Construction d'une coupe transversale d'un tétraèdre à l'aide de trois points en ligne. Tétraèdre. Problèmes de construction de sections dans un tétraèdre

Aujourd'hui, nous verrons à nouveau comment construire une section transversale d'un tétraèdre avec un plan.
Considérons le cas le plus simple (niveau obligatoire), où 2 points du plan de coupe appartiennent à une face, et le troisième point appartient à une autre face.

Laissez-nous vous rappeler algorithme de construction de sections de ce type (cas : 2 points appartiennent à la même face).

1. Nous recherchons une face contenant 2 points du plan de section. Tracez une ligne droite passant par deux points situés sur la même face. On retrouve les points de son intersection avec les arêtes du tétraèdre. La partie de la ligne droite qui aboutit au visage est le côté de la section.

2. Si le polygone peut être fermé, la section a été construite. S'il est impossible de fermer, alors on trouve le point d'intersection de la ligne construite et du plan contenant le troisième point.

1. On voit que les points E et F se trouvent sur la même face (BCD), tracez une droite EF dans le plan (BCD).
2. Trouvez le point d'intersection de la droite EF avec l'arête du tétraèdre BD, c'est le point H.
3. Vous devez maintenant trouver le point d'intersection de la droite EF et du plan contenant le troisième point G, c'est-à-dire avion (ADC).
La droite CD se situe dans les plans (ADC) et (BDC), ce qui signifie qu'elle coupe la droite EF, et le point K est le point d'intersection de la droite EF et du plan (ADC).
4. Ensuite, nous trouvons deux autres points situés dans le même plan. Ce sont les points G et K, tous deux situés dans le plan de la face latérale gauche. Nous traçons une ligne GK et marquons les points auxquels cette ligne coupe les bords du tétraèdre. Ce sont les points M et L.
4. Il reste à « fermer » la section, c'est-à-dire relier les points se trouvant sur une même face. Ce sont les points M et H, mais aussi L et F. Ces deux segments sont invisibles, on les dessine avec une ligne pointillée.

La section transversale s’est avérée être un quadrilatère MHFL. Tous ses sommets se trouvent sur les bords du tétraèdre. Sélectionnons la section résultante.

Formulons maintenant "propriétés" d'une section correctement construite :

1. Tous les sommets d'un polygone, qui est une section, se trouvent sur les arêtes d'un tétraèdre (parallélépipède, polygone).

2. Tous les côtés de la section reposent sur les faces du polyèdre.
3. Chaque face d'un polygone ne peut contenir plus d'un côté (un ou aucun !) de la section.

Sujet : "Construction de sections d'un tétraèdre et d'un parallélépipède."

Article: géométrie

Classe: 10

Technologies pédagogiques utilisées :

technologie de l'apprentissage par projet, technologie de l'information.

Sujet de la leçon: Construction de sections d'un tétraèdre et d'un parallélépipède

Type de cours: une leçon de consolidation et de développement des connaissances.

Formes de travail dans la leçon: frontal, individuel

Liste des sources et logiciels et outils pédagogiques utilisés :

1. . Géométrie. 10-11 années, - M : Éducation, 2006.

2. . Tâches pour le développement de concepts spatiaux. Livre pour les enseignants. - M. : Éducation, 1991.

3. G. Prokopenko. Méthodes de résolution de problèmes de construction de sections de polyèdres. 10e année. ChPGU, Tcheliabinsk. Journal pédagogique et méthodologique hebdomadaire "Mathématiques" 31/2001.

4. A. Mordkovitch. Séminaire neuf. Sujet : Construction de sections de polyèdres (problèmes de position). Supplément hebdomadaire au journal "Premier Septembre". Mathématiques. 3/94.

5. Cours interactif multimédia "Mathématiques ouvertes. Stéréométrie". Physique

6. « Géométrie vivante »

Pédagogique:

Testez vos connaissances du matériel théorique sur les polyèdres (tétraèdre, parallélépipède).

Continuez à développer la capacité d'analyser un dessin, de mettre en évidence les principaux éléments lorsque vous travaillez avec un modèle polyèdre, de décrire le déroulement de la résolution d'un problème et d'anticiper le résultat final.

Développer des compétences dans la résolution de problèmes impliquant la construction de sections de polyèdres.

Développer la culture graphique et le discours mathématique.

Développer des compétences dans l'utilisation de la technologie informatique dans les cours de géométrie.

Pédagogique:

Développer intérêt cognitifétudiants.

Former et développer l'imagination spatiale des élèves.

Pédagogique:

Favoriser l’indépendance, la précision et le travail acharné.

Développer la capacité de travailler individuellement sur une tâche.

Cultivez la volonté et la persévérance pour obtenir les résultats finaux.

Assistance technique :

Ordinateur avec programmes installés"Géométrie vivante" Powerpoint, projecteur multimédia.

Polycopié:

Fiches-formulaires avec tâches pour travaux pratiques, fiches vierges avec réponses pour tests mutuels, supports - mémos, présentation sur le thème « Axiomes de stéréométrie, leurs conséquences », présentation étudiante « Construction de sections d'un parallélépipède », crayons de couleur.

Structure de la leçon.

	Salutations. Moment organisationnel.
	Fixer le but et les objectifs de la leçon.
	Répétition du matériel étudié à l'aide de la présentation.
	Actualisation des connaissances de base.
	Travaux pratiques pour la construction de sections.
	Examen par les pairs.
	Devoirs
	Réflexion.

Progression de la leçon :

1) Salutation. Moment organisationnel.

2) Fixer les buts et objectifs de la leçon.

Les problèmes de construction de sections dans les polyèdres occupent une place prépondérante au cours de la stéréométrie. Leur rôle tient au fait que la résolution de ce type de problèmes contribue à l'assimilation des axiomes de stéréométrie, de leurs conséquences, au développement de concepts spatiaux et de compétences constructives. La capacité à résoudre des problèmes impliquant la construction de sections constitue la base de l'étude de presque tous les sujets du cours de stéréométrie. Lors de la résolution de nombreux problèmes stéréométriques, des sections planes de polyèdres sont utilisées.

Dans les leçons précédentes, nous avons fait connaissance avec les axiomes de la stéréométrie, corollaires des axiomes et théorèmes sur le parallélisme des droites et des plans dans l'espace. Nous avons examiné des algorithmes permettant de construire des sections simples d'un cube, d'un tétraèdre et d'un parallélépipède. Ces sections, en règle générale, étaient spécifiées par des points situés sur les bords ou les faces du polyèdre. Aujourd'hui, dans la leçon, nous répéterons les énoncés géométriques qui nous permettent de formuler les règles de construction des sections. Nous apprendrons également à appliquer ces connaissances pour résoudre le problème de la construction d'une section d'un tétraèdre et d'un parallélépipède avec un plan passant par trois points donnés, tels que trois de ces points ne se trouvent pas sur la même face.

3) Répétition du matériel étudié à l'aide de la présentation.

Passons en revue quelques questions théoriques.

(présentation 1, diapositives 1-10)

4) Actualisation des connaissances de base.

Présentation étudiante « Construction de sections d'un parallélépipède ».

Rappelons maintenant l'algorithme de construction d'une section de tétraèdre en utilisant l'exemple de deux problèmes (présentation 1, diapositives 11-12).(la construction est commentée étape par étape par le professeur).

Alexey Pashchenko, à l'aide de sa présentation, nous rappellera les algorithmes de construction de sections parallélépipédiques (présentation 2, diapositives 1-5) (l'élève montre des diapositives, commentant la séquence de construction)

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Travaux pratiques de construction de sections d'un parallélépipède. Annexe 1

Annexe 2

Prise en charge des rappels

Axiome

Corollaires des axiomes :

Construction de sections d'un tétraèdre et d'un parallélépipède. Contenu : 1. Buts et objectifs. 2. Présentation. 3. Le concept de plan de coupe. 4. Définition de la section. 5. Règles de construction des sections. 6. Types de sections de tétraèdre. 7. Types de sections d'un parallélépipède. 8. Problème de construction d'une section efficace d'un tétraèdre avec explication. 9. Problème de construction d'une section efficace d'un tétraèdre avec explication. 10. La tâche de construire une section d'un tétraèdre à l'aide de questions directrices. 11. Deuxième option pour résoudre le problème précédent. 12. Problème de construction d'une section d'un parallélépipède. 13. Problème de construction d'une section d'un parallélépipède. 14. Souhaits aux étudiants. But du travail : Développement de concepts spatiaux chez les étudiants. Objectifs : Introduire les règles de construction des sections. Développer des compétences dans la construction de sections d'un tétraèdre et d'un parallélépipède dans divers cas de spécification d'un plan de coupe. Développer la capacité d'appliquer les règles de construction de sections lors de la résolution de problèmes sur les thèmes « Polyèdres ». Pour résoudre de nombreux problèmes géométriques, il est nécessaire de construire leurs sections en utilisant différents plans. Le plan de coupe d'un parallélépipède (tétraèdre) est tout plan des deux côtés duquel se trouvent des pointes d'un parallélépipède (tétraèdre) donné. L Le plan de coupe coupe les faces du tétraèdre (parallélépipède) le long de segments. L Un polygone dont les côtés sont ces segments est appelé section d'un tétraèdre (parallélépipède). Pour construire une section, vous devez construire les points d'intersection du plan de coupe avec les arêtes et les relier avec des segments. Dans ce cas, il faut prendre en compte les éléments suivants : 1. Vous ne pouvez relier que deux points situés dans le plan d'une même face. 2. Un plan de coupe coupe des faces parallèles le long de segments parallèles. 3. Si un seul point est marqué dans le plan de face, appartenant au plan de coupe, alors un point supplémentaire doit être construit. Pour ce faire, il faut trouver les points d'intersection des lignes déjà construites avec d'autres lignes situées sur les mêmes faces. Quels polygones peut-on obtenir dans une section ? Un tétraèdre a 4 faces. En coupes vous pouvez obtenir : Des Triangles Des Quadrilatères Le parallélépipède a 6 faces Des Triangles Des Pentagones Dans ses coupes vous pouvez obtenir : Des Quadrilatères Des Hexagones Construire une section du tétraèdre DABC avec un plan passant par les points M,N,K D M AA 1. . Tracez une ligne droite passant par les points M et K, car. ils se trouvent sur la même face (ADC). N K BB C C 2. Traçons une ligne droite passant par les points K et N, car ils reposent sur la même face (CDB). 3. En utilisant un raisonnement similaire, nous traçons la droite MN. 4. MNK – section obligatoire. Construire une section du tétraèdre avec un plan passant par les points E, F, K. 1. Nous réalisons KF. 2. Nous réalisons FE. 3. Continuez avec EF, continuez avec AC. D F 4. EF AC =M 5. Effectuer MK. E M C 6. MK AB=L A L K Règles B 7. Dessinez EL EFKL – la section requise Construisez une section du tétraèdre avec un plan passant par les points E, F, K. Avec quelle droite se trouve un point dans lequel pouvez-vous relier le résultant Quelles frontières peuvent être étendues à la fois pour obtenir des points qui se trouvent dans la même connexion ? connecter le point supplémentaire résultant ? visages, nommez la section. point supplémentaire ? D et E AC ELFK FSEK et le point K, et FK F L C M A E K B Règles Deuxième méthode Construire une section d'un tétraèdre avec un plan passant par les points E, F, K. D F L C A E K B Règles Première méthode O Méthode n°1. Méthode numéro 2. Conclusion : quel que soit le mode de construction, les sections sont les mêmes. Construire des sections d'un parallélépipède par un plan passant par les points B1, M, N Règles B1 D1 C1 A1 P K B D A E N C O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2. Continuer 4. B1O MN,BA 5. B1O ∩ A1A=K 6. KM 7. Continuer avec MN et BD. 8. MN ∩ BD=E 9. B1E 10. B1E ∩ D1D=P, PN Parallélépipède et tétraèdre, sections Dictée sur le thème « Tétraèdre, parallélépipède » Option I Option II 1. Quelle surface appelle-t-on un tétraèdre ? parallélépipède? 2. Quels sont les faces, les arêtes et les sommets d’un parallélépipède ? tétraèdre? 3. Énoncez la propriété d’un parallélépipède concernant les diagonales. sur les bords. Dictée sur le thème « Tétraèdre, parallélépipède » Option I 4. Quelles arêtes du tétraèdre sont dites opposées ? Option II 4. Quelles faces d'un parallélépipède sont dites adjacentes ? 5. Dessinez l’image d’un parallélépipède. tétraèdre. Listez tous les éléments et indiquez leur quantité. Construire une section d'un parallélépipède avec un plan passant par les points M, A, D. В1 D1 E A1 С1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, car (ABC) (A1B1C1) 4. AE AEMD – section. Construction de sections d'un tétraèdre Résolvons le problème D M B A C Résolvons le problème K M L A N Résolvons le problème D AC BD B A M C Résolvons le problème D M K ABC B A K N Quelle autre option est possible ? C Résoudre le problème D M B A K N C Résoudre le problème D M ABC K N ACD B N A M C Résoudre le problème D M ABC K N ACD N B A M C Devoirs répéter les étapes 1 à 14, préparer les tests n° 74, 75(b), 107, 79 Construction de sections d'un parallélépipède Résoudre problème B1 C1 М АА1В1В A1 D1 M (BDD1) B A C D Résoudre le problème C1 B1 A1 D1 B A C D Résoudre le problème B1 A1 C1 D1 B A C D Résoudre le problème B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Résoudre le problème B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Résoudre le problème B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Résoudre le problème B1 C1 A1 D1 M B N A C K D 1. Tous les sommets de la section se trouvent sur les arêtes du polyèdre. 2. Tous les côtés de la section reposent sur les faces du polyèdre. 3. Chaque face ne contient pas plus d’un côté de la section. 10 10 10 10 VOUS AVEZ BEAUCOUP APPRIS ET BEAUCOUP VU ! ALORS ALLEZ LES GARS : SOYEZ BON ET CRÉEZ ! MERCI DE VOTRE ATTENTION.

Dans cette leçon, nous examinerons le tétraèdre et ses éléments (arête du tétraèdre, surface, faces, sommets). Et nous résoudrons plusieurs problèmes de construction de sections dans un tétraèdre en utilisant méthode générale pour la construction de sections.

Sujet : Parallélisme des droites et des plans

Leçon : Tétraèdre. Problèmes de construction de sections dans un tétraèdre

Comment construire un tétraèdre ? Prenons un triangle arbitraire abc. N'importe quel point D, ne se trouvant pas dans le plan de ce triangle. Nous obtenons 4 triangles. La surface formée par ces 4 triangles est appelée un tétraèdre (Fig. 1.). Les points internes délimités par cette surface font également partie du tétraèdre.

Riz. 1. Tétraèdre ABCD

Éléments d'un tétraèdre
UN,B, C, D - sommets d'un tétraèdre.
AB, A.C., ANNONCE, Colombie-Britannique, BD, CD - arêtes du tétraèdre.
abc, ABD, BDC, CDA - visages de tétraèdre.

Commentaire: peut être pris à plat abc pour base du tétraèdre, puis pointez D est sommet d'un tétraèdre. Chaque arête du tétraèdre est l’intersection de deux plans. Par exemple, la côte AB- c'est l'intersection des plans ABD Et abc. Chaque sommet d'un tétraèdre est l'intersection de trois plans. Sommet UN se trouve dans les avions abc, ABD, UNDAVEC. Point UN est l'intersection des trois plans désignés. Ce fait s'écrit ainsi : UN= abc ∩ ABD ∩ CAD.

Définition du tétraèdre

Donc, tétraèdre est une surface formée de quatre triangles.

Bord du tétraèdre- la ligne d'intersection de deux plans du tétraèdre.

Faites 4 triangles égaux à partir de 6 correspondances. Il est impossible de résoudre le problème en avion. Et dans l’espace, c’est facile à faire. Prenons un tétraèdre. 6 correspondances sont ses arêtes, quatre faces du tétraèdre et seront quatre triangles égaux. Le problème est résolu.

Étant donné un tétraèdre abcD. Point M appartient à une arête du tétraèdre AB, indiquer N appartient à une arête du tétraèdre DANSD et période R. appartient au bord DAVEC(Fig. 2.). Construire une section d'un tétraèdre avec un plan MNP.

Riz. 2. Dessin pour le problème 2 - Construire une section d'un tétraèdre avec un plan

Solution:
Considérons le visage d'un tétraèdre DSoleil. Sur ce côté du problème N Et P. appartiennent aux visages DSoleil, et donc le tétraèdre. Mais selon l'état du point N, P appartiennent au plan de coupe. Moyens, NP- c'est la ligne d'intersection de deux plans : le plan du visage DSoleil et plan de coupe. Supposons que les lignes droites NP Et Soleil pas parallèle. Ils sont dans le même avion DSoleil. Trouvons le point d'intersection des lignes NP Et Soleil. Notons-le E(Fig. 3.).

Riz. 3. Dessiner pour le problème 2. Trouver le point E

Point E appartient au plan de coupe MNP, puisqu'il se trouve sur la ligne droite NP, et la ligne droite NP se situe entièrement dans le plan de coupe MNP.

Pointez également E se trouve dans un avion abc, parce qu'il se trouve sur une ligne droite Soleil hors de l'avion abc.

Nous obtenons cela EM- ligne d'intersection des plans abc Et MNP, depuis des points E Et M se trouvent simultanément dans deux plans - abc Et MNP. Relions les points M Et E, et continuez tout droit EMà l'intersection avec la ligne CA. Point d'intersection des lignes EM Et CA désignons Q.

Donc dans ce cas NPQМ- la rubrique souhaitée.

Riz. 4. Dessin pour le problème 2. Solution du problème 2

Considérons maintenant le cas où NP parallèle Colombie-Britannique. Si droit NP parallèle à une ligne, par exemple une ligne droite Soleil hors de l'avion abc, puis tout droit NP parallèle à tout le plan abc.

Le plan de coupe requis passe par la droite NP, parallèle au plan abc, et coupe le plan en ligne droite MQ. Donc la ligne d'intersection MQ parallèle à la ligne NP. Nous obtenons, NPQМ- la rubrique souhaitée.

Point M se trouve sur le bord latéral UNDDANS tétraèdre abcD. Construire une section du tétraèdre avec un plan qui passe par le point M parallèle à la base abc.

Riz. 5. Dessin pour le problème 3 Construire une section d'un tétraèdre avec un plan

Solution:
Plan de coupe φ parallèle au plan abc selon la condition, cela signifie que cet avion φ parallèle aux lignes AB, CA, Soleil.
En avion ABDà travers le point M faisons un direct PQ parallèle AB(Fig.5). Droit PQ se trouve dans un avion ABD. De même dans l'avion CADà travers le point R. faisons un direct RP parallèle CA. J'ai raison R.. Deux lignes qui se croisent PQ Et RP avion PQR respectivement parallèle à deux lignes sécantes AB Et CA avion abc, ce qui signifie avions abc Et PQR parallèle. PQR- la rubrique souhaitée. Le problème est résolu.

Étant donné un tétraèdre abcD. Point M- point interne, point sur la face du tétraèdre ABD. N - point interne segment DAVEC(Fig. 6.). Construire le point d'intersection d'une ligne N. M. et les avions abc.

Riz. 6. Dessin pour le problème 4

Solution:
Pour résoudre ce problème, nous allons construire un plan auxiliaire DMN. Que ce soit direct DM coupe la ligne AB au point À(Fig. 7.). Alors, Sask.D- c'est une section de l'avion DMN et le tétraèdre. En avion DMN mensonges et hétéro N. M., et la droite résultante Sask.. Alors si N. M. pas parallèle Sask., alors ils se croiseront à un moment donné R.. Point R. et il y aura le point d'intersection souhaité de la ligne N. M. et les avions abc.

Riz. 7. Dessin pour le problème 4. Solution du problème 4

Étant donné un tétraèdre abcD. M- point interne du visage ABD. R.- point interne du visage abc. N- point interne du bord DAVEC(Fig. 8.). Construire une section d'un tétraèdre avec un plan passant par les points M, N Et R..

Riz. 8. Dessin pour le problème 5 Construire une section d'un tétraèdre avec un plan

Solution:
Considérons le premier cas, où la droite MN pas parallèle au plan abc. Dans le problème précédent, nous avons trouvé le point d'intersection de la droite MN et les avions abc. C'est le point À, il est obtenu en utilisant le plan auxiliaire DMN, c'est-à-dire nous menons DM et nous marquons un point F. Nous effectuons FC et à l'intersection MN nous marquons un point À.

Riz. 9. Dessiner pour le problème 5. Trouver le point K

Faisons un direct KR. Droit KR se situe à la fois dans le plan de coupe et dans le plan abc. Obtenir les points P1 Et R2. De liaison P1 Et M et dans la continuité, nous comprenons le point M1. Relier le point R2 Et N. En conséquence, nous obtenons la section souhaitée P 1 P 2 NM 1. Le problème du premier cas est résolu.
Considérons le deuxième cas, où la droite MN parallèle au plan abc. Avion MNP passe par une ligne droite MN parallèle au plan abc et coupe le plan abc le long d'une ligne droite R 1 R 2, puis tout droit R 1 R 2 parallèle à la ligne donnée MN(Fig. 10.).

Riz. 10. Dessin pour le problème 5. La section requise

Maintenant, traçons une ligne droite R 1 M et nous marquons un point M1.P 1 P 2 NM 1- la rubrique souhaitée.

Nous avons donc examiné le tétraèdre et résolu certains problèmes typiques du tétraèdre. Dans la prochaine leçon, nous examinerons un parallélépipède.

1. I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5e édition, corrigée et augmentée - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : je vais. Géométrie. 10e-11e années : manuel destiné aux étudiants des établissements d'enseignement général (de base et niveaux de profil)

2. Sharygin I.F. - M. : Outarde, 1999. - 208 p. : ill. Géométrie. 10e et 11e années : manuel pour les établissements d'enseignement général

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ème édition, stéréotype. - M. : Outarde, 008. - 233 p. :il. Géométrie. 10e année : Manuel pour les établissements d'enseignement général avec étude approfondie et spécialisée des mathématiques

Ressources Web supplémentaires

2. Comment construire une section transversale d’un tétraèdre. Mathématiques().

3. Festival d'idées pédagogiques ().

Faites des problèmes à la maison sur le thème « Tétraèdre », comment trouver le bord d'un tétraèdre, les faces d'un tétraèdre, les sommets et la surface d'un tétraèdre

1. Géométrie. 10e-11e années : manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveaux de base et spécialisé) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e édition, corrigée et augmentée - M. : Mnemosyne, 2008. - 288 pp. : ill. Tâches 18, 19, 20 p.

2. Pointer E nervure centrale MA tétraèdre MAVS. Construire une section du tétraèdre avec un plan passant par les points B, C Et E.

3. Dans le tétraèdre MABC, le point M appartient à la face AMV, le point P appartient à la face BMC, le point K appartient à l'arête AC. Construire une section du tétraèdre avec un plan passant par les points M, R, K.

4. Quelles formes peuvent être obtenues à la suite de l'intersection d'un tétraèdre avec un plan ?

Diapositive 2

Informations pour les enseignants. Le but de la création de cette présentation est de démontrer clairement les algorithmes de construction du point d'intersection d'une droite et d'un plan, la ligne d'intersection des plans et des sections d'un tétraèdre. L'enseignant peut utiliser la présentation lorsqu'il donne des cours sur ce sujet, ou la recommander pour auto-apprentissage pour les étudiants qui ont manqué de l'étudier pour une raison quelconque, ou pour qu'ils répètent certaines questions. Les étudiants accompagnent leur étude de la présentation en remplissant un court résumé.

Diapositive 3

Informations pour l'étudiant. Le but de la création de cette présentation est de démontrer clairement les algorithmes permettant de résoudre des problèmes de construction dans l'espace. Essayez d'étudier attentivement et lentement les commentaires sur les légendes et de les comparer avec le dessin. Remplissez tous les espaces vides du résumé. À décision indépendante problèmes, vous devez d'abord réfléchir vous-même à la solution, puis examiner celle proposée par l'auteur. Écrivez des questions pour l’enseignant et posez-les en classe.

Diapositive 4

I. La droite a coupe le plan α. Construisez un point d’intersection.

α β P m a Réponse : I. Pour construire le point d'intersection de la droite a et du plan α, vous devez : 1) dessiner (trouver) un plan β passant par la droite a et le plan sécant α le long de la droite m 2) construire point P d'intersection des droites a et m. Par la droite a on trace un plan β coupant le plan α le long d'une droite t. On coupe la droite a avec la ligne d'intersection des plans α et β : la droite t Le point P est le point commun de la droite a et. plan α, car la droite m se situe dans le plan α. Notez l'algorithme dans un bref résumé.

Diapositive 5

1) Construire le point d'intersection de la droite MN et du plan BDC.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Réponse : Le plan ABC passe par la droite MN et coupe le plan BDC le long de la droite BC. La droite MN coupe la droite BC au point P. La droite BC se trouve dans le plan BDC, ce qui signifie que la droite MN coupe le plan BDC au point P.

Diapositive 6

2) Construire le point d'intersection de la droite MN et du plan ABD.

D B A C M N P Réponse : Voir la solution La droite MN appartient au plan ВDC, qui coupe le plan АВD le long de la droite DB Coupeons les droites MN et DB. Suivant

Diapositive 7

II. Que la droite AB ne soit pas parallèle au plan α. Construire la ligne d'intersection des plans α et ABC, si le point C appartient au plan α

B C A α β P m Construisons le point d'intersection de la droite AB avec le plan α. Par condition et construction, les points C et P sont communs aux plans ABC et α. Par condition et construction, les points C et P sont communs aux plans ABC et α. Cela signifie que la droite CP est la droite souhaitée d'intersection des plans ABC et α. II. Pour construire la ligne d'intersection du plan α et du plan ABC (C α, (A, B) α, AB || α), il faut : construire le point d'intersection de la droite AB et du plan α - point P ; 2) les points P et C sont des points communs aux plans (ABC) et α, ce qui signifie (ABC) α = CP Écrivez l'algorithme dans un bref résumé.

Diapositive 8

3).Construisez la droite d’intersection des plans MNP et ADB.

Construisez l’intersection du plan MNP et de la face ADB. M D B A C N P X Q R Réponse : Construisons le point d'intersection de la droite MR avec le plan ADB (point X). La droite MR se trouve dans le plan ADC, qui coupe le plan ADB le long de la droite AD. La droite MR se trouve dans le plan ADC, qui coupe le plan ADB le long de la droite AD. Les points X et N sont des points communs aux plans ADB et MNP. Cela signifie qu’ils se coupent le long de la droite XN. Enregistrez l’avancement de la construction dans un bref résumé.

Diapositive 9

Section d'un tétraèdre.

C D B A M N P α Un polygone composé de segments le long desquels le plan de coupe coupe les faces du polyèdre est appelé une section du polyèdre. Les segments qui composent la section sont appelés traces du plan de coupe sur les faces. ∆ MNP – section. Laissez le plan couper le tétraèdre, on parle alors de plan coupant. Le plan coupe les bords du tétraèdre en. points M,N,P

, et les faces - le long des segments MN, MP, NP... Le triangle MNP est appelé la section du tétraèdre par ce plan... Notez-le dans une courte note.

Diapositive 10

La section transversale d'un tétraèdre peut aussi être un quadrilatère.

A C D B M N P Q α MNPQ – section.

Diapositive 11

Un algorithme pour construire une section d'un tétraèdre avec un plan passant par trois points donnés M, N, P.

MNPQ est la section obligatoire. D B A C M N P Q X Construire des traces du plan de coupe sur les faces qui ont 2 points communs avec lui. 3) Tracez une ligne droite passant par les points construits le long desquels le plan de coupe coupe le plan de la face sélectionnée ABC. 4) Marquez et désignez les points auxquels cette ligne coupe les bords de la face ABC et complétez les traces restantes. 2) Sélectionnez un visage qui n'a pas encore de trace.

Construire les points d'intersection des droites contenant des traces déjà construites avec le plan de la face sélectionnée : ABC.

Diapositive 12

Construisez une section en utilisant la méthode du plan tétraédrique MNP.2.

D B A C M N P Q X MNPQ – la section requise.

Diapositive 13

N°1. (Résolvez le problème vous-même). Construisez une section du tétraèdre en utilisant le plan MNP.

Q D A C M N P X B X Voir la solution Deuxième méthode : Suivant

Diapositive 14

N°2. (Décidez par vous-même). Construire une section du tétraèdre en utilisant le plan MNP si P appartient à la face ADC.

3) α (ADB) = MN, α (ABC) = QP. Q D B A M N P F C Étant donné : α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD. Construisez une section du tétraèdre DABC. α||DC, alors (DBC) α=FP et FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Puisque α||DC, alors (DAC) α=MQ et MQ||DC, MQ AC=Q. CC || NP et NP α signifient DC||α, donc MNPQ est la section souhaitée. Continuez la phrase : Si une droite donnée a est parallèle à un certain plan α, alors tout plan passant par cette droite a et non parallèle au plan α coupe le plan α le long d'une droite b………………… ………………… parallèle à la droite A. Continuer... α||DC, puis le plan BDC coupe α selon une droite parallèle à DC et passant par le point F α||DC, puis le plan ADC coupe α selon une droite parallèle à DC et passant par le pointM

Diapositive 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P#4. Construire une section avec un plan tétraédrique α parallèle à la face BDC et passant par le point M. B A C M N D Soit : α||DBC, M α, M AD. Construire une section du tétraèdre DABC par le plan α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP est la section obligatoire, car………. Continuez la phrase : Si deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan, alors les lignes de leur intersection……………………… sont parallèles. deux droites sécantes MN et MP du plan α sont respectivement parallèles à deux droites sécantes DB et DC du plan (DBC), ce qui signifie α||(DBC). α||DВC, alors les plans AВ et ADC coupent les plans α et (ВДС) le long de droites MN et МР, parallèles respectivement à DB et DC, et passant par le point M.

Diapositive 17

Suivant M R B A C N n° 5. Résolvez par vous-même et notez la solution. Construire une section du tétraèdre par le plan α passant par le point M et le segment PN, si PN||AB et M appartiennent au plan (ABC). P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQAC=R. α (ADC) = NR, α (BDC) = PQ.

Section requise par le RNPQ. Visualisez la solution NP||(ABC), ce qui signifie que le plan MNP coupe le plan ABC le long d'une droite MQ parallèle à NP et passant par le point M.

Diapositive 18

N'oubliez pas de formuler des questions à l'intention du professeur si quelque chose n'était pas clair, ainsi que vos recommandations pour améliorer cette présentation.

Diapositive 19

Lors de la création de la présentation, des manuels et des manuels ont été utilisés : 1. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov et autres Géométrie 10-11. M. « Lumières » 2008. 2.B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakhansky Problèmes de géométrie 7-11.M. "Lumières" 2000