Premier niveau

Dérivée d'une fonction. Le guide ultime (2019)

Imaginons une route droite traversant une zone vallonnée. Autrement dit, il monte et descend, mais ne tourne ni à droite ni à gauche. Si l'axe est dirigé horizontalement le long de la route et verticalement, alors la ligne de route sera très similaire au graphique d'une fonction continue :

L'axe est un certain niveau d'altitude zéro ; dans la vie, nous utilisons le niveau de la mer comme tel.

À mesure que nous avançons sur une telle route, nous montons ou descendons également. On peut aussi dire : lorsque l'argument change (déplacement le long de l'axe des abscisses), la valeur de la fonction change (déplacement le long de l'axe des ordonnées). Réfléchissons maintenant à la façon de déterminer la « raideur » de notre route ? Quel genre de valeur cela pourrait-il représenter ? C'est très simple : à quel point la hauteur va changer en avançant sur une certaine distance. En effet, sur différents tronçons de route, en avançant (le long de l'axe des x) d'un kilomètre, nous monterons ou descendrons d'un nombre différent de mètres par rapport au niveau de la mer (le long de l'axe des y).

Notons la progression (lire « delta x »).

La lettre grecque (delta) est couramment utilisée en mathématiques comme préfixe signifiant « changement ». C'est-à-dire qu'il s'agit d'un changement de quantité, - un changement ; alors qu'est-ce que c'est? C'est vrai, un changement d'ampleur.

Important : une expression est un tout unique, une variable. Ne séparez jamais le « delta » du « x » ou de toute autre lettre ! C'est par exemple .

Nous avons donc avancé, horizontalement, de. Si nous comparons la ligne de la route avec le graphique de la fonction, alors comment dénotons-nous la montée ? Certainement, . Autrement dit, à mesure que nous avançons, nous montons plus haut.

La valeur est facile à calculer : si au début nous étions en hauteur, et qu'après le déplacement nous nous retrouvions en hauteur, alors. Si le point final est inférieur au point de départ, il sera négatif - cela signifie que nous ne montons pas, mais descendons.

Revenons à la « raideur » : c'est une valeur qui montre de combien (forte) la hauteur augmente lorsque l'on avance d'une unité de distance :

Supposons que sur une section de la route, en avançant d'un kilomètre, la route s'élève d'un kilomètre. Alors la pente à cet endroit est égale. Et si la route, en avançant de m, descendait de km ? Alors la pente est égale.

Regardons maintenant le sommet d'une colline. Si vous prenez le début du tronçon un demi-kilomètre avant le sommet et la fin un demi-kilomètre après, vous constaterez que la hauteur est presque la même.

Autrement dit, selon notre logique, il s'avère que la pente ici est presque égale à zéro, ce qui n'est clairement pas vrai. Sur une distance de plusieurs kilomètres, beaucoup de choses peuvent changer. Il est nécessaire de considérer des zones plus petites pour une évaluation plus adéquate et plus précise de la pente. Par exemple, si vous mesurez le changement de hauteur lorsque vous vous déplacez d’un mètre, le résultat sera beaucoup plus précis. Mais même cette précision peut ne pas nous suffire - après tout, s'il y a un poteau au milieu de la route, nous pouvons simplement le dépasser. Quelle distance choisir alors ? Centimètre? Millimètre? Moins c'est mieux !

Dans la vraie vie, mesurer les distances au millimètre près est largement suffisant. Mais les mathématiciens recherchent toujours la perfection. Le concept a donc été inventé infinitésimal, c’est-à-dire que la valeur absolue est inférieure à n’importe quel nombre que nous pouvons nommer. Par exemple, vous dites : un billionième ! Combien moins ? Et vous divisez ce nombre par - et ce sera encore moins. Et ainsi de suite. Si on veut écrire qu’une quantité est infinitésimale, on écrit ainsi : (on lit « x tend vers zéro »). Il est très important de comprendre que ce nombre n'est pas nul ! Mais très proche. Cela signifie que vous pouvez diviser par cela.

Le concept opposé à infinitésimal est infiniment grand (). Vous l'avez probablement déjà rencontré lorsque vous travailliez sur les inégalités : ce nombre est modulo supérieur à tous les nombres auxquels vous pouvez penser. Si vous obtenez le plus grand nombre possible, multipliez-le simplement par deux et vous obtiendrez un nombre encore plus grand. Et l’infini est encore plus grand que ce qui arrive. En fait, l'infiniment grand et l'infiniment petit sont l'inverse l'un de l'autre, c'est-à-dire at, et vice versa : at.

Revenons maintenant à notre route. La pente idéalement calculée est la pente calculée pour un segment infinitésimal du chemin, soit :

Je constate qu'avec un déplacement infinitésimal, le changement de hauteur sera également infinitésimal. Mais permettez-moi de vous rappeler qu'infinitésimal ne signifie pas égal à zéro. Si vous divisez des nombres infinitésimaux les uns par les autres, vous pouvez obtenir un nombre tout à fait ordinaire, par exemple . Autrement dit, une petite valeur peut être exactement plusieurs fois supérieure à une autre.

A quoi ça sert tout ça ? La route, la pente... Nous ne participons pas à un rallye automobile, mais nous enseignons les mathématiques. Et en mathématiques, tout est exactement pareil, mais appelé différemment.

Notion de dérivé

La dérivée d'une fonction est le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument.

Progressivement en mathématiques, ils appellent le changement. La mesure dans laquelle l'argument () change à mesure qu'il se déplace le long de l'axe est appelée incrément d'argument et est désigné dans quelle mesure la fonction (hauteur) a changé lors du déplacement vers l'avant le long de l'axe d'une distance est appelé. incrément de fonction et est désigné.

Ainsi, la dérivée d’une fonction est le rapport au quand. On note la dérivée par la même lettre que la fonction, seulement avec un nombre premier en haut à droite : ou simplement. Écrivons donc la formule dérivée en utilisant ces notations :

Comme dans l'analogie avec la route, ici lorsque la fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu'elle diminue, elle est négative.

La dérivée peut-elle être égale à zéro ? Certainement. Par exemple, si nous roulons sur une route horizontale et plate, la pente est nulle. Et c’est vrai, la hauteur ne change pas du tout. Il en est de même de la dérivée : la dérivée d'une fonction constante (constante) est égale à zéro :

puisque l'incrément d'une telle fonction est égal à zéro pour tout.

Rappelons-nous l'exemple du sommet d'une colline. Il s'est avéré qu'il était possible de disposer les extrémités du segment sur les côtés opposés du sommet de manière à ce que la hauteur aux extrémités soit la même, c'est-à-dire que le segment soit parallèle à l'axe :

Mais de grands segments sont le signe d’une mesure inexacte. Nous élèverons notre segment parallèlement à lui-même, puis sa longueur diminuera.

Finalement, lorsque nous serons infiniment proches du sommet, la longueur du segment deviendra infinitésimale. Mais en même temps, il est resté parallèle à l'axe, c'est-à-dire que la différence de hauteur à ses extrémités est égale à zéro (elle ne tend pas vers, mais est égale à). Donc la dérivée

Cela peut être compris ainsi : lorsque nous nous trouvons tout en haut, un petit déplacement vers la gauche ou la droite modifie de manière négligeable notre hauteur.

Il existe aussi une explication purement algébrique : à gauche du sommet la fonction augmente, et à droite elle diminue. Comme nous l’avons découvert précédemment, lorsqu’une fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu’elle diminue, elle est négative. Mais cela change en douceur, sans sauts (puisque la route ne change brusquement de pente nulle part). Il doit donc y avoir une différence entre les valeurs négatives et positives. Ce sera là où la fonction n'augmente ni ne diminue - au point sommet.

Il en va de même pour le creux (la zone où la fonction à gauche diminue et à droite augmente) :

Un peu plus sur les incréments.

Nous changeons donc l’argument en grandeur. On change à partir de quelle valeur ? Qu’est-il devenu (l’argument) maintenant ? Nous pouvons choisir n'importe quel point, et maintenant nous allons danser à partir de là.

Considérons un point avec une coordonnée. La valeur de la fonction qu'il contient est égale. Ensuite on fait le même incrément : on augmente la coordonnée de. Quel est l’argument maintenant ? Très facile: . Quelle est la valeur de la fonction maintenant ? Là où va l’argument, la fonction aussi : . Qu'en est-il de l'incrément de fonction ? Rien de nouveau : c'est toujours l'ampleur de l'évolution de la fonction :

Entraînez-vous à trouver des incréments :

1. Recherchez l'incrément de la fonction à un point où l'incrément de l'argument est égal à.
2. Il en va de même pour la fonction en un point.

Solutions:

À différents points avec le même incrément d'argument, l'incrément de fonction sera différent. Cela signifie que la dérivée en chaque point est différente (nous en avons discuté au tout début - la pente de la route est différente en différents points). Ainsi, lorsque l’on écrit une dérivée, il faut indiquer à quel moment :

Fonction de puissance.

Une fonction puissance est une fonction dont l’argument est dans une certaine mesure (logique, n’est-ce pas ?).

De plus - dans une certaine mesure : .

Le cas le plus simple est celui où l'exposant est :

Trouvons sa dérivée en un point. Rappelons la définition d'une dérivée :

L’argument change donc de à. Quel est l'incrément de la fonction ?

L'incrément, c'est ça. Mais une fonction est en tout point égale à son argument. C'est pourquoi:

La dérivée est égale à :

La dérivée de est égale à :

b) Considérons maintenant la fonction quadratique () : .

Maintenant, rappelons-le. Cela signifie que la valeur de l'incrément peut être négligée, puisqu'elle est infinitésimale, et donc insignifiante par rapport à l'autre terme :

Nous avons donc proposé une autre règle :

c) On continue la série logique : .

Cette expression peut être simplifiée de différentes manières : ouvrez la première parenthèse en utilisant la formule de multiplication abrégée du cube de la somme, ou factorisez l'expression entière en utilisant la formule de différence des cubes. Essayez de le faire vous-même en utilisant l'une des méthodes suggérées.

J'ai donc obtenu ceci :

Et encore une fois, rappelons-le. Cela signifie que l'on peut négliger tous les termes contenant :

On a: .

d) Des règles similaires peuvent être obtenues pour les grandes puissances :

e) Il s'avère que cette règle peut être généralisée pour une fonction puissance avec un exposant arbitraire, pas même un entier :

(2)

La règle peut être formulée ainsi : « le diplôme est avancé sous forme de coefficient, puis diminué de . »

Nous prouverons cette règle plus tard (presque à la toute fin). Voyons maintenant quelques exemples. Trouvez la dérivée des fonctions :

1. (de deux manières : par formule et en utilisant la définition de dérivée - en calculant l'incrément de la fonction) ;

1. . Croyez-le ou non, il s’agit d’une fonction de pouvoir. Si vous avez des questions comme « Comment ça va ? Où est le diplôme ? », souvenez-vous du sujet « » !
   Oui, oui, la racine est aussi un degré, uniquement fractionnaire : .
   Cela signifie que notre racine carrée n’est qu’une puissance avec un exposant :
   .
   Nous recherchons la dérivée en utilisant la formule récemment apprise :

   Si à ce stade cela devient à nouveau flou, répétez le sujet « » !!! (environ un degré avec un exposant négatif)

2. . Maintenant l'exposant :

   Et maintenant à travers la définition (vous avez déjà oublié ?) :
   ;
   .
   Maintenant, comme d'habitude, nous négligeons le terme contenant :
   .

3. . Combinaison de cas précédents : .

Fonctions trigonométriques.

Ici, nous utiliserons un fait issu des mathématiques supérieures :

Avec expression.

Vous en apprendrez la preuve dès la première année d'institut (et pour y arriver, vous devez réussir l'examen d'État unifié). Maintenant, je vais juste le montrer graphiquement :

Nous voyons que lorsque la fonction n'existe pas, le point sur le graphique est coupé. Mais plus la valeur est proche, plus la fonction est proche de ce qui « vise ».

De plus, vous pouvez vérifier cette règle à l'aide d'une calculatrice. Oui, oui, ne soyez pas timide, prenez une calculatrice, nous n'en sommes pas encore à l'examen d'État unifié.

Alors, essayons : ;

N'oubliez pas de passer votre calculatrice en mode Radians !

etc. On voit que plus la valeur du rapport est petite, plus la valeur du rapport est proche de.

a) Considérons la fonction. Comme d'habitude, trouvons son incrément :

Transformons la différence des sinus en un produit. Pour ce faire, nous utilisons la formule (rappelez-vous le sujet « ») : .

Maintenant la dérivée :

Faisons un remplacement : . Alors pour infinitésimal c'est aussi infinitésimal : . L'expression pour prend la forme :

Et maintenant, nous nous en souvenons avec l'expression. Et aussi, que se passerait-il si une quantité infinitésimale pouvait être négligée dans la somme (c'est-à-dire at).

On obtient donc la règle suivante : la dérivée du sinus est égale au cosinus:

Ce sont des dérivés basiques (« tabulaires »). Les voici dans une seule liste :

Plus tard, nous leur en ajouterons quelques autres, mais ce sont les plus importants, car ils sont les plus souvent utilisés.

Pratique:

1. Trouver la dérivée de la fonction en un point ;
2. Trouvez la dérivée de la fonction.

Solutions:

1. Tout d'abord, trouvons la dérivée sous forme générale, puis substituons sa valeur :
   ;
   .
2. Nous avons ici quelque chose de similaire à une fonction puissance. Essayons de l'amener à
   vue normale:
   .
   Super, vous pouvez maintenant utiliser la formule :
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Qu'est-ce que c'est ????

Bon, vous avez raison, on ne sait pas encore comment trouver de tels dérivés. Nous avons ici une combinaison de plusieurs types de fonctions. Pour travailler avec eux, vous devez apprendre quelques règles supplémentaires :

Exposant et logarithme népérien.

Il existe une fonction en mathématiques dont la dérivée pour tout est en même temps égale à la valeur de la fonction elle-même. C'est ce qu'on appelle « exposant » et c'est une fonction exponentielle.

La base de cette fonction - une constante - est une fraction décimale infinie, c'est-à-dire un nombre irrationnel (comme). On l'appelle le « nombre d'Euler », c'est pourquoi il est désigné par une lettre.

Donc la règle :

Très facile à retenir.

Bon, n’allons pas loin, considérons immédiatement la fonction inverse. Quelle fonction est l'inverse de la fonction exponentielle ? Logarithme:

Dans notre cas, la base est le nombre :

Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé « naturel », et nous utilisons pour cela une notation spéciale : nous l'écrivons à la place.

A quoi est-ce égal ? Bien sûr, .

La dérivée du logarithme népérien est également très simple :

Exemples:

1. Trouvez la dérivée de la fonction.
2. Quelle est la dérivée de la fonction ?

Réponses: Les logarithmes exponentiel et naturel sont des fonctions particulièrement simples du point de vue dérivé. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec n'importe quelle autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après avoir parcouru les règles de différenciation.

Règles de différenciation

Des règles de quoi ? Encore un nouveau terme, encore ?!...

Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.

C'est tout. Comment pouvez-vous appeler ce processus en un mot ? Pas dérivé... Les mathématiciens appellent la différentielle le même incrément d'une fonction à. Ce terme vient du latin différentia – différence. Ici.

Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :

Il y a 5 règles au total.

La constante est soustraite du signe dérivé.

Si - un nombre constant (constant), alors.

Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence : .

Prouvons-le. Laissez-le être, ou plus simple.

Exemples.

Trouvez les dérivées des fonctions :

1. à un moment donné ;
2. à un moment donné ;
3. à un moment donné ;
4. à ce point.

Solutions:

1. (la dérivée est la même en tous points, puisque c'est une fonction linéaire, vous vous souvenez ?) ;

Dérivé du produit

Tout est similaire ici : introduisons une nouvelle fonction et trouvons son incrément :

Dérivé:

Exemples:

1. Trouver les dérivées des fonctions et ;
2. Trouvez la dérivée de la fonction en un point.

Solutions:

Dérivée d'une fonction exponentielle

Vos connaissances sont désormais suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement les exposants (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).

Alors, où est un certain nombre.

Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc de réduire notre fonction à une nouvelle base :

Pour ce faire, nous utiliserons une règle simple : . Alors:

Eh bien, ça a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.

Arrivé?

Ici, vérifiez vous-même :

La formule s'est avérée très similaire à la dérivée d'un exposant : telle qu'elle était, elle reste la même, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.

Exemples:
Trouvez les dérivées des fonctions :

Réponses:

Il s'agit simplement d'un nombre qui ne peut pas être calculé sans calculatrice, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit sous une forme plus simple. Par conséquent, nous le laissons sous cette forme dans la réponse.

Dérivée d'une fonction logarithmique

C’est pareil ici : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :

Par conséquent, pour trouver un logarithme arbitraire avec une base différente, par exemple :

Nous devons réduire ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :

Seulement maintenant, nous écrirons à la place :

Le dénominateur est simplement une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée s’obtient très simplement :

Les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques ne sont presque jamais trouvées dans l'examen d'État unifié, mais il ne sera pas superflu de les connaître.

Dérivée d'une fonction complexe.

Qu'est-ce qu'une « fonction complexe » ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arctangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (même si si vous trouvez le logarithme difficile, lisez le sujet « Logarithmes » et tout ira bien), mais d'un point de vue mathématique, le mot « complexe » ne signifie pas « difficile ».

Imaginez un petit tapis roulant : deux personnes sont assises et effectuent des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Le résultat est un objet composite : une barre de chocolat enveloppée et nouée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, vous devez effectuer les étapes inverses dans l’ordre inverse.

Créons un pipeline mathématique similaire : nous trouverons d'abord le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre obtenu. Donc, on nous donne un nombre (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis vous mettez au carré ce que j'ai obtenu (nouez-le avec un ruban). Ce qui s'est passé? Fonction. Ceci est un exemple de fonction complexe : lorsque, pour trouver sa valeur, on effectue une première action directement avec la variable, puis une deuxième action avec ce qui résulte de la première.

On peut facilement faire les mêmes étapes dans l'ordre inverse : on le met d'abord au carré, et je cherche ensuite le cosinus du nombre obtenu : . Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Une caractéristique importante des fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.

Autrement dit, une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .

Pour le premier exemple, .

Deuxième exemple : (même chose). .

L'action que nous faisons en dernier sera appelée fonction "externe", et l'action effectuée en premier - en conséquence fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).

Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle interne :

Réponses: La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification de variables : par exemple, dans une fonction

1. Quelle action allons-nous effectuer en premier ? Tout d’abord, calculons le sinus, puis cubez-le seulement. Cela signifie qu’il s’agit d’une fonction interne, mais externe.
   Et la fonction originelle est leur composition : .
2. Interne: ; externe: .
   Examen: .
3. Interne: ; externe: .
   Examen: .
4. Interne: ; externe: .
   Examen: .
5. Interne: ; externe: .
   Examen: .

Nous changeons les variables et obtenons une fonction.

Eh bien, maintenant nous allons extraire notre barre de chocolat et chercher le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d’abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Par rapport à l'exemple original, cela ressemble à ceci :

Un autre exemple:

Alors, formulons enfin la règle officielle :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

Cela semble simple, non ?

Vérifions avec des exemples :

Solutions:

1) Interne : ;

Externe: ;

2) Interne : ;

(N’essayez pas de le couper maintenant ! Rien ne sort sous le cosinus, vous vous souvenez ?)

3) Interne : ;

Externe: ;

Il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une fonction complexe à trois niveaux : après tout, c'est déjà une fonction complexe en soi, et nous en extrayons également la racine, c'est-à-dire que nous effectuons la troisième action (nous mettons le chocolat dans un emballage et avec un ruban dans la mallette). Mais il n'y a aucune raison d'avoir peur : nous allons quand même « déballer » cette fonction dans le même ordre que d'habitude : depuis la fin.

Autrement dit, nous différencions d'abord la racine, puis le cosinus, et ensuite seulement l'expression entre parenthèses. Et puis on multiplie le tout.

Dans de tels cas, il est pratique de numéroter les actions. Autrement dit, imaginons ce que nous savons. Dans quel ordre effectuerons-nous les actions pour calculer la valeur de cette expression ? Regardons un exemple :

Plus l’action est réalisée tardivement, plus la fonction correspondante sera « externe ». La séquence d'actions est la même que précédemment :

Ici, la nidification est généralement à 4 niveaux. Déterminons l'ordre d'action.

1. Expression radicale. .

2. Racine. .

3. Sinus. .

4. Carré. .

5. Rassembler le tout :

DÉRIVÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Dérivée d'une fonction- le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument :

Dérivés de base :

Règles de différenciation :

La constante est soustraite du signe dérivé :

Dérivée de la somme :

Dérivé du produit :

Dérivée du quotient :

Dérivée d'une fonction complexe :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

1. Nous définissons la fonction « interne » et trouvons sa dérivée.
2. Nous définissons la fonction « externe » et trouvons sa dérivée.
3. Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.

Lors de la résolution de divers problèmes de géométrie, de mécanique, de physique et d'autres branches de la connaissance, le besoin s'est fait sentir d'utiliser le même processus analytique à partir de cette fonction. y=f(x) obtenir une nouvelle fonction appelée fonction dérivée(ou simplement dérivée) d'une fonction donnée f(x) et est désigné par le symbole

Le processus par lequel, à partir d'une fonction donnée f(x) obtenir une nouvelle fonctionnalité f" (x), appelé différenciation et il comprend les trois étapes suivantes : 1) donner l'argument X incrément  X et déterminer l'incrément correspondant de la fonction  y = f(x+ x) -f(x); 2) établir une relation

3) compter X constante et  X0, on trouve
, que nous désignons par f" (x), comme pour souligner que la fonction résultante dépend uniquement de la valeur X, à laquelle nous allons à la limite. Définition: Dérivée y " =f " (x) fonction donnée y=f(x) pour un x donné est appelée la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument, à condition que l'incrément de l'argument tende vers zéro, si, bien entendu, cette limite existe, c'est-à-dire fini.
Ainsi,

, ou X Notez que si à une certaine valeur , par exemple quand x=une
, attitude  Xà f(x)0 ne tend pas vers la limite finie, alors dans ce cas on dit que la fonction , par exemple quandà , par exemple quand(ou au point , par exemple quand.

) n’a pas de dérivée ou n’est pas différentiable au point

2. Signification géométrique de la dérivée.

f(x)

Considérons le graphique de la fonction y = f (x), différentiable au voisinage du point x 0

Considérons une ligne droite arbitraire passant par un point du graphique d'une fonction - point A(x 0, f (x 0)) et coupant le graphique en un point B(x;f(x)). Une telle ligne (AB) est appelée sécante. De ∆ABC : ​​AC = ∆x ; ВС =∆у ; tgβ=∆y/∆x.

Depuis AC || Ox, alors ALO = BAC = β (comme correspondant au parallèle). Mais ALO est l'angle d'inclinaison de la sécante AB par rapport à la direction positive de l'axe Ox. Cela signifie que tanβ = k est la pente de la droite AB.

Nous allons maintenant réduire ∆х, c'est-à-dire ∆х→ 0. Dans ce cas, le point B s'approchera du point A selon le graphique et la sécante AB tournera. La position limite de la sécante AB en ∆x→ 0 sera une droite (a), appelée tangente au graphique de la fonction y = f (x) au point A.
Si on va à la limite quand ∆x → 0 dans l’égalité tgβ =∆y/∆x, on obtient
ortg =f "(x 0), puisque
-angle d'inclinaison de la tangente à la direction positive de l'axe Ox

, par définition d'un dérivé. Mais tg = k est le coefficient angulaire de la tangente, ce qui signifie k = tg = f" (x 0).

Dérivée d'une fonction au point x 0 égale à la pente de la tangente au graphique de la fonction tracée au point d'abscisse x 0 .

3. Signification physique du dérivé.

Considérons le mouvement d'un point le long d'une ligne droite. Soit donnée la coordonnée d'un point à tout instant x(t). On sait (d'après un cours de physique) que la vitesse moyenne sur une période de temps est égale au rapport de la distance parcourue pendant cette période de temps au temps, c'est-à-dire

Vav = ∆x/∆t. Allons à la limite de la dernière égalité comme ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - vitesse instantanée au temps t 0, ∆t → 0.

et lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (par définition de dérivée).

Donc, (t) =x"(t).

La signification physique de la dérivée est la suivante : dérivée de la fonctionoui = F(X) au pointX 0 est le taux de changement de la fonctionF(x) au pointX 0

La dérivée est utilisée en physique pour trouver la vitesse à partir d'une fonction connue des coordonnées en fonction du temps, l'accélération à partir d'une fonction connue de la vitesse en fonction du temps.

(t) = x"(t) - vitesse,

a(f) = "(t) - accélération, ou

Si la loi du mouvement d'un point matériel dans un cercle est connue, alors on peut trouver la vitesse angulaire et l'accélération angulaire pendant le mouvement de rotation :

φ = φ(t) - changement d'angle au fil du temps,

ω = φ"(t) - vitesse angulaire,

ε = φ"(t) - accélération angulaire, ou ε = φ"(t).

Si la loi de distribution de masse d'un bâtonnet inhomogène est connue, alors la densité linéaire d'un bâtonnet inhomogène peut être trouvée :

m = m(x) - masse,

x  , l - longueur de la tige,

p = m"(x) - densité linéaire.

Grâce à la dérivée, les problèmes de la théorie de l'élasticité et des vibrations harmoniques sont résolus. Donc, selon la loi de Hooke

F = -kx, x – coordonnée variable, k – coefficient d'élasticité du ressort. En mettant ω 2 =k/m, on obtient l'équation différentielle du pendule à ressort x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

où ω = √k/√m fréquence d'oscillation (l/c), k - rigidité du ressort (H/m).

Une équation de la forme y" + ω 2 y = 0 est appelée l'équation des oscillations harmoniques (mécaniques, électriques, électromagnétiques). La solution de ces équations est la fonction

y = Asin(ωt + φ 0) ou y = Acos(ωt + φ 0), où

A - amplitude des oscillations, ω - fréquence cyclique,

φ 0 - phase initiale.

Le problème B9 donne le graphique d’une fonction ou d’une dérivée à partir de laquelle vous devez déterminer l’une des quantités suivantes :

1. La valeur de la dérivée à un moment donné x 0,
2. Points maximum ou minimum (points extremum),
3. Intervalles de fonctions croissantes et décroissantes (intervalles de monotonie).

Les fonctions et dérivées présentées dans ce problème sont toujours continues, ce qui rend la solution beaucoup plus facile. Malgré le fait que la tâche appartient à la section de l'analyse mathématique, même les étudiants les plus faibles peuvent la réaliser, car aucune connaissance théorique approfondie n'est requise ici.

Pour trouver la valeur de la dérivée, des points extrêmes et des intervalles de monotonie, il existe des algorithmes simples et universels - ils seront tous discutés ci-dessous.

Lisez attentivement les conditions du problème B9 pour éviter de commettre des erreurs stupides : parfois vous tombez sur des textes assez longs, mais il y a peu de conditions importantes qui affectent le déroulement de la solution.

Calcul de la valeur dérivée. Méthode en deux points

Si le problème est donné un graphique d'une fonction f(x), tangente à ce graphique en un certain point x 0, et qu'il est nécessaire de trouver la valeur de la dérivée à ce point, l'algorithme suivant est appliqué :

1. Trouvez deux points « adéquats » sur le graphique tangent : leurs coordonnées doivent être entières. Notons ces points comme A (x 1 ; y 1) et B (x 2 ; y 2). Notez correctement les coordonnées - c'est un point clé de la solution, et toute erreur ici entraînera une réponse incorrecte.
2. Connaissant les coordonnées, il est facile de calculer l'incrément de l'argument Δx = x 2 − x 1 et l'incrément de la fonction Δy = y 2 − y 1 .
3. Enfin, on retrouve la valeur de la dérivée D = Δy/Δx. En d'autres termes, vous devez diviser l'incrément de la fonction par l'incrément de l'argument - et ce sera la réponse.

Notons encore une fois : les points A et B doivent être recherchés précisément sur la tangente, et non sur le graphe de la fonction f(x), comme cela arrive souvent. La ligne tangente contiendra nécessairement au moins deux de ces points - sinon le problème ne sera pas composé correctement.

Considérez les points A (−3 ; 2) et B (−1 ; 6) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2 ; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Trouvons la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .

Considérez les points A (0 ; 3) et B (3 ; 0), trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3 ; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

On trouve maintenant la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .

Considérez les points A (0 ; 2) et B (5 ; 2) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5 ; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Reste à trouver la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

A partir du dernier exemple, on peut formuler une règle : si la tangente est parallèle à l'axe OX, la dérivée de la fonction au point de tangence est nulle. Dans ce cas, vous n’avez même pas besoin de compter quoi que ce soit : il suffit de regarder le graphique.

Calcul des points maximum et minimum

Parfois, au lieu d'un graphique d'une fonction, le problème B9 donne un graphique de la dérivée et nécessite de trouver le point maximum ou minimum de la fonction. Dans cette situation, la méthode en deux points est inutile, mais il existe un autre algorithme encore plus simple. Tout d'abord, définissons la terminologie :

1. Le point x 0 est appelé le point maximum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≥ f(x).
2. Le point x 0 est appelé le point minimum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≤ f(x).

Afin de trouver les points maximum et minimum à partir du graphique dérivé, suivez simplement ces étapes :

1. Redessinez le graphique dérivé en supprimant toutes les informations inutiles. Comme le montre la pratique, les données inutiles ne font qu'interférer avec la décision. Par conséquent, nous marquons les zéros de la dérivée sur l'axe des coordonnées - et c'est tout.
2. Découvrez les signes de la dérivée sur les intervalles entre zéros. Si pour un point x 0 on sait que f'(x 0) ≠ 0, alors seules deux options sont possibles : f'(x 0) ≥ 0 ou f'(x 0) ≤ 0. Le signe de la dérivée est facile à déterminer à partir du dessin original : si le graphe dérivé se situe au-dessus de l'axe OX, alors f'(x) ≥ 0. Et vice versa, si le graphe dérivé se situe en dessous de l'axe OX, alors f'(x) ≤ 0.
3. Nous vérifions à nouveau les zéros et les signes de la dérivée. Là où le signe passe de moins à plus, c'est le point minimum. A l’inverse, si le signe de la dérivée passe du plus au moins, c’est le point maximum. Le comptage se fait toujours de gauche à droite.

Ce schéma ne fonctionne que pour les fonctions continues – il n’y en a pas d’autres dans le problème B9.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−5; 5]. Trouvez le point minimum de la fonction f(x) sur ce segment.

Débarrassons-nous des informations inutiles et ne laissons que les limites [−5; 5] et les zéros de la dérivée x = −3 et x = 2,5. On note également les signes :

Évidemment, au point x = −3, le signe de la dérivée passe de moins à plus. C'est le point minimum.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7]. Trouvez le point maximum de la fonction f(x) sur ce segment.

Redessinons le graphique en ne laissant que les limites [−3; 7] et les zéros de la dérivée x = −1,7 et x = 5. Notons les signes de la dérivée sur le graphique résultant. Nous avons:

Évidemment, au point x = 5, le signe de la dérivée passe du plus au moins - c'est le point maximum.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−6; 4]. Trouver le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant au segment [−4; 3].

Des conditions du problème il résulte qu'il suffit de considérer uniquement la partie du graphe limitée par le segment [−4 ; 3]. Par conséquent, nous construisons un nouveau graphe sur lequel nous marquons uniquement les frontières [−4 ; 3] et les zéros de la dérivée à l'intérieur. A savoir, les points x = −3,5 et x = 2. On obtient :

Sur ce graphique, il n'y a qu'un seul point maximum x = 2. C'est à ce stade que le signe de la dérivée passe du plus au moins.

Une petite note sur les points avec des coordonnées non entières. Par exemple, dans le dernier problème, le point x = −3,5 a été considéré, mais avec le même succès nous pouvons prendre x = −3,4. Si le problème est correctement rédigé, de tels changements ne devraient pas affecter la réponse, puisque les points « sans domicile fixe » ne participent pas directement à la résolution du problème. Bien entendu, cette astuce ne fonctionnera pas avec des points entiers.

Trouver des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes

Dans un tel problème, comme les points maximum et minimum, il est proposé d'utiliser le graphe dérivé pour trouver les zones dans lesquelles la fonction elle-même augmente ou diminue. Tout d’abord, définissons ce que sont l’augmentation et la diminution :

1. Une fonction f(x) est dite croissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En d’autres termes, plus la valeur de l’argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
2. Une fonction f(x) est dite décroissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Ceux. Une valeur d’argument plus grande correspond à une valeur de fonction plus petite.

Formulons des conditions suffisantes pour augmenter et diminuer :

1. Pour qu'une fonction continue f(x) augmente sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit positive, c'est-à-dire f'(x) ≥ 0.
2. Pour qu'une fonction continue f(x) décroisse sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit négative, c'est-à-dire f'(x) ≤ 0.

Acceptons ces déclarations sans preuves. Ainsi, nous obtenons un schéma pour trouver des intervalles d'augmentation et de diminution, qui est à bien des égards similaire à l'algorithme de calcul des points extremum :

1. Supprimez toutes les informations inutiles. Dans le graphique original de la dérivée, nous nous intéressons principalement aux zéros de la fonction, nous ne les laisserons donc que.
2. Marquez les signes de la dérivée aux intervalles entre les zéros. Où f'(x) ≥ 0, la fonction augmente, et où f'(x) ≤ 0, elle diminue. Si le problème impose des restrictions sur la variable x, nous les marquons en plus sur un nouveau graphique.
3. Maintenant que l'on connaît le comportement de la fonction et les contraintes, il reste à calculer la quantité requise dans le problème.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7.5]. Trouver les intervalles de diminution de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des entiers compris dans ces intervalles.

Comme d'habitude, redessinons le graphique et marquons les limites [−3 ; 7,5], ainsi que les zéros de la dérivée x = −1,5 et x = 5,3. Puis on note les signes de la dérivée. Nous avons:

Puisque la dérivée est négative sur l'intervalle (− 1,5), c'est l'intervalle de fonction décroissante. Il reste à additionner tous les entiers qui se trouvent à l'intérieur de cet intervalle :
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−10 ; 4]. Trouver les intervalles d'augmentation de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux.

Débarrassons-nous des informations inutiles. Laissons seulement les frontières [−10 ; 4] et les zéros de la dérivée, qui étaient cette fois quatre : x = −8, x = −6, x = −3 et x = 2. Marquons les signes de la dérivée et obtenons l'image suivante :

Nous nous intéressons aux intervalles de fonction croissante, c'est-à-dire tel que f'(x) ≥ 0. Il existe deux de ces intervalles sur le graphique : (−8 ; −6) et (−3 ; 2). Calculons leurs longueurs :
l 1 = − 6 − (−8) = 2 ;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Puisque nous devons trouver la longueur du plus grand des intervalles, nous notons la valeur l 2 = 5 comme réponse.

Si vous suivez la définition, alors la dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction Δ ouià l'incrément d'argument Δ X:

Tout semble clair. Mais essayez d'utiliser cette formule pour calculer, disons, la dérivée de la fonction F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X péché X. Si vous faites tout par définition, après quelques pages de calculs, vous vous endormirez simplement. Il existe donc des moyens plus simples et plus efficaces.

Pour commencer, notons que parmi toute la variété des fonctions, on peut distinguer les fonctions dites élémentaires. Ce sont des expressions relativement simples, dont les dérivées sont calculées et tabulées depuis longtemps. De telles fonctions sont assez faciles à mémoriser – ainsi que leurs dérivées.

Dérivées de fonctions élémentaires

Les fonctions élémentaires sont toutes celles listées ci-dessous. Les dérivées de ces fonctions doivent être connues par cœur. De plus, il n'est pas du tout difficile de les mémoriser - c'est pourquoi ils sont élémentaires.

Ainsi, dérivées de fonctions élémentaires :

Nom	Fonction	Dérivé
Constante	F(X) = C, C ∈ R.	0 (oui, zéro !)
Puissance avec exposant rationnel	F(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	F(X) = péché X	parce que X
Cosinus	F(X) = cos X	−péché X(moins sinus)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/péché 2 X
Un algorithme naturel	F(X) = journal X	1/X
Logarithme arbitraire	F(X) = journal un X	1/(X dans un)
Fonction exponentielle	F(X) = e X	e X(Rien n'a changé)

Si une fonction élémentaire est multipliée par une constante arbitraire, alors la dérivée de la nouvelle fonction est également facilement calculée :

(C · F)’ = C · F ’.

En général, les constantes peuvent être soustraites du signe de la dérivée. Par exemple:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Bien évidemment, les fonctions élémentaires peuvent s’ajouter les unes aux autres, se multiplier, se diviser – et bien plus encore. C'est ainsi qu'apparaîtront de nouvelles fonctions, non plus particulièrement élémentaires, mais aussi différenciées selon certaines règles. Ces règles sont discutées ci-dessous.

Dérivée de la somme et de la différence

Soit les fonctions données F(X) Et g(X), dont les dérivés nous sont connus. Par exemple, vous pouvez prendre les fonctions élémentaires évoquées ci-dessus. Ensuite, vous pouvez trouver la dérivée de la somme et de la différence de ces fonctions :

1. (F + g)’ = F ’ + g ’
2. (F − g)’ = F ’ − g ’

Ainsi, la dérivée de la somme (différence) de deux fonctions est égale à la somme (différence) des dérivées. Il peut y avoir plus de termes. Par exemple, ( F + g + h)’ = F ’ + g ’ + h ’.

À proprement parler, il n’existe pas de concept de « soustraction » en algèbre. Il existe une notion d'« élément négatif ». Donc la différence F − g peut être réécrit comme une somme F+ (−1) g, et il ne reste alors qu'une seule formule - la dérivée de la somme.

F(X) = X 2 + péché x ; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fonction F(X) est la somme de deux fonctions élémentaires, donc :

F ’(X) = (X 2 + péché X)’ = (X 2)’ + (péché X)’ = 2X+ cosx ;

On raisonne de la même manière pour la fonction g(X). Seulement il y a déjà trois termes (du point de vue de l'algèbre) :

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Répondre:
F ’(X) = 2X+ cosx ;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Dérivé du produit

Les mathématiques sont une science logique, c'est pourquoi beaucoup de gens croient que si la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées, alors la dérivée du produit grève">égal au produit de dérivés. Mais allez vous faire foutre ! La dérivée d'un produit se calcule selon une toute autre formule. A savoir :

(F · g) ’ = F ’ · g + F · g ’

La formule est simple, mais elle est souvent oubliée. Et pas seulement les écoliers, mais aussi les étudiants. Le résultat est des problèmes mal résolus.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = X 3 cosx ; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fonction F(X) est le produit de deux fonctions élémentaires, donc tout est simple :

F ’(X) = (X 3 parce que X)’ = (X 3)' parce que X + X 3 (car X)’ = 3X 2 parce que X + X 3 (− péché X) = X 2 (3cos X − X péché X)

Fonction g(X) le premier multiplicateur est un peu plus compliqué, mais le schéma général ne change pas. Évidemment, le premier facteur de la fonction g(X) est un polynôme et sa dérivée est la dérivée de la somme. Nous avons:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Répondre:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X péché X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Veuillez noter qu'à la dernière étape, la dérivée est factorisée. Formellement, cela n'est pas nécessaire, mais la plupart des dérivées ne sont pas calculées seules, mais pour examiner la fonction. Cela signifie qu'en outre la dérivée sera assimilée à zéro, ses signes seront déterminés, et ainsi de suite. Dans un tel cas, il est préférable de factoriser une expression.

S'il y a deux fonctions F(X) Et g(X), et g(X) ≠ 0 sur l'ensemble qui nous intéresse, on peut définir une nouvelle fonction h(X) = F(X)/g(X). Pour une telle fonction vous pouvez également trouver la dérivée :

Pas faible, hein ? D'où vient le moins ? Pourquoi g 2 ? Et comme ça ! C’est l’une des formules les plus complexes – vous ne pouvez pas la comprendre sans bouteille. Il est donc préférable de l’étudier avec des exemples précis.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions :

Le numérateur et le dénominateur de chaque fraction contiennent des fonctions élémentaires, il suffit donc de connaître la formule de la dérivée du quotient :

Selon la tradition, factorisons le numérateur - cela simplifiera grandement la réponse :

Une fonction complexe n’est pas nécessairement une formule d’un demi-kilomètre. Par exemple, il suffit de prendre la fonction F(X) = péché X et remplacez la variable X, disons, sur X 2 + ln X. Cela va fonctionner F(X) = péché ( X 2 + ln X) - c'est une fonction complexe. Il a également un dérivé, mais il ne sera pas possible de le trouver en utilisant les règles évoquées ci-dessus.

Que dois-je faire? Dans de tels cas, remplacer une variable et une formule par la dérivée d'une fonction complexe permet de :

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X est remplacé par t(X).

En règle générale, la situation concernant la compréhension de cette formule est encore plus triste qu'avec la dérivée du quotient. Par conséquent, il est également préférable de l’expliquer à l’aide d’exemples précis, avec une description détaillée de chaque étape.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = e 2X + 3 ; g(X) = péché ( X 2 + ln X)

Notez que si dans la fonction F(X) au lieu de l'expression 2 X+ 3 sera facile X, alors on obtient une fonction élémentaire F(X) = e X. Par conséquent, nous effectuons un remplacement : soit 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = e t. On recherche la dérivée d'une fonction complexe à l'aide de la formule :

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Et maintenant, attention ! Nous effectuons le remplacement inverse : t = 2X+ 3. On obtient :

F ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Voyons maintenant la fonction g(X). Il faut évidemment le remplacer X 2 + ln X = t. Nous avons:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (péché t)’ · t' = cos t · t ’

Remplacement inversé : t = X 2 + ln X. Alors:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

C'est tout! Comme le montre la dernière expression, tout le problème a été réduit au calcul de la somme dérivée.

Répondre:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) parce que ( X 2 + ln X).

Très souvent dans mes cours, au lieu du terme « dérivé », j'utilise le mot « premier ». Par exemple, le trait de la somme est égal à la somme des traits. Est-ce plus clair ? Bon, c'est bien.

Ainsi, calculer la dérivée revient à s'affranchir de ces mêmes coups selon les règles évoquées ci-dessus. Comme dernier exemple, revenons à la puissance dérivée avec un exposant rationnel :

(X n)’ = n · X n − 1

Peu de gens savent que dans le rôle n pourrait bien être un nombre fractionnaire. Par exemple, la racine est X 0,5. Et s’il y avait quelque chose d’extraordinaire sous la racine ? Encore une fois, le résultat sera une fonction complexe - ils aiment donner de telles constructions lors de tests et d'examens.

Tâche. Trouvez la dérivée de la fonction :

Tout d’abord, réécrivons la racine sous la forme d’une puissance avec un exposant rationnel :

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Maintenant, nous effectuons un remplacement : laissez X 2 + 8X − 7 = t. On trouve la dérivée à l'aide de la formule :

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Faisons le remplacement inverse : t = X 2 + 8X− 7. Nous avons :

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Enfin, revenons aux sources :

Tâche.

La fonction y=f(x) est définie sur l'intervalle (-5 ; 6). La figure montre un graphique de la fonction y=f(x). Trouvez parmi les points x 1, x 2, ..., x 7 les points auxquels la dérivée de la fonction f(x) est égale à zéro. En réponse, notez le nombre de points trouvés.

Solution:

Le principe pour résoudre ce problème est le suivant : il y a trois comportements possibles de la fonction sur cet intervalle :

1) lorsque la fonction augmente (la dérivée y est supérieure à zéro)

2) lorsque la fonction est décroissante (où la dérivée est inférieure à zéro)

3) lorsque la fonction n'augmente ni ne diminue (où la dérivée est nulle ou n'existe pas)

Nous sommes intéressés par la troisième option.

La dérivée est égale à zéro lorsque la fonction est lisse et n'existe pas aux points de rupture. Regardons tous ces points.

x 1 - la fonction augmente, ce qui signifie la dérivée f′(x) >0

x 2 - la fonction prend un minimum et est lisse, ce qui signifie la dérivée f ′(x) = 0

x 3 - la fonction prend un maximum, mais à ce stade il y a une pause, ce qui signifie dérivé f ′(x) n'existe pas

x4 - la fonction prend un maximum, mais à ce stade il y a une pause, ce qui signifie dérivé f ′(x) n'existe pas

x 5 - dérivée f ′(x) = 0

x6 - la fonction augmente, ce qui signifie la dérivée f′(x) >0

x7 - la fonction prend un minimum et est fluide, ce qui signifie dérivée f ′(x) = 0

Nous voyons que f ′(x) = 0 aux points x 2, x 5 et x 7, un total de 3 points.