2 définition de l'intégrale indéfinie et de ses propriétés. Les propriétés les plus simples des intégrales. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande

Dans cet article, nous énumérerons les principales propriétés de l'intégrale définie. La plupart de ces propriétés sont prouvées sur la base des concepts d'intégrale définie de Riemann et Darboux.

Le calcul de l'intégrale définie se fait très souvent à partir des cinq premières propriétés, nous y ferons donc référence lorsque cela sera nécessaire. Les propriétés restantes de l'intégrale définie sont principalement utilisées pour évaluer diverses expressions.

Avant de continuer propriétés de base de l'intégrale définie, convenons que a ne dépasse pas b.

Pour la fonction y = f(x) définie en x = a, l'égalité est vraie.

C'est-à-dire que la valeur d'une intégrale définie avec les mêmes limites d'intégration est égale à zéro. Cette propriété est une conséquence de la définition de l'intégrale de Riemann, puisque dans ce cas chaque somme intégrale pour toute partition de l'intervalle et tout choix de points est égale à zéro, puisque, par conséquent, la limite des sommes intégrales est nulle.

Pour une fonction intégrable sur un intervalle, .

En d’autres termes, lorsque les limites supérieure et inférieure de l’intégration changent, la valeur de l’intégrale définie change à l’opposé. Cette propriété d'intégrale définie découle également du concept d'intégrale de Riemann, seule la numérotation de la partition du segment doit commencer à partir du point x = b.

pour les fonctions intégrables sur un intervalle y = f(x) et y = g(x) .

Preuve.

Écrivons la somme intégrale de la fonction pour une partition donnée d'un segment et un choix de points donné :

où et sont les sommes intégrales des fonctions y = f(x) et y = g(x) pour une partition donnée du segment, respectivement.

Aller à la limite à nous obtenons que, par la définition de l'intégrale de Riemann, équivaut à l'énoncé de la propriété à prouver.

Le facteur constant peut être soustrait du signe de l’intégrale définie. Autrement dit, pour une fonction y = f(x) intégrable sur un intervalle et un nombre arbitraire k, l'égalité suivante est vraie : .

La preuve de cette propriété de l'intégrale définie est absolument similaire à la précédente :


Soit la fonction y = f(x) intégrable sur l'intervalle X, et et puis .

Cette propriété est vraie pour les deux , et ou .

La preuve peut être effectuée sur la base des propriétés précédentes de l'intégrale définie.

Si une fonction est intégrable sur un intervalle, alors elle est intégrable sur n'importe quel intervalle interne.

La preuve est basée sur la propriété des sommes de Darboux : si de nouveaux points sont ajoutés à une partition existante d'un segment, alors la somme de Darboux inférieure ne diminuera pas, et la somme supérieure n'augmentera pas.

Si la fonction y = f(x) est intégrable sur l'intervalle et pour toute valeur de l'argument, alors .

Cette propriété est prouvée à travers la définition de l'intégrale de Riemann : toute somme intégrale pour tout choix de points de partition du segment et de points en sera non négative (non positive).

Conséquence.

Pour les fonctions y = f(x) et y = g(x) intégrables sur un intervalle, les inégalités suivantes sont vraies :


Cette affirmation signifie que l’intégration des inégalités est permise. Nous utiliserons ce corollaire pour prouver les propriétés suivantes.

Soit la fonction y = f(x) intégrable sur l'intervalle , alors l'inégalité est vraie .

Preuve.

C'est évident que . Dans la propriété précédente, nous avons découvert que l’inégalité peut être intégrée terme par terme, donc c’est vrai . Cette double inégalité peut s’écrire .

Soient les fonctions y = f(x) et y = g(x) intégrables sur l'intervalle et pour toute valeur de l'argument , alors , Où Et .

La preuve s'effectue de la même manière. Puisque m et M sont les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction y = f(x) sur le segment , alors . Multiplier la double inégalité par une fonction non négative y = g(x) nous conduit à la double inégalité suivante. En l'intégrant sur l'intervalle, on arrive à l'énoncé en cours de preuve.

Les formules d'intégration de base sont obtenues en inversant les formules des dérivées. Par conséquent, avant de commencer à étudier le sujet en question, vous devez répéter les formules pour différencier 1 fonctions de base (c'est-à-dire rappeler le tableau des dérivées).

En se familiarisant avec le concept de primitive, la définition d'une intégrale indéfinie et en comparant les opérations de différenciation et d'intégration, l'étudiant doit prêter attention au fait que l'opération d'intégration est multivaluée, car donne un ensemble infini de primitives sur l'intervalle considéré. Cependant, en fait, le problème de trouver une seule primitive est résolu, car toutes les primitives d'une fonction donnée diffèrent les unes des autres par une valeur constante

Où C– valeur arbitraire 2.

Questions d'auto-test.

Donnez la définition d’une fonction primitive.

Qu'est-ce qu'une intégrale indéfinie ?

Qu'est-ce qu'une fonction intégrale ?

Qu'est-ce qu'un intégrande ?

Indiquer la signification géométrique de la famille des fonctions primitives.

6. Dans la famille, retrouvez la courbe passant par le point

2. Propriétés de l'intégrale indéfinie.

TABLE DES INTÉGRALES SIMPLES

Ici, les étudiants doivent apprendre les propriétés suivantes de l’intégrale indéfinie.

Propriété 1. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande de la 3ème fonction (par définition)

Propriété 2. La différentielle de l'intégrale est égale à l'intégrande

ceux. si le signe différentiel précède le signe intégral, alors ils s'annulent.

Propriété 3. Si le signe intégral précède le signe différentiel, alors ils s'annulent et une valeur constante arbitraire est ajoutée à la fonction

Propriété 4. La différence entre deux primitives d’une même fonction est une valeur constante.

Propriété 5. Le facteur constant peut être retiré sous le signe intégral

Où UN– nombre constant.

D'ailleurs, cette propriété se prouve facilement en différenciant les deux côtés de l'égalité (2.4) en tenant compte de la propriété 2.

Propriété 6. L'intégrale de la somme (différence) d'une fonction est égale à la somme (différence) des intégrales de ces fonctions (si elles existent séparément)

Cette propriété se prouve également facilement par différenciation.

Généralisation naturelle de la propriété 6

. (2.6)

En considérant l'intégration comme l'action inverse de la différenciation, directement à partir du tableau des dérivées les plus simples, on peut obtenir le tableau suivant des intégrales les plus simples.

Tableau des intégrales indéfinies les plus simples

1. , où, (2.7)

2. , où, (2.8)

4. , où,, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Les formules (2.7) – (2.16) des intégrales indéfinies les plus simples doivent être apprises par cœur. Leur connaissance est nécessaire, mais loin d'être suffisante pour apprendre à s'intégrer. Des compétences durables en matière d'intégration ne peuvent être obtenues qu'en résolvant un nombre suffisamment important de problèmes (généralement environ 150 à 200 exemples de différents types).

Vous trouverez ci-dessous des exemples de simplification des intégrales en les convertissant en la somme des intégrales connues (2.7) – (2.16) du tableau ci-dessus.

Exemple 1.

.

La tâche principale du calcul différentiel est de trouver la dérivée f'(x) ou différentiel df=f'(x)dx fonctions f(x). En calcul intégral, le problème inverse est résolu. Selon une fonction donnée f(x) vous devez trouver une telle fonction F(x), Quoi F'(x)=f(x) ou dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Ainsi, la tâche principale du calcul intégral est la restauration de la fonction F(x) par la dérivée (différentielle) connue de cette fonction. Le calcul intégral a de nombreuses applications en géométrie, mécanique, physique et technologie. Il donne une méthode générale pour trouver des surfaces, des volumes, des centres de gravité, etc.

Définition. FonctionF(x), , est appelée la primitive de la fonctionf(x) sur l'ensemble X s'il est différentiable pour tout etF'(x)=f(x) oudF(x)=f(x)dx.

Théorème. Toute ligne continue sur l'intervalle [un;b] fonctionf(x) a une primitive sur ce segmentF(x).

Théorème. SiF1 (x) etF2 (x) – deux primitives différentes de la même fonctionf(x) sur l'ensemble x, alors ils diffèrent les uns des autres par un terme constant, c'est-à-direF2 (x)=F1x)+C, où C est une constante.

Intégrale indéfinie, ses propriétés.

Définition. TotalitéF(x)+De toutes les fonctions primitivesf(x) sur l'ensemble X est appelé une intégrale indéfinie et est noté :

- (1)

Dans la formule (1) f(x)dx appelé expression intégrande,f(x) – fonction intégrale, x – variable d'intégration, UN C – constante d'intégration.

Considérons les propriétés de l'intégrale indéfinie qui découlent de sa définition.

1. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande, la différentielle de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

Et .

2. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d'une constante arbitraire :

3. Le facteur constant a (a≠0) peut être pris comme signe de l'intégrale indéfinie :

4. L'intégrale indéfinie de la somme algébrique d'un nombre fini de fonctions est égale à la somme algébrique des intégrales de ces fonctions :

5. SiF(x) – primitive de la fonctionf(x), alors :

6 (invariance des formules d'intégration). Toute formule d'intégration conserve sa forme si la variable d'intégration est remplacée par une fonction différentiable de cette variable :

Oùu est une fonction différentiable.

Tableau des intégrales indéfinies.

Donnons règles de base pour l'intégration des fonctions.

Donnons tableau des intégrales indéfinies de base.(Notez qu'ici, comme dans le calcul différentiel, la lettre toi peut être désigné comme variable indépendante (tu=x), et une fonction de la variable indépendante (tu=tu (x)).)

(n≠-1). (une >0, une≠1). (une≠0). (une≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Les intégrales 1 à 17 sont appelées tabulaire.

Certaines des formules ci-dessus dans le tableau des intégrales, qui n'ont pas d'analogue dans le tableau des dérivées, sont vérifiées en différenciant leurs membres droits.

Changement de variable et intégration par parties dans l'intégrale indéfinie.

Intégration par substitution (remplacement de variable). Soit il faut calculer l'intégrale

, qui n'est pas tabulaire. L'essence de la méthode de substitution est que dans l'intégrale la variable X remplacer par une variable t selon la formule x=φ(t), où dx=φ’(t)dt.

Théorème. Laissez la fonctionx=φ(t) est défini et différentiable sur un certain ensemble T et soit X l'ensemble des valeurs de cette fonction sur laquelle la fonction est définief(x). Alors si sur l'ensemble X la fonctionf(

Ces propriétés sont utilisées pour transformer l'intégrale afin de la réduire à l'une des intégrales élémentaires et poursuivre le calcul.

1. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

2. La différentielle de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

3. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d'une constante arbitraire :

4. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :

De plus, a ≠ 0

5. L'intégrale de la somme (différence) est égale à la somme (différence) des intégrales :

6. La propriété est une combinaison des propriétés 4 et 5 :

De plus, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Propriété d'invariance de l'intégrale indéfinie :

Si, alors

8. Propriété :

Si, alors

En fait, cette propriété est un cas particulier d’intégration utilisant la méthode du changement de variable, qui est discutée plus en détail dans la section suivante.

Regardons un exemple :

Nous avons d’abord appliqué la propriété 5, puis la propriété 4, puis nous avons utilisé la table des primitives et obtenu le résultat.

L'algorithme de notre calculateur d'intégrale en ligne prend en charge toutes les propriétés énumérées ci-dessus et trouvera facilement une solution détaillée pour votre intégrale.

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