L'emplacement des racines d'un trinôme quadratique sur la droite numérique. Leçon « Trinôme carré et ses racines

L’étude de nombreux modèles physiques et géométriques conduit souvent à résoudre des problèmes de paramètres. Certaines universités incluent également des équations, des inégalités et leurs systèmes dans les épreuves d'examen, qui sont souvent très complexes et nécessitent une approche de solution non standard. À l'école, cette section, l'une des plus difficiles du cours d'algèbre scolaire, n'est prise en compte que dans quelques cours au choix ou par matières.
À mon avis, la méthode graphique fonctionnelle est pratique et d'une manière rapide résoudre des équations avec un paramètre.
Comme on le sait, en ce qui concerne les équations avec paramètres, il existe deux formulations du problème.

1. Résolvez l'équation (pour chaque valeur de paramètre, trouvez toutes les solutions de l'équation).
2. Trouvez toutes les valeurs du paramètre pour chacune desquelles les solutions de l'équation satisfont aux conditions données.

Dans cet article, un problème du deuxième type est considéré et étudié en relation avec les racines d'un trinôme carré, dont la découverte se réduit à résoudre une équation quadratique.
L'auteur espère que ce travail aidera les enseignants à élaborer des cours et à préparer les étudiants à l'examen d'État unifié.

1. Qu'est-ce qu'un paramètre

Expression de la forme ah 2 + bx + c dans le cours d'algèbre scolaire, ils appellent le trinôme quadratique par rapport à X, Où une, b, c reçoivent des nombres réels, et, un=/= 0. Les valeurs de la variable x auxquelles l'expression devient nulle sont appelées racines du trinôme carré. Pour trouver les racines d’un trinôme quadratique, vous devez résoudre l’équation quadratique ah 2 + bх + c = 0.
Rappelons les équations de base du cours d'algèbre scolaire hache + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Lors de la recherche de leurs racines, les valeurs des variables une, b, c, inclus dans l’équation sont considérés comme fixes et donnés. Les variables elles-mêmes sont appelées paramètres. Puisqu'il n'y a pas de définition du paramètre dans les manuels scolaires, je propose de prendre comme base la version la plus simple suivante.

Définition.Un paramètre est une variable indépendante dont la valeur dans le problème est considérée comme un nombre réel fixe ou arbitraire donné, ou un nombre appartenant à un ensemble prédéterminé.

2. Types et méthodes de base pour résoudre les problèmes avec les paramètres

Parmi les tâches paramétrées, on peut distinguer les principaux types de tâches suivants.

1. Équations qui doivent être résolues soit pour n'importe quelle valeur d'un ou plusieurs paramètres, soit pour des valeurs de paramètres appartenant à un ensemble prédéfini. Par exemple. Résoudre des équations : hache = 1, (un - 2)x = un 2 – 4.
2. Équations pour lesquelles il faut déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur du paramètre (paramètres). Par exemple. À quelles valeurs de paramètre unéquation 4X 2 – 4hache + 1 = 0 a une seule racine ?
3. Équations pour lesquelles, pour les valeurs de paramètres requises, l'ensemble des solutions satisfait aux conditions spécifiées dans le domaine de définition.

Par exemple, recherchez les valeurs des paramètres auxquelles les racines de l'équation ( un - 2)X 2 – 2hache + a + 3 = 0 positif.
Les principales manières de résoudre des problèmes avec un paramètre : analytique et graphique.

Analytique- Il s'agit d'une méthode dite de solution directe, répétant des procédures standard pour trouver la réponse à des problèmes sans paramètre. Regardons un exemple d'une telle tâche.

Tâche n°1

A quelles valeurs du paramètre a l'équation est-elle X 2 – 2hache + un 2 – 1 = 0 a deux racines différentes appartenant à l'intervalle (1 ; 5) ?

Solution

X 2 – 2hache + un 2 – 1 = 0.
Selon les conditions du problème, l'équation doit avoir deux racines différentes, et cela n'est possible qu'à la condition : D > 0.
On a : D = 4 un 2 – 2(UN 2 – 1) = 4. Comme on peut le voir, le discriminant ne dépend pas de a, donc l'équation a deux racines différentes pour toutes les valeurs du paramètre a. Trouvons les racines de l'équation : X 1 = UN + 1, X 2 = UN – 1
Les racines de l'équation doivent appartenir à l'intervalle (1 ; 5), c'est-à-dire
Alors, à 2 heures<UN < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Réponse : 2<UN < 4.
Cette approche pour résoudre les problèmes du type considéré est possible et rationnelle dans les cas où le discriminant équation quadratique« bon », c'est-à-dire est le carré exact de n'importe quel nombre ou expression, ou les racines de l'équation peuvent être trouvées en utilisant le théorème inverse de Vieta. Ainsi, les racines ne représentent pas des expressions irrationnelles. Autrement, la résolution de problèmes de ce type implique des procédures assez complexes d’un point de vue technique. Et résoudre des inégalités irrationnelles nécessite de nouvelles connaissances de la part de l’étudiant.

Graphique- il s'agit d'une méthode dans laquelle des graphiques sont utilisés dans le plan de coordonnées (x; y) ou (x; a). La clarté et la beauté de cette méthode de solution aident à trouver un moyen rapide de résoudre le problème. Résolvons graphiquement le problème n°1.
Comme vous le savez grâce à un cours d'algèbre, les racines d'une équation quadratique (trinôme quadratique) sont les zéros des nombres correspondants. fonction quadratique: U = X 2 – 2Oh + UN 2 – 1. Le graphique de la fonction est une parabole, les branches sont dirigées vers le haut (le premier coefficient est 1). Un modèle géométrique répondant à toutes les exigences du problème ressemble à ceci.

Il ne reste plus qu'à « fixer » la parabole dans la position souhaitée en utilisant les conditions nécessaires.

1. Puisqu'une parabole a deux points d'intersection avec l'axe X, alors D > 0.
2. Le sommet de la parabole est entre les lignes verticales X= 1 et X= 5, donc l'abscisse du sommet de la parabole x o appartient à l'intervalle (1 ; 5), c'est-à-dire
   1 <XÔ< 5.
3. Nous remarquons que à(1) > 0, à(5) > 0.

Ainsi, en passant du modèle géométrique du problème au modèle analytique, on obtient un système d'inégalités.

Réponse : 2<UN < 4.

Comme le montre l'exemple, une méthode graphique pour résoudre des problèmes du type considéré est possible dans le cas où les racines sont « mauvaises », c'est-à-dire contenir un paramètre sous le signe radical (dans ce cas, le discriminant de l'équation n'est pas un carré parfait).
Dans la deuxième méthode de résolution, nous avons travaillé avec les coefficients de l'équation et l'étendue de la fonction à = X 2 – 2Oh + UN 2 – 1.
Cette méthode de solution ne peut pas être qualifiée de uniquement graphique, car ici, nous devons résoudre un système d’inégalités. Cette méthode est plutôt combinée : fonctionnelle et graphique. De ces deux méthodes, cette dernière est non seulement élégante, mais aussi la plus importante, puisqu'elle montre la relation entre tous les types de modèles mathématiques : une description verbale du problème, un modèle géométrique - un graphique d'un trinôme quadratique, un analytique modèle - une description d'un modèle géométrique par un système d'inégalités.
Nous avons donc considéré un problème dans lequel les racines d'un trinôme quadratique satisfont des conditions données dans le domaine de définition pour les valeurs de paramètres souhaitées.

Quelles autres conditions possibles les racines d’un trinôme quadratique peuvent-elles satisfaire pour les valeurs de paramètres souhaitées ?

Professeur de la catégorie la plus élevée : Minaichenko N.S., gymnase n°24, Sébastopol

Leçon en 8ème : "Trinôme carré et ses racines"

Type de cours : leçon de nouvelles connaissances.

Objectif de la leçon :

organiser des activités étudiantes pour consolider et développer les connaissances sur la décomposition d'un trinôme quadratique en facteurs linéaires et la réduction de fractions ;

développer des compétences dans l'application des connaissances de toutes les méthodes de factorisation : mise entre parenthèses, utilisation de formules de multiplication abrégées et méthodes de regroupement afin de préparer la réussite de l'examen d'algèbre ;

créer les conditions pour le développement de l'intérêt cognitif pour le sujet, la formation de la pensée logique et la maîtrise de soi lors de l'utilisation de la factorisation.

Équipement: projecteur multimédia, écran, présentation : « Racines du trinôme carré », mots croisés, test, polycopié.

Concepts de base . Factoriser un trinôme quadratique.

Activité indépendante des étudiants. Application du théorème à la factorisation d'un trinôme quadratique dans la résolution de problèmes.

Plan de cours

Résolution de problèmes.

Réponses aux questions des étudiants

IV. Test primaire d'acquisition de connaissances. Réflexion

Message du professeur.

Message de l'étudiant

V. Devoirs

Écrire au tableau

Commentaire méthodique :

Ce sujet est fondamental dans la section « Transformations identiques d'expressions algébriques ». Par conséquent, il est important que les élèves soient automatiquement capables non seulement de voir les formules de factorisation dans des exemples, mais également de les appliquer à d'autres tâches : comme résoudre des équations, transformer des expressions, prouver des identités.

Ce sujet se concentre sur la factorisation d'un trinôme quadratique :

hache+ bx + c = une(x – x)(x – x),

où x et x – racines de l'équation quadratique ax + bx + c = 0.

Cela permet d'élargir le champ de vision de l'élève, de lui apprendre à penser dans une situation atypique, en utilisant la matière étudiée, c'est-à-dire en utilisant la formule de factorisation d'un trinôme quadratique :

capacité à réduire des fractions algébriques;

capacité à simplifier des expressions algébriques;

capacité à résoudre des équations;

capacité à prouver son identité.

Contenu principal de la leçon :

a) 3x + 5x – 2 ;

b) –x + 16x – 15 ;

c) x – 12x + 24 ;

d) –5x + 6x – 1.

№2. Réduisez la fraction :

№3. Simplifiez l'expression :

№4. Résolvez l'équation :

b)

Progression de la leçon :

I. Étape de mise à jour des connaissances.

Motivation pour les activités d'apprentissage.

a) de l'histoire :

b) mots croisés:

Échauffement et entraînement de l'esprit – mots croisés :

Horizontal:

1) La racine du deuxième degré s’appelle…. (carré)

2) Valeurs de la variable pour lesquelles l'équation devient une vraie égalité (racines)

3) Une égalité contenant une inconnue s'appelle... (équation)

4) Scientifique indien, qui a posé la règle générale pour résoudre les équations quadratiques (Brahmagupta)

5) Les coefficients de l'équation quadratique sont... (nombres)

6) Scientifique grec ancien qui a inventé une méthode géométrique pour résoudre des équations (Euclide)

7) Théorème reliant les coefficients et les racines d'une équation quadratique (Vieta)

8) « discriminant », déterminant les racines d'une équation quadratique – c'est... (discriminant)

En plus:

Si D>0, combien de racines ? (deux)

Si D=0, combien de racines ? (un)

Si D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Horizontalement et verticalement le sujet de la leçon : « Trinôme carré»

b) motivations :

Ce sujet est fondamental dans la section « Transformations identiques d'expressions algébriques ». Par conséquent, il est important que vous puissiez automatiquement non seulement voir les formules de factorisation dans des exemples, mais également les appliquer à d'autres tâches : telles que réduire des fractions, résoudre des équations, transformer des expressions, prouver des identités.

Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur la factorisation du trinôme quadratique :

II. Apprendre du nouveau matériel.

Sujet : Trinôme carré et ses racines.

La théorie générale des polynômes à plusieurs variables dépasse largement le cadre du cours scolaire. Nous nous limiterons donc à étudier les polynômes d’une variable réelle, et uniquement dans les cas les plus simples. Considérons des polynômes à une variable, réduits à la forme standard.

Racine d'un polynôme est la valeur d'une variable pour laquelle la valeur du polynôme est égale à zéro. Cela signifie que pour trouver les racines d'un polynôme, vous devez l'assimiler à zéro, c'est-à-dire résoudre l'équation.

Racine d'un polynôme du premier degré
facile à trouver
. Examen:
.

Les racines d’un trinôme quadratique peuvent être trouvées en résolvant l’équation :
.

En utilisant la formule des racines d’une équation quadratique, nous trouvons :

;

Théorème (sur la factorisation d'un trinôme quadratique ):

Si Et -racines d'un trinôme carré
, Où ≠ 0,

Que .

Preuve:

Effectuons les transformations suivantes du trinôme quadratique :

=
=
=

=
=
=

=
=

Depuis le discriminant
, on obtient :

=
=

Appliquons la formule de la différence des carrés entre parenthèses et obtenons :

=
=
,

parce que
;
. Le théorème a été prouvé.

La formule résultante est appelée la formulefactoriser un trinôme quadratique.

III. Formation de compétences et d'aptitudes.

№1. Factorisez le trinôme quadratique :

a) 3x + 5x – 2 ;

Solution:

Réponse : 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Au tableau :

b) –5x + 6x – 1 ;

En plus:

c) x – 12x + 24 ;

d) –x + 16x – 15.

№2. Réduisez la fraction :

UN)

№4. Résolvez l'équation :

b)

IV. Test primaire d'acquisition de connaissances.

UN) Test.

Option 1.

1. Trouvez les racines du trinôme quadratique :2x 2 -9x-5

Répondre:

2. Quel polynôme doit être substitué aux points de suspension pour que l'égalité soit vraie :

b) Vérification mutuelle des options (réponses et les paramètres d'évaluation sont illustrés).

c) Réflexion.

V. Devoirs.

La pratique des examens de mathématiques montre que les problèmes avec des paramètres sont les plus difficiles, à la fois logiquement et techniquement, et donc la capacité à les résoudre détermine en grande partie la réussite d'un examen à n'importe quel niveau.

Dans les problèmes de paramètres, à côté des quantités inconnues, apparaissent des quantités dont les valeurs numériques, bien que non spécifiquement indiquées, sont considérées comme connues et spécifiées sur un certain ensemble numérique. Dans ce cas, les paramètres inclus dans la condition influencent de manière significative le déroulement logique et technique de la solution et la forme de la réponse. De tels problèmes peuvent être trouvés dans le livre « 514 Problèmes avec les paramètres ». Dans la littérature sur les mathématiques élémentaires, il existe de nombreux manuels, livres de problèmes et manuels méthodologiques qui contiennent des problèmes avec les paramètres. Mais la plupart d’entre eux couvrent un éventail restreint de questions, mettant l’accent sur la recette plutôt que sur la logique de résolution des problèmes. De plus, les livres les plus réussis sont depuis longtemps devenus une rareté bibliographique. À la fin de l'ouvrage se trouve une liste de livres, dont les articles ont permis d'établir une classification des déclarations sur le sujet de l'ouvrage. Le plus important est le manuel de A. Kh. Shahmeister.

L'objectif principal de ce travail est de combler certaines lacunes importantes du cours d'algèbre de base et d'établir les faits d'utilisation des propriétés d'une fonction quadratique, ce qui peut considérablement simplifier la solution des problèmes liés à l'emplacement des racines d'une équation quadratique avec concernant certains points caractéristiques.

Objectifs du poste :

Installer cas possibles emplacement des racines d'un trinôme carré sur la droite numérique ;

Identifier les algorithmes qui permettent de résoudre des équations quadratiques avec un paramètre basé sur l'emplacement des racines d'un trinôme quadratique sur la droite numérique ;

Apprendre à résoudre des problèmes d’une complexité supérieure au niveau requis ; maîtriser un certain nombre de compétences mathématiques techniques et intellectuelles au niveau de leur libre utilisation ; améliorer la culture mathématique dans le cadre du cours de mathématiques scolaire.

Objet d'étude : localisation des racines d'un trinôme carré sur une droite de coordonnées.

Sujet de recherche : équations quadratiques avec un paramètre.

Méthodes de recherche. Les principales méthodes d'étude des problèmes avec un paramètre : analytique, graphique et combinée (fonctionnelle - graphique). L'analyse est une méthode de solution dite directe, répétant des procédures standard pour trouver la réponse à des problèmes sans paramètre. Graphic est une méthode qui utilise des graphiques dans le plan de coordonnées (x; y). La clarté de la méthode graphique permet de trouver un moyen rapide de résoudre un problème. De ces deux méthodes, cette dernière est non seulement élégante, mais aussi la plus importante, puisqu'elle montre la relation entre tous les types de modèles mathématiques : une description verbale du problème, un modèle géométrique - un graphique d'un trinôme quadratique, un analytique modèle - une description d'un modèle géométrique par un système d'inégalités compilé sur la base d'énoncés mathématiques identifiés à partir du graphique d'une fonction quadratique.

Dans de nombreux cas, la résolution d’équations quadratiques avec un paramètre conduit à des transformations fastidieuses. Hypothèse : l'utilisation des propriétés d'une fonction quadratique simplifiera considérablement la solution, la réduisant à la résolution d'inégalités rationnelles.

Partie principale. L'emplacement des racines d'un trinôme quadratique sur la ligne de coordonnées

Considérons quelques affirmations liées à l'emplacement des racines du trinôme carré f(x)=ax2+bx+c sur la droite numérique par rapport aux points m et n tels que m

x1 et x2 sont les racines du trinôme quadratique,

D=b2-4ac- discriminant d'un trinôme carré, D≥0.

m, n, m1, m2, n1, n2 - nombres donnés.

Tous les arguments sont pris en compte pour a>0, le cas pour a

Première déclaration

Pour que le nombre m soit situé entre les racines du trinôme carré (x1

Preuve.

fourni x1

Interprétation géométrique

Soit x1 et x2 les racines de l'équation. Pour un > 0 f(x)

Problème 1. Pour quelles valeurs de k l'équation x2-(2k+1)x + 3k-4=0 a-t-elle deux racines dont l'une est inférieure à 2 et l'autre est supérieure à 2 ?

Solution. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1

Pour k>-2, l’équation x2-(2k+1)x + 3k-4=0 a deux racines dont l’une est inférieure à 2 et l’autre est supérieure à 2.

Réponse : k>-2.

Problème 2. Pour quelles valeurs de k l'équation kx2+(3k-2)x + k-3=0 a-t-elle des racines de signes différents ?

Ce problème peut être formulé comme suit : pour quelles valeurs de k le nombre 0 se situe-t-il entre les racines de cette équation.

Solution (1 voie) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1

Méthode 2 (en utilisant le théorème de Vieta). Si une équation quadratique a des racines (D>0) et c/a

Problème 3. Pour quelles valeurs de k l'équation (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 a-t-elle deux racines, dont l'une est inférieure à k et l'autre est supérieure à k?

f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 En substituant les valeurs de k de l'ensemble trouvé, on s'assure que pour ces valeurs de k D>0.

Déclaration deux(a)

Pour que les racines d'un trinôme carré soient inférieures au nombre m (x1

Preuve : x1-m>0, x2-m 0 ; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2

Problème 4. A quelles valeurs du paramètre les racines de l'équation x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 sont-elles inférieures à -1 ?

D≥0 ; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0 ; (k-5)2≥0 ; k- n'importe lequel ; x0-3/2 ; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2

Déclaration deux (b)

Pour que les racines d’un trinôme quadratique soient plus de numéro m(m

D ≥0 ; x0>m; af(m)>0.

Si la condition m m. Puisque m n'appartient pas à l'intervalle (x1; x2), alors f(m) > O pour a > 0 et f(m)

A l’inverse, que le système des inégalités soit satisfait. La condition D > 0 implique l’existence de racines x1 et x2 (x1 m.

Il reste à montrer que x1 > m. Si D = 0, alors x1 = x2 > m. Si D > 0, alors f(x0) = -D/4a et af(x0) 0, donc aux points x0 et m la fonction prend des valeurs de signes opposés et x1 appartient à l'intervalle (m ; x0).

Problème 5. Pour quelles valeurs du paramètre m les racines de l'équation x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) sont-elles supérieures à 1 ? b) inférieur à -1 ?

Solution a) D≥0 ; D≥0 ; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0 ; x0>m; x0>1 ; ½(3m+1)>1 ; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.

(m-5)2≥0 ; m - n'importe quel m>1/3 ; m>1/3 ;

(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Réponse : m>3/2.

b) D≥0 ; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0 ; (m-5)2 ≥0 ; m - n'importe quel x0-3/2 ; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.

Problème 6. A quelles valeurs du paramètre les racines de l'équation kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 sont-elles supérieures à 1 ?

Solution. Évidemment, le problème est équivalent au suivant : pour quelles valeurs du paramètre m les racines d'un trinôme quadratique sont-elles supérieures à 1 ?

D≥0 ; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0 ; 8k2-8k-1≤0 ; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1 ; 2k+1 > 2k ; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.

Après avoir résolu ce système, nous trouvons que

Troisième affirmation

Pour que les racines d'un trinôme carré soient supérieures au nombre m et inférieures à n (m

D ≥0 ; m 0 af(n)>0.

Note traits caractéristiques graphique.

1) L'équation a des racines, ce qui signifie D > 0.

2) L'axe de symétrie est situé entre les droites x = m et x = n, ce qui signifie m

3) Aux points x = m et x = n, le graphique est situé au dessus de l'axe OX, donc f(m) > 0 et f(n) > 0 (à m

Les conditions énumérées ci-dessus (1 ; 2 ; 3) sont nécessaires et suffisantes pour les valeurs de paramètres souhaitées.

Problème 7. Pour quoi m x2-2mx+m2-2m+5=0 les nombres ne dépassent-ils pas 4 en valeur absolue ?

Solution. La condition du problème peut être formulée ainsi : pour quoi m fait la relation -4

On retrouve les valeurs de m du système

ré > 0 ; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0 ;

4 ≤ x0 ≤ 4 ; -4 ≤ m≤ 4 ; f(-4)≥ 0 ; 16 + 8 m+ m2 – 2 m + 5 ≥ 0 ; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0 ; dont la solution est le segment . Réponse : M.

Problème 8. Pour quelles valeurs de m sont les racines du trinôme quadratique

(2m - 2)x2 + (m+1)x + 1 est supérieur à -1, mais inférieur à 0 ?

Solution. Les valeurs de m peuvent être trouvées à partir du système

D≥0 ; (m+1)2-4(2m-2) ≥0 ;

(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0 ;

(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;

Réponse : m > 2.

Déclaration quatre(s)

Pour que la plus petite racine du trinôme carré appartienne à l'intervalle (m;n) et que la plus grande n'appartienne pas à (m

D ≥0 ; af(m)>0 af(n)

Le graphique d'un trinôme quadratique coupe l'axe OX exactement une fois sur l'intervalle (m; n). Cela signifie qu'aux points x=m et x=n le trinôme carré prend des valeurs de signes différents.

Problème 10. Pour quelles valeurs du paramètre a seule la plus petite racine de l'équation quadratique x2+2ax+a=0 appartient-elle à l'intervalle X(0;3).

Solution. Considérons le trinôme quadratique y(x) = x2-2ax+a. Le graphique est une parabole. Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut. Soit x1 la racine moindre du trinôme carré. Selon les conditions du problème, x1 appartient à l'intervalle (0;3). Décrivons modèle géométrique tâche qui répond aux conditions de la tâche.

Passons au système des inégalités.

1) On note que y(0)>0 et y(3) 0. Il n’est donc pas nécessaire d’écrire cette condition dans le système d’inégalités.

On obtient donc le système d'inégalités suivant :

Réponse : a>1.8.

Énoncé quatre (b)

Pour que la plus grande racine du trinôme carré appartienne à l'intervalle (m; n), et la plus petite n'appartienne pas à (x1

D ≥0 ; af(m) 0.

Déclaration quatre (combinée)

Commentaire. Laissez le problème être formulé comme suit : pour quelles valeurs du paramètre une racine de l'équation appartient-elle à l'intervalle (b;m), et l'autre non ? Pour résoudre ce problème, il n’est pas nécessaire de distinguer deux sous-cas ; nous trouvons la réponse à partir de l’inégalité f(m) f(n) ;

D ≥0 ; f(m) f(n)

Problème 11. Pour quoi m une seule racine de l'équation x2-mх+6=0 satisfait-elle à la condition 2

Solution. Sur la base de l'énoncé 4(b), nous trouvons la valeur de m à partir de la condition f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, c'est-à-dire pour m = ±2√6, Pour m = -2√6 x = - √6, qui n'appartient pas à l'intervalle (2 ; 5), avec m = 2√6 x =√6, appartenant à l'intervalle (2 ; 5).

Réponse : m (2√6) U (5 ; 31/5).

Cinquième déclaration

Pour que les racines d’un trinôme quadratique satisfassent la relation (x1

D ≥0 ; af(m)Problème 12. Trouver toutes les valeurs de m pour lesquelles l'inégalité x2+2(m-3)x + m2-6m

Solution. Par condition, l'intervalle (0 ; 2) doit être contenu dans l'ensemble des solutions de l'inégalité x2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m Sur la base de l'énoncé 5, nous trouvons les valeurs de m du système d'inégalités f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0, 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0, m [-2;4], d'où m.

Réponse : M.

Déclaration six

Pour que la plus petite racine du trinôme carré appartienne à l'intervalle (m1 ; m2) et que la plus grande racine appartienne à l'intervalle (n1 ; n2) (m2

D ≥0 ; af(m1)>0 ; af(m2)Cette instruction est une combinaison des instructions 4a et 4b. Les deux premières inégalités garantissent que x1(m1, n1), et les deux dernières inégalités garantissent que x2(m2, n2),

Problème 13. En quoi m se trouve l'une des racines de l'équation x2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 située entre les nombres 1 et 3, et la seconde - entre les nombres 4 et 6 ?

Solution. 1 façon. Considérant que a = 1, les valeurs de m peuvent être trouvées à partir du système f(1) > 0 ; 1 -2m-1+m2 + m-2 >0 ; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)

4(4)0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), d'où m(2; 4).

Réponse : m(2 ; 4).

Ainsi, nous avons établi des énoncés liés à la localisation des racines du trinôme carré f(x)=ax2+bx+ sur la droite numérique par rapport à certains points.

Conclusion

Au cours de mon travail, j'ai maîtrisé un certain nombre de compétences techniques et mathématiques au niveau de l'utilisation libre et j'ai amélioré ma culture mathématique dans le cadre du cours de mathématiques scolaire.

Grâce aux travaux, l'objectif fixé a été atteint : les propriétés de la fonction quadratique ont été établies, qui permettent de simplifier considérablement la solution des problèmes liés à la localisation des racines d'une équation quadratique par rapport à certains points caractéristiques. Des cas possibles de localisation des racines d'un trinôme carré sur la droite numérique sont établis. Des algorithmes ont été identifiés qui permettent de résoudre des équations quadratiques avec un paramètre basé sur l'emplacement des racines d'un trinôme carré sur la droite numérique ; des tâches d'une complexité supérieure au niveau requis ont été résolues. L'ouvrage présente une solution à seulement 12 problèmes en raison du nombre limité de pages de l'ouvrage. Bien entendu, les problèmes abordés dans l'ouvrage peuvent être résolus d'autres manières : en utilisant des formules pour les racines d'une équation quadratique, en utilisant la propriété des racines (théorème de Vieta).

En fait, un nombre important de problèmes ont été résolus. Par conséquent, il a été décidé de créer une collection de problèmes sur le thème du travail de conception et de recherche « Résolveur de problèmes sur l'application des propriétés d'un trinôme carré liées à l'emplacement de ses racines sur la ligne de coordonnées. » De plus, le résultat du travail (produit du travail de conception et de recherche) est présentation informatique, qui peut être utilisé dans les cours de la matière à option « Résoudre des problèmes avec des paramètres ».

Trouver les racines d'un trinôme quadratique

Objectifs: introduire le concept de trinôme quadratique et ses racines ; développer la capacité de trouver les racines d'un trinôme quadratique.

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel.

II. Travail oral.

Lequel des nombres : –2 ; –1 ; 1 ; 2 – sont les racines des équations ?

une) 8 X+ 16 = 0 ; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0 ; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Explication du nouveau matériel.

L'explication du nouveau matériel doit être effectuée selon le schéma suivant :

1) Introduire la notion de racine d'un polynôme.

2) Présenter le concept de trinôme quadratique et ses racines.

3) Analyser la question du nombre possible de racines d'un trinôme carré.

La question de l’isolation du carré d’un binôme d’un trinôme carré sera mieux abordée dans la leçon suivante.

A chaque étape de l'explication d'une nouvelle matière, il est nécessaire de proposer aux étudiants une tâche orale pour tester leur compréhension des principaux points de la théorie.

Tâche 1. Lequel des nombres : –1 ; 1 ; ; 0 – sont les racines du polynôme X 4 + 2X 2 – 3?

Devoir 2. Lesquels des polynômes suivants sont des trinômes quadratiques ?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Quels trinômes quadratiques ont la racine 0 ?

Tâche 3. Un trinôme carré peut-il avoir trois racines ? Pourquoi? Combien de racines possède un trinôme carré ? X 2 + X – 5?

IV. Formation de compétences et d'aptitudes.

Exercices :

1. № 55, № 56, № 58.

2. N° 59 (a, c, d), n° 60 (a, c).

Dans cette tâche, vous n’avez pas besoin de rechercher les racines des trinômes quadratiques. Il suffit de trouver leur discriminant et de répondre à la question posée.

une) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, ce qui signifie que ce trinôme quadratique a deux racines.

b)9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, ce qui signifie que le trinôme carré a une racine.

c) –7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

S'il reste du temps, vous pouvez faire le n°63.

Solution

Laisser hache 2 + bx + c est un trinôme quadratique donné. Parce que un+ b +
+c= 0, alors l'une des racines de ce trinôme est égale à 1. D'après le théorème de Vieta, la deuxième racine est égale à . Selon l'état, Avec = 4UN, donc la racine seconde de ce trinôme quadratique est égale à
.

RÉPONSE : 1 et 4.

V. Résumé de la leçon.

Questions fréquemment posées :

– Quelle est la racine d’un polynôme ?

– Quel polynôme est appelé trinôme quadratique ?

– Comment trouver les racines d’un trinôme quadratique ?

– Quel est le discriminant d’un trinôme quadratique ?

– Combien de racines un trinôme carré peut-il avoir ? De quoi cela dépend ?

Devoirs: N° 57, n° 59 (b, d, f), n° 60 (b, d), n° 62.

Sujet de la leçon: "Trinôme carré et ses racines."

Objectif de la leçon: initier les étudiants au concept de trinôme carré et à ses racines, améliorer leurs compétences dans la résolution de tâches permettant d'isoler le carré d'un binôme d'un trinôme carré.

La leçon comprend quatre étapes principales:

Contrôle des connaissances

Explication du nouveau matériel

Consolidation reproductive.

Renforcement de la formation.

Réflexion.

Étape 1. Contrôle des connaissances.

L'enseignant réalise une dictée mathématique « en copie conforme » à partir de la matière du cycle précédent. Pour la dictée, des fiches de deux couleurs sont utilisées : bleue pour 1 option, rouge pour 2 options.

Parmi les modèles analytiques de fonctions donnés, sélectionnez uniquement les modèles quadratiques.

Option 1. y=ax+4, y=45-4x, y=x²+4x-5, y=x³+x²-1.

Option 2. y=8x-b, y=13+2x, y= -x²+4x, y=-x³+4x²-1.

Esquissez des fonctions quadratiques. Est-il possible de déterminer de manière unique la position d'une fonction quadratique sur le plan de coordonnées. Essayez de justifier votre réponse.

Résolvez des équations quadratiques.

Option 1. a) x² +11x-12=0

B) x² +11x =0

Option 2. a) x² -9x+20=0

B) x² -9 x =0

4. Sans résoudre l’équation, découvrez si elle a des racines.

Option 1. A) x² + x +12=0

Option 2. A) x² + x - 12=0

L'enseignant vérifie les réponses reçues des deux premiers binômes. Les réponses incorrectes reçues sont discutées avec toute la classe.

Option 1.	Option 2.
1. y=x²+4x-5	1. y= -x²+4x
2. Les branches sont levées, mais la position ne peut être déterminée sans ambiguïté car il n'y a pas suffisamment de données.	branches vers le bas, mais il est impossible de déterminer sans ambiguïté la position car il n'y a pas suffisamment de données.
3.a) –12 ; 1b) –11;0	3. a) 4;5 b) 9;0
	4. D0, il y a deux racines

Étape 2. Créons un cluster. Quelles associations avez-vous lorsque vous considérez le trinôme quadratique ?

Création d'un cluster.

Réponses possibles :

le trinôme quadratique est utilisé pour considérer le carré. fonctions ;

vous pouvez trouver les zéros du carré. fonctions

À l’aide de la valeur discriminante, estimez le nombre de racines.

Décrire des processus réels, etc.

Explication du nouveau matériel.

Paragraphe 2. clause 3 pp. 19-22.

Les expressions sont considérées et la définition d'un trinôme quadratique et la racine d'un polynôme sont données (lors de la discussion des expressions discutées précédemment)

La définition de la racine d'un polynôme est formulée.

La définition d'un trinôme quadratique est formulée.

Des exemples de résolution d'un trinôme sont analysés :

Trouvez les racines d'un trinôme quadratique.

Isolons le binôme carré du trinôme carré.

3x²-36x+140=0.

Un schéma de la base approximative de l'action est établi.

Algorithme pour séparer un binôme d'un trinôme carré.

1.Définir valeur numérique coefficient carré senior trinôme.

2. Effectuer identique et 2. Transformer l'expression,

transformations équivalentes à l'aide de formules

(mettre entre parenthèses le facteur commun ; le carré de la somme et de la différence.

convertir l'expression entre parenthèses

en le construisant jusqu'à la formule du carré de la somme

ou différence)

a²+2ab+b²= (a+c)² a²-2ab+b²= (a-c)²

Étape 3. Résoudre des tâches typiques du manuel (n° 60 a, c ; 61 a, 64 a, c) Elles sont réalisées au tableau et commentées.

Étape 4. Travail indépendant pour 2 options (n° 60a, b ; 65 a, b). Les élèves vérifient les exemples de solutions au tableau.

Devoir : P.3 (apprendre la théorie, n°56, 61g, 64g)

Réflexion. L'enseignant donne la tâche : évaluer vos progrès à chaque étape du cours à l'aide d'un dessin et le remettre au professeur. (la tâche est réalisée sur des feuilles séparées, un échantillon est fourni).

Échantillon:

En utilisant l'ordre des éléments de l'image, déterminez à quelle étape de la leçon votre ignorance a prévalu. Surlignez cette étape en rouge.