Tableau des intégrales complète les cas particuliers. Primitive

Listons les intégrales de fonctions élémentaires, qui sont parfois appelés tabulaires :

N'importe laquelle des formules ci-dessus peut être prouvée en prenant la dérivée du membre de droite (le résultat sera l'intégrande).

Méthodes d'intégration

Examinons quelques méthodes d'intégration de base. Ceux-ci incluent :

1. Méthode de décomposition(intégration directe).

Cette méthode est basée sur l'utilisation directe d'intégrales tabulaires, ainsi que sur l'utilisation des propriétés 4 et 5 de l'intégrale indéfinie (c'est-à-dire retirer le facteur constant et/ou représenter l'intégrande comme une somme de fonctions - expansion fonction intégrande en termes).

Exemple 1. Par exemple, pour trouver(dx/x 4) vous pouvez utiliser directement l'intégrale de table pourx n dx. En fait,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Regardons quelques exemples supplémentaires.

Exemple 2. Pour le trouver, on utilise la même intégrale :

Exemple 3. Pour le trouver, vous devez prendre

Exemple 4. Pour trouver, nous représentons la fonction intégrande sous la forme et utilisez l'intégrale de table pour la fonction exponentielle :

Considérons l'utilisation du bracketing comme un facteur constant.

Exemple 5.Trouvons, par exemple . En considérant cela, on obtient

Exemple 6. Nous le trouverons. Parce que , utilisons l'intégrale de table Nous obtenons

Dans les deux exemples suivants, vous pouvez également utiliser des parenthèses et des intégrales de tableau :

Exemple 7.

(nous utilisons et );

Exemple 8.

(nous utilisons Et ).

Examinons des exemples plus complexes qui utilisent l'intégrale somme.

Exemple 9. Par exemple, trouvons
. Pour appliquer la méthode d'expansion au numérateur, nous utilisons la formule du cube somme , puis divisons le polynôme résultant par le dénominateur, terme par terme.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Il est à noter qu'à la fin de la solution une constante commune C est écrite (et non distinctes lors de l'intégration de chaque terme). À l'avenir, il est également proposé d'omettre les constantes de l'intégration des termes individuels dans le processus de résolution, à condition que l'expression contienne au moins un intégrale indéfinie(nous écrirons une constante à la fin de la solution).

Exemple 10. Nous trouverons . Pour résoudre ce problème, factorisons le numérateur (après cela nous pouvons réduire le dénominateur).

Exemple 11. Nous le trouverons. Les identités trigonométriques peuvent être utilisées ici.

Parfois, pour décomposer une expression en termes, il faut utiliser des techniques plus complexes.

Exemple 12. Nous trouverons . Dans l'intégrande on sélectionne toute la partie de la fraction . Alors

Exemple 13. Nous trouverons

2. Méthode de remplacement des variables (méthode de substitution)

La méthode est basée sur la formule suivante : f(x)dx=f((t))`(t)dt, où x =(t) est une fonction différentiable sur l'intervalle considéré.

Preuve. Trouvons les dérivées par rapport à la variable t des côtés gauche et droit de la formule.

Notez que sur le côté gauche se trouve une fonction complexe dont l’argument intermédiaire est x = (t). Par conséquent, pour la différencier par rapport à t, nous différencions d’abord l’intégrale par rapport à x, puis prenons la dérivée de l’argument intermédiaire par rapport à t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Dérivé du côté droit :

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Puisque ces dérivées sont égales, par corollaire du théorème de Lagrange, les côtés gauche et droit de la formule à prouver diffèrent d’une certaine constante. Puisque les intégrales indéfinies elles-mêmes sont définies jusqu'à un terme constant indéfini, cette constante peut être omise de la notation finale. Éprouvé.

Un changement de variable réussi permet de simplifier l'intégrale d'origine et, dans les cas les plus simples, de la réduire à une intégrale tabulaire. Dans l'application de cette méthode, une distinction est faite entre les méthodes de substitution linéaire et non linéaire.

a) Méthode de substitution linéaire Regardons un exemple.

Exemple 1.
. Soit t= 1 – 2x, alors

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Il convient de noter que la nouvelle variable n'a pas besoin d'être écrite explicitement. Dans de tels cas, on parle de transformer une fonction sous le signe différentiel ou d'introduire des constantes et des variables sous le signe différentiel, c'est-à-dire Ô remplacement de variable implicite.

Exemple 2. Par exemple, trouvonscos(3x + 2)dx. Par les propriétés du différentiel dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), alorscos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Dans les deux exemples considérés, la substitution linéaire t=kx+b(k0) a été utilisée pour trouver les intégrales.

DANS cas général le théorème suivant est vrai.

Théorème de substitution linéaire. Soit F(x) une primitive de la fonction f(x). Alorsf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, où k et b sont des constantes,k0.

Preuve.

Par définition de l'intégrale f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Retirons le facteur constant k du signe intégral : kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nous pouvons maintenant diviser les côtés gauche et droit de l’égalité en deux et obtenir l’énoncé à prouver jusqu’à la désignation du terme constant.

Ce théorème stipule que si dans la définition de l'intégrale f(x)dx= F(x) + C à la place de l'argument x on substitue l'expression (kx+b), cela conduira à l'apparition d'un facteur 1/k devant la primitive.

En utilisant le théorème prouvé, nous résolvons les exemples suivants.

Exemple 3.

Nous trouverons . Ici kx+b= 3 –x, c'est-à-dire k= -1,b= 3. Alors

Exemple 4.

Nous le trouverons. Icikx+b= 4x+ 3, soit k= 4,b= 3. Alors

Exemple 5.

Nous trouverons . Ici kx+b= -2x+ 7, soit k= -2,b= 7. Alors

Exemple 6. Nous trouverons
. Ici kx+b= 2x+ 0, c'est-à-dire k= 2,b= 0.

Comparons le résultat obtenu avec l'exemple 8, qui a été résolu par la méthode de décomposition. En résolvant le même problème en utilisant une méthode différente, nous avons obtenu la réponse
. Comparons les résultats : Ainsi, ces expressions diffèrent les unes des autres par un terme constant , c'est-à-dire Les réponses reçues ne se contredisent pas.

Exemple 7. Nous trouverons
. Sélectionnons un carré parfait au dénominateur.

Dans certains cas, la modification d'une variable ne réduit pas directement l'intégrale à une intégrale tabulaire, mais peut simplifier la solution, permettant d'utiliser la méthode d'expansion à une étape ultérieure.

Exemple 8. Par exemple, trouvons . Remplacez t=x+ 2, puis dt=d(x+ 2) =dx. Alors

où C = C 1 – 6 (en remplaçant l'expression (x+ 2) au lieu des deux premiers termes, nous obtenons ½x 2 -2x– 6).

Exemple 9. Nous trouverons
. Soit t= 2x+ 1, alors dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Remplaçons t par l'expression (2x+ 1), ouvrons les parenthèses et donnons des similaires.

Notez qu'au cours du processus de transformations, nous sommes passés à un autre terme constant, car le groupe de termes constants pourrait être omis lors du processus de transformation.

b) Méthode de substitution non linéaire Regardons un exemple.

Exemple 1.
. Soit= -x 2. Ensuite, on pourrait exprimer x en fonction de t, puis trouver une expression pour dx et implémenter un changement de variable dans l'intégrale souhaitée. Mais dans dans ce cas Il est plus facile de procéder différemment. Trouvons dt=d(-x 2) = -2xdx. Notez que l'expression xdx est un facteur de l'intégrande de l'intégrale souhaitée. Exprimons-le à partir de l'égalité résultantexdx= - ½dt. Alors

Fonction primitive et intégrale indéfinie

Fait 1. L'intégration est l'action inverse de la différenciation, à savoir la restauration d'une fonction à partir de la dérivée connue de cette fonction. La fonction ainsi restaurée F(x) s'appelle primitive pour la fonction f(x).

Définition 1. Fonction F(x f(x) sur un certain intervalle X, si pour toutes les valeurs xà partir de cet intervalle l'égalité est vraie F "(x)=f(x), c'est-à-dire cette fonction f(x) est la dérivée de la fonction primitive F(x). .

Par exemple, la fonction F(x) = péché x est une primitive de la fonction f(x) = cos x sur toute la droite numérique, puisque pour toute valeur de x (péché x)" = (car x) .

Définition 2. Intégrale indéfinie d'une fonction f(x) est l'ensemble de toutes ses primitives. Dans ce cas, la notation est utilisée

∫

f(x)dx

où est le signe ∫ appelée signe intégral, la fonction f(x) – fonction intégrande, et f(x)dx – expression intégrande.

Ainsi, si F(x) – une primitive pour f(x) , Que

∫

f(x)dx = F(x) +C

Où C - constante arbitraire (constante).

Pour comprendre la signification de l’ensemble des primitives d’une fonction en tant qu’intégrale indéfinie, l’analogie suivante est appropriée. Qu'il y ait une porte (traditionnelle porte en bois). Sa fonction est « d’être une porte ». De quoi est faite la porte ? Fabriqué en bois. Cela signifie que l'ensemble des primitives de l'intégrande de la fonction « être une porte », c'est-à-dire son intégrale indéfinie, est la fonction « être un arbre + C », où C est une constante, qui dans ce contexte peut désignent, par exemple, le type d'arbre. Tout comme une porte est fabriquée à partir de bois à l'aide de certains outils, une dérivée d'une fonction est « fabriquée » à partir d'une fonction primitive à l'aide de formules que nous avons apprises en étudiant la dérivée .

Ensuite, le tableau des fonctions des objets communs et leurs primitives correspondantes (« être une porte » - « être un arbre », « être une cuillère » - « être du métal », etc.) est similaire au tableau des fonctions de base intégrales indéfinies, qui seront données ci-dessous. Le tableau des intégrales indéfinies répertorie les fonctions communes, indiquant les primitives à partir desquelles ces fonctions sont « faites ». Dans une partie des problèmes de recherche de l'intégrale indéfinie, on donne des intégrandes qui peuvent être intégrées directement sans trop d'effort, c'est-à-dire en utilisant le tableau des intégrales indéfinies. Dans des problèmes plus complexes, l'intégrande doit d'abord être transformée afin que les intégrales de table puissent être utilisées.

Fait 2. Lors de la restauration d'une fonction en primitive, il faut prendre en compte une constante arbitraire (constante) C, et afin de ne pas écrire une liste de primitives avec diverses constantes de 1 à l'infini, vous devez écrire un ensemble de primitives avec une constante arbitraire C, par exemple, comme ceci : 5 x³+C. Ainsi, une constante arbitraire (constante) est incluse dans l'expression de la primitive, puisque la primitive peut être une fonction, par exemple 5 x³+4 ou 5 x³+3 et une fois différencié, 4 ou 3, ou toute autre constante tend vers zéro.

Posons le problème d'intégration : pour cette fonction f(x) trouver une telle fonction F(x), dont le dérivéégal à f(x).

Exemple 1. Trouver l'ensemble des primitives d'une fonction

Solution. Pour cette fonction, la primitive est la fonction

Fonction F(x) est appelée primitive de la fonction f(x), si la dérivée F(x) est égal à f(x), ou, ce qui revient au même, différentiel F(x) est égal f(x) dx, c'est-à-dire

(2)

La fonction est donc une primitive de la fonction. Cependant, ce n’est pas la seule primitive de . Ils remplissent également des fonctions

Où AVEC– constante arbitraire. Cela peut être vérifié par différenciation.

Ainsi, s'il existe une primitive pour une fonction, alors il existe pour elle un nombre infini de primitives qui diffèrent par un terme constant. Toutes les primitives d’une fonction sont écrites sous la forme ci-dessus. Cela découle du théorème suivant.

Théorème (énoncé formel du fait 2). Si F(x) – primitive de la fonction f(x) sur un certain intervalle X, puis toute autre primitive pour f(x) sur le même intervalle peut être représenté sous la forme F(x) + C, Où AVEC– constante arbitraire.

Dans l'exemple suivant, nous nous tournons vers le tableau des intégrales, qui sera donné au paragraphe 3, après les propriétés de l'intégrale indéfinie. Nous faisons cela avant de lire l'intégralité du tableau afin que l'essence de ce qui précède soit claire. Et après la table et les propriétés, nous les utiliserons dans leur intégralité lors de l'intégration.

Exemple 2. Trouver des ensembles de primitives différentes fonctions:

Solution. On retrouve des ensembles de fonctions primitives à partir desquelles ces fonctions sont « faites ». Lorsque vous mentionnez des formules du tableau des intégrales, acceptez pour l'instant qu'il existe de telles formules là-bas, et nous étudierons un peu plus loin le tableau des intégrales indéfinies lui-même.

1) Application de la formule (7) du tableau des intégrales pour n= 3, on obtient

2) En utilisant la formule (10) du tableau des intégrales pour n= 1/3, on a

3) Depuis

puis selon la formule (7) avec n= -1/4 on trouve

Ce n'est pas la fonction elle-même qui s'écrit sous le signe intégral. f, et son produit par le différentiel dx. Ceci est fait principalement afin d'indiquer par quelle variable la primitive est recherchée. Par exemple,

, ;

ici dans les deux cas l'intégrande est égale à , mais ses intégrales indéfinies dans les cas considérés s'avèrent différentes. Dans le premier cas, cette fonction est considérée comme fonction de la variable x, et dans le second - en fonction de z .

Le processus de recherche de l’intégrale indéfinie d’une fonction est appelé intégration de cette fonction.

Signification géométrique de l'intégrale indéfinie

Supposons que nous devions trouver une courbe y=F(x) et on sait déjà que la tangente de l'angle tangent en chacun de ses points est une fonction donnée f(x) abscisse de ce point.

D'après le sens géométrique de la dérivée, la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente en un point donné de la courbe y=F(x)égal à la valeur du dérivé F"(x). Il faut donc trouver une telle fonction F(x), pour lequel F"(x)=f(x). Fonction requise dans la tâche F(x) est une primitive de f(x). Les conditions du problème ne sont pas satisfaites par une seule courbe, mais par une famille de courbes. y=F(x)- une de ces courbes, et toute autre courbe peut en être obtenue par translation parallèle le long de l'axe Oy.

Appelons le graphe de la fonction primitive de f(x) courbe intégrale. Si F"(x)=f(x), puis le graphique de la fonction y=F(x) il existe une courbe intégrale.

Fait 3. L'intégrale indéfinie est représentée géométriquement par la famille de toutes les courbes intégrales , comme sur l'image ci-dessous. La distance de chaque courbe à l'origine des coordonnées est déterminée par une constante d'intégration arbitraire C.

Propriétés de l'intégrale indéfinie

Fait 4. Théorème 1. La dérivée d'une intégrale indéfinie est égale à l'intégrande, et sa différentielle est égale à l'intégrande.

Fait 5. Théorème 2. Intégrale indéfinie de la différentielle d'une fonction f(x) est égal à la fonction f(x) jusqu'à un terme constant , c'est-à-dire

(3)

Les théorèmes 1 et 2 montrent que la différenciation et l'intégration sont des opérations mutuellement inverses.

Fait 6. Théorème 3. Le facteur constant dans l'intégrande peut être retiré du signe de l'intégrale indéfinie , c'est-à-dire

Intégrales principales que tout étudiant devrait connaître

Les intégrales répertoriées sont la base, la base des fondamentaux. Ces formules doivent absolument être rappelées. Lors du calcul d'intégrales plus complexes, vous devrez les utiliser constamment.

S'il vous plaît payer attention particulière aux formules (5), (7), (9), (12), (13), (17) et (19). N'oubliez pas d'ajouter une constante arbitraire C à votre réponse lors de l'intégration !

Intégrale d'une constante

∫ UNE ré x = UNE X + C (1)

Intégration d'une fonction de puissance

En fait, il était possible de se limiter aux seules formules (5) et (7), mais le reste des intégrales de ce groupe apparaît si souvent qu'il vaut la peine d'y prêter un peu d'attention.

∫ x ré x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 ré x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x ré x = ln | X | +C (5)
∫ 1 x 2 ré x = − 1 x + C (6)
∫ x n ré x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Intégrales de fonctions exponentielles et de fonctions hyperboliques

Bien entendu, la formule (8) (peut-être la plus pratique pour la mémorisation) peut être considérée comme cas particulier formules (9). Les formules (10) et (11) pour les intégrales du sinus hyperbolique et du cosinus hyperbolique sont facilement dérivées de la formule (8), mais il est préférable de simplement se souvenir de ces relations.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x ré x = c h x + C (10)
∫ c h x ré x = s h x + C (11)

Intégrales de base des fonctions trigonométriques

Une erreur que font souvent les élèves est de confondre les signes dans les formules (12) et (13). En se rappelant que la dérivée du sinus est égale au cosinus, pour une raison quelconque, beaucoup de gens croient que l'intégrale de la fonction sinx est égale à cosx. Ce n'est pas vrai ! L'intégrale du sinus est égale à « moins le cosinus », mais l'intégrale de cosx est égale à « juste le sinus » :

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = péché x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 péché 2 x d x = − c t g x + C (15)

Intégrales qui se réduisent à des fonctions trigonométriques inverses

La formule (16), conduisant à l'arctangente, est naturellement un cas particulier de la formule (17) pour a=1. De même, (18) est un cas particulier de (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Intégrales plus complexes

Il convient également de retenir ces formules. Ils sont également utilisés assez souvent et leur production est assez fastidieuse.

∫ 1 x 2 + une 2 ré x = ln |
x + x 2 + une 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − une 2 ré x = ln |
X + X 2 − une 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + une 2 ré x = x 2 x 2 + une 2 + une 2 2 ln |

x + x 2 + une 2 | + C (a > 0) (23) ∫ X 2 − une 2 ré X = X 2 X 2 − une 2 − une 2 2 ln | X + X 2 − une 2 | + C (a > 0) (24)

Règles générales d'intégration

1) Intégrale de la somme de deux fonctions

égal à la somme

intégrales correspondantes : ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) L'intégrale de la différence de deux fonctions est égale à la différence des intégrales correspondantes : ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

Important : il n'existe pas de formule universelle pour l'intégrale du produit de deux fonctions, ainsi que pour l'intégrale d'une fraction :

∫ f (x) g (x) d x = ?

(30)

Cela ne signifie bien entendu pas qu’une fraction ou un produit ne puisse pas être intégré. C’est juste que chaque fois que vous verrez une intégrale comme (30), vous devrez inventer un moyen de la « combattre ». Dans certains cas, l'intégration par parties vous aidera, dans d'autres vous devrez faire un changement de variable, et parfois même des formules d'algèbre ou de trigonométrie « scolaire » peuvent vous aider.

Un exemple simple de calcul de l'intégrale indéfinie

Exemple 1. Trouver l'intégrale : ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Utilisons les formules (25) et (26) (l'intégrale de la somme ou de la différence des fonctions est égale à la somme ou de la différence des intégrales correspondantes. On obtient : ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 j x

Rappelons que la constante peut être soustraite du signe intégral (formule (27)). L'expression est convertie sous la forme 3 ∫ x 2 ré x + 2 ∫ péché x ré x − 7 ∫ e x ré x + 12 ∫ 1 ré x Utilisons maintenant simplement le tableau des intégrales de base. Nous devrons appliquer les formules (3), (12), (8) et (1). Intégrons

fonction de puissance

, sinus, exponentiel et constante 1. N'oublions pas d'ajouter une constante arbitraire C à la fin : 3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C Après

transformations élémentaires

nous obtenons la réponse finale :

X 3 − 2 cos X − 7 e X + 12 X + C

Testez-vous par différenciation : prenez la dérivée de la fonction résultante et assurez-vous qu'elle est égale à l'intégrande d'origine.

Tableau récapitulatif des intégrales

∫ UNE ré x = UNE X + C

∫ x ré x = x 2 2 + C

∫ x 2 ré x = x 3 3 + C

∫ 1 x ré x = 2 x + C

∫ 1 x ré x = ln | X | +C

∫ 1 x 2 ré x = − 1 x + C

∫ x n ré x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x ré x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x ré x = c h x + C

∫ c h x ré x = s h x + C

∫ péché x ré x = − cos x + C

∫ cos x d x = péché x + C

∫ 1 cos 2 x ré x = t g x + C

∫ 1 péché 2 x ré x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 ré x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + une 2 = 1 une a r c t g x une + C (une ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 une 2 − x 2 ré x = arcsin x une + C = − arccos x une + C (une > 0)

∫ 1 x 2 + une 2 ré x = ln |

∫ x 2 + une 2 ré x = x 2 x 2 + une 2 + une 2 2 ln |

x + x 2 + une 2 | + C (a > 0)

∫ X 2 − une 2 ré X = X 2 X 2 − une 2 − une 2 2 ln |

X + X 2 − une 2 | + C (a > 0)

Téléchargez le tableau des intégrales (partie II) à partir de ce lien

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L'intégration n'est pas difficile à apprendre. Pour ce faire, il suffit d'apprendre un certain ensemble de règles assez restreintes et de développer une sorte d'instinct. Il est certes facile d'apprendre les règles et les formules, mais il est assez difficile de comprendre où et quand appliquer telle ou telle règle d'intégration ou de différenciation. Il s’agit en fait de la capacité d’intégration.

1. Primitive. Intégrale indéfinie. On suppose qu’au moment de lire cet article, le lecteur possède déjà certaines compétences de différenciation (c’est-à-dire trouver des dérivées).

Définition 1.1 : Une fonction est appelée primitive d’une fonction si l’égalité est vraie : Commentaires :> L'accent mis dans le mot « primordial » peut être mis de deux manières : d'abord Ô figuratif ou prototype

UN connaissance.

Propriété 1 : Si une fonction est une primitive d’une fonction, alors la fonction est également une primitive d’une fonction.

Preuve: Prouvons-le à partir de la définition d'une primitive. Trouvons la dérivée de la fonction : Le premier terme de

.

définition 1.1

est égal à , et le deuxième terme est la dérivée de la constante, qui est égale à 0.

Résumons. Écrivons le début et la fin de la chaîne des égalités : Ainsi, la dérivée d’une fonction est égale à , et donc, par définition, est sa primitive. La propriété a été prouvée.

.

Définition 1.2 :

L'intégrale indéfinie d'une fonction est l'ensemble des primitives de cette fonction. Ceci est indiqué comme suit :

Examinons en détail les noms de chaque partie de l'enregistrement :

— désignation générale de l'intégrale,

Définition 1.1 :— expression intégrande (intégrande), fonction intégrable.

est une différentielle, et l'expression après la lettre , dans ce cas c'est , sera appelée la variable d'intégration. Afin de vérifier si l'intégrale est correctement calculée, il est nécessaire de trouver la dérivée du résultat. Il doit coïncider avec l'intégrande.
Exemple:
Exercice: Calculez l’intégrale indéfinie et vérifiez.

Solution:

La manière dont cette intégrale est calculée n’a pas d’importance dans ce cas. Supposons qu'il s'agisse d'une révélation venant d'en haut. Notre tâche est de montrer que la révélation ne nous a pas trompés, et cela peut se faire par vérification.

Examen:

En différenciant le résultat, nous avons obtenu un intégrande, ce qui signifie que l'intégrale a été calculée correctement.

2. Début. Tableau des intégrales.

Pour intégrer, vous n'avez pas besoin de vous souvenir à chaque fois de la fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donnée (c'est-à-dire d'utiliser directement la définition de l'intégrale). Chaque recueil de problèmes ou manuel d'analyse mathématique contient une liste de propriétés des intégrales et un tableau des intégrales les plus simples.

Listons les propriétés.

Propriétés:
1.
L'intégrale du différentiel est égale à la variable d'intégration.
2. , où est une constante.
Le multiplicateur constant peut être retiré du signe intégral.

3.
L'intégrale d'une somme est égale à la somme des intégrales (si le nombre de termes est fini).
Tableau des intégrales :

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Le plus souvent, la tâche consiste à réduire l'intégrale étudiée à une intégrale tabulaire à l'aide de propriétés et de formules.

Exemple:

[Utilisons la troisième propriété des intégrales et écrivons-la comme une somme de trois intégrales.]

[Utilisons la deuxième propriété et déplaçons les constantes au-delà du signe d'intégration.]

[ Dans la première intégrale on utilisera l'intégrale de table n°1 (n=2), dans la seconde on utilisera la même formule, mais n=1, et pour la troisième intégrale on pourra soit utiliser la même intégrale de table, mais avec n=0, ou la première propriété ]
.
Vérifions par différenciation :

L'intégrande d'origine a été obtenue, l'intégration a donc été effectuée sans erreurs (et l'ajout d'une constante arbitraire C n'a même pas été oubliée).

Les intégrales de table doivent être apprises par cœur pour une raison simple : afin de savoir vers quoi s'efforcer, c'est-à-dire connaître le but de transformer une expression donnée.

Voici quelques exemples supplémentaires :
1)
2)
3)

Tâches pour une solution indépendante :

Tâche 1. Calculez l'intégrale indéfinie :

+ Afficher/masquer l'indice n°1.

1) Utilisez la troisième propriété et représentez cette intégrale comme la somme de trois intégrales.

+ Afficher/masquer l'indice n°2.

+ Afficher/masquer l'indice n°3.

3) Pour les deux premiers termes, utilisez la première intégrale tabulaire, et pour le troisième, utilisez la deuxième intégrale tabulaire.

+ Afficher/masquer la solution et la réponse.

4) Solutions :

Répondre:

Dans un document antérieur, la question de la recherche du dérivé a été examinée et son diverses applications: calculer le coefficient angulaire d'une tangente à un graphe, résoudre des problèmes d'optimisation, étudier les fonctions de monotonie et d'extrema. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Graphique 1.

Le problème de trouver la vitesse instantanée $v(t)$ en utilisant la dérivée le long d'un chemin parcouru préalablement connu, exprimé par la fonction $s(t)$, a également été envisagé.

Graphique 2.

Le problème inverse est également très courant, lorsqu'il faut trouver le chemin $s(t)$ parcouru par un instant $t$, connaissant la vitesse du point $v(t)$. Si l'on rappelle, la vitesse instantanée $v(t)$ se trouve comme la dérivée de la fonction chemin $s(t)$ : $v(t)=s'(t)$. Cela signifie que pour résoudre le problème inverse, c'est-à-dire calculer le chemin, vous devez trouver une fonction dont la dérivée sera égale à la fonction vitesse. Mais on sait que la dérivée du chemin est la vitesse, soit : $s'(t) = v(t)$. La vitesse est égale à l'accélération multipliée par le temps : $v=at$. Il est facile de déterminer que la fonction de chemin souhaitée aura la forme : $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Mais ce n’est pas une solution tout à fait complète. La solution complète aura la forme : $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, où $C$ est une constante. La raison pour laquelle il en est ainsi sera discutée plus loin. Pour l'instant, vérifions l'exactitude de la solution trouvée : $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =à=v( t)$.

Il convient de noter que trouver un chemin basé sur la vitesse est signification physique primitive.

La fonction résultante $s(t)$ est appelée la primitive de la fonction $v(t)$. Assez intéressant et nom inhabituel, n'est-ce pas ? Il contient beaucoup de sens qui explique l'essence cette notion et conduit à sa compréhension. Vous remarquerez qu'il contient deux mots « premier » et « image ». Ils parlent pour eux-mêmes. Autrement dit, c'est la fonction qui est la fonction initiale de la dérivée que nous avons. Et en utilisant cette dérivée, nous recherchons la fonction qui était au début, était « première », « première image », c'est-à-dire primitive. On l'appelle parfois aussi fonction primitive ou primitive.

Comme nous le savons déjà, le processus de recherche de la dérivée est appelé différenciation. Et le processus de recherche de la primitive est appelé intégration. L’opération d’intégration est l’opération inverse de l’opération de différenciation. L’inverse est également vrai.

Définition. Une primitive d'une fonction $f(x)$ sur un certain intervalle est une fonction $F(x)$ dont la dérivée est égale à cette fonction $f(x)$ pour tous les $x$ de l'intervalle spécifié : $F' (x)=f (x)$.

Quelqu'un peut avoir une question : d'où viennent $F(x)$ et $f(x)$ dans la définition, si au départ on parlait de $s(t)$ et $v(t)$. Le fait est que $s(t)$ et $v(t)$ sont des cas particuliers de désignation de fonction qui ont une signification spécifique dans ce cas, c'est-à-dire qu'ils sont respectivement fonction du temps et de la vitesse. C'est la même chose avec la variable $t$ : elle indique le temps. Et $f$ et $x$ – version traditionnelle désignation générale d'une fonction et d'une variable, respectivement. Il convient de prêter une attention particulière à la notation de la primitive $F(x)$. Tout d’abord, $F$ est le capital. Les dérivés sont désignés en majuscules. Deuxièmement, les lettres sont les mêmes : $F$ et $f$. Autrement dit, pour la fonction $g(x)$, la primitive sera notée $G(x)$, pour $z(x)$ – par $Z(x)$. Quelle que soit la notation, les règles pour trouver une fonction primitive sont toujours les mêmes.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1. Montrer que la fonction $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ est une primitive de la fonction $f(x)=\cos5x$.

Pour le prouver, nous utiliserons la définition, et plus précisément le fait que $F'(x)=f(x)$, et trouvez la dérivée de la fonction $F(x)$ : $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)'= \frac (1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Cela signifie que $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ est la primitive de $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Exemple 2. Trouvez quelles fonctions correspondent aux primitives suivantes : a) $F(z)=\tg z$ ; b) $G(l) = \sin l$.

Pour trouver les fonctions recherchées, calculons leurs dérivées :
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$ ;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

Exemple 3. Quelle sera la primitive de $f(x)=0$ ?
Utilisons la définition. Pensons à quelle fonction peut avoir une dérivée égale à $0$. En rappelant le tableau des dérivées, nous constatons que toute constante aura une telle dérivée. Nous trouvons que la primitive que nous recherchons est : $F(x)= C$.

La solution résultante peut être expliquée géométriquement et physiquement. Géométriquement, cela signifie que la tangente au graphique $y=F(x)$ est horizontale en chaque point de ce graphique et coïncide donc avec l'axe $Ox$. Physiquement cela s'explique par le fait qu'un point ayant une vitesse égal à zéro, reste en place, c’est-à-dire que le chemin qu’il a parcouru est inchangé. Sur cette base, nous pouvons formuler le théorème suivant.

Théorème. (Signe de constance des fonctions). Si sur un intervalle $F'(x) = 0$, alors la fonction $F(x)$ sur cet intervalle est constante.

Exemple 4. Déterminer quelles fonctions sont des primitives de a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ ; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$ ; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$ ; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, où $a$ est un nombre.
En utilisant la définition d'une primitive, nous concluons que pour résoudre ce problème, nous devons calculer les dérivées des fonctions primitives qui nous sont données. Lors du calcul, n'oubliez pas que la dérivée d'une constante, c'est-à-dire d'un nombre quelconque, est égale à zéro.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$ ;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$ ;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$ ;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Que voit-on ? Plusieurs fonctions différentes sont des primitives d'une même fonction. Cela suggère que toute fonction a une infinité de primitives, et elles ont la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante arbitraire. Autrement dit, l’opération d’intégration est multivaluée, contrairement à l’opération de différenciation. Sur cette base, formulons un théorème qui décrit la propriété principale des primitives.

Théorème. (La propriété principale des primitives). Soit les fonctions $F_1$ et $F_2$ des primitives de la fonction $f(x)$ sur un certain intervalle. Ensuite, pour toutes les valeurs de cet intervalle, l'égalité suivante est vraie : $F_2=F_1+C$, où $C$ est une constante.

Le fait de la présence d’un nombre infini de primitives peut être interprété géométriquement. En utilisant la translation parallèle le long de l'axe $Oy$, on peut obtenir l'un de l'autre les graphiques de deux primitives quelconques pour $f(x)$. C'est signification géométrique primitive.

Il est très important de faire attention au fait qu'en choisissant la constante $C$, vous pouvez vous assurer que le graphique de la primitive passe par un certain point.

Graphique 3.

Exemple 5. Trouvez la primitive de la fonction $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ dont le graphique passe par le point $(3; 1)$.
Trouvons d'abord toutes les primitives de $f(x)$ : $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Ensuite, nous trouverons un nombre C pour lequel le graphe $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ passera par le point $(3; 1)$. Pour ce faire, substituons les coordonnées du point dans l'équation graphique et résolvons-la pour $C$ :
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Nous avons obtenu un graphe $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, qui correspond à la primitive $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tableau des primitives

Un tableau de formules pour trouver des primitives peut être compilé à l'aide de formules pour trouver des dérivées.

Tableau des primitives

Fonctions	Primitifs
$0$	$CAN$
$1$	$x+C$
$a\en R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln\|x\|+C$
$\péché x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsinx+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Vous pouvez vérifier l'exactitude du tableau de la manière suivante : pour chaque ensemble de primitives situées dans la colonne de droite, trouvez la dérivée, ce qui donnera les fonctions correspondantes dans la colonne de gauche.

Quelques règles pour trouver des primitives

Comme vous le savez, de nombreuses fonctions ont plus aspect complexe, plutôt que ceux indiqués dans le tableau des primitives, et peut représenter toute combinaison arbitraire de sommes et de produits de fonctions de ce tableau. Et ici la question se pose : comment calculer les primitives de telles fonctions. Par exemple, à partir du tableau, nous savons comment calculer les primitives de $x^3$, $\sin x$ et $10$. Comment, par exemple, calculer la primitive $x^3-10\sin x$ ? Pour l’avenir, il convient de noter qu’il sera égal à $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Si $F(x)$ est une primitive pour $f(x)$, $G(x)$ pour $g(x)$, alors pour $f(x)+g(x)$ la primitive sera égal à $ F(x)+G(x)$.
2. Si $F(x)$ est une primitive pour $f(x)$ et $a$ est une constante, alors pour $af(x)$ la primitive est $aF(x)$.
3. Si pour $f(x)$ la primitive est $F(x)$, $a$ et $b$ sont des constantes, alors $\frac(1)(a) F(ax+b)$ est la primitive pour $f (ax+b)$.
En utilisant les règles obtenues, nous pouvons élargir le tableau des primitives.

Fonctions	Primitifs
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln\|ax+b\|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$