Résolution d'équations différentielles. Grâce à notre service en ligne, vous pouvez résoudre des équations différentielles de tout type et complexité : inhomogènes, homogènes, non linéaires, linéaires, du premier, du deuxième ordre, à variables séparables ou non séparables, etc. Vous recevez une solution aux équations différentielles sous forme analytique avec une description détaillée. Beaucoup de gens sont intéressés : pourquoi est-il nécessaire de résoudre des équations différentielles en ligne ? Ce type d’équation est très courant en mathématiques et en physique, où il sera impossible de résoudre de nombreux problèmes sans calculer l’équation différentielle. Les équations différentielles sont également courantes en économie, médecine, biologie, chimie et autres sciences. Résoudre une telle équation en ligne simplifie grandement vos tâches, vous donne la possibilité de mieux comprendre le matériel et de vous tester. Avantages de la résolution d'équations différentielles en ligne. Un site Web de service mathématique moderne vous permet de résoudre en ligne des équations différentielles de toute complexité. Comme vous le savez, il existe un grand nombre de types d'équations différentielles et chacune d'elles a ses propres méthodes de résolution. Sur notre service, vous pouvez trouver en ligne des solutions aux équations différentielles de tout ordre et de tout type. Pour obtenir une solution, nous vous suggérons de remplir les données initiales et de cliquer sur le bouton « Solution ». Les erreurs dans le fonctionnement du service sont exclues, vous pouvez donc être sûr à 100 % d'avoir reçu la bonne réponse. Résolvez des équations différentielles avec notre service. Résolvez des équations différentielles en ligne. Par défaut, dans une telle équation, la fonction y est fonction de la variable x. Mais vous pouvez également spécifier votre propre désignation de variable. Par exemple, si vous spécifiez y(t) dans une équation différentielle, notre service déterminera automatiquement que y est fonction de la variable t. L'ordre de l'équation différentielle entière dépendra de l'ordre maximum de la dérivée de la fonction présente dans l'équation. Résoudre une telle équation signifie trouver la fonction souhaitée. Notre service vous aidera à résoudre des équations différentielles en ligne. Cela ne demande pas beaucoup d’efforts de votre part pour résoudre l’équation. Il vous suffit de saisir les côtés gauche et droit de votre équation dans les champs requis et de cliquer sur le bouton « Solution ». Lors de la saisie, la dérivée d'une fonction doit être désignée par une apostrophe. En quelques secondes, vous recevrez une solution détaillée toute faite de l'équation différentielle. Notre service est absolument gratuit. Équations différentielles à variables séparables. Si dans une équation différentielle il y a une expression du côté gauche qui dépend de y, et du côté droit il y a une expression qui dépend de x, alors une telle équation différentielle est appelée avec des variables séparables. Le côté gauche peut contenir une dérivée de y ; la solution des équations différentielles de ce type se présentera sous la forme d'une fonction de y, exprimée par l'intégrale du côté droit de l'équation. Si sur le côté gauche il y a une différentielle de la fonction y, alors dans ce cas les deux côtés de l'équation sont intégrés. Lorsque les variables d’une équation différentielle ne sont pas séparées, elles devront l’être pour obtenir une équation différentielle séparée. Équation différentielle linéaire. Une équation différentielle dont la fonction et toutes ses dérivées sont au premier degré est dite linéaire. Forme générale de l’équation : y’+a1(x)y=f(x). f(x) et a1(x) sont des fonctions continues de x. La résolution d'équations différentielles de ce type se réduit à intégrer deux équations différentielles à variables séparées. Ordre de l'équation différentielle. Une équation différentielle peut être du premier, du deuxième ou du nième ordre. L'ordre d'une équation différentielle détermine l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'elle contient. Dans notre service, vous pouvez résoudre en ligne des équations différentielles pour le premier, le deuxième, le troisième, etc. commande. La solution de l'équation sera n'importe quelle fonction y=f(x), en la remplaçant dans l'équation, vous obtiendrez une identité. Le processus permettant de trouver une solution à une équation différentielle est appelé intégration. Problème de Cauchy. Si, en plus de l’équation différentielle elle-même, la condition initiale y(x0)=y0 est donnée, alors on parle de problème de Cauchy. Les indicateurs y0 et x0 sont ajoutés à la solution de l'équation et la valeur d'une constante arbitraire C est déterminée, puis une solution particulière de l'équation à cette valeur de C est déterminée. C'est la solution du problème de Cauchy. Le problème de Cauchy est également appelé problème de conditions aux limites, ce qui est très courant en physique et en mécanique. Vous avez également la possibilité de poser le problème de Cauchy, c'est-à-dire de sélectionner parmi toutes les solutions possibles de l'équation un quotient qui répond aux conditions initiales données.

I. Équations différentielles ordinaires

1.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle est une équation qui relie une variable indépendante x, la fonction requise oui et ses dérivés ou différentiels.

Symboliquement, l'équation différentielle s'écrit comme suit :

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Une équation différentielle est dite ordinaire si la fonction recherchée dépend d'une variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle s'appelle une fonction qui transforme cette équation en une identité.

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans cette équation

Exemples.

1. Considérons une équation différentielle du premier ordre

La solution de cette équation est la fonction y = 5 ln x. En effet, en substituant oui" dans l’équation, nous obtenons l’identité.

Et cela signifie que la fonction y = 5 ln x– est une solution de cette équation différentielle.

2. Considérons l'équation différentielle du second ordre y" - 5y" +6y = 0. La fonction est la solution de cette équation.

Vraiment, .

En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : , – identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégration d'équations différentielles est le processus de recherche de solutions aux équations différentielles.

Solution générale de l'équation différentielle appelée fonction de la forme , qui comprend autant de constantes arbitraires indépendantes que l'ordre de l'équation.

Solution partielle de l'équation différentielle est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour diverses valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs de constantes arbitraires se trouvent à certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le graphique d'une solution particulière à une équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1. Trouver une solution particulière à une équation différentielle du premier ordre

xdx + ydy = 0, Si oui= 4 à x = 3.

Solution. En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient

Commentaire. Une constante arbitraire C obtenue à la suite de l'intégration peut être représentée sous n'importe quelle forme pratique pour des transformations ultérieures. Dans ce cas, compte tenu de l'équation canonique d'un cercle, il convient de représenter une constante arbitraire C sous la forme .

- solution générale de l'équation différentielle.

Solution particulière de l'équation satisfaisant les conditions initiales oui = 4 à x = 3 est trouvé à partir du général en substituant les conditions initiales dans la solution générale : 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

En substituant C=5 dans la solution générale, on obtient x 2 + y 2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière d'une équation différentielle obtenue à partir d'une solution générale dans des conditions initiales données.

2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle

La solution de cette équation est n’importe quelle fonction de la forme , où C est une constante arbitraire. En effet, en substituant , dans les équations, on obtient : , .

Par conséquent, cette équation différentielle a un nombre infini de solutions, puisque pour différentes valeurs de la constante C, l'égalité détermine différentes solutions à l'équation.

Par exemple, par substitution directe vous pouvez vérifier que les fonctions sont des solutions à l’équation.

Un problème dans lequel vous devez trouver une solution particulière à l'équation y" = f(x,y) satisfaisant la condition initiale y(x 0) = y 0, s'appelle le problème de Cauchy.

Résoudre l'équation y" = f(x,y), satisfaisant la condition initiale, y(x 0) = y 0, est appelé une solution au problème de Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, selon ces définitions, pour résoudre le problème de Cauchy y" = f(x,y)étant donné que y(x 0) = y 0, signifie trouver la courbe intégrale de l'équation y" = f(x,y) qui passe par un point donné M 0 (x 0,oui 0).

II. Équations différentielles du premier ordre

2.1. Concepts de base

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme F(x,y,y") = 0.

Une équation différentielle du premier ordre inclut la dérivée première et n'inclut pas les dérivées d'ordre supérieur.

Équation y" = f(x,y) est appelée une équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

La solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une fonction de la forme , qui contient une constante arbitraire.

Exemple. Considérons une équation différentielle du premier ordre.

La solution de cette équation est la fonction.

En effet, en remplaçant cette équation par sa valeur, on obtient

c'est 3x=3x

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l’équation pour toute constante C.

Trouver une solution particulière à cette équation qui satisfait la condition initiale y(1)=1 Remplacement des conditions initiales x = 1, y =1 dans la solution générale de l’équation, on obtient d’où C=0.

Ainsi, on obtient une solution particulière à partir de la solution générale en substituant dans cette équation la valeur résultante C=0– solution privée.

2.2. Équations différentielles à variables séparables

Une équation différentielle à variables séparables est une équation de la forme : y"=f(x)g(y) ou par différentiels, où f(x) Et g(y)– fonctions spécifiées.

Pour ceux oui, pour lequel , l'équation y"=f(x)g(y) est équivalent à l'équation, dans lequel la variable oui est présente uniquement sur le côté gauche et la variable x est uniquement sur le côté droit. Ils disent : « dans l'équation. y"=f(x)g(y Séparons les variables."

Équation de la forme appelée équation à variables séparées.

Intégrer les deux côtés de l’équation Par x, nous obtenons G(y) = F(x) + C est la solution générale de l'équation, où G(y) Et F(x)– quelques primitives, respectivement, de fonctions et f(x), C constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

Exemple 1

Résoudre l'équation y" = xy

Solution. Dérivée d'une fonction oui" remplacez-le par

séparons les variables

Intégrons les deux côtés de l'égalité :

Exemple 2

2aa" = 1- 3x 2, Si oui 0 = 3à x0 = 1

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Imaginons-le en différentiels. Pour ce faire, on réécrit cette équation sous la forme D'ici

En intégrant les deux côtés de la dernière égalité, on trouve

Remplacement des valeurs initiales x 0 = 1, y 0 = 3 nous trouverons AVEC 9=1-1+C, c'est-à-dire C = 9.

Par conséquent, l’intégrale partielle requise sera ou

Exemple 3

Écrire une équation pour une courbe passant par un point M(2;-3) et ayant une tangente avec un coefficient angulaire

Solution. Selon l'état

Il s'agit d'une équation à variables séparables. En divisant les variables, on obtient :

En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient :

En utilisant les conditions initiales, x = 2 Et y = - 3 nous trouverons C:

Par conséquent, l’équation recherchée a la forme

2.3. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y" = f(x)y + g(x)

Où f(x) Et g(x)- quelques fonctions spécifiées.

Si g(x)=0 alors l'équation différentielle linéaire est dite homogène et a la forme : y" = f(x)y

Si alors l'équation y" = f(x)y + g(x) est dit hétérogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y" = f(x)y est donné par la formule : où AVEC– constante arbitraire.

En particulier, si C =0, alors la solution est y = 0 Si une équation linéaire homogène a la forme y" = ky Où k est une constante, alors sa solution générale a la forme : .

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y" = f(x)y + g(x) est donné par la formule ,

ceux. est égal à la somme de la solution générale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation linéaire inhomogène de la forme y" = kx + b,

Où k Et b- certains nombres et une solution particulière seront une fonction constante. La solution générale est donc de la forme .

Exemple. Résoudre l'équation y" + 2y +3 = 0

Solution. Représentons l'équation sous la forme y" = -2y - 3 Où k = -2, b= -3 La solution générale est donnée par la formule.

Par conséquent, où C est une constante arbitraire.

2.4. Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méthode de Bernoulli

Trouver une solution générale à une équation différentielle linéaire du premier ordre y" = f(x)y + g(x) se réduit à résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées par substitution y=uv, Où toi Et v- fonctions inconnues de x. Cette méthode de résolution est appelée méthode de Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

y" = f(x)y + g(x)

1. Entrez le remplacement y=uv.

2. Différencier cette égalité y" = u"v + uv"

3. Remplacer oui Et oui" dans cette équation : u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Regroupez les termes de l'équation de manière à ce que toi retirez-le des parenthèses :

5. À partir du support, en l'assimilant à zéro, trouvez la fonction

Il s'agit d'une équation séparable :

Divisons les variables et obtenons :

Où . .

6. Remplacez la valeur résultante v dans l'équation (de l'étape 4) :

et trouvez la fonction C'est une équation à variables séparables :

7. Écrivez la solution générale sous la forme : , c'est-à-dire .

Exemple 1

Trouver une solution particulière à l'équation y" = -2y +3 = 0 Si y =1à x = 0

Solution. Résolvons-le en utilisant la substitution y=uv,.y" = u"v + uv"

Remplacement oui Et oui" dans cette équation, on obtient

En regroupant les deuxième et troisième termes du côté gauche de l'équation, on retire le facteur commun toi hors parenthèses

Nous assimilons l'expression entre parenthèses à zéro et, après avoir résolu l'équation résultante, nous trouvons la fonction v = v(x)

Nous obtenons une équation avec des variables séparées. Intégrons les deux côtés de cette équation : Trouvez la fonction v:

Remplaçons la valeur résultante v dans l'équation on obtient :

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Intégrons les deux côtés de l'équation : Trouvons la fonction u = u(x,c) Trouvons une solution générale : Trouvons une solution particulière à l'équation qui satisfait aux conditions initiales y = 1à x = 0:

III. Équations différentielles d'ordre supérieur

3.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant des dérivées ne dépassant pas le second ordre. Dans le cas général, une équation différentielle du second ordre s’écrit : F(x,y,y",y") = 0

La solution générale d'une équation différentielle du second ordre est fonction de la forme , qui comprend deux constantes arbitraires C1 Et C2.

Une solution particulière d'une équation différentielle du second ordre est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour certaines valeurs de constantes arbitraires C1 Et C2.

3.2. Equations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec coefficients constants.

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants appelé une équation de la forme y" + py" + qy = 0, Où p Et q- des valeurs constantes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants

1. Écrivez l'équation différentielle sous la forme : y" + py" + qy = 0.

2. Créez son équation caractéristique, désignant oui"à travers r2, oui"à travers r, oui en 1 : r 2 + pr + q = 0

Soit ils ont déjà été résolus par rapport à la dérivée, soit ils peuvent être résolus par rapport à la dérivée .

Solution générale des équations différentielles du type sur l'intervalle X, qui est donné, peut être trouvé en prenant l’intégrale des deux côtés de cette égalité.

Nous obtenons .

Si l'on regarde les propriétés de l'intégrale indéfinie, on trouve la solution générale souhaitée :

y = F(x) + C,

Où F(x)- une des fonctions primitives f(x) entre X, UN AVEC- constante arbitraire.

Veuillez noter que dans la plupart des problèmes, l'intervalle X n'indique pas. Cela signifie qu’une solution doit être trouvée pour tout le monde. x, pour lequel et la fonction souhaitée oui, et l'équation originale a du sens.

Si vous devez calculer une solution particulière à une équation différentielle qui satisfait la condition initiale y(x 0) = y 0, puis après avoir calculé l'intégrale générale y = F(x) + C, il faut encore déterminer la valeur de la constante C = C0, en utilisant la condition initiale. C'est-à-dire une constante C = C0 déterminé à partir de l'équation F(x 0) + C = y 0, et la solution partielle souhaitée de l'équation différentielle prendra la forme :

y = F(x) + C0.

Regardons un exemple :

Trouvons une solution générale à l'équation différentielle et vérifions l'exactitude du résultat. Trouvons une solution particulière à cette équation qui satisferait la condition initiale.

Solution:

Après avoir intégré l’équation différentielle donnée, nous obtenons :

.

Prenons cette intégrale en utilisant la méthode d'intégration par parties :

Que., est une solution générale de l'équation différentielle.

Pour nous assurer que le résultat est correct, faisons une vérification. Pour ce faire, nous substituons la solution que nous avons trouvée dans l'équation donnée :

.

C'est-à-dire quand l'équation originale se transforme en identité :

par conséquent, la solution générale de l’équation différentielle a été déterminée correctement.

La solution que nous avons trouvée est une solution générale de l’équation différentielle pour chaque valeur réelle de l’argument x.

Il reste à calculer une solution particulière de l'ODE qui satisferait la condition initiale. Autrement dit, il faut calculer la valeur de la constante AVEC, auquel l'égalité sera vraie :

.

.

Ensuite, en remplaçant C = 2 dans la solution générale de l'ODE, on obtient une solution particulière de l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale :

.

Équation différentielle ordinaire peut être résolu pour la dérivée en divisant les 2 côtés de l'équation par f(x). Cette transformation sera équivalente si f(x) ne revient en aucun cas à zéro xà partir de l'intervalle d'intégration de l'équation différentielle X.

Il existe des situations probables où, pour certaines valeurs de l'argument x ∈ X fonctions f(x) Et g(x) deviennent simultanément nuls. Pour des valeurs similaires x la solution générale d'une équation différentielle est n'importe quelle fonction oui, qui y est défini, car .

Si pour certaines valeurs d'argument x ∈ X la condition est satisfaite, ce qui signifie que dans ce cas l’ODE n’a pas de solutions.

Pour tout le monde x de l'intervalle X la solution générale de l'équation différentielle est déterminée à partir de l'équation transformée.

Regardons des exemples :

Exemple 1.

Trouvons une solution générale à l'ODE : .

Solution.

D'après les propriétés des fonctions élémentaires de base, il ressort clairement que la fonction logarithme népérien est définie pour des valeurs non négatives de l'argument, donc le domaine de définition de l'expression ln(x+3) il y a un intervalle x > -3 . Cela signifie que l’équation différentielle donnée a du sens pour x > -3 . Pour ces valeurs d'argument, l'expression x+3 ne disparaît pas, vous pouvez donc résoudre l'ODE pour la dérivée en divisant les 2 parties par x + 3.

Nous obtenons .

Ensuite, nous intégrons l'équation différentielle résultante résolue par rapport à la dérivée : . Pour prendre cette intégrale, nous utilisons la méthode de la subsumer sous le signe différentiel.

Équations différentielles du premier ordre. Exemples de solutions.
Équations différentielles à variables séparables

Équations différentielles (DE). Ces deux mots terrifient généralement la personne moyenne. Les équations différentielles semblent être quelque chose de prohibitif et difficile à maîtriser pour de nombreux étudiants. Uuuuuu... équations différentielles, comment survivre à tout ça ?!

Cette opinion et cette attitude sont fondamentalement fausses, car en réalité ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - C'EST SIMPLE ET MÊME AMUSANT. Que faut-il savoir et être capable de faire pour apprendre à résoudre des équations différentielles ? Pour réussir à étudier les diffus, vous devez savoir intégrer et différencier. Mieux les sujets sont étudiés Dérivée d'une fonction d'une variable Et Intégrale indéfinie, plus il sera facile de comprendre les équations différentielles. J'en dirai plus, si vous avez des compétences d'intégration plus ou moins décentes, alors le sujet est presque maîtrisé ! Plus vous pouvez résoudre d’intégrales de différents types, mieux c’est. Pourquoi? Il va falloir beaucoup intégrer. Et différencier. Aussi je recommande vivement apprendre à trouver.

Dans 95 % des cas, les épreuves contiennent 3 types d'équations différentielles du premier ordre : équations séparables que nous examinerons dans cette leçon ; équations homogènes Et équations linéaires inhomogènes. Pour ceux qui commencent à étudier les diffuseurs, je vous conseille de lire les leçons exactement dans cet ordre, et après avoir étudié les deux premiers articles, cela ne fera pas de mal de consolider vos compétences dans un atelier supplémentaire - équations se réduisant à homogène.

Il existe des types d'équations différentielles encore plus rares : les équations différentielles totales, les équations de Bernoulli et quelques autres. Les plus importants des deux derniers types sont les équations aux différentielles totales, car en plus de cette équation différentielle, j'envisage du nouveau matériel - intégration partielle.

S'il ne vous reste qu'un jour ou deux, Que pour une préparation ultra-rapide Il y a cours éclair au format pdf.

Voilà, les repères sont posés, c'est parti :

Rappelons d’abord les équations algébriques habituelles. Ils contiennent des variables et des nombres. L'exemple le plus simple : . Que signifie résoudre une équation ordinaire ? Cela signifie trouver ensemble de nombres, qui satisfont cette équation. Il est facile de remarquer que l'équation des enfants a une racine unique : . Juste pour le plaisir, vérifions et remplaçons la racine trouvée dans notre équation :

– l'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution a été trouvée correctement.

Les diffuseurs sont conçus à peu près de la même manière !

Équation différentielle première commande dans le cas général contient:
1) variable indépendante ;
2) variable dépendante (fonction) ;
3) la dérivée première de la fonction : .

Dans certaines équations du 1er ordre, il peut n'y avoir pas de « x » et/ou de « y », mais cela n'est pas significatif - important aller à la salle de contrôle était dérivée première, et il n'y avait pas dérivés d'ordres supérieurs – , etc.

Qu'est-ce que ça veut dire? Résoudre une équation différentielle signifie trouver ensemble de toutes les fonctions, qui satisfont cette équation. Un tel ensemble de fonctions a souvent la forme (– une constante arbitraire), appelée solution générale de l'équation différentielle.

Exemple 1

Résoudre l'équation différentielle

Munitions pleines. Par où commencer solution?

Tout d’abord, vous devez réécrire la dérivée sous une forme légèrement différente. Nous rappelons la désignation encombrante, qui a probablement semblé à beaucoup d'entre vous ridicule et inutile. C'est ce qui règne dans les diffuseurs !

Dans un deuxième temps, voyons si c'est possible des variables séparées ? Que signifie séparer les variables ? En gros, sur le côté gauche nous devons partir seulement "Grecs", UN du côté droit organiser seulement des "X". La division des variables s'effectue à l'aide de manipulations « scolaires » : les mettre entre parenthèses, transférer des termes de partie en partie avec changement de signe, transférer des facteurs de partie en partie selon la règle de proportion, etc.

Les différentiels sont des multiplicateurs à part entière et des participants actifs aux hostilités. Dans l'exemple considéré, les variables sont facilement séparées en mélangeant les facteurs selon la règle de proportion :

Les variables sont séparées. Sur le côté gauche, il n’y a que des « Y », sur le côté droit, uniquement des « X ».

La prochaine étape est intégration d'équation différentielle. C’est simple, on met des intégrales des deux côtés :

Bien sûr, nous devons prendre des intégrales. Dans ce cas, ils sont tabulaires :

Comme on s’en souvient, une constante est attribuée à toute primitive. Il y a ici deux intégrales, mais il suffit d'écrire la constante une fois (puisque constante + constante est toujours égale à une autre constante). Dans la plupart des cas, il est placé du côté droit.

À proprement parler, une fois les intégrales prises, l’équation différentielle est considérée comme résolue. La seule chose est que notre « y » n'est pas exprimé par « x », c'est-à-dire que la solution est présentée de manière implicite formulaire. La solution d'une équation différentielle sous forme implicite s'appelle intégrale générale de l'équation différentielle. Autrement dit, il s'agit d'une intégrale générale.

La réponse sous cette forme est tout à fait acceptable, mais existe-t-il une meilleure option ? Essayons d'obtenir solution générale.

S'il te plaît, rappelez-vous la première technique, il est très courant et est souvent utilisé dans des tâches pratiques : si un logarithme apparaît du côté droit après intégration, alors dans de nombreux cas (mais pas toujours !) il est également conseillé d'écrire la constante sous le logarithme.

C'est, AU LIEU DE les entrées sont généralement écrites .

Pourquoi est-ce nécessaire ? Et afin de faciliter l’expression du « jeu ». Utiliser la propriété des logarithmes . Dans ce cas:

Les logarithmes et les modules peuvent désormais être supprimés :

La fonction est présentée explicitement. C'est la solution générale.

Répondre: solution générale : .

Les réponses à de nombreuses équations différentielles sont assez faciles à vérifier. Dans notre cas, cela se fait tout simplement, on prend la solution trouvée et on la différencie :

Ensuite, nous substituons la dérivée dans l'équation originale :

– l'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution générale satisfait l'équation, ce qu'il fallait vérifier.

En donnant différentes valeurs constantes, vous pouvez obtenir un nombre infini de solutions privéeséquation différentielle. Il est clair que toutes les fonctions , , etc. satisfait l’équation différentielle.

Parfois, la solution générale est appelée famille de fonctions. Dans cet exemple, la solution générale est une famille de fonctions linéaires, ou plus précisément, une famille de proportionnalité directe.

Après un examen approfondi du premier exemple, il convient de répondre à plusieurs questions naïves sur les équations différentielles :

1)Dans cet exemple, nous avons pu séparer les variables. Est-ce que cela peut toujours être fait ? Non, pas toujours. Et plus souvent encore, les variables ne peuvent être séparées. Par exemple, dans équations homogènes du premier ordre, vous devez d'abord le remplacer. Dans d'autres types d'équations, par exemple dans une équation inhomogène linéaire du premier ordre, vous devez utiliser diverses techniques et méthodes pour trouver une solution générale. Les équations à variables séparables, que nous considérons dans la première leçon, sont le type d'équations différentielles le plus simple.

2) Est-il toujours possible d'intégrer une équation différentielle ? Non, pas toujours. Il est très facile de proposer une équation « fantaisiste » qui ne peut pas être intégrée. De plus, il existe des intégrales qui ne peuvent pas être prises en compte. Mais de tels DE peuvent être résolus approximativement en utilisant des méthodes spéciales. D'Alembert et Cauchy garantissent... ...pouah, lurkmore. Pour lire beaucoup de choses tout à l'heure, j'ai failli ajouter « de l'autre monde ».

3) Dans cet exemple, nous avons obtenu une solution sous la forme d'une intégrale générale . Est-il toujours possible de trouver une solution générale à partir d’une intégrale générale, c’est-à-dire d’exprimer explicitement le « y » ? Non, pas toujours. Par exemple: . Eh bien, comment pouvez-vous exprimer « grec » ici ?! Dans de tels cas, la réponse doit être écrite sous forme d’intégrale générale. De plus, il est parfois possible de trouver une solution générale, mais elle est écrite de manière si lourde et maladroite qu'il vaut mieux laisser la réponse sous la forme d'une intégrale générale

4) ...c'est peut-être suffisant pour le moment. Dans le premier exemple que nous avons rencontré un autre point important, mais afin de ne pas couvrir les « nuls » d'une avalanche de nouvelles informations, je laisse cela jusqu'à la prochaine leçon.

Nous ne nous précipiterons pas. Une autre télécommande simple et une autre solution typique :

Exemple 2

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale

Solution: selon la condition, il faut trouver solution privée DE qui satisfait une condition initiale donnée. Cette formulation de la question est également appelée Problème de Cauchy.

Nous trouvons d’abord une solution générale. Il n'y a pas de variable « x » dans l'équation, mais cela ne doit pas prêter à confusion, l'essentiel est qu'elle ait la dérivée première.

On réécrit la dérivée sous la forme requise :

Bien évidemment, les variables peuvent être séparées, les garçons à gauche, les filles à droite :

Intégrons l'équation :

L'intégrale générale est obtenue. Ici j'ai dessiné une constante avec un astérisque, le fait est que très bientôt elle se transformera en une autre constante.

Essayons maintenant de transformer l’intégrale générale en une solution générale (exprimer explicitement le « y »). Rappelons-nous les bonnes vieilles choses de l'école : . Dans ce cas:

La constante de l’indicateur semble en quelque sorte peu casher, elle est donc généralement ramenée à la terre. Dans le détail, voici comment cela se passe. En utilisant la propriété des degrés, nous réécrivons la fonction comme suit :

Si est une constante, alors est aussi une constante, redésignons-la avec la lettre :

Rappelez-vous que « démolir » une constante est deuxième technique, qui est souvent utilisé lors de la résolution d’équations différentielles.

La solution générale est donc : . C'est une belle famille de fonctions exponentielles.

Au stade final, vous devez trouver une solution particulière qui satisfait à la condition initiale donnée. C'est aussi simple.

Quelle est la tâche ? Il faut ramasser tel la valeur de la constante pour que la condition soit satisfaite.

Il peut être formaté de différentes manières, mais celle-ci sera probablement la plus claire. Dans la solution générale, au lieu du « X » nous remplaçons un zéro, et au lieu du « Y » nous remplaçons un deux :



C'est,

Version de conception standard :

Nous substituons maintenant la valeur trouvée de la constante dans la solution générale :
– c’est la solution particulière dont nous avons besoin.

Répondre: solution privée :

Vérifions. La vérification d'une solution privée comprend deux étapes :

Vous devez d’abord vérifier si la solution particulière trouvée satisfait réellement à la condition initiale ? Au lieu du « X », nous remplaçons un zéro et voyons ce qui se passe :
- oui, effectivement, un deux a été reçu, ce qui signifie que la condition initiale est remplie.

La deuxième étape est déjà familière. Nous prenons la solution particulière résultante et trouvons la dérivée :

Nous substituons dans l'équation originale :

– l'égalité correcte est obtenue.

Conclusion : la solution particulière a été trouvée correctement.

Passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 3

Résoudre l'équation différentielle

Solution: Nous réécrivons la dérivée sous la forme dont nous avons besoin :

On évalue s'il est possible de séparer les variables ? Peut. On déplace le deuxième terme vers la droite avec un changement de signe :

Et on transfère les multiplicateurs selon la règle de proportion :

Les variables sont séparées, intégrons les deux parties :

Je dois vous prévenir, le jour du jugement approche. Si tu n'as pas bien étudié intégrales indéfinies, avez résolu quelques exemples, alors il n'y a nulle part où aller - vous devrez les maîtriser maintenant.

L'intégrale du côté gauche est facile à trouver ; nous traitons l'intégrale de la cotangente en utilisant la technique standard que nous avons vue dans la leçon. Intégration de fonctions trigonométriques l'année dernière:

Sur le côté droit, nous avons un logarithme et, selon ma première recommandation technique, la constante devrait également être écrite sous le logarithme.

Essayons maintenant de simplifier l'intégrale générale. Comme nous ne disposons que de logarithmes, il est tout à fait possible (et nécessaire) de s’en débarrasser. En utilisant propriétés connues Nous « emballons » les logarithmes autant que possible. Je vais l'écrire en détail :

L’emballage est fini d’être barbarement en lambeaux :

Est-il possible d’exprimer « jeu » ? Peut. Il faut mettre les deux parties au carré.

Mais vous n'avez pas besoin de faire ça.

Troisième conseil technique : si pour obtenir une solution générale il faut s'élever au pouvoir ou s'enraciner, alors dans la plupart des cas vous devez vous abstenir de ces actions et laisser la réponse sous la forme d'une intégrale générale. Le fait est que la solution générale aura l'air tout simplement terrible - avec de grosses racines, des panneaux et autres déchets.

Par conséquent, nous écrivons la réponse sous la forme d’une intégrale générale. Il est considéré comme une bonne pratique de le présenter sous la forme , c'est-à-dire que sur le côté droit, si possible, ne laissez qu'une constante. Ce n'est pas nécessaire, mais c'est toujours bénéfique pour faire plaisir au professeur ;-)

Répondre: intégrale générale :

! Note: L’intégrale générale de n’importe quelle équation peut être écrite de plusieurs manières. Ainsi, si votre résultat ne coïncide pas avec la réponse connue précédemment, cela ne signifie pas que vous avez mal résolu l'équation.

L'intégrale générale est également assez simple à vérifier, l'essentiel est de pouvoir trouver dérivée d'une fonction spécifiée implicitement. Différencions la réponse :

On multiplie les deux termes par :

Et divisez par :

L’équation différentielle originale a été obtenue exactement, ce qui signifie que l’intégrale générale a été trouvée correctement.

Exemple 4

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale. Effectuer une vérification.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

Permettez-moi de vous rappeler que l'algorithme se compose de deux étapes :
1) trouver une solution générale ;
2) trouver la solution particulière requise.

Le contrôle s'effectue également en deux étapes (voir exemple dans l'exemple n°2), il faut :
1) s'assurer que la solution particulière trouvée satisfait à la condition initiale ;
2) vérifier qu'une solution particulière satisfait généralement l'équation différentielle.

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Exemple 5

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle , satisfaisant la condition initiale. Effectuer une vérification.

Solution: Tout d'abord, trouvons une solution générale. Cette équation contient déjà des différentielles toutes faites et, par conséquent, la solution est simplifiée. On sépare les variables :

Intégrons l'équation :

L'intégrale de gauche est tabulaire, l'intégrale de droite est prise méthode pour subsumer une fonction sous le signe différentiel:

L'intégrale générale a été obtenue ; est-il possible d'exprimer avec succès la solution générale ? Peut. Nous accrochons des logarithmes des deux côtés. Puisqu’ils sont positifs, les signes de module sont inutiles :

(J'espère que tout le monde comprend la transformation, de telles choses devraient déjà être connues)

La solution générale est donc :

Trouvons une solution particulière correspondant à la condition initiale donnée.
Dans la solution générale, au lieu de « X » nous remplaçons zéro, et au lieu de « Y » nous remplaçons le logarithme de deux :

Conception plus familière :

Nous substituons la valeur trouvée de la constante dans la solution générale.

Répondre: solution privée :

Vérifier : Vérifions d’abord si la condition initiale est remplie :
- tout bouge.

Vérifions maintenant si la solution particulière trouvée satisfait à l’équation différentielle. Trouver la dérivée :

Regardons l'équation originale : – il est présenté en différentiels. Il existe deux façons de vérifier. Il est possible d'exprimer la différentielle à partir de la dérivée trouvée :

Remplaçons la solution particulière trouvée et le différentiel résultant dans l'équation d'origine :

Nous utilisons l'identité logarithmique de base :

L’égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution particulière a été trouvée correctement.

La deuxième méthode de vérification est en miroir et plus familière : à partir de l'équation Exprimons la dérivée, pour ce faire on divise tous les morceaux par :

Et dans le DE transformé, nous substituons la solution partielle obtenue et la dérivée trouvée. Grâce aux simplifications, l'égalité correcte devrait également être obtenue.

Exemple 6

Résoudre l’équation différentielle. Présentez la réponse sous la forme d’une intégrale générale.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Quelles difficultés nous guettent lors de la résolution d’équations différentielles à variables séparables ?

1) Il n’est pas toujours évident (surtout pour une « théière ») que les variables puissent être séparées. Considérons un exemple conditionnel : . Ici, vous devez retirer les facteurs entre parenthèses : et séparer les racines : . Ce qu’il faut faire ensuite est clair.

2) Difficultés avec l'intégration elle-même. Les intégrales ne sont souvent pas les plus simples, et s'il y a des défauts dans les capacités de recherche intégrale indéfinie, alors ce sera difficile avec de nombreux diffuseurs. De plus, la logique « puisque l'équation différentielle est simple, alors au moins que les intégrales soient plus compliquées » est populaire parmi les compilateurs de collections et de manuels de formation.

3) Transformations avec une constante. Comme chacun l'a remarqué, la constante dans les équations différentielles peut être manipulée assez librement, et certaines transformations ne sont pas toujours claires pour un débutant. Regardons un autre exemple conditionnel : . Il est conseillé de multiplier tous les termes par 2 : . La constante résultante est également une sorte de constante, qui peut être notée : . Oui, et comme il y a un logarithme sur le côté droit, alors il convient de réécrire la constante sous la forme d'une autre constante : .

Le problème est qu’ils ne se soucient souvent pas des index et utilisent la même lettre. En conséquence, le dossier de décision prend la forme suivante :

Quel genre d'hérésie ? Il y a des erreurs là ! À proprement parler, oui. Cependant, d'un point de vue substantiel, il n'y a pas d'erreurs, car à la suite de la transformation d'une constante variable, une constante variable est toujours obtenue.

Ou un autre exemple, supposons qu'au cours de la résolution de l'équation, une intégrale générale soit obtenue. Cette réponse a l'air moche, il est donc conseillé de changer le signe de chaque terme : . Formellement, il y a une autre erreur ici : elle devrait être écrite à droite. Mais de manière informelle, il est sous-entendu que « moins ce » est toujours une constante ( ce qui peut tout aussi bien prendre n'importe quel sens !), donc mettre un « moins » n’a pas de sens et vous pouvez utiliser la même lettre.

J'essaierai d'éviter une approche imprudente, tout en attribuant différents indices aux constantes lors de leur conversion.

Exemple 7

Résoudre l’équation différentielle. Effectuer une vérification.

Solution: Cette équation permet de séparer les variables. On sépare les variables :

Intégrons :

Il n'est pas nécessaire de définir ici la constante comme un logarithme, car cela n'apportera rien d'utile.

Répondre: intégrale générale :

Vérifier : Différencier la réponse (fonction implicite) :

On se débarrasse des fractions en multipliant les deux termes par :

L'équation différentielle originale a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale générale a été trouvée correctement.

Exemple 8

Trouver une solution particulière du DE.
,

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Le seul indice est qu'ici vous obtiendrez une intégrale générale et, plus correctement, vous devrez vous efforcer de trouver non pas une solution particulière, mais intégrale partielle. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Équation différentielle ordinaire est une équation qui relie une variable indépendante, une fonction inconnue de cette variable et ses dérivées (ou différentielles) d'ordres divers.

L'ordre de l'équation différentielle est appelé l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'il contient.

En plus des équations aux dérivées partielles ordinaires, les équations aux dérivées partielles sont également étudiées. Ce sont des équations mettant en relation des variables indépendantes, une fonction inconnue de ces variables et ses dérivées partielles par rapport aux mêmes variables. Mais nous ne considérerons que équations différentielles ordinaires et par conséquent, par souci de concision, nous omettrons le mot « ordinaire ».

Exemples d'équations différentielles :

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'équation (1) est du quatrième ordre, l'équation (2) est du troisième ordre, les équations (3) et (4) sont du deuxième ordre, l'équation (5) est du premier ordre.

Équation différentielle nème ordre ne doit pas nécessairement contenir une fonction explicite, toutes ses dérivées du premier au n-ième ordre et variable indépendante. Il ne peut pas contenir de dérivées explicites de certains ordres, d'une fonction ou d'une variable indépendante.

Par exemple, dans l'équation (1), il n'y a clairement pas de dérivées du troisième et du second ordre, ni de fonction ; dans l'équation (2) - la dérivée du second ordre et la fonction ; dans l'équation (4) - la variable indépendante ; dans l'équation (5) - fonctions. Seule l'équation (3) contient explicitement toutes les dérivées, la fonction et la variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle chaque fonction est appelée y = f(x), lorsqu'il est substitué dans l'équation, il se transforme en identité.

Le processus de recherche d'une solution à une équation différentielle est appelé son intégration.

Exemple 1. Trouvez la solution de l'équation différentielle.

Solution. Écrivons cette équation sous la forme . La solution est de trouver la fonction à partir de sa dérivée. La fonction originale, comme le sait le calcul intégral, est une primitive de, c'est-à-dire

C'est ça solution à cette équation différentielle . Changer dedans C, nous obtiendrons différentes solutions. Nous avons découvert qu’il existe un nombre infini de solutions à une équation différentielle du premier ordre.

Solution générale de l'équation différentielle n L’ordre est sa solution, exprimée explicitement par rapport à la fonction inconnue et contenant n constantes arbitraires indépendantes, c'est-à-dire

La solution de l'équation différentielle de l'exemple 1 est générale.

Solution partielle de l'équation différentielle une solution dans laquelle des constantes arbitraires reçoivent des valeurs numériques spécifiques est appelée.

Exemple 2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle et une solution particulière pour .

Solution. Intégrons les deux côtés de l'équation un nombre de fois égal à l'ordre de l'équation différentielle.

,

.

En conséquence, nous avons reçu une solution générale -

d’une équation différentielle du troisième ordre donnée.

Trouvons maintenant une solution particulière dans les conditions spécifiées. Pour ce faire, remplacez leurs valeurs au lieu de coefficients arbitraires et obtenez

.

Si, en plus de l'équation différentielle, la condition initiale est donnée sous la forme , alors un tel problème est appelé Problème de Cauchy . Remplacez les valeurs et dans la solution générale de l'équation et trouvez la valeur d'une constante arbitraire C, puis une solution particulière de l'équation pour la valeur trouvée C. C'est la solution au problème de Cauchy.

Exemple 3. Résolvez le problème de Cauchy pour l'équation différentielle de l'exemple 1 sous réserve de .

Solution. Remplaçons les valeurs de la condition initiale dans la solution générale oui = 3, x= 1. On obtient

Nous écrivons la solution du problème de Cauchy pour cette équation différentielle du premier ordre :

La résolution d’équations différentielles, même les plus simples, nécessite de bonnes compétences en intégration et en dérivées, y compris les fonctions complexes. Cela peut être vu dans l’exemple suivant.

Exemple 4. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle.

Solution. L’équation est écrite sous une forme telle que vous pouvez immédiatement intégrer les deux côtés.

.

Nous appliquons la méthode d'intégration par changement de variable (substitution). Qu'il en soit ainsi.

Obligatoire de prendre dx et maintenant - attention - nous faisons cela selon les règles de différenciation d'une fonction complexe, puisque x et il y a une fonction complexe (« pomme » est l'extraction d'une racine carrée ou, ce qui revient au même, élever à la puissance « la moitié », et « viande hachée » est l'expression même sous la racine) :

On retrouve l'intégrale :

Revenir à la variable x, on obtient :

.

C'est la solution générale de cette équation différentielle du premier degré.

Non seulement les compétences des sections précédentes de mathématiques supérieures seront nécessaires pour résoudre des équations différentielles, mais également les compétences de l'élémentaire, c'est-à-dire les mathématiques scolaires. Comme déjà mentionné, dans une équation différentielle d'un ordre quelconque, il ne peut y avoir de variable indépendante, c'est-à-dire une variable x. La connaissance des proportions de l'école qui n'ont pas été oubliées (cependant, selon qui) de l'école aidera à résoudre ce problème. C'est l'exemple suivant.