Quelle est la somme d'un trapèze ? Mémoriser et appliquer les propriétés d'un trapèze

Le cours de géométrie pour la 8e année implique l'étude des propriétés et des caractéristiques des quadrilatères convexes. Ceux-ci incluent les parallélogrammes, dont les cas particuliers sont les carrés, les rectangles et les losanges, ainsi que les trapèzes. Et si résoudre des problèmes sur diverses variantes d'un parallélogramme ne pose le plus souvent pas de difficultés particulières, il est alors un peu plus difficile de déterminer quel quadrilatère est appelé trapèze.

Définition et types

Contrairement aux autres quadrilatères étudiés dans programme scolaire, un trapèze est généralement appelé une telle figure, deux côtés opposés qui sont parallèles entre eux, mais les deux autres ne le sont pas. Il existe une autre définition : c'est un quadrilatère avec une paire de côtés inégaux et parallèles.

Les différents types sont présentés dans l'image ci-dessous.

L'image numéro 1 montre un trapèze arbitraire. Le numéro 2 est désigné cas particulier- un trapèze rectangulaire dont un des côtés est perpendiculaire à ses bases. Le dernier chiffre aussi cas particulier: Il s'agit d'un trapèze isocèle (équilatéral), c'est-à-dire un quadrilatère à côtés égaux.

Les propriétés et formules les plus importantes

Pour décrire les propriétés d'un quadrilatère, il est d'usage de mettre en évidence certains éléments. À titre d’exemple, considérons un trapèze arbitraire ABCD.

Il comprend :

• bases BC et AD - deux côtés parallèles l'un à l'autre ;
• les côtés AB et CD sont deux éléments non parallèles ;
• les diagonales AC et BD sont des segments reliant les sommets opposés de la figure ;
• la hauteur du trapèze CH est un segment perpendiculaire aux bases ;
• ligne médiane EF - ligne reliant les milieux des côtés.

Propriétés de base des éléments

Pour résoudre des problèmes de géométrie ou prouver des affirmations, ils utilisent le plus souvent les propriétés liées divers éléments quadrilatère. Ils sont formulés comme suit :

De plus, il est souvent utile de connaître et d’appliquer les affirmations suivantes :

1. Une bissectrice tirée d'un angle arbitraire sépare à la base un segment dont la longueur est égale au côté de la figure.
2. Lorsque vous dessinez des diagonales, 4 triangles sont formés ; Parmi ceux-ci, 2 triangles formés par les bases et les segments des diagonales sont similaires et la paire restante a la même aire.
3. Par le point d'intersection des diagonales O, les milieux des bases, ainsi que le point d'intersection des prolongements des côtés, une ligne droite peut être tracée.

Calcul du périmètre et de la superficie

Le périmètre est calculé comme la somme des longueurs de tous quatre côtés(semblable à toute autre figure géométrique) :

P = AD + BC + AB + CD.

Cercle inscrit et circonscrit

Un cercle ne peut être décrit autour d'un trapèze que si les côtés du quadrilatère sont égaux.

Pour calculer le rayon d'un cercle circonscrit, vous devez connaître les longueurs de la diagonale, du côté et de la plus grande base. Ampleur p, utilisé dans la formule est calculé comme la moitié de la somme de tous les éléments ci-dessus : p = (une + c + d)/2.

Pour un cercle inscrit, la condition sera la suivante : la somme des bases doit coïncider avec la somme des côtés de la figure. Son rayon peut être trouvé par la hauteur, et il sera égal à r = h/2.

Cas particuliers

Considérons un cas fréquemment rencontré : un trapèze isocèle (équilatéral). Ses signes sont l'égalité des côtés latéraux ou l'égalité des angles opposés. Toutes les déclarations s'appliquent à elle, qui sont caractéristiques d'un trapèze arbitraire. Autres propriétés d'un trapèze isocèle :

Le trapèze rectangulaire ne se retrouve pas très souvent dans les problèmes. Ses signes sont la présence de deux angles adjacents égaux à 90 degrés, et la présence d'un côté perpendiculaire aux bases. La hauteur d’un tel quadrilatère est aussi l’un de ses côtés.

Toutes les propriétés et formules considérées sont généralement utilisées pour résoudre des problèmes planimétriques. Cependant, ils doivent également être utilisés dans certaines tâches du cours de stéréométrie, par exemple lors de la détermination de la surface. pyramide tronquée, ressemblant extérieurement à un trapèze volumétrique.

Sujet de la leçon

Trapèze

Objectifs de la leçon

Continuer à introduire de nouvelles définitions en géométrie ;
Consolider les connaissances sur les formes géométriques déjà étudiées ;
Présenter la formulation et la preuve des propriétés du trapèze ;
Enseigner l'utilisation des propriétés de diverses figures lors de la résolution de problèmes et de l'exécution de devoirs ;
Continuer à développer l'attention des élèves, pensée logique et le discours mathématique ;
Cultivez l’intérêt pour le sujet.

Objectifs de la leçon

Susciter l'intérêt pour la connaissance de la géométrie ;
Continuer à former les étudiants à la résolution de problèmes ;
Appel intérêt cognitif pour les cours de mathématiques.

Plan de cours

1. Révisez le matériel étudié plus tôt.
2. Introduction au trapèze, ses propriétés et caractéristiques.
3. Résoudre les problèmes et terminer les tâches.

Répétition du matériel précédemment étudié

Dans la leçon précédente, vous avez découvert une figure telle qu’un quadrilatère. Consolidons le matériel abordé et répondons aux questions posées :

1. Combien d’angles et de côtés possède un tétragone ?
2. Formuler la définition d'un 4-gon ?
3. Quel est le nom des côtés opposés du tétragon ?
4. Quels types de quadrilatères connaissez-vous ? Listez-les et définissez chacun d’eux.
5. Dessinez un exemple de quadrilatère convexe et non convexe.

Trapèze. Propriétés générales et définition

Un trapèze est une figure quadrangulaire dans laquelle une seule paire de côtés opposés est parallèle.

En définition géométrique, un trapèze est un tétragone qui a deux côtés parallèles et les deux autres non.

Le nom d'une figure aussi inhabituelle que « trapèze » vient du mot « trapèze », qui est traduit de langue grecque, désigne le mot « table », d'où proviennent également le mot « repas » et d'autres mots apparentés.

Dans certains cas, dans un trapèze, deux côtés opposés sont parallèles, mais l’autre paire n’est pas parallèle. Dans ce cas, le trapèze est dit curviligne.

Éléments trapézoïdaux

Le trapèze est constitué d'éléments tels que la base, les lignes latérales, la ligne médiane et sa hauteur.

La base d'un trapèze est constituée de ses côtés parallèles ;
Les côtés latéraux sont les deux autres côtés du trapèze qui ne sont pas parallèles ;
La ligne médiane d'un trapèze est le segment qui relie les milieux de ses côtés ;
La hauteur d'un trapèze est la distance entre ses bases.

Types de trapèzes

Exercice:

1. Formuler la définition d’un trapèze isocèle.
2. Quel trapèze est appelé rectangulaire ?
3. Que signifie un trapèze à angle aigu ?
4. Quel trapèze est obtus ?

Propriétés générales d'un trapèze

Premièrement, la ligne médiane du trapèze est parallèle à la base de la figure et est égale à sa demi-somme ;

Deuxièmement, le segment qui relie les milieux des diagonales d'une figure à 4 gonales est égal à la demi-différence de ses bases ;

Troisièmement, dans un trapèze, les lignes parallèles qui coupent les côtés de l'angle d'une figure donnée coupent des segments proportionnels des côtés de l'angle.

Quatrièmement, dans tout type de trapèze, la somme des angles adjacents à son côté est égale à 180°.

Où d'autre le trapèze est-il présent ?

Le mot « trapèze » n'est pas seulement présent en géométrie, il a une application plus large dans la vie quotidienne.

On peut rencontrer ce mot inhabituel en regardant des compétitions sportives de gymnastes effectuant des exercices acrobatiques au trapèze. En gymnastique, un trapèze est un engin sportif constitué d'une barre transversale suspendue à deux cordes.

Vous pouvez également entendre ce mot lorsque vous vous entraînez en salle de sport ou parmi des personnes impliquées dans la musculation, car les trapèzes ne sont pas seulement figure géométrique ou des équipements sportifs acrobatiques, mais aussi des muscles du dos puissants, situés à la nuque.

La photo montre un trapèze aérien inventé pour les acrobates de cirque par l'artiste Julius Léotard au XIXe siècle en France. Au début, le créateur de cet acte a installé son projectile à basse altitude, mais il a finalement été déplacé juste sous le dôme du cirque.

Les acrobates du cirque effectuent des acrobaties en volant de trapèze en trapèze, effectuent des vols croisés et effectuent des sauts périlleux dans les airs.

Dans les sports équestres, le trapèze est un exercice d'étirement ou d'étirement du corps du cheval, très utile et agréable pour l'animal. Lorsque le cheval se tient en position trapézoïdale, l'étirement des jambes ou des muscles du dos de l'animal fonctionne. Ce bel exercice on peut observer lors de l'arc ou du soi-disant « front crunch », lorsque le cheval se penche profondément.

Devoir : Donnez vos propres exemples d'autres endroits dans la vie quotidienne où vous pouvez entendre les mots « trapèze » ?

Saviez-vous que pour la première fois en 1947, le célèbre couturier français Christian Dior a organisé un défilé de mode dans lequel la silhouette d'une jupe trapèze était présente. Et bien que plus de soixante ans se soient écoulés, cette silhouette est toujours à la mode et ne perd pas de sa pertinence à ce jour.

Dans la garde-robe de la reine d'Angleterre, la jupe trapèze est devenue un élément indispensable et sa carte de visite.

Rappelant forme géométrique La jupe trapèze du même nom se marie parfaitement avec tous les chemisiers, chemisiers, hauts et vestes. Le classicisme et le caractère démocratique de ce style populaire lui permettent d'être porté avec des vestes formelles et des hauts légèrement frivoles. Il serait approprié de porter une telle jupe aussi bien au bureau qu'en discothèque.

Problèmes avec le trapèze

Pour faciliter la résolution des problèmes avec les trapèzes, il est important de rappeler quelques règles de base :

Tout d’abord, dessinez deux hauteurs : BF et CK.

Dans l'un des cas, vous obtiendrez un rectangle - ВСФК, à partir duquel il est clair que FК = ВС.

AD=AF+FK+KD, donc AD=AF+BC+KD.

De plus, il apparaît immédiatement évident qu’ABF et DCK sont triangles rectangles.

Une autre option est possible lorsque le trapèze n'est pas tout à fait standard, où

AD=AF+FD=AF+FK–DK=AF+BC–DK.

Mais l'option la plus simple est si notre trapèze est isocèle. La résolution du problème devient alors encore plus facile, car ABF et DCK sont des triangles rectangles et ils sont égaux. AB=CD, puisque le trapèze est isocèle, et BF=CK, comme hauteur du trapèze. De l’égalité des triangles découle l’égalité des côtés correspondants.

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Objectif de la leçon :

• pédagogique– introduire le concept de trapèze, se familiariser avec les types de trapèze, étudier les propriétés d'un trapèze, apprendre aux étudiants à appliquer les connaissances acquises dans le processus de résolution de problèmes ;
• développement– développement des qualités communicatives des étudiants, développement de la capacité à mener des expériences, généraliser, tirer des conclusions, développement de l’intérêt pour le sujet.
• pédagogique– cultiver l’attention, créer une situation de réussite, de joie d’indépendance surmonter les difficultés, développer chez les élèves le besoin d'expression de soi à travers différents types travaux

Formes de travail : frontal, hammam, groupe.

Forme d'organisation des activités pour enfants : la capacité d'écouter, de construire une discussion, d'exprimer une pensée, une question, un ajout.

Équipement: ordinateur, projecteur multimédia, écran. Sur les pupitres des élèves : découper du matériel pour réaliser un trapèze sur le pupitre de chaque élève ; cartes avec des tâches (impressions de dessins et tâches des notes de cours).

DÉROULEMENT DE LA LEÇON

I. Moment organisationnel

Salutation, vérification de l'état de préparation du lieu de travail pour la leçon.

II. Actualisation des connaissances

• développement de compétences pour classer des objets;
• identification des caractéristiques principales et secondaires lors de la classification.

Pensez au dessin n°1.

Vient ensuite une discussion sur le dessin.
– De quoi est faite cette figure géométrique ? Les gars trouvent la réponse dans les images : [à partir d'un rectangle et de triangles].
– À quoi devraient ressembler les triangles qui composent un trapèze ?
Toutes les opinions sont écoutées et discutées, et une option est retenue : [les triangles doivent être rectangulaires].
– Comment se forment des triangles et un rectangle ? [Pour que les côtés opposés du rectangle coïncident avec les branches de chacun des triangles].
– Que sais-tu des côtés opposés d’un rectangle ? [Ils sont parallèles].
- Donc ce quadrilatère aura des côtés parallèles ? [Oui].
- Combien y en a-t-il ? [Deux].
Après la discussion, l'enseignant démontre la « reine de la leçon » - le trapèze.

III. Explication du nouveau matériel

1. Définition du trapèze, éléments du trapèze

• apprendre aux élèves à définir un trapèze ;
• nommer ses éléments ;
• développement de la mémoire associative.

– Essayez maintenant de donner une définition complète d’un trapèze. Chaque élève réfléchit à une réponse à la question. Ils échangent leurs opinions en binôme et préparent une réponse unique à la question. Une réponse orale est donnée à un élève parmi 2-3 binômes.
[Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles].

– Comment appelle-t-on les côtés d’un trapèze ? [Les côtés parallèles sont appelés bases du trapèze et les deux autres sont appelés côtés latéraux].

L'enseignant propose de plier les formes découpées en trapèze. Les élèves travaillent en binôme et additionnent les chiffres. C'est bien si les paires d'étudiants sont de niveaux différents, alors l'un des étudiants est consultant et aide un ami en cas de difficulté.

– Construisez un trapèze dans vos cahiers, notez les noms des côtés du trapèze. Posez des questions à votre voisin sur le dessin, écoutez ses réponses et indiquez-lui vos options de réponse.

Contexte historique

"Trapèze"- un mot grec qui, dans les temps anciens, signifiait « table » (en grec « trapedzion » signifie table, table à manger. La figure géométrique a été nommée ainsi en raison de sa ressemblance extérieure avec une petite table.
Dans les Éléments (grec Στοιχεῖα, latin Elementa) - l'œuvre principale d'Euclide, écrite vers 300 avant JC. e. et dédié à la construction systématique de la géométrie), le terme « trapèze » n'est pas utilisé dans le sens moderne, mais dans un sens différent : n'importe quel quadrilatère (pas un parallélogramme). Le « trapèze » dans notre sens se retrouve pour la première fois chez le mathématicien grec Posidonius (1er siècle). Au Moyen Âge, selon Euclide, tout quadrilatère (et non un parallélogramme) était appelé trapèze ; seulement au XVIIIe siècle. ce mot prend un sens moderne.

Construire un trapèze à partir de ses éléments donnés. Les gars accomplissent les tâches de la carte n°1.

Les élèves doivent construire des trapèzes selon diverses dispositions et formes. À l'étape 1, vous devez construire un trapèze rectangulaire. Au point 2 il devient possible de construire un trapèze isocèle. Au point 3, le trapèze sera « couché sur le côté ». Au paragraphe 4, le dessin consiste à construire un trapèze dans lequel l'une des bases s'avère inhabituellement petite.
Les élèves « surprennent » l'enseignant avec différentes figures qui ont un nom commun : trapèze. Le professeur démontre options possibles construire des trapèzes.

Problème 1. Deux trapèzes seront-ils égaux si l'une des bases et les deux côtés sont respectivement égaux ?
Discutez de la solution au problème en groupe et prouvez l'exactitude du raisonnement.
Un élève du groupe dessine un dessin au tableau et explique le raisonnement.

2. Types de trapèze

• développement de la mémoire motrice, compétences permettant de diviser un trapèze en figures connues nécessaires à la résolution de problèmes ;
• développement de compétences pour généraliser, comparer, définir par analogie et émettre des hypothèses.

Regardons l'image :

– En quoi les trapèzes représentés sur l'image sont-ils différents ?
Les gars ont remarqué que le type de trapèze dépend du type de triangle situé à gauche.
– Complétez la phrase :

Un trapèze est dit rectangulaire si...
Un trapèze est dit isocèle si...

3. Propriétés d'un trapèze. Propriétés d'un trapèze isocèle.

• émettre, par analogie avec un triangle isocèle, une hypothèse sur la propriété d'un trapèze isocèle ;
• développement des compétences analytiques (comparer, émettre des hypothèses, prouver, construire).

• Le segment reliant les milieux des diagonales est égal à la moitié de la différence des bases.
• Un trapèze isocèle a des angles égaux à n’importe quelle base.
• Un trapèze isocèle a des diagonales égales.
• Dans un trapèze isocèle, la hauteur abaissée du sommet à la plus grande base le divise en deux segments dont l'un est égal à la moitié de la somme des bases, l'autre à la moitié de la différence des bases.

Tâche 2. Montrer que dans un trapèze isocèle : a) les angles à chaque base sont égaux ; b) les diagonales sont égales. Pour prouver ces propriétés d'un trapèze isocèle, rappelons les signes d'égalité des triangles. Les élèves accomplissent la tâche en groupe, discutent et notent la solution dans leur cahier.
Un élève du groupe effectue une preuve au tableau.

4. Exercice d'attention

5. Exemples d'utilisation de formes trapézoïdales dans la vie de tous les jours :

• dans les intérieurs (canapés, murs, plafonds suspendus);
• V aménagement paysager(limites de pelouse, réservoirs artificiels, pierres);
• dans l'industrie de la mode (vêtements, chaussures, accessoires) ;
• dans la conception d'objets du quotidien (lampes, vaisselle, utilisant des formes trapézoïdales) ;
• en architecture.

Travaux pratiques(selon options).

– Dans un système de coordonnées, construisez des trapèzes isocèles basés sur les trois sommets donnés.

Option 1 : (0 ; 1), (0 ; 6), (– 4 ; 2), (…; …) et (– 6 ; – 5), (4 ; – 5), (– 4 ; – 3) , (…; …).
Option 2 : (– 1 ; 0), (4 ; 0), (6 ; 5), (… ; …) et (1 ; – 2), (4 ; – 3), (4 ; – 7), ( … ; …).

– Déterminer les coordonnées du quatrième sommet.
La solution est vérifiée et commentée par toute la classe. Les élèves indiquent les coordonnées du quatrième point trouvé et tentent d'expliquer verbalement pourquoi les conditions données ne déterminent qu'un seul point.

Une tâche intéressante. Pliez un trapèze composé de : a) quatre triangles rectangles ; b) à partir de trois triangles rectangles ; c) à partir de deux triangles rectangles.

IV. Devoirs

• nourrir une bonne estime de soi;
• créer une situation de « réussite » pour chaque élève.

p.44, connaître la définition, les éléments d'un trapèze, ses types, connaître les propriétés d'un trapèze, pouvoir les prouver, n° 388, n° 390.

V. Résumé de la leçon. A la fin du cours, il est remis aux enfants questionnaire, qui permet de réaliser une auto-analyse, de donner une évaluation qualitative et quantitative de la leçon .

- (trapèze grec). 1) en géométrie, un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et deux ne le sont pas. 2) une figure adaptée aux exercices de gymnastique. Dictionnaire mots étrangers, inclus dans la langue russe. Chudinov A.N., 1910. TRAPÈZE... ... Dictionnaire des mots étrangers de la langue russe

Trapèze- Trapèze. TRAPÈZE (du grec trapèze, littéralement table), quadrilatère convexe dont deux côtés sont parallèles (les bases du trapèze). L'aire d'un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme des bases (ligne médiane) et de la hauteur. ... Dictionnaire encyclopédique illustré

Quadrangle, projectile, barre transversale Dictionnaire des synonymes russes. nom trapèze, nombre de synonymes : 3 barre transversale (21)... Dictionnaire des synonymes

- (du grec trapèze, littéralement table), quadrilatère convexe dont deux côtés sont parallèles (les bases d'un trapèze). L'aire d'un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme des bases (ligne médiane) et de la hauteur... Encyclopédie moderne

- (du grec trapèze lit. table), un quadrilatère dont deux côtés opposés, appelés bases du trapèze, sont parallèles (dans la figure AD et BC), et les deux autres sont non parallèles. La distance entre les bases est appelée la hauteur du trapèze (à ... ... Grand dictionnaire encyclopédique

TRAPÈZE, quadrangulaire silhouette plate, dans lequel deux côtés opposés sont parallèles. L'aire d'un trapèze est égale à la moitié de la somme des côtés parallèles multipliée par la longueur de la perpendiculaire qui les sépare... Dictionnaire encyclopédique scientifique et technique

TRAPEZE, trapèze, femmes (de la table grecque trapèze). 1. Quadrilatère avec deux côtés parallèles et deux côtés non parallèles (mat.). 2. Un agrès de gymnastique constitué d'une barre transversale suspendue à deux cordes (sport). Acrobatique... ... Dictionnaire Ouchakova

TRAPÈZE, et, femelle. 1. Un quadrilatère avec deux côtés parallèles et deux côtés non parallèles. Les bases du trapèze (ses côtés parallèles). 2. Un agrès de cirque ou de gymnastique est une barre transversale suspendue à deux câbles. Dictionnaire explicatif d'Ojegov. AVEC … Dictionnaire explicatif d'Ojegov

Femelle, géom. un quadrilatère aux côtés inégaux dont deux sont parallèles (parallèles). Trapèze, quadrilatère similaire dans lequel tous les côtés se séparent. Trapézoèdre, corps facetté de trapèzes. Dictionnaire explicatif de Dahl. V.I. Dahl. 1863 1866… Dictionnaire explicatif de Dahl

- (Trapèze), USA, 1956, 105 min. Mélodrame. L'aspirant acrobate Tino Orsini rejoint la troupe de cirque où travaille Mike Ribble, un célèbre ancien trapéziste. Mike a déjà joué avec le père de Tino. Le jeune Orsini veut Mike... Encyclopédie du cinéma

Un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles. La distance entre les côtés parallèles est appelée. hauteur T. Si les côtés et la hauteur parallèles contiennent des mètres a, b et h, alors l'aire de T contient mètres carrés … Encyclopédie de Brockhaus et Efron

En divers matériaux essais et les examens sont très courants problèmes de trapèze, dont la solution nécessite la connaissance de ses propriétés.

Découvrons quelles sont les propriétés intéressantes et utiles d'un trapèze pour résoudre des problèmes.

Après avoir étudié les propriétés de la ligne médiane d'un trapèze, on peut formuler et prouver propriété d'un segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze. Le segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze est égal à la moitié de la différence des bases.

MO – ligne médiane triangle ABC et égal à 1/2ВС (Fig.1).

MQ est la ligne médiane du triangle ABD et est égal à 1/2AD.

Alors OQ = MQ – MO, donc OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Lors de la résolution de nombreux problèmes sur un trapèze, l'une des principales techniques consiste à y dessiner deux hauteurs.

Considérez ce qui suit tâche.

Soit BT la hauteur d'un trapèze isocèle ABCD de bases BC et AD, avec BC = a, AD = b. Trouvez les longueurs des segments AT et TD.

Solution.

Résoudre le problème n'est pas difficile (Fig.2), mais cela vous permet d'obtenir propriété de la hauteur d'un trapèze isocèle tiré du sommet angle obtus : la hauteur d'un trapèze isocèle tiré du sommet d'un angle obtus divise la plus grande base en deux segments dont le plus petit est égal à la moitié de la différence des bases, et le plus grand est égal à la moitié de la somme des bases .

Lorsque vous étudiez les propriétés d'un trapèze, vous devez faire attention à une propriété telle que la similitude. Ainsi, par exemple, les diagonales d'un trapèze le divisent en quatre triangles, et les triangles adjacents aux bases sont similaires et les triangles adjacents aux côtés sont de taille égale. Cette déclaration peut être appelée propriété des triangles dans lesquels un trapèze est divisé par ses diagonales. De plus, la première partie de l’énoncé peut être prouvée très facilement grâce au signe de similitude des triangles à deux angles. Prouvons deuxième partie de la déclaration.

Les triangles BOC et COD ont une hauteur commune (Fig.3), si l'on prend les segments BO et OD comme bases. Alors S BOC /S COD = BO/OD = k. Par conséquent, S COD = 1/k · S BOC .

De même, les triangles BOC et AOB ont une hauteur commune si l'on prend les segments CO et OA comme bases. Alors S BOC /S AOB = CO/OA = k et S A O B = 1/k · S BOC .

De ces deux phrases il résulte que S COD = S A O B.

Ne nous attardons pas sur l'énoncé formulé, mais trouvons la relation entre les aires des triangles dans lesquels le trapèze est divisé par ses diagonales. Pour ce faire, résolvons le problème suivant.

Soit le point O le point d'intersection des diagonales du trapèze ABCD avec les bases BC et AD. On sait que les aires des triangles BOC et AOD sont respectivement égales à S 1 et S 2. Trouvez l'aire du trapèze.

Puisque S COD = S A O B, alors S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

De la similitude des triangles BOC et AOD il résulte que BO/OD = √(S₁/S 2).

Par conséquent, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), ce qui signifie S COD = √(S 1 · S 2).

Alors S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

En utilisant la similarité, on prouve que propriété d'un segment passant par le point d'intersection des diagonales d'un trapèze parallèle aux bases.

Considérons tâche:

Soit le point O le point d'intersection des diagonales du trapèze ABCD avec les bases BC et AD. BC = a, AD = b. Trouver la longueur du segment PK passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze parallèles aux bases. Quels segments PK est-il divisé par le point O (Fig. 4) ?

De la similitude des triangles AOD et BOC il résulte que AO/OC = AD/BC = b/a.

De la similitude des triangles AOP et ACB il résulte que AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

D'où PO = BC b / (a ​​​​+ b) = ab/(a + b).

De même, de la similitude des triangles DOK et DBC, il résulte que OK = ab/(a + b).

Donc PO = OK et PK = 2ab/(a + b).

Ainsi, la propriété prouvée peut être formulée comme suit : un segment parallèle aux bases du trapèze, passant par le point d'intersection des diagonales et reliant deux points des côtés latéraux, est divisé en deux par le point d'intersection des diagonales. Sa longueur est la moyenne harmonique des bases du trapèze.

Suivant propriété à quatre points: dans un trapèze, le point d'intersection des diagonales, le point d'intersection du prolongement des côtés, les milieux des bases du trapèze se trouvent sur une même ligne.

Les triangles BSC et ASD sont similaires (Fig.5) et dans chacun d'eux les médianes ST et SG divisent l'angle au sommet S en parties égales. Les points S, T et G se trouvent donc sur la même droite.

De la même manière, les points T, O et G sont situés sur la même droite. Cela découle de la similitude des triangles BOC et AOD.

Cela signifie que les quatre points S, T, O et G se trouvent sur la même droite.

Vous pouvez également trouver la longueur du segment divisant le trapèze en deux semblables.

Si les trapèzes ALFD et LBCF sont similaires (Fig.6), alors a/LF = LF/b.

Donc LF = √(ab).

Ainsi, un segment divisant un trapèze en deux trapèzes semblables a une longueur égale à la moyenne géométrique des longueurs des bases.

Prouvons propriété d'un segment divisant un trapèze en deux aires égales.

Soit l'aire du trapèze soit S (Fig.7). h 1 et h 2 sont des parties de la hauteur et x est la longueur du segment souhaité.

Alors S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 et

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Créons un système

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Décider ce système, on obtient x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Ainsi, la longueur du segment divisant le trapèze en deux égaux est égale à √((a 2 + b 2)/2)(carré moyen des longueurs de base).

Ainsi, pour le trapèze ABCD de bases AD et BC (BC = a, AD = b) nous avons prouvé que le segment :

1) MN, reliant les milieux des côtés latéraux du trapèze, est parallèle aux bases et égal à leur demi-somme (moyenne nombres arithmétiques a et b);

2) PK passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze parallèle aux bases est égal à
2ab/(a + b) (moyenne harmonique des nombres a et b) ;

3) LF, qui divise un trapèze en deux trapèzes similaires, a une longueur égale à la moyenne géométrique des nombres a et b, √(ab) ;

4) EH, divisant un trapèze en deux égaux, a une longueur √((a 2 + b 2)/2) (la racine carrée moyenne des nombres a et b).

Signe et propriété d'un trapèze inscrit et circonscrit.

Propriété d'un trapèze inscrit : un trapèze peut s'inscrire dans un cercle si et seulement s'il est isocèle.

Propriétés du trapèze décrit. Un trapèze peut être décrit autour d'un cercle si et seulement si la somme des longueurs des bases est égale à la somme des longueurs des côtés.

Conséquences utiles du fait qu'un cercle s'inscrit dans un trapèze :

1. La hauteur du trapèze circonscrit est égale à deux rayons du cercle inscrit.

2. Le côté du trapèze décrit est visible depuis le centre du cercle inscrit à angle droit.

La première est évidente. Pour prouver le deuxième corollaire, il faut établir que l’angle COD est correct, ce qui n’est pas non plus difficile. Mais connaître ce corollaire vous permet d’utiliser un triangle rectangle pour résoudre des problèmes.

Précisons corollaires pour un trapèze circonscrit isocèle:

La hauteur d'un trapèze circonscrit isocèle est la moyenne géométrique des bases du trapèze
h = 2r = √(ab).

Les propriétés considérées vous permettront de comprendre plus profondément le trapèze et de réussir à résoudre des problèmes en utilisant ses propriétés.

Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre les problèmes de trapèze ?
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