Quelle est la différence entre une fraction et une fraction ? Fractions communes, régulières et impropres, mixtes et composées. Ajouter des décimales

Fractions d'une unité et est représenté comme \frac(a)(b).

Numérateur de la fraction (a)- le numéro situé au-dessus de la ligne de fraction et indiquant le nombre d'actions dans lesquelles la part a été divisée.

Dénominateur de fraction (b)- le numéro situé sous la ligne de la fraction et indiquant en combien de parties l'unité est divisée.

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La propriété principale d'une fraction

Si ad=bc alors deux fractions \frac(a)(b) Et \frac(c)(d) sont considérés comme égaux. Par exemple, les fractions seront égales \frac35 Et \frac(9)(15), puisque 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Et \frac(24)(14), puisque 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

De la définition de l'égalité des fractions, il s'ensuit que les fractions seront égales \frac(a)(b) Et \frac(am)(bm), puisque a(bm)=b(am) est un exemple clair de l'utilisation des propriétés associatives et commutatives de la multiplication des nombres naturels en action.

Moyens \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- voilà à quoi ça ressemble propriété principale d'une fraction.

En d’autres termes, nous obtenons une fraction égale à celle donnée en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par le même nombre naturel.

Réduire une fraction est le processus de remplacement d'une fraction dans laquelle la nouvelle fraction est égale à l'originale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

Il est d'usage de réduire les fractions en fonction de la propriété fondamentale de la fraction.

Par exemple, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(le numérateur et le dénominateur sont divisés par le nombre 3) ; la fraction résultante peut à nouveau être réduite en divisant par 5, c'est-à-dire \frac(15)(20)=\frac 34.

Fraction irréductible est une fraction de la forme \frac 34, où le numérateur et le dénominateur sont des nombres premiers entre eux. Le but principal de la réduction d’une fraction est de la rendre irréductible.

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Prenons comme exemple deux fractions : \frac(2)(3) Et \frac(5)(8) avec des dénominateurs différents 3 et 8. Afin de ramener ces fractions à un dénominateur commun, on multiplie d'abord le numérateur et le dénominateur de la fraction \frac(2)(3) vers 8 heures. On obtient le résultat suivant : \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Ensuite on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction \frac(5)(8) par 3. En conséquence nous obtenons : \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Ainsi, les fractions originales sont réduites à un dénominateur commun 24.

Opérations arithmétiques sur des fractions ordinaires

Ajout de fractions ordinaires

a) Si les dénominateurs sont identiques, le numérateur de la première fraction est ajouté au numérateur de la deuxième fraction, laissant le dénominateur le même. Comme vous pouvez le voir dans l'exemple :

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Pour différents dénominateurs, les fractions sont d'abord réduites à un dénominateur commun, puis les numérateurs sont additionnés selon la règle a) :

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Soustraire des fractions

a) Si les dénominateurs sont identiques, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, en laissant le dénominateur identique :

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Si les dénominateurs des fractions sont différents, alors les fractions sont d'abord ramenées à un dénominateur commun, puis les actions sont répétées comme au point a).

Multiplier des fractions communes

La multiplication de fractions obéit à la règle suivante :

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

c'est-à-dire qu'ils multiplient les numérateurs et les dénominateurs séparément.

Par exemple:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Diviser des fractions

Les fractions sont divisées de la manière suivante :

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

c'est-à-dire une fraction \frac(a)(b) multiplié par une fraction \frac(d)(c).

Exemple: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Nombres réciproques

Si ab=1 , alors le nombre b est numéro réciproque pour le numéro a.

Exemple : pour le chiffre 9 l'inverse est \frac(1)(9), parce que 9\cdot\frac(1)(9)=1, pour le chiffre 5 - \frac(1)(5), parce que 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Décimales

Décimal appelée fraction propre dont le dénominateur est 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

Par exemple: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Les nombres irréguliers avec un dénominateur de 10^n ou les nombres mixtes s'écrivent de la même manière.

Par exemple: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Toute fraction ordinaire dont le dénominateur est un diviseur d'une certaine puissance de 10 est représentée comme une fraction décimale.

Exemple : 5 est un diviseur de 100, c'est donc une fraction \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

Opérations arithmétiques sur les décimales

Ajouter des décimales

Pour additionner deux fractions décimales, vous devez les disposer de manière à ce qu'il y ait des chiffres identiques les uns sous les autres et une virgule sous la virgule, puis additionner les fractions comme des nombres ordinaires.

Soustraire des décimales

Elle s'effectue de la même manière que l'addition.

Multiplier des décimales

Lors de la multiplication de nombres décimaux, il suffit de multiplier les nombres donnés, sans faire attention aux virgules (comme les nombres naturels), et dans la réponse résultante, une virgule à droite sépare autant de chiffres qu'il y a après la virgule dans les deux facteurs. en tout.

Multiplions 2,7 par 1,3. Nous avons 27 \cdot 13=351 . Nous séparons deux chiffres à droite par une virgule (le premier et le deuxième nombres ont un chiffre après la virgule ; 1+1=2). En conséquence, nous obtenons 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Si le résultat obtenu contient moins de chiffres qu'il n'est nécessaire de les séparer par une virgule, alors les zéros manquants sont écrits devant, par exemple :

Pour multiplier par 10, 100, 1000, il faut déplacer la virgule décimale de 1, 2, 3 chiffres vers la droite (si nécessaire, un certain nombre de zéros sont attribués à droite).

Par exemple : 1,47\cdot 10\,000 = 14 700.

Division décimale

Diviser une fraction décimale par un nombre naturel se fait de la même manière que diviser un nombre naturel par un nombre naturel. La virgule dans le quotient est placée une fois la division de la partie entière terminée.

Si la partie entière du dividende est inférieure au diviseur, alors la réponse est zéro entier, par exemple :

Regardons comment diviser une décimale par une décimale. Disons que nous devons diviser 2,576 par 1,12. Tout d'abord, multiplions le dividende et le diviseur de la fraction par 100, c'est-à-dire déplaçons la virgule vers la droite dans le dividende et le diviseur d'autant de décimales qu'il y a dans le diviseur après la virgule (dans cet exemple , deux). Ensuite, vous devez diviser la fraction 257,6 par l'entier naturel 112, c'est-à-dire que le problème se réduit au cas déjà considéré :

Il arrive que la fraction décimale finale ne soit pas toujours obtenue en divisant un nombre par un autre. Le résultat est une fraction décimale infinie. Dans de tels cas, on passe aux fractions ordinaires.

2,8 : 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

Cet article concerne fractions communes. Nous introduirons ici la notion de fraction d'un tout, ce qui nous amènera à la définition d'une fraction commune. Nous nous attarderons ensuite sur la notation acceptée pour les fractions ordinaires et donnerons des exemples de fractions, par exemple sur le numérateur et le dénominateur d'une fraction. Après cela, nous donnerons les définitions des fractions propres et impropres, positives et négatives, et considérerons également la position des nombres fractionnaires sur le rayon de coordonnées. En conclusion, nous listons les principales opérations avec les fractions.

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Parts du tout

Nous introduisons d'abord notion de partage.

Supposons que nous ayons un objet composé de plusieurs parties absolument identiques (c'est-à-dire égales). Pour plus de clarté, vous pouvez imaginer par exemple une pomme coupée en plusieurs parties égales, ou une orange composée de plusieurs tranches égales. Chacune de ces parties égales qui composent l'objet entier est appelée parties du tout ou juste actions.

Notez que les partages sont différents. Expliquons cela. Prenons deux pommes. Coupez la première pomme en deux parties égales et la seconde en 6 parties égales. Il est clair que la part de la première pomme sera différente de celle de la deuxième pomme.

En fonction du nombre d'actions qui composent l'ensemble de l'objet, ces actions ont leur propre nom. Faisons le tri noms de rythmes. Si un objet est constitué de deux parties, chacune d’entre elles est appelée une seconde partie de l’objet entier ; si un objet se compose de trois parties, alors chacune d'entre elles est appelée un tiers, et ainsi de suite.

Un deuxième partage a un nom spécial - moitié. Un tiers est appelé troisième, et un quart de partie - un quart.

Par souci de concision, les éléments suivants ont été introduits : battre les symboles. Une deuxième part est désignée par ou 1/2, une troisième part est désignée par ou 1/3 ; un quart de part - comme ou 1/4, et ainsi de suite. A noter que la notation avec une barre horizontale est plus souvent utilisée. Pour renforcer le propos, donnons encore un exemple : l’entrée désigne la cent soixante-septième partie du tout.

La notion de partage s'étend naturellement des objets aux quantités. Par exemple, l’une des mesures de longueur est le mètre. Pour mesurer des longueurs inférieures à un mètre, des fractions de mètre peuvent être utilisées. Vous pouvez donc utiliser par exemple un demi-mètre ou un dixième ou un millième de mètre. Les parts des autres quantités sont appliquées de la même manière.

Fractions courantes, définition et exemples de fractions

Pour décrire le nombre d'actions que nous utilisons fractions communes. Donnons un exemple qui nous permettra d'aborder la définition des fractions ordinaires.

Laissez l'orange se composer de 12 parties. Chaque part représente dans ce cas un douzième d'une orange entière, soit . Nous désignons deux battements par , trois battements par , et ainsi de suite, 12 battements par . Chacune des entrées données est appelée une fraction ordinaire.

Maintenant, donnons un général définition des fractions communes.

La définition exprimée des fractions ordinaires nous permet de donner exemples de fractions courantes: 5/10, , 21/1, 9/4, . Et voici les enregistrements ne correspondent pas à la définition énoncée des fractions ordinaires, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas des fractions ordinaires.

Numérateur et dénominateur

Pour plus de commodité, on distingue les fractions ordinaires numérateur et dénominateur.

Définition.

Numérateur la fraction ordinaire (m/n) est un nombre naturel m.

Définition.

Dénominateur la fraction commune (m/n) est un nombre naturel n.

Ainsi, le numérateur est situé au-dessus de la ligne de fraction (à gauche de la barre oblique) et le dénominateur est situé en dessous de la ligne de fraction (à droite de la barre oblique). Par exemple, prenons la fraction commune 17/29, le numérateur de cette fraction est le nombre 17 et le dénominateur est le nombre 29.

Reste à discuter de la signification contenue dans le numérateur et le dénominateur d'une fraction ordinaire. Le dénominateur d'une fraction indique le nombre de parties constituant un objet et le numérateur, à son tour, indique le nombre de ces parts. Par exemple, le dénominateur 5 de la fraction 12/5 signifie qu'un objet se compose de cinq actions, et le numérateur 12 signifie que 12 de ces actions sont prises.

Entier naturel sous forme de fraction de dénominateur 1

Le dénominateur d'une fraction commune peut être égal à un. Dans ce cas, on peut considérer que l’objet est indivisible, c’est-à-dire qu’il représente quelque chose d’entier. Le numérateur d'une telle fraction indique combien d'objets entiers sont pris. Ainsi, une fraction ordinaire de la forme m/1 a la signification d’un nombre naturel m. C’est ainsi que nous avons démontré la validité de l’égalité m/1=m.

Réécrivons la dernière égalité comme suit : m=m/1. Cette égalité nous permet de représenter tout nombre naturel m comme une fraction ordinaire. Par exemple, le nombre 4 est la fraction 4/1 et le nombre 103 498 est égal à la fraction 103 498/1.

Donc, tout nombre naturel m peut être représenté comme une fraction ordinaire avec un dénominateur de 1 sous la forme m/1, et toute fraction ordinaire de la forme m/1 peut être remplacée par un nombre naturel m.

Barre de fraction comme signe de division

Représenter l'objet originel sous la forme de n parts n'est rien d'autre qu'une division en n parties égales. Une fois qu’un objet est divisé en n parts, nous pouvons le diviser également entre n personnes – chacune recevra une part.

Si nous avons initialement m objets identiques, dont chacun est divisé en n parts, alors nous pouvons diviser également ces m objets entre n personnes, en donnant à chaque personne une part de chacun des m objets. Dans ce cas, chaque personne aura m parts de 1/n, et m parts de 1/n donne la fraction commune m/n. Ainsi, la fraction commune m/n peut être utilisée pour désigner la division de m éléments entre n personnes.

C'est ainsi que nous avons obtenu un lien explicite entre les fractions ordinaires et la division (voir l'idée générale de​​division des nombres naturels). Cette connexion s'exprime ainsi : la ligne de fraction peut être comprise comme un signe de division, c'est-à-dire m/n=m:n.

En utilisant une fraction ordinaire, vous pouvez écrire le résultat de la division de deux nombres naturels pour lesquels une division entière ne peut pas être effectuée. Par exemple, le résultat de la division de 5 pommes par 8 personnes peut s'écrire 5/8, c'est-à-dire que tout le monde recevra les cinq huitièmes d'une pomme : 5:8 = 5/8.

Fractions égales et inégales, comparaison des fractions

Une action assez naturelle est comparer des fractions, car il est clair que 1/12 d'une orange est différent de 5/12, et 1/6 d'une pomme est identique à un autre 1/6 de cette pomme.

En comparant deux fractions ordinaires, l'un des résultats est obtenu : les fractions sont soit égales, soit inégales. Dans le premier cas nous avons fractions communes égales, et dans le second – fractions ordinaires inégales. Donnons une définition des fractions ordinaires égales et inégales.

Définition.

égal, si l'égalité a·d=b·c est vraie.

Définition.

Deux fractions communes a/b et c/d pas égal, si l'égalité a·d=b·c n'est pas satisfaite.

Voici quelques exemples de fractions égales. Par exemple, la fraction commune 1/2 est égale à la fraction 2/4, puisque 1·4=2·2 (si nécessaire, voir les règles et exemples de multiplication des nombres naturels). Pour plus de clarté, vous pouvez imaginer deux pommes identiques, la première est coupée en deux et la seconde est coupée en 4 parties. Il est évident que deux quarts de pomme équivalent à 1/2 part. D'autres exemples de fractions communes égales sont les fractions 4/7 et 36/63, ainsi que la paire de fractions 81/50 et 1 620/1 000.

Mais les fractions ordinaires 4/13 et 5/14 ne sont pas égales, puisque 4·14=56, et 13·5=65, soit 4·14≠13·5. D'autres exemples de fractions communes inégales sont les fractions 17/7 et 6/4.

Si, en comparant deux fractions communes, il s'avère qu'elles ne sont pas égales, vous devrez peut-être savoir laquelle de ces fractions communes moins différent, et lequel - plus. Pour le savoir, on utilise la règle de comparaison des fractions ordinaires, dont l'essence est de ramener les fractions comparées à un dénominateur commun puis de comparer les numérateurs. Des informations détaillées sur ce sujet sont rassemblées dans l'article comparaison des fractions : règles, exemples, solutions.

Nombres fractionnaires

Chaque fraction est une notation nombre fractionnaire. C'est-à-dire qu'une fraction n'est que la « coquille » d'un nombre fractionnaire, son apparence, et toute la charge sémantique est contenue dans le nombre fractionnaire. Cependant, par souci de concision et de commodité, les concepts de fraction et de nombre fractionnaire sont combinés et simplement appelés fraction. Ici, il convient de paraphraser un dicton bien connu : nous disons une fraction - nous entendons un nombre fractionnaire, nous disons un nombre fractionnaire - nous entendons une fraction.

Fractions sur un rayon de coordonnées

Tous les nombres fractionnaires correspondant aux fractions ordinaires ont leur propre place unique, c'est-à-dire qu'il existe une correspondance biunivoque entre les fractions et les points du rayon de coordonnées.

Pour arriver au point du rayon de coordonnées correspondant à la fraction m/n, il faut écarter m segments à partir de l'origine des coordonnées dans le sens positif, dont la longueur est 1/n fraction d'un segment unitaire. De tels segments peuvent être obtenus en divisant un segment unitaire en n parties égales, ce qui peut toujours être fait à l'aide d'un compas et d'une règle.

Par exemple, montrons le point M sur le rayon de coordonnées, correspondant à la fraction 14/10. La longueur d'un segment se terminant au point O et le point le plus proche, marqué d'un petit tiret, est 1/10 d'un segment unitaire. Le point de coordonnée 14/10 est éloigné de l'origine à une distance de 14 de ces segments.

Les fractions égales correspondent au même nombre fractionnaire, c'est-à-dire que les fractions égales sont les coordonnées du même point sur le rayon de coordonnées. Par exemple, les coordonnées 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 correspondent à un point sur le rayon de coordonnées, puisque toutes les fractions écrites sont égales (il est situé à une distance d'un demi-segment unitaire disposé de l'origine dans le sens positif).

Sur un rayon de coordonnées horizontal et dirigé vers la droite, le point dont la coordonnée est la plus grande fraction est situé à droite du point dont la coordonnée est la plus petite fraction. De même, un point avec une coordonnée plus petite se trouve à gauche d’un point avec une coordonnée plus grande.

Fractions propres et impropres, définitions, exemples

Parmi les fractions ordinaires, il y a fractions propres et impropres. Cette division est basée sur une comparaison du numérateur et du dénominateur.

Définissons les fractions ordinaires propres et impropres.

Définition.

Fraction appropriée est une fraction ordinaire dont le numérateur est inférieur au dénominateur, c'est-à-dire si m

Définition.

Fraction impropre est une fraction ordinaire dans laquelle le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, c'est-à-dire que si m≥n, alors la fraction ordinaire est impropre.

Voici quelques exemples de fractions propres : 1/4, , 32 765/909 003. En effet, dans chacune des fractions ordinaires écrites le numérateur est inférieur au dénominateur (si nécessaire, voir l'article comparant les nombres naturels), elles sont donc correctes par définition.

Voici des exemples de fractions impropres : 9/9, 23/4, . En effet, le numérateur de la première des fractions ordinaires écrites est égal au dénominateur, et dans les fractions restantes le numérateur est supérieur au dénominateur.

Il existe également des définitions des fractions propres et impropres, basées sur la comparaison de fractions avec une seule.

Définition.

correct, s'il est inférieur à un.

Définition.

Une fraction ordinaire s'appelle faux, s'il est égal à un ou supérieur à 1.

Donc la fraction commune 7/11 est correcte, puisque le 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, et 27/27=1.

Réfléchissons à la façon dont les fractions ordinaires avec un numérateur supérieur ou égal au dénominateur méritent un tel nom - « impropre ».

Par exemple, prenons la fraction impropre 9/9. Cette fraction signifie que neuf parties sont prélevées sur un objet composé de neuf parties. Autrement dit, à partir des neuf parties disponibles, nous pouvons constituer un objet entier. Autrement dit, la fraction impropre 9/9 donne essentiellement l'objet entier, c'est-à-dire 9/9 = 1. En général, les fractions impropres avec un numérateur égal au dénominateur désignent un objet entier, et une telle fraction peut être remplacée par l'entier naturel 1.

Considérons maintenant les fractions impropres 7/3 et 12/4. Il est bien évident qu'à partir de ces sept tiers on peut composer deux objets entiers (un objet entier est composé de 3 parties, alors pour composer deux objets entiers il nous faudra 3 + 3 = 6 parties) et il y aura toujours un tiers partie gauche. Autrement dit, la fraction impropre 7/3 signifie essentiellement 2 objets et également 1/3 d'un tel objet. Et à partir de douze quarts de parties, nous pouvons fabriquer trois objets entiers (trois objets de quatre parties chacun). Autrement dit, la fraction 12/4 signifie essentiellement 3 objets entiers.

Les exemples considérés nous amènent à la conclusion suivante : les fractions impropres peuvent être remplacées soit par des nombres naturels, lorsque le numérateur est divisé également par le dénominateur (par exemple, 9/9=1 et 12/4=3), soit par la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre, lorsque le numérateur n'est pas également divisible par le dénominateur (par exemple, 7/3=2+1/3). C’est peut-être précisément ce qui a valu aux fractions impropres le nom d’« irrégulières ».

La représentation d'une fraction impropre comme la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre (7/3=2+1/3) est particulièrement intéressante. Ce processus s'appelle isoler la partie entière d'une fraction impropre et mérite un examen séparé et plus attentif.

Il convient également de noter qu’il existe une relation très étroite entre les fractions impropres et les nombres fractionnaires.

Fractions positives et négatives

Chaque fraction commune correspond à un nombre fractionnaire positif (voir l'article sur les nombres positifs et négatifs). Autrement dit, les fractions ordinaires sont fractions positives. Par exemple, les fractions ordinaires 1/5, 56/18, 35/144 sont des fractions positives. Lorsque vous devez mettre en évidence la positivité d'une fraction, un signe plus est placé devant elle, par exemple +3/4, +72/34.

Si vous mettez un signe moins devant une fraction commune, alors cette entrée correspondra à un nombre fractionnaire négatif. Dans ce cas, on peut parler de fractions négatives. Voici quelques exemples de fractions négatives : −6/10, −65/13, −1/18.

Les fractions positives et négatives m/n et −m/n sont des nombres opposés. Par exemple, les fractions 5/7 et −5/7 sont des fractions opposées.

Les fractions positives, comme les nombres positifs en général, dénotent un ajout, un revenu, une variation à la hausse d'une valeur, etc. Les fractions négatives correspondent à des dépenses, des dettes ou à une diminution de n'importe quelle quantité. Par exemple, la fraction négative −3/4 peut être interprétée comme une dette dont la valeur est égale à 3/4.

Dans une direction horizontale et vers la droite, les fractions négatives sont situées à gauche de l'origine. Les points de la droite de coordonnées dont les coordonnées sont la fraction positive m/n et la fraction négative −m/n, sont situés à la même distance de l'origine, mais de côtés opposés du point O.

Ici, il convient de mentionner les fractions de la forme 0/n. Ces fractions sont égales au nombre zéro, c'est-à-dire 0/n=0.

Les fractions positives, les fractions négatives et les fractions 0/n se combinent pour former des nombres rationnels.

Opérations avec des fractions

Nous avons déjà discuté ci-dessus d'une action avec des fractions ordinaires - comparer des fractions. Quatre autres fonctions arithmétiques sont définies opérations avec des fractions– additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions. Regardons chacun d'eux.

L'essence générale des opérations avec des fractions est similaire à l'essence des opérations correspondantes avec des nombres naturels. Faisons une analogie.

Multiplier des fractions peut être considéré comme l’action de trouver une fraction à partir d’une fraction. Pour clarifier, donnons un exemple. Prenons 1/6 de pomme et nous devons en prendre les 2/3. La partie dont nous avons besoin est le résultat de la multiplication des fractions 1/6 et 2/3. Le résultat de la multiplication de deux fractions ordinaires est une fraction ordinaire (qui, dans un cas particulier, est égale à un nombre naturel). Ensuite, nous vous recommandons d'étudier les informations contenues dans l'article Multiplier des fractions - Règles, exemples et solutions.

Références.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques : manuel pour la 5e année. établissements d'enseignement.
• Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

Nous utilisons des fractions tout le temps dans la vie. Par exemple, lorsque nous mangeons du gâteau avec des amis. Le gâteau peut être divisé en 8 parts égales ou 8 actions. Partager- C'est une partie égale de quelque chose d'entier. Quatre amis ont mangé un morceau de gâteau. Quatre extraits de huit morceaux peuvent être écrits mathématiquement sous la forme fraction commune\(\frac(4)(8)\), la fraction « quatre huitièmes » ou « quatre divisé par huit » est lue. Une fraction commune est également appelée fraction simple.

La barre de fraction remplace la division :
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Nous avons noté les actions en fractions. Sous forme littérale, cela ressemblera à ceci :
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – numérateur ou dividende, est situé au-dessus de la ligne fractionnaire et indique combien de parts ou d'actions ont été prélevées sur le total.
8 – dénominateur ou diviseur, est situé sous la ligne de fraction et indique le nombre total de parts ou d'actions.

Si nous regardons attentivement, nous verrons que les amis ont mangé la moitié du gâteau ou une partie de deux. Écrivons-le sous la forme d'une fraction ordinaire \(\frac(1)(2)\), lisons « une seconde ».

Regardons un autre exemple :
Il y a un carré. Le carré était divisé en 5 parties égales. Deux parties ont été repeintes. Écrivez la fraction pour les parties ombrées ? Notez la fraction pour les parties non ombrées ?

Deux parties ont été repeintes, et il y a cinq parties au total, donc la fraction ressemblera à \(\frac(2)(5)\), lue comme « deux cinquièmes ».
Trois parties n'ont pas été repeintes, il y a cinq parties au total, donc nous écrivons la fraction sous la forme \(\frac(3)(5)\), la fraction se lit « trois cinquièmes ».

Divisons le carré en carrés plus petits et notons les fractions pour les parties ombrées et non ombrées.

Il y a 6 pièces peintes, et il y a 25 pièces au total. On obtient la fraction \(\frac(6)(25)\) , la fraction se lit « six vingt-cinquièmes ».
Il y a 19 pièces non repeintes, mais un total de 25 pièces. On obtient la fraction \(\frac(19)(25)\), la fraction se lisant « dix-neuf vingt-cinquièmes ».

Il y a 4 parties peintes, et il y a 25 parties au total. On obtient la fraction \(\frac(4)(25)\), la fraction se lit « quatre vingt-cinquièmes ».
Il y a 21 pièces non repeintes, mais seulement 25 pièces. On obtient la fraction \(\frac(21)(25)\), la fraction se lit « vingt et un vingt-cinquièmes ».

Tout nombre naturel peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)

Tout nombre est divisible par un, ce nombre peut donc être représenté sous forme de fraction.

Questions sur le thème « fractions communes » :
Qu'est-ce qu'une part ?
Répondre: partager- C'est une partie égale de quelque chose d'entier.

Que montre le dénominateur ?
Réponse : le dénominateur indique en combien de parties ou de parts le total est divisé.

Que montre le numérateur ?
Réponse : le numérateur indique combien de parts ou d'actions ont été prises.

La route faisait 100 m. Misha a marché 31 m. Écrivez l'expression sous forme de fraction : quelle distance Misha a-t-il parcourue ?
Réponse :\(\frac(31)(100)\)

Qu'est-ce qu'une fraction commune ?
Réponse : Une fraction courante est le rapport du numérateur au dénominateur, où le numérateur est inférieur au dénominateur. Exemple, fractions ordinaires \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)

Comment convertir un nombre naturel en fraction commune ?
Réponse : n'importe quel nombre peut être écrit sous forme de fraction, par exemple \(5 = \frac(5)(1)\)

Tâche n°1 :
Nous avons acheté 2 kg 700 g de melon. Ils ont coupé des melons \(\frac(2)(9)\) pour Misha. Quelle est la masse de la pièce découpée ? Combien de grammes de melon reste-t-il ?

Solution:
Convertissons les kilogrammes en grammes.
2kg = 2000g
2000g + 700g = 2700g du poids total d'un melon.

Ils ont coupé des melons \(\frac(2)(9)\) pour Misha. Le dénominateur contient le chiffre 9, ce qui signifie que le melon est divisé en 9 parties.
2700 : 9 = 300 g de poids d'une seule pièce.
Le numérateur contient le chiffre 2, ce qui signifie que vous devez donner deux pièces à Misha.
300 + 300 = 600 g ou 300 ⋅ 2 = 600 g, c'est la quantité de melon que Misha a mangée.

Pour trouver la masse de melon restante, il faut soustraire la masse mangée de la masse totale du melon.
2700 - 600 = 2100g de melon restant.

Nous commencerons notre réflexion sur ce sujet en étudiant le concept de fraction dans son ensemble, ce qui nous donnera une compréhension plus complète de la signification d'une fraction commune. Donnons les termes de base et leur définition, étudions le sujet dans une interprétation géométrique, c'est-à-dire sur la ligne de coordonnées, et définissez également une liste d'opérations de base avec des fractions.

Parts du tout

Imaginons un objet composé de plusieurs parties totalement égales. Par exemple, il peut s’agir d’une orange composée de plusieurs tranches identiques.

Définition 1

Fraction d'un tout ou d'une part- c'est chacune des parties égales qui composent l'objet entier.

Évidemment, les parts peuvent être différentes. Pour expliquer clairement cette affirmation, imaginez deux pommes, dont l'une est coupée en deux parties égales et la seconde en quatre. Il est clair que la taille des lobes résultants variera d’une pomme à l’autre.

Les actions ont leurs propres noms, qui dépendent du nombre d'actions qui composent l'ensemble de l'objet. Si un objet a deux parts, alors chacune d'elles sera définie comme une seconde part de cet objet ; lorsqu'un objet est constitué de trois parties, chacune d'elles représente un tiers et ainsi de suite.

Définition 2

Moitié- une seconde part d'un objet.

Troisième– un tiers de part d'un objet.

Quart- un quart de l'objet.

Pour raccourcir la notation, les notations suivantes pour les fractions ont été introduites : moitié - 1 2 ou 1/2 ; troisième - 1 3 ou 1/3 ; un quart de part - 1 4 ou 1/4 et ainsi de suite. Les entrées avec une barre horizontale sont utilisées plus souvent.

Le concept de partage s’étend naturellement des objets aux quantités. Ainsi, pour mesurer de petits objets, des fractions de mètre (un tiers ou un centième) peuvent être utilisées comme unité de longueur. Les proportions d’autres quantités peuvent être appliquées de la même manière.

Fractions courantes, définition et exemples

Les fractions ordinaires sont utilisées pour décrire le nombre d'actions. Regardons un exemple simple qui nous rapprochera de la définition d'une fraction commune.

Imaginons une orange composée de 12 segments. Chaque part sera alors d'un douzième ou 1/12. Deux temps – 2/12 ; trois temps – 3/12, etc. Les 12 temps ou un nombre entier ressembleront à ceci : 12 / 12. Chacune des notations utilisées dans l'exemple est un exemple de fraction commune.

Définition 3

Fraction commune est un enregistrement de la forme m n ou m/n, où m et n sont des nombres naturels.

Selon cette définition, des exemples de fractions ordinaires incluent les entrées suivantes : 4 / 9, 11 34, 917 54. Et ces entrées : 11 5, 1, 9 4, 3 ne sont pas des fractions ordinaires.

Numérateur et dénominateur

Définition 4

Numérateur fraction commune mn ou m/n est l'entier naturel m.

Dénominateur fraction commune mn ou m/n est l'entier naturel n.

Ceux. Le numérateur est le nombre situé au-dessus de la ligne d'une fraction commune (ou à gauche de la barre oblique), et le dénominateur est le nombre situé en dessous de la ligne (à droite de la barre oblique).

Quelle est la signification du numérateur et du dénominateur ? Le dénominateur d'une fraction ordinaire indique le nombre de parts dont se compose un objet, et le numérateur nous donne des informations sur le nombre de parts en question. Par exemple, la fraction commune 7 54 nous indique qu'un certain objet se compose de 54 actions, et en contrepartie nous avons pris 7 de ces actions.

Entier naturel sous forme de fraction de dénominateur 1

Le dénominateur d'une fraction commune peut être égal à un. Dans ce cas, on peut dire que l’objet (la quantité) en question est indivisible et représente quelque chose d’entier. Le numérateur d'une telle fraction indiquera combien de ces objets ont été pris, c'est-à-dire une fraction ordinaire de la forme m 1 a la signification d'un nombre naturel m. Cette affirmation sert de justification à l'égalité m 1 = m.

Écrivons la dernière égalité comme suit : m = m 1 . Cela nous donnera la possibilité d’utiliser n’importe quel nombre naturel comme fraction ordinaire. Par exemple, le nombre 74 est une fraction ordinaire de la forme 74 1.

Définition 5

Tout nombre naturel m peut être écrit sous la forme d'une fraction ordinaire, où le dénominateur est un : m 1.

À son tour, toute fraction ordinaire de la forme m 1 peut être représentée par un nombre naturel m.

Barre de fraction comme signe de division

La représentation d'un objet donné sous forme de n parts utilisée ci-dessus n'est rien d'autre qu'une division en n parties égales. Lorsqu'un objet est divisé en n parties, nous avons la possibilité de le diviser également entre n personnes - chacun reçoit sa part.

Dans le cas où l'on a initialement m objets identiques (chacun divisé en n parties), alors ces m objets peuvent être répartis également entre n personnes, en donnant à chacune d'elles une part de chacun des m objets. Dans ce cas, chaque personne aura m parts de 1 n, et m parts de 1 n donneront une fraction ordinaire m n. Par conséquent, la fraction m n peut être utilisée pour représenter la division de m éléments entre n personnes.

L’énoncé qui en résulte établit un lien entre les fractions ordinaires et la division. Et cette relation peut s'exprimer ainsi : La ligne de fraction peut être considérée comme un signe de division, c'est-à-dire m/n = m:n.

En utilisant une fraction ordinaire, nous pouvons écrire le résultat de la division de deux nombres naturels. Par exemple, on écrit la division de 7 pommes par 10 personnes comme 7 10 : chaque personne recevra sept dixièmes.

Fractions ordinaires égales et inégales

Une action logique consiste à comparer des fractions ordinaires, car il est évident que, par exemple, 1 8 d'une pomme est différent de 7 8.

Le résultat de la comparaison de fractions ordinaires peut être : égal ou inégal.

Définition 6

Fractions communes égales– les fractions ordinaires a b et c d, pour lesquelles l'égalité est vraie : a · d = b · c.

Fractions communes inégales- les fractions ordinaires a b et c d, pour lesquelles l'égalité : a · d = b · c n'est pas vraie.

Un exemple de fractions égales : 1 3 et 4 12 – puisque l'égalité 1 · 12 = 3 · 4 est vraie.

Dans le cas où il s'avère que les fractions ne sont pas égales, il est généralement également nécessaire de savoir laquelle des fractions données est la plus petite et laquelle est la plus grande. Pour répondre à ces questions, on compare des fractions communes en les réduisant à un dénominateur commun puis en comparant les numérateurs.

Nombres fractionnaires

Chaque fraction est un enregistrement d'un nombre fractionnaire, qui n'est essentiellement qu'une « coquille », une visualisation de la charge sémantique. Mais néanmoins, pour plus de commodité, nous combinons les concepts de fraction et de nombre fractionnaire, en termes simples - une fraction.

Tous les nombres fractionnaires, comme tout autre nombre, ont leur propre emplacement unique sur le rayon de coordonnées : il existe une correspondance biunivoque entre les fractions et les points sur le rayon de coordonnées.

Afin de trouver un point sur le rayon de coordonnées qui désigne la fraction m n, il est nécessaire de tracer m segments à partir de l'origine dans la direction positive, dont la longueur sera de 1 n fraction d'un segment unitaire. Les segments peuvent être obtenus en divisant un segment unitaire en n parties égales.

A titre d'exemple, désignons le point M sur le rayon de coordonnées, qui correspond à la fraction 14 10. La longueur du segment dont les extrémités sont le point O et le point le plus proche, marqué d'un petit tiret, est égale à 1 10 parties d'un segment unitaire. Le point correspondant à la fraction 14 10 est situé à une distance de 14 de ces segments de l'origine.

Si les fractions sont égales, c'est à dire elles correspondent au même nombre fractionnaire, alors ces fractions servent de coordonnées du même point sur le rayon de coordonnées. Par exemple, les coordonnées sous forme de fractions égales 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 correspondent au même point du rayon de coordonnées, situé à une distance d'un tiers d'un segment unitaire tracé à partir de l'origine dans le sens positif.

Le même principe fonctionne ici qu'avec les nombres entiers : sur un rayon de coordonnées horizontal dirigé vers la droite, le point auquel correspond la plus grande fraction sera situé à droite du point auquel correspond la plus petite fraction. Et vice versa : le point dont la coordonnée est une fraction plus petite sera situé à gauche du point auquel correspond la coordonnée la plus grande.

Fractions propres et impropres, définitions, exemples

La base de la division des fractions en fractions propres et impropres est la comparaison du numérateur et du dénominateur au sein d'une même fraction.

Définition 7

Fraction appropriée est une fraction ordinaire dans laquelle le numérateur est inférieur au dénominateur. Autrement dit, si l'inégalité m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Fraction impropre est une fraction ordinaire dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur. Autrement dit, si l'inégalité non définie est satisfaite, alors la fraction ordinaire m n est impropre.

Voici quelques exemples : - fractions propres :

Exemple 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Fractions impropres :

Exemple 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Il est également possible de définir des fractions propres et impropres en comparant la fraction avec une.

Définition 8

Fraction appropriée– une fraction ordinaire inférieure à un.

Fraction impropre– une fraction ordinaire égale ou supérieure à un.

Par exemple, la fraction 8 12 est correcte, car 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1, et 14 14 = 1.

Voyons un peu plus en profondeur pourquoi les fractions dans lesquelles le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur sont appelées « impropres ».

Considérons la fraction impropre 8 8 : elle nous dit que l’on prend 8 parties d’un objet composé de 8 parties. Ainsi, à partir des huit partages disponibles, nous pouvons créer un objet entier, c'est-à-dire la fraction donnée 8 8 représente essentiellement l'objet entier : 8 8 = 1. Les fractions dans lesquelles le numérateur et le dénominateur sont égaux remplacent entièrement l'entier naturel 1.

Considérons également les fractions dont le numérateur dépasse le dénominateur : 11 5 et 36 3. Il est clair que la fraction 11 5 indique que nous pouvons en faire deux objets entiers et qu'il en restera encore un cinquième. Ceux. la fraction 11 5 est constituée de 2 objets et d'un autre 1 5 de celui-ci. À son tour, 36 3 est une fraction qui signifie essentiellement 12 objets entiers.

Ces exemples permettent de conclure que les fractions impropres peuvent être remplacées par des nombres naturels (si le numérateur est divisible par le dénominateur sans reste : 8 8 = 1 ; 36 3 = 12) ou par la somme d'un nombre naturel et d'un nombre propre fraction (si le numérateur n'est pas divisible par le dénominateur sans reste : 11 5 = 2 + 1 5). C'est probablement la raison pour laquelle de telles fractions sont dites « irrégulières ».

C’est également là que nous rencontrons l’une des compétences numériques les plus importantes.

Définition 9

Séparer la partie entière d'une fraction impropre- Il s'agit d'un enregistrement d'une fraction impropre comme la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre.

Notez également qu’il existe une relation étroite entre les fractions impropres et les nombres fractionnaires.

Fractions positives et négatives

Nous avons dit plus haut que chaque fraction ordinaire correspond à un nombre fractionnaire positif. Ceux. Les fractions communes sont des fractions positives. Par exemple, les fractions 5 17, 6 98, 64 79 sont positives, et lorsqu'il faut souligner particulièrement la « positivité » d'une fraction, on l'écrit avec le signe plus : + 5 17, + 6 98, + 64 79.

Si nous attribuons un signe moins à une fraction ordinaire, alors l'enregistrement résultant sera un enregistrement d'un nombre fractionnaire négatif, et dans ce cas, nous parlons de fractions négatives. Par exemple, - 8 17, - 78 14, etc.

Les fractions positives et négatives m n et - m n sont des nombres opposés. Par exemple, les fractions 7 8 et - 7 8 sont opposées.

Les fractions positives, comme tout nombre positif en général, signifient une addition, une variation vers le haut. À leur tour, les fractions négatives correspondent à la consommation, un changement dans le sens d’une diminution.

Si nous regardons la ligne de coordonnées, nous verrons que les fractions négatives sont situées à gauche du point d'origine. Les points qui correspondent aux fractions opposées (mn et - m n) sont situés à la même distance de l'origine des coordonnées O, mais sur les côtés opposés de celle-ci.

Ici, nous parlerons également séparément des fractions écrites sous la forme 0 n. Une telle fraction est égale à zéro, c'est-à-dire 0 n = 0 .

En résumant tout ce qui précède, nous arrivons au concept le plus important des nombres rationnels.

Définition 10

Nombres rationnels est un ensemble de fractions positives, de fractions négatives et de fractions de la forme 0 n.

Opérations avec des fractions

Listons les opérations de base avec les fractions. En général, leur essence est la même que les opérations correspondantes avec les nombres naturels

1. Comparer des fractions - nous avons discuté de cette action ci-dessus.
2. Addition de fractions - le résultat de l'addition de fractions ordinaires est une fraction ordinaire (dans un cas particulier, réduite à un nombre naturel).
3. La soustraction de fractions est l'inverse de l'addition, lorsqu'une fraction connue et une somme donnée de fractions sont utilisées pour déterminer une fraction inconnue.
4. Multiplier des fractions - cette action peut être décrite comme trouver une fraction à partir d'une fraction. Le résultat de la multiplication de deux fractions ordinaires est une fraction ordinaire (dans un cas particulier, égale à un nombre naturel).
5. La division des fractions est l'opération inverse de la multiplication, lorsque l'on détermine la fraction par laquelle celle donnée doit être multipliée afin d'obtenir le produit connu de deux fractions.

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Fraction en mathématiques, nombre composé d'une ou plusieurs parties (fractions) d'une unité. Les fractions font partie du domaine des nombres rationnels. Selon la façon dont elles sont écrites, les fractions sont divisées en 2 formats : ordinaire tapez et décimal .

Numérateur de fraction- un chiffre indiquant le nombre d'actions prises (situé en haut de la fraction - au dessus de la ligne). Dénominateur de fraction- un nombre indiquant en combien d'actions la part est divisée (situé sous la ligne - en bas). , à leur tour, sont divisés en : correct Et incorrect, mixte Et composite sont étroitement liés aux unités de mesure. 1 mètre contient 100 cm, ce qui signifie que 1 m est divisé en 100 parties égales. Ainsi, 1 cm = 1/100 m (un centimètre équivaut à un centième de mètre).

ou 3/5 (trois cinquièmes), ici 3 est le numérateur, 5 est le dénominateur. Si le numérateur est inférieur au dénominateur, alors la fraction est inférieure à un et est appelée correct:

Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à un. Si le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est supérieure à un. Dans les deux derniers cas la fraction s'appelle faux:

Pour isoler le plus grand nombre entier contenu dans une fraction impropre, on divise le numérateur par le dénominateur. Si la division est effectuée sans reste, alors la fraction impropre retenue est égale au quotient :

Si la division est effectuée avec un reste, alors le quotient (incomplet) donne l'entier souhaité, et le reste devient le numérateur de la partie fractionnaire ; le dénominateur de la partie fractionnaire reste le même.

Un nombre contenant un entier et une partie fractionnaire est appelé mixte. Partie fractionnaire nombre mixte peut être fraction impropre. Ensuite, vous pouvez sélectionner le plus grand entier de la partie fractionnaire et représenter le nombre fractionnaire de telle manière que la partie fractionnaire devienne une fraction propre (ou disparaisse complètement).