obtenu à partir du graphique de la fonction y = 1/x par les transformations suivantes : un décalage de 1 unité vers la gauche, un affichage symétrique par rapport à Ox et un décalage de 2 segments unitaires vers le haut le long de l'axe Oy.

Domaine D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Plage de valeurs E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Points d'intersection avec axes : c Oy : (0 ; 1) ; c Buffle : (-1/2 ; 0). La fonction augmente à chaque intervalle du domaine de définition.

Réponse : Figure 1.

2. Fonction rationnelle fractionnaire

Considérons une fonction rationnelle fractionnaire de la forme y = P(x) / Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes de degré supérieur au premier.

Exemples de telles fonctions rationnelles :

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ou y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Si la fonction y = P(x) / Q(x) représente le quotient de deux polynômes de degré supérieur au premier, alors son graphique sera, en règle générale, plus complexe, et il peut parfois être difficile de le construire avec précision , avec tous les détails. Cependant, il suffit souvent d’utiliser des techniques similaires à celles que nous avons déjà présentées ci-dessus.

Soit la fraction une fraction propre (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +pt x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +pt x + q t).

Évidemment, le graphique d'une fonction rationnelle fractionnaire peut être obtenu comme la somme de graphiques de fractions élémentaires.

Tracer des graphiques de fonctions rationnelles fractionnaires

Considérons plusieurs façons de construire des graphiques d'une fonction rationnelle fractionnaire.

Exemple 4.

Représentez graphiquement la fonction y = 1/x 2 .

Solution.

Nous utilisons le graphique de la fonction y = x 2 pour construire un graphique de y = 1/x 2 et utilisons la technique de « division » des graphiques.

Domaine D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Plage de valeurs E(y) = (0; +∞).

Il n'y a pas de points d'intersection avec les axes. La fonction est même. Augmente pour tout x à partir de l'intervalle (-∞; 0), diminue pour x de 0 à +∞.

Réponse : Figure 2.

Exemple 5.

Représentez graphiquement la fonction y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Solution.

Domaine D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Ici, nous avons utilisé la technique de factorisation, de réduction et de réduction à une fonction linéaire.

Réponse : Figure 3.

Exemple 6.

Représentez graphiquement la fonction y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Solution.

Le domaine de définition est D(y) = R. Puisque la fonction est paire, le graphique est symétrique par rapport à l'ordonnée. Avant de construire un graphique, transformons à nouveau l’expression en mettant en évidence toute la partie :

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Notez qu'isoler la partie entière dans la formule d'une fonction rationnelle fractionnaire est l'un des principaux lors de la construction de graphiques.

Si x → ±∞, alors y → 1, c'est-à-dire la droite y = 1 est une asymptote horizontale.

Réponse : Figure 4.

Exemple 7.

Considérons la fonction y = x/(x 2 + 1) et essayons de trouver avec précision sa plus grande valeur, c'est-à-dire le point le plus élevé dans la moitié droite du graphique. Pour construire ce graphique avec précision, les connaissances actuelles ne suffisent pas. Évidemment, notre courbe ne peut pas « monter » très haut, car le dénominateur commence rapidement à « dépasser » le numérateur. Voyons si la valeur de la fonction peut être égale à 1. Pour ce faire, nous devons résoudre l'équation x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Cette équation n'a pas de vraies racines. Cela signifie que notre hypothèse est incorrecte. Pour trouver le plus grande valeur fonction, vous devez découvrir à quel plus grand A l'équation A = x/(x 2 + 1) aura une solution. Remplaçons l'équation originale par une équation quadratique : Аx 2 – x + А = 0. Cette équation a une solution lorsque 1 – 4А 2 ≥ 0. De là, nous trouvons valeur la plus élevée A = 1/2.

Réponse : Figure 5, max y(x) = ½.

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Un graphe de fonction est une représentation visuelle du comportement d'une fonction sur un plan de coordonnées. Les graphiques vous aident à comprendre divers aspects fonctions qui ne peuvent pas être déterminées à partir de la fonction elle-même. Vous pouvez créer des graphiques de nombreuses fonctions, et chacune d'elles sera donnée une certaine formule. Le graphique de n'importe quelle fonction est construit à l'aide d'un algorithme spécifique (au cas où vous auriez oublié le processus exact de représentation graphique d'une fonction spécifique).

Mesures

Représenter graphiquement une fonction linéaire

Déterminez si la fonction est linéaire. Fonction linéaire est donné par une formule de la forme F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ou y = k X + b (\ displaystyle y = kx + b)(par exemple, ), et son graphique est une ligne droite. Ainsi, la formule comprend une variable et une constante (constante) sans aucun exposant, signe racine ou autre. Si une fonction d’un type similaire est donnée, il est assez simple de tracer un graphique d’une telle fonction. Voici d'autres exemples de fonctions linéaires :

Utilisez une constante pour marquer un point sur l'axe Y. La constante (b) est la coordonnée « y » du point où le graphique coupe l'axe Y, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un point dont la coordonnée « x » est égale à 0. Ainsi, si x = 0 est substitué dans la formule. , alors y = b (constante). Dans notre exemple y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5) la constante est égale à 5, c'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe Y a les coordonnées (0,5). Tracez ce point sur le plan de coordonnées.

Trouvez la pente de la droite. Il est égal au multiplicateur de la variable. Dans notre exemple y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5) avec la variable « x » il y a un facteur 2 ; ainsi, le coefficient de pente est égal à 2. Le coefficient de pente détermine l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe X, c'est-à-dire que plus le coefficient de pente est grand, plus la fonction augmente ou diminue rapidement.

Écrivez la pente sous forme de fraction. Le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison, c'est-à-dire le rapport de la distance verticale (entre deux points sur une droite) à la distance horizontale (entre les mêmes points). Dans notre exemple, la pente est de 2, nous pouvons donc affirmer que la distance verticale est de 2 et la distance horizontale est de 1. Écrivez ceci sous forme de fraction : 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Si la pente est négative, la fonction est décroissante.

1. À partir du point où la ligne droite coupe l'axe Y, tracez un deuxième point en utilisant les distances verticales et horizontales.

   Une fonction linéaire peut être représentée graphiquement à l’aide de deux points. Dans notre exemple, le point d'intersection avec l'axe Y a pour coordonnées (0,5) ; À partir de ce point, déplacez-vous de 2 cases vers le haut puis d’1 case vers la droite. Marquez un point ; il aura les coordonnées (1,7). Vous pouvez maintenant tracer une ligne droite.À l’aide d’une règle, tracez une ligne droite passant par deux points.

Pour éviter les erreurs, trouvez le troisième point, mais dans la plupart des cas, le graphique peut être tracé en utilisant deux points. Ainsi, vous avez tracé une fonction linéaire.

Représenter graphiquement une fonction complexe Les zéros d'une fonction sont les valeurs de la variable x où y = 0, c'est-à-dire que ce sont les points où le graphique coupe l'axe X. Gardez à l'esprit que toutes les fonctions n'ont pas de zéros, mais ce sont les premières. étape dans le processus de représentation graphique d’une fonction. Pour trouver les zéros d’une fonction, assimilez-la à zéro. Par exemple:

Trouvez et marquez les asymptotes horizontales. Une asymptote est une ligne que le graphique d'une fonction approche mais ne coupe jamais (c'est-à-dire que dans cette région, la fonction n'est pas définie, par exemple lors d'une division par 0). Marquez l'asymptote avec une ligne pointillée. Si la variable « x » est au dénominateur d'une fraction (par exemple, y = 1 4 − X 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), mettez le dénominateur à zéro et trouvez « x ». Dans les valeurs obtenues de la variable « x », la fonction n'est pas définie (dans notre exemple, tracez des lignes pointillées passant par x = 2 et x = -2), car vous ne pouvez pas diviser par 0. Mais les asymptotes n'existent pas seulement dans les cas où la fonction contient expression fractionnaire. Il est donc recommandé d'utiliser bon sens:

1. Trouvez les coordonnées de plusieurs points et tracez-les sur le plan de coordonnées. Sélectionnez simplement plusieurs valeurs x et branchez-les dans la fonction pour trouver les valeurs y correspondantes. Tracez ensuite les points sur le plan de coordonnées. Plus la fonction est complexe, plus plus de points doivent être trouvés et appliqués. Dans la plupart des cas, remplacez x = -1 ; x = 0 ; x = 1, mais si la fonction est complexe, trouvez trois points de chaque côté de l'origine.

   • En cas de fonction y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6) branchez les valeurs x suivantes : -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Vous obtiendrez quantité suffisante points.
   • Choisissez judicieusement vos valeurs x. Dans notre exemple, il est facile de comprendre que signe négatif n'a pas d'importance : la valeur de « y » à x = 10 et à x = -10 sera la même.
3. Si vous ne savez pas quoi faire, commencez par la substitution de fonction différentes significations"x" pour retrouver les valeurs "y" (et donc les coordonnées des points). Théoriquement, un graphique d'une fonction peut être construit en utilisant uniquement cette méthode (si, bien sûr, on y substitue une variété infinie de valeurs « x »).

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Dans cet article, nous examinerons fonction linéaire, graphique d'une fonction linéaire et de ses propriétés. Et, comme d'habitude, nous résoudrons plusieurs problèmes sur ce sujet.

Fonction linéaire appelée fonction de la forme

Dans une équation de fonction, le nombre par lequel nous multiplions est appelé coefficient de pente.

Par exemple, dans l'équation de fonction ;

dans l'équation de la fonction ;

dans l'équation de la fonction ;

dans l'équation de la fonction.

Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite.

1. Pour tracer une fonction, nous avons besoin des coordonnées de deux points appartenant au graphe de la fonction. Pour les trouver, vous devez prendre deux valeurs x, les remplacer dans l'équation de la fonction et les utiliser pour calculer les valeurs y correspondantes.

Par exemple, pour tracer un graphique de fonctions, il est pratique de prendre et , alors les ordonnées de ces points seront égales à et .

On obtient les points A(0;2) et B(3;3). Connectons-les et obtenons un graphique de la fonction :

2 . Dans une équation de fonction, le coefficient est responsable de la pente du graphique de fonction :

Titre="k>0">!}

Le coefficient est responsable du déplacement du graphique le long de l'axe :

Titre="b>0">!}

La figure ci-dessous montre des graphiques de fonctions ; ;

Notez que dans toutes ces fonctions le coefficient supérieur à zéro droite. De plus, que plus de valeur, plus la ligne droite est raide.

Dans toutes les fonctions - et nous voyons que tous les graphiques coupent l'axe OY au point (0;3)

Regardons maintenant les graphiques des fonctions ; ;

Cette fois dans toutes les fonctions le coefficient inférieur à zéro , et tous les graphiques de fonctions sont inclinés gauche.

Notez que plus |k| est grand, plus la ligne droite est raide. Le coefficient b est le même, b=3, et les graphiques, comme dans le cas précédent, coupent l'axe OY au point (0;3)

Regardons les graphiques des fonctions ; ;

Désormais, les coefficients de toutes les équations fonctionnelles sont égaux. Et nous avons trois lignes parallèles.

Mais les coefficients b sont différents, et ces graphiques coupent l'axe OY en différents points :

Le graphique de la fonction (b=3) coupe l'axe OY au point (0;3)

Le graphique de la fonction (b=0) coupe l'axe OY au point (0;0) - l'origine.

Le graphique de la fonction (b=-2) coupe l'axe OY au point (0;-2)

Ainsi, si nous connaissons les signes des coefficients k et b, alors nous pouvons immédiatement imaginer à quoi ressemble le graphique de la fonction.

Si k<0 и b>0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k>0 et b>0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k>0 et b<0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k<0 и b<0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k=0 , alors la fonction se transforme en fonction et son graphique ressemble à :

Les ordonnées de tous les points sur le graphique de la fonction sont égales

Si b=0, alors le graphe de la fonction passe par l'origine :

Ce graphique de proportionnalité directe.

3. Je voudrais noter séparément le graphique de l'équation. Le graphique de cette équation est une droite parallèle à l'axe dont tous les points ont une abscisse.

Par exemple, le graphique de l’équation ressemble à ceci :

Attention! L'équation n'est pas une fonction, puisque différentes valeurs de l'argument correspondent à la même valeur de la fonction, qui ne correspond pas.

4 . Condition de parallélisme de deux droites :

Graphique d'une fonction parallèle au graphique de la fonction, Si

5. La condition de perpendiculaire de deux droites :

Graphique d'une fonction perpendiculaire au graphique de la fonction, si ou

6. Points d'intersection du graphique d'une fonction avec les axes de coordonnées.

Avec axe OY. L'abscisse de tout point appartenant à l'axe OY est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OY, vous devez remplacer zéro dans l'équation de la fonction au lieu de x. On obtient y = b. C'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe OY a les coordonnées (0 ; b).

Avec axe OX : L'ordonnée de tout point appartenant à l'axe OX est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OX, vous devez remplacer zéro dans l'équation de la fonction au lieu de y. On obtient 0=kx+b. D'ici. Autrement dit, le point d'intersection avec l'axe OX a les coordonnées (;0) :

Examinons la résolution de problèmes.

1. Construire un graphique de la fonction si l'on sait qu'elle passe par le point A(-3;2) et est parallèle à la droite y=-4x.

L'équation de la fonction a deux paramètres inconnus : k et b. Le texte du problème doit donc contenir deux conditions caractérisant le graphe de la fonction.

a) Du fait que le graphique de la fonction est parallèle à la droite y=-4x, il s'ensuit que k=-4. Autrement dit, l'équation de la fonction a la forme

b) Il suffit de trouver b. On sait que le graphe de la fonction passe par le point A(-3;2). Si un point appartient au graphique d'une fonction, alors en substituant ses coordonnées dans l'équation de la fonction, on obtient l'égalité correcte :

donc b=-10

Il faut donc tracer la fonction

On connaît le point A(-3;2), prenons le point B(0;-10)

Plaçons ces points dans le plan de coordonnées et connectons-les par une ligne droite :

2. Écrire l'équation de la droite passant par les points A(1;1) ; B(2;4).

Si une ligne passe par des points avec des coordonnées données, les coordonnées des points satisfont à l’équation de la ligne. Autrement dit, si nous substituons les coordonnées des points dans l’équation de la droite, nous obtiendrons l’égalité correcte.

Remplaçons les coordonnées de chaque point dans l'équation et obtenons un système d'équations linéaires.

Soustrayez la première de la deuxième équation du système et obtenez . Remplaçons la valeur de k dans la première équation du système et obtenons b=-2.

Donc, l'équation de la droite.

3. Tracer l'équation

Pour trouver à quelles valeurs de l'inconnue le produit de plusieurs facteurs est égal à zéro, vous devez assimiler chaque facteur à zéro et prendre en compte chaque multiplicateur.

Cette équation n'a aucune restriction sur ODZ. Factorisons la deuxième tranche et fixons chaque facteur égal à zéro. On obtient un ensemble d'équations :

Construisons des graphiques de toutes les équations de l'ensemble dans un plan de coordonnées. Voici le graphique de l'équation :

4. Construire un graphique de la fonction si elle est perpendiculaire à la droite et passe par le point M(-1;2)

Nous ne construirons pas de graphique, nous trouverons seulement l'équation de la droite.

a) Puisque le graphique d'une fonction, si elle est perpendiculaire à une droite, donc donc. Autrement dit, l'équation de la fonction a la forme

b) On sait que le graphe de la fonction passe par le point M(-1;2). Remplaçons ses coordonnées dans l'équation de la fonction. On obtient :

D'ici.

Notre fonction ressemble donc à : .

5. Représenter graphiquement la fonction

Simplifions l'expression du côté droit de l'équation de la fonction.

Important! Avant de simplifier l'expression, trouvons son ODZ.

Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul, donc title="x1">, title="x-1">.!}

Notre fonction prend alors la forme :

Titre="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

C'est-à-dire que nous devons construire un graphique de la fonction et y découper deux points : avec les abscisses x=1 et x=-1 :

Donné matériel méthodologique est à titre de référence uniquement et s’applique à un large éventail de sujets. L'article donne un aperçu des graphiques des fonctions élémentaires de base et discute la question la plus importante – comment construire un graphique correctement et RAPIDEMENT. Pendant l'étude mathématiques supérieures Sans connaître les graphiques des fonctions élémentaires de base, cela sera difficile, il est donc très important de se rappeler à quoi ressemblent les graphiques d'une parabole, d'une hyperbole, d'un sinus, d'un cosinus, etc., et de se souvenir de certaines valeurs de fonction. Nous parlerons également de certaines propriétés des fonctions principales.

Je ne prétends pas à l'exhaustivité et à la rigueur scientifique des matériaux ; l'accent sera mis avant tout sur la pratique - ces choses avec lesquelles on rencontre littéralement à chaque étape, dans n'importe quel sujet de mathématiques supérieures. Des graphiques pour les nuls ? On pourrait le dire.

En raison de nombreuses demandes de lecteurs table des matières cliquable:

De plus, il y a un très court résumé sur le sujet
– maîtrisez 16 types de graphiques en étudiant SIX pages !

Sérieusement, six, même moi j'ai été surpris. Ce résumé contient des graphiques améliorés et est disponible pour une somme modique, vous pouvez voir la version de démonstration. Il est pratique d'imprimer le fichier pour que les graphiques soient toujours à portée de main. Merci de soutenir le projet !

Et commençons tout de suite :

Comment construire correctement les axes de coordonnées ?

En pratique, les tests sont presque toujours complétés par les étudiants dans des cahiers séparés, alignés en carré. Pourquoi avez-vous besoin de marquages ​​à carreaux ? Après tout, le travail peut en principe être effectué sur des feuilles A4. Et la cage est nécessaire uniquement pour une conception précise et de haute qualité des dessins.

Tout dessin d'un graphe de fonctions commence par des axes de coordonnées.

Les dessins peuvent être en deux ou trois dimensions.

Considérons d'abord le cas bidimensionnel cartésien système rectangulaire coordonnées:

1) Dessinez des axes de coordonnées. L'axe s'appelle axe x , et l'axe est axe y . Nous essayons toujours de les dessiner soigné et pas tordu. Les flèches ne doivent pas non plus ressembler à la barbe de Papa Carlo.

2) Étiquetez les axes en majuscules"X" et "Y". N'oubliez pas d'étiqueter les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes : dessine un zéro et deux un. Lors de la réalisation d'un dessin, l'échelle la plus pratique et la plus fréquemment utilisée est : 1 unité = 2 cellules (dessin à gauche) - si possible, respectez-la. Cependant, il arrive de temps en temps que le dessin ne rentre pas sur la feuille du cahier - alors on réduit l'échelle : 1 unité = 1 cellule (dessin à droite). C'est rare, mais il arrive que l'échelle du dessin doive être réduite (ou augmentée) encore plus

Il n'y a PAS BESOIN de « mitrailleuse »…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Car le plan coordonné n’est pas un monument à Descartes, et l’étudiant n’est pas une colombe. Nous mettons zéro Et deux unités le long des axes. Parfois au lieu de unités, il est pratique de « marquer » d'autres valeurs, par exemple « deux » sur l'axe des abscisses et « trois » sur l'axe des ordonnées - et ce système (0, 2 et 3) définira également de manière unique la grille de coordonnées.

Il est préférable d'estimer les dimensions estimées du dessin AVANT de construire le dessin. Ainsi, par exemple, si la tâche nécessite de dessiner un triangle avec des sommets , , , alors il est tout à fait clair que l'échelle populaire de 1 unité = 2 cellules ne fonctionnera pas. Pourquoi? Regardons le point - ici, vous devrez mesurer quinze centimètres vers le bas et, évidemment, le dessin ne tiendra pas (ou à peine) sur une feuille de cahier. Par conséquent, nous sélectionnons immédiatement une échelle plus petite : 1 unité = 1 cellule.

À propos, à propos des centimètres et des cellules du cahier. Est-il vrai que 30 cellules de cahier contiennent 15 centimètres ? Pour vous amuser, mesurez 15 centimètres dans votre cahier avec une règle. En URSS, cela aurait pu être vrai... Il est intéressant de noter que si l'on mesure ces mêmes centimètres horizontalement et verticalement, les résultats (dans les cellules) seront différents ! À proprement parler, les cahiers modernes ne sont pas à carreaux, mais rectangulaires. Cela peut sembler absurde, mais dessiner, par exemple, un cercle avec une boussole dans de telles situations est très gênant. Pour être honnête, dans de tels moments, vous commencez à penser à la justesse du camarade Staline, qui a été envoyé dans des camps pour travailler dans la production, sans parler de l'industrie automobile nationale, des chutes d'avions ou de l'explosion de centrales électriques.

En parlant de qualité, ou une brève recommandation sur la papeterie. Aujourd'hui, la plupart des cahiers sont en vente, gros mots sans parler de conneries complètes. Pour la raison qu'ils sont mouillés, et pas seulement à cause des stylos gel, mais aussi des stylos à bille ! Ils économisent de l'argent sur le papier. Pour l'inscription essais Je recommande d'utiliser des cahiers de l'usine de pâtes et papiers d'Arkhangelsk (18 feuilles, carrées) ou « Pyaterochka », bien que ce soit plus cher. Il est conseillé de choisir un stylo gel ; même la recharge gel chinoise la moins chère est bien meilleure qu'un stylo à bille, qui tache ou déchire le papier. Le seul « compétitif » stylo à bille dans ma mémoire, c'est "Erich Krause". Elle écrit clairement, magnifiquement et de manière cohérente – que ce soit avec un noyau plein ou presque vide.

En plus: La vision d'un système de coordonnées rectangulaires à travers les yeux de la géométrie analytique est abordée dans l'article Dépendance linéaire (non) des vecteurs. Base des vecteurs, informations détaillées sur les quartiers de coordonnées peuvent être trouvés dans le deuxième paragraphe de la leçon Inégalités linéaires.

Cas 3D

C'est presque pareil ici.

1) Dessinez des axes de coordonnées. Standard: application de l'axe – dirigé vers le haut, axe – dirigé vers la droite, axe – dirigé vers le bas vers la gauche strictementà un angle de 45 degrés.

2) Étiquetez les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes. L'échelle le long de l'axe est deux fois plus petite que l'échelle le long des autres axes. Notez également que dans le dessin de droite j'ai utilisé une "encoche" non standard le long de l'axe (cette possibilité a déjà été évoquée plus haut). De mon point de vue, c'est plus précis, plus rapide et plus esthétique - il n'est pas nécessaire de chercher le milieu de la cellule au microscope et de « sculpter » une unité proche de l'origine des coordonnées.

Lorsque vous réalisez un dessin 3D, encore une fois, donnez la priorité à l'échelle
1 unité = 2 cellules (dessin à gauche).

A quoi servent toutes ces règles ? Les règles sont faites pour être enfreintes. C'est ce que je vais faire maintenant. Le fait est que les dessins ultérieurs de l'article seront réalisés par moi dans Excel et que les axes de coordonnées sembleront incorrects du point de vue conception correcte. Je pourrais dessiner tous les graphiques à la main, mais c’est vraiment effrayant de les dessiner car Excel hésite à les dessiner avec beaucoup plus de précision.

Graphiques et propriétés de base des fonctions élémentaires

Une fonction linéaire est donnée par l'équation. Le graphique des fonctions linéaires est direct. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points.

Exemple 1

Construisez un graphique de la fonction. Trouvons deux points. Il est avantageux de choisir zéro comme l'un des points.

Si, alors

Prenons un autre point, par exemple le 1.

Si, alors

Lors de l'exécution des tâches, les coordonnées des points sont généralement résumées dans un tableau :

Et les valeurs elles-mêmes sont calculées oralement ou sur un brouillon, une calculatrice.

Deux points ont été trouvés, faisons le dessin :

Lors de la préparation d'un dessin, nous signons toujours les graphiques.

Il serait utile de rappeler des cas particuliers de fonction linéaire :

Remarquez comment j'ai placé les signatures, les signatures ne doivent pas permettre de divergences lors de l'étude du dessin. DANS dans ce cas Il était extrêmement indésirable de mettre une signature à côté du point d'intersection des lignes, ou en bas à droite entre les graphiques.

1) Une fonction linéaire de la forme () est appelée proportionnalité directe. Par exemple, . Un graphe de proportionnalité directe passe toujours par l'origine. Ainsi, la construction d'une ligne droite est simplifiée : il suffit de trouver un seul point.

2) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est tracé immédiatement, sans trouver de points. C'est-à-dire que l'entrée doit être comprise comme suit : « le y est toujours égal à –4, pour toute valeur de x ».

3) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est également tracé immédiatement. L'entrée doit être comprise comme suit : « x est toujours, pour toute valeur de y, égal à 1. »

Certains se demanderont pourquoi se souvenir de la 6e année ?! C'est comme ça, c'est peut-être vrai, mais au fil des années de pratique, j'ai rencontré une bonne douzaine d'étudiants qui étaient déconcertés par la tâche de construire un graphique comme ou.

Construire une ligne droite est l’action la plus courante lors de la réalisation de dessins.

La droite est discutée en détail au cours de la géométrie analytique, et ceux que cela intéresse peuvent se référer à l'article Équation d'une droite sur un plan.

Graphique d'une fonction quadratique et cubique, graphique d'un polynôme

Parabole. Calendrier fonction quadratique () représente une parabole. Considérons le cas célèbre :

Rappelons quelques propriétés de la fonction.

Donc, la solution de notre équation : – c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. La raison pour laquelle il en est ainsi peut être trouvée dans l'article théorique sur la dérivée et la leçon sur les extrema de la fonction. En attendant, calculons la valeur « Y » correspondante :

Ainsi, le sommet est au point

On retrouve maintenant d'autres points, tout en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il convient de noter que la fonction – n'est même pas, mais néanmoins personne n'a annulé la symétrie de la parabole.

Dans quel ordre trouver les points restants, je pense que cela ressortira clairement du tableau final :

Cet algorithme de construction peut, au sens figuré, être appelé une « navette » ou le principe du « va-et-vient » avec Anfisa Chekhova.

Faisons le dessin :

Des graphiques examinés, une autre fonctionnalité utile me vient à l’esprit :

Pour une fonction quadratique () ce qui suit est vrai :

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

Des connaissances approfondies sur la courbe peuvent être obtenues dans la leçon Hyperbole et parabole.

Une parabole cubique est donnée par la fonction. Voici un dessin familier de l'école :

Listons les principales propriétés de la fonction

Graphique d'une fonction

Elle représente l'une des branches d'une parabole. Faisons le dessin :

Principales propriétés de la fonction :

Dans ce cas, l'axe est asymptote verticale pour le graphique d'une hyperbole en .

Volonté GROSSE erreur, si, lors de l'élaboration d'un dessin, vous laissez négligemment le graphique se croiser avec une asymptote.

De plus, les limites unilatérales nous indiquent que l'hyperbole pas limité d'en haut Et non limité par le bas.

Examinons la fonction à l'infini : , c'est-à-dire que si nous commençons à nous déplacer le long de l'axe vers la gauche (ou la droite) jusqu'à l'infini, alors les « jeux » se dérouleront de manière ordonnée. infiniment proche approchez de zéro et, par conséquent, les branches de l'hyperbole infiniment proche se rapprocher de l'axe.

L'axe est donc asymptote horizontale pour le graphique d’une fonction, si « x » tend vers plus ou moins l’infini.

La fonction est impair, et, par conséquent, l’hyperbole est symétrique par rapport à l’origine. Ce faitévident d'après le dessin, de plus, cela se vérifie facilement analytiquement : .

Le graphique d'une fonction de la forme () représente deux branches d'une hyperbole.

Si , alors l'hyperbole est située dans les premier et troisième quartiers de coordonnées(voir photo ci-dessus).

Si , alors l'hyperbole est située dans les deuxième et quatrième quartiers de coordonnées.

Le modèle indiqué de résidence des hyperboles est facile à analyser du point de vue des transformations géométriques des graphiques.

Exemple 3

Construire la branche droite de l'hyperbole

Nous utilisons la méthode de construction par points, et il est avantageux de sélectionner les valeurs pour qu'elles soient divisibles par un tout :

Faisons le dessin :

Il ne sera pas difficile de construire la branche gauche de l'hyperbole ; l'étrangeté de la fonction sera utile ici. Grosso modo, dans le tableau de construction point par point, on ajoute mentalement un moins à chaque nombre, on met les points correspondants et on trace la deuxième branche.

Des informations géométriques détaillées sur la droite considérée peuvent être trouvées dans l'article Hyperbole et parabole.

Graphique d'une fonction exponentielle

Dans cette section, je considérerai immédiatement la fonction exponentielle, puisque dans les problèmes de mathématiques supérieures dans 95 % des cas c'est l'exponentielle qui apparaît.

Permettez-moi de vous rappeler qu'il s'agit d'un nombre irrationnel : , cela sera nécessaire lors de la construction d'un graphe, que, en fait, je construirai sans cérémonie. Trois points, c'est peut-être suffisant :

Laissons le graphique de la fonction seul pour l'instant, nous y reviendrons plus tard.

Principales propriétés de la fonction :

Les graphiques de fonctions, etc., se ressemblent fondamentalement.

Je dois dire que le deuxième cas est moins fréquent dans la pratique, mais il se produit, j'ai donc jugé nécessaire de l'inclure dans cet article.

Graphique d'une fonction logarithmique

Considérons une fonction avec logarithme népérien.
Faisons un dessin point par point :

Si vous avez oublié ce qu'est un logarithme, référez-vous à vos manuels scolaires.

Principales propriétés de la fonction :

Domaine de définition:

Plage de valeurs : .

La fonction n'est pas limitée par le haut : , quoique lentement, mais la branche du logarithme monte vers l'infini.
Examinons le comportement de la fonction proche de zéro à droite : . L'axe est donc asymptote verticale pour le graphique d’une fonction lorsque « x » tend vers zéro à partir de la droite.

Il est impératif de connaître et de mémoriser la valeur typique du logarithme: .

En principe, le graphique du logarithme en base est le même : , , (logarithme décimal en base 10), etc. De plus, plus la base est grande, plus le graphique sera plat.

Nous ne considérerons pas ce cas ; je ne me souviens pas de la dernière fois où j’ai construit un graphique avec une telle base. Et le logarithme semble être un invité très rare dans les problèmes de mathématiques supérieures.

À la fin de ce paragraphe, je dirai encore un fait : Fonction exponentielle et fonction logarithmique- les deux sont réciproques fonctions inverses . Si vous regardez attentivement le graphique du logarithme, vous pouvez voir qu’il s’agit du même exposant, il est juste situé un peu différemment.

Graphiques de fonctions trigonométriques

Où commencent les tourments trigonométriques à l’école ? Droite. Du sinus

Traçons la fonction

Cette ligne s'appelle sinusoïde.

Je vous rappelle que « pi » est un nombre irrationnel : , et en trigonométrie il éblouit les yeux.

Principales propriétés de la fonction :

Cette fonction est périodique avec point. Qu'est-ce que ça veut dire? Regardons le segment. À gauche et à droite, exactement la même partie du graphique est répétée à l’infini.

Domaine de définition: , c'est-à-dire que pour toute valeur de « x », il existe une valeur sinusoïdale.

Plage de valeurs : . La fonction est limité: , c'est-à-dire que tous les « jeux » se situent strictement dans le segment .
Cela n’arrive pas : ou, plus précisément, cela arrive, mais ces équations n’ont pas de solution.