Méthodes de résolution de systèmes d'équations exponentielles. Résumé de la leçon "système d'équations exponentielles et d'inégalités". Résoudre des équations exponentielles typiques

"Inégalités à une variable" - Vous ne pouvez pas arrêter d'apprendre. Spécifiez le plus grand entier appartenant à l'intervalle. Nous apprenons des exemples. La solution d’une inégalité à une variable est la valeur de la variable. Inégalité linéaire. Trouve l'erreur. Inégalités. Objectifs de la leçon. Résoudre une inégalité, c’est trouver toutes ses solutions. Référence historique.

« Algorithme de résolution des inégalités » - Fonction. Tâche. Événement. Beaucoup de solutions. Résoudre les inégalités. Inégalités. Solution des inégalités. Considérons le discriminant. Résolvons l'inégalité en utilisant la méthode des intervalles. L'inégalité linéaire la plus simple. Algorithme de résolution des inégalités. Axe. Résolvons maintenant l'inégalité quadratique.

"Équations logarithmiques et inégalités" - Découvrez si un nombre est positif ou négatif. Le but de la leçon. Résous l'équation. Propriétés des logarithmes. Logarithmes. Formules de transition vers une nouvelle base. Pratiquer les compétences nécessaires pour résoudre des équations logarithmiques et des inégalités. Définition du logarithme. Calculer. Indiquez le processus pour résoudre les équations suivantes.

« Preuve des inégalités » - Application de la méthode d'induction mathématique. Pour n = 3, nous obtenons. Prouver cela pour n’importe quel n ? N Preuve. par le théorème de Bernoulli, comme requis. Mais cela prouve clairement que notre hypothèse est incorrecte. La méthode est basée sur la propriété de non-négativité d'un trinôme quadratique, si et. Inégalité de Cauchy-Bunyakovsky.

«Résoudre les inégalités par la méthode des intervalles» - Résoudre les inégalités par la méthode des intervalles. 2. Algorithme de résolution des inégalités à l'aide de la méthode des intervalles. Étant donné le graphique de la fonction : Résoudre l'inégalité :

«Résoudre des équations et des inégalités irrationnelles» - Racines étrangères. Un ensemble de tâches. Entrez le multiplicateur sous le signe racine. Travailler avec une tâche. Équations et inégalités irrationnelles. Actualisation des connaissances. Équation irrationnelle. Définition. Choisissez ceux qui sont irrationnels. Équations irrationnelles. Pour quelles valeurs de A l'égalité est-elle vraie. Des inégalités irrationnelles.

Dans cette leçon, nous examinerons la résolution d'équations exponentielles plus complexes et rappellerons les principes théoriques de base concernant la fonction exponentielle.

1. Définition et propriétés de la fonction exponentielle, méthodes de résolution des équations exponentielles les plus simples

Rappelons la définition et les propriétés de base de la fonction exponentielle. La solution de toutes les équations et inégalités exponentielles est basée sur ces propriétés.

Fonction exponentielle est une fonction de la forme , où la base est le degré et Ici x est la variable indépendante, argument ; y est la variable dépendante, fonction.

Riz. 1. Graphique de la fonction exponentielle

Le graphique montre des exposants croissants et décroissants, illustrant la fonction exponentielle avec une base supérieure à un et inférieure à un mais supérieure à zéro, respectivement.

Les deux courbes passent par le point (0;1)

Propriétés de la fonction exponentielle:

Domaine: ;

Plage de valeurs : ;

La fonction est monotone, augmente avec, diminue avec.

Une fonction monotone prend chacune de ses valeurs étant donné une seule valeur d'argument.

Lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction augmente de zéro inclus à plus l'infini. Au contraire, lorsque l’argument augmente de moins à plus l’infini, la fonction diminue de l’infini à zéro, non inclus.

2. Résolution d'équations exponentielles standard

Rappelons comment résoudre les équations exponentielles les plus simples. Leur solution repose sur la monotonie de la fonction exponentielle. Presque toutes les équations exponentielles complexes peuvent être réduites à de telles équations.

L'égalité des exposants de bases égales est due à la propriété de la fonction exponentielle, à savoir sa monotonie.

Méthode de résolution :

Égaliser les bases des diplômes ;

Égalisez les exposants.

Passons à l'examen d'équations exponentielles plus complexes ; notre objectif est de réduire chacune d'elles à la plus simple.

Débarrassons-nous de la racine du côté gauche et ramenons les degrés à la même base :

Afin de réduire une équation exponentielle complexe à sa plus simple expression, la substitution de variables est souvent utilisée.

Utilisons la propriété power :

Nous introduisons un remplacement. Qu'il en soit alors

Multiplions l'équation résultante par deux et déplaçons tous les termes vers la gauche :

La première racine ne satisfait pas la plage de valeurs y, nous la rejetons donc. On a:

Réduisons les degrés au même indicateur :

Introduisons un remplacement :

Qu'il en soit alors . Avec un tel remplacement, il est évident que y prend des valeurs strictement positives. On a:

Nous savons comment résoudre de telles équations quadratiques, nous pouvons écrire la réponse :

Pour vous assurer que les racines sont trouvées correctement, vous pouvez vérifier à l’aide du théorème de Vieta, c’est-à-dire trouver la somme des racines et leur produit et les comparer avec les coefficients correspondants de l’équation.

On a:

3. Méthodologie de résolution d'équations exponentielles homogènes du deuxième degré

Étudions le type important d'équations exponentielles suivant :

Les équations de ce type sont dites homogènes du deuxième degré par rapport aux fonctions f et g. Sur son côté gauche se trouve un trinôme carré par rapport à f avec le paramètre g ou un trinôme carré par rapport à g avec le paramètre f.

Méthode de résolution :

Cette équation peut être résolue comme une équation quadratique, mais il est plus facile de le faire différemment. Il y a deux cas à considérer :

Dans le premier cas on obtient

Dans le second cas, on a le droit de diviser par le plus haut degré et d'obtenir :

Il faut introduire un changement de variables, on obtient une équation quadratique pour y :

Notons que les fonctions f et g peuvent être quelconques, mais nous nous intéressons au cas où ce sont des fonctions exponentielles.

4. Exemples de résolution d'équations homogènes

Déplaçons tous les termes vers la gauche de l'équation :

Puisque les fonctions exponentielles acquièrent des valeurs strictement positives, on a le droit de diviser immédiatement l'équation par , sans considérer le cas où :

On a:

Introduisons un remplacement : (selon les propriétés de la fonction exponentielle)

Nous avons une équation quadratique :

Nous déterminons les racines à l’aide du théorème de Vieta :

La première racine ne satisfait pas la plage de valeurs de y, on la rejette, on obtient :

Utilisons les propriétés des degrés et réduisons tous les degrés à des bases simples :

Il est facile de remarquer les fonctions f et g :

Sections: Mathématiques

Objectifs de la leçon:

Éducatif : apprendre à résoudre des systèmes d'équations exponentielles ; consolider les compétences en résolution d’équations incluses dans ces systèmes

Pédagogique : cultiver la propreté.

Développemental : développer une culture de la parole écrite et orale.

Équipement: ordinateur; projecteur multimédia.

Pendant les cours

Organisation du temps

Professeur. Aujourd'hui, nous allons continuer à étudier le chapitre « Fonction exponentielle ». Nous formulerons le sujet de la leçon un peu plus tard. Pendant le cours, vous remplirez des formulaires de réponse qui se trouvent sur vos bureaux ( cm. demande n°1 ). Les réponses seront résumées.

Actualisation des connaissances.

Les élèves répondent aux questions :

• Quelle est la forme de la fonction exponentielle ?

Travail oral. Travaillez sur les diapositives 1 à 5.

• Quelle équation est appelée exponentielle ?
• Quelles méthodes de résolution connaissez-vous ?

Travail oral sur les slides 6 à 10.

• Quelle propriété de la fonction exponentielle est utilisée pour résoudre des inégalités exponentielles ?

Travail oral sur les slides 11 à 15.

Exercice. Notez les réponses à ces questions sur la feuille de réponses n°1. ( cm. demande n°1 ). (diapositives 16 à 31)

Vérification des devoirs

.

Nous vérifions les devoirs comme suit.

Remplacez les racines des équations par la lettre correspondante et devinez le mot.

Les élèves regardent la feuille de réponses n°2 ( Annexe 1) . L'enseignant montre la diapositive numéro 33

(Les élèves nomment le mot (diapositive n°34)).

• Quels phénomènes se produisent selon les lois de cette fonction ?

Les étudiants sont invités à résoudre les tâches de l'examen d'État unifié B12 (diapositive 35) et à noter la solution sur le formulaire de réponse n° 3 ( Annexe 1).

Tout en vérifiant les devoirs et en résolvant la tâche B12, nous répéterons les méthodes de résolution d'équations exponentielles.

Les élèves concluent que la résolution d’une équation à deux variables nécessite une autre équation.

Ensuite, le sujet de la leçon est formulé (diapositive numéro 37).

Le système est noté dans des cahiers (diapositive n°38).

Pour résoudre ce système, nous répétons la méthode de substitution (diapositive numéro 39).

La méthode d'addition est répétée lors de la résolution du système (diapositives 38 à 39).

Consolidation primaire du matériau étudié

:

Les élèves résolvent indépendamment des systèmes d'équations dans les formulaires de réponse n° 4 ( Annexe 1 ), bénéficiant de consultations individuelles avec les enseignants.

Résumer. Réflexion.

Continuez les phrases.

• Aujourd'hui, en classe, j'ai répété...
• Aujourd'hui, en classe, j'ai renforcé...
• Aujourd'hui, en classe, j'ai appris...
• Aujourd'hui, en classe, j'ai appris...

À la fin du cours, les élèves écrivent leurs devoirs et remettent les formulaires de réponses.

Devoirs:

N° 59 (pair) et n° 62 (pair).

Littérature

1. Toutes les tâches du groupe d'examen d'État unifié 3000 problèmes - Maison d'édition « Examen » Moscou, 2011. Edité par A.L. Semenova, I.V. Iachchenko.
2. S.A. Chestakov, P.I. Examen d'État unifié Zakharov 2010, problème de mathématiques C1 édité par A.L. Semenova, I.V. Maison d'édition Yashchenko Moscou « MCNMO ».
3. Manuel d'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique, 10e année Yu.M. Kolyagin Moscou « Lumières », 2008.

Au stade de la préparation au test final, les lycéens doivent améliorer leurs connaissances sur le thème « Équations exponentielles ». L'expérience des années passées indique que de telles tâches posent certaines difficultés aux écoliers. Par conséquent, les lycéens, quel que soit leur niveau de préparation, doivent maîtriser parfaitement la théorie, mémoriser les formules et comprendre le principe de résolution de telles équations. Ayant appris à faire face à ce type de problème, les diplômés peuvent compter sur des scores élevés lors de la réussite de l'examen d'État unifié en mathématiques.

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Les définitions et formules de base sont présentées dans la section « Contexte théorique ».

Pour mieux comprendre la matière, nous vous recommandons de vous entraîner à réaliser les devoirs. Examinez attentivement les exemples d'équations exponentielles avec solutions présentés sur cette page pour comprendre l'algorithme de calcul. Après cela, procédez à l'exécution des tâches dans la section « Répertoires ». Vous pouvez commencer par les tâches les plus simples ou passer directement à la résolution d'équations exponentielles complexes à plusieurs inconnues ou . La base de données d'exercices sur notre site Internet est constamment complétée et mise à jour.

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Méthodes de résolution de systèmes d'équations

Pour commencer, rappelons brièvement quelles méthodes existent généralement pour résoudre des systèmes d'équations.

Exister quatre manières principales solutions aux systèmes d'équations :

Méthode de substitution : prenez l'une des équations données et exprimez $y$ en termes de $x$, puis $y$ est substitué dans l'équation système, à partir de laquelle la variable $x.$ est trouvée. Après cela, nous pouvons facilement calculer. la variable $y.$

Méthode d'addition : Dans cette méthode, vous devez multiplier une ou les deux équations par des nombres tels que lorsque vous additionnez les deux, l'une des variables « disparaît ».

Méthode graphique : les deux équations du système sont représentées sur le plan de coordonnées et le point de leur intersection est trouvé.

Méthode d'introduction de nouvelles variables : dans cette méthode, nous remplaçons certaines expressions pour simplifier le système, puis utilisons l'une des méthodes ci-dessus.

Systèmes d'équations exponentielles

Définition 1

Les systèmes d'équations constitués d'équations exponentielles sont appelés systèmes d'équations exponentielles.

Nous envisagerons de résoudre des systèmes d'équations exponentielles à l'aide d'exemples.

Exemple 1

Résoudre un système d'équations

Image 1.

Solution.

Nous utiliserons la première méthode pour résoudre ce système. Tout d'abord, exprimons $y$ dans la première équation en termes de $x$.

Figure 2.

Remplaçons $y$ dans la deuxième équation :

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Répondre: $(-4,6)$.

Exemple 2

Résoudre un système d'équations

Figure 3.

Solution.

Ce système est équivalent au système

Graphique 4.

Appliquons la quatrième méthode de résolution d'équations. Soit $2^x=u\ (u >0)$, et $3^y=v\ (v >0)$, on obtient :

Graphique 5.

Résolvons le système résultant en utilisant la méthode d'addition. Additionnons les équations :

\ \

Alors à partir de la deuxième équation, on obtient que

De retour au remplacement, j'ai reçu un nouveau système d'équations exponentielles :

Graphique 6.

On a:

Graphique 7.

Répondre: $(0,1)$.

Systèmes d'inégalités exponentielles

Définition 2

Les systèmes d'inégalités constitués d'équations exponentielles sont appelés systèmes d'inégalités exponentielles.

Nous envisagerons de résoudre des systèmes d'inégalités exponentielles à l'aide d'exemples.

Exemple 3

Résoudre le système d’inégalités

Figure 8.

Solution:

Ce système d'inégalités est équivalent au système

Graphique 9.

Pour résoudre la première inégalité, rappelons le théorème suivant sur l'équivalence des inégalités exponentielles :

Théorème 1. L'inégalité $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, où $a >0,a\ne 1$ est équivalente à la collection de deux systèmes

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