Comment diviser une fraction par un nombre naturel. Multiplier des fractions simples et mixtes avec différents dénominateurs

La dernière fois, nous avons appris à additionner et soustraire des fractions (voir la leçon « Additionner et soustraire des fractions »). La partie la plus difficile de ces actions consistait à amener les fractions à un dénominateur commun.

Il est maintenant temps de s'occuper de la multiplication et de la division. La bonne nouvelle est que ces opérations sont encore plus simples que l’addition et la soustraction. Considérons d’abord le cas le plus simple, lorsqu’il existe deux fractions positives sans partie entière séparée.

Pour multiplier deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs séparément. Le premier nombre sera le numérateur de la nouvelle fraction et le second sera le dénominateur.

Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier la première fraction par la deuxième fraction « inversée ».

Désignation:

De la définition, il résulte que la division de fractions se réduit à la multiplication. Pour « retourner » une fraction, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. Par conséquent, tout au long de la leçon, nous considérerons principalement la multiplication.

À la suite de la multiplication, une fraction réductible peut apparaître (et apparaît souvent) - elle doit bien sûr être réduite. Si après toutes les réductions la fraction s'avère incorrecte, la partie entière doit être mise en évidence. Mais ce qui n'arrivera certainement pas avec la multiplication, c'est la réduction à un dénominateur commun : pas de méthodes croisées, de plus grands facteurs et de plus petits multiples communs.

Par définition nous avons :

Multiplier des fractions par des parties entières et des fractions négatives

Si les fractions contiennent une partie entière, elles doivent être converties en fractions impropres - et ensuite seulement multipliées selon les schémas décrits ci-dessus.

S'il y a un moins au numérateur d'une fraction, au dénominateur ou devant celui-ci, il peut être retiré de la multiplication ou supprimé complètement selon les règles suivantes :

1. Plus par moins donne moins ;
2. Deux négatifs font un affirmatif.

Jusqu'à présent, ces règles n'étaient rencontrées que lors de l'addition et de la soustraction de fractions négatives, lorsqu'il fallait se débarrasser de la partie entière. Pour un ouvrage, ils peuvent être généralisés afin de « brûler » plusieurs inconvénients à la fois :

1. On raye les négatifs par paires jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement. Dans des cas extrêmes, un moins peut survivre - celui pour lequel il n'y avait pas de partenaire ;
2. S'il ne reste plus de points négatifs, l'opération est terminée - vous pouvez commencer à multiplier. Si le dernier moins n’est pas barré parce qu’il n’y avait pas de paire, on le sort des limites de la multiplication. Le résultat est une fraction négative.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Nous convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis retirons les moins de la multiplication. On multiplie ce qui reste selon les règles habituelles. On obtient :

Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que le moins qui apparaît devant une fraction avec une partie entière en surbrillance fait spécifiquement référence à la fraction entière, et pas seulement à sa partie entière (cela s'applique aux deux derniers exemples).

Faites également attention aux nombres négatifs : lors de la multiplication, ils sont mis entre parenthèses. Ceci est fait afin de séparer les moins des signes de multiplication et de rendre l'ensemble de la notation plus précise.

Réduire les fractions à la volée

La multiplication est une opération très laborieuse. Les nombres ici s'avèrent assez grands, et pour simplifier le problème, vous pouvez essayer de réduire davantage la fraction avant la multiplication. En effet, par essence, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont des facteurs ordinaires et, par conséquent, ils peuvent être réduits en utilisant la propriété fondamentale d'une fraction. Jetez un œil aux exemples :

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Par définition nous avons :

Dans tous les exemples, les chiffres réduits et ce qui en reste sont marqués en rouge.

Attention : dans le premier cas, les multiplicateurs ont été complètement réduits. A leur place restent des unités qui, en général, n'ont pas besoin d'être écrites. Dans le deuxième exemple, il n’a pas été possible d’obtenir une réduction complète, mais le montant total des calculs a néanmoins diminué.

Cependant, n’utilisez jamais cette technique pour additionner et soustraire des fractions ! Oui, il existe parfois des chiffres similaires que vous souhaitez simplement réduire. Tiens, regarde :

Vous ne pouvez pas faire ça !

L'erreur est due au fait que lors de l'addition du numérateur d'une fraction, la somme apparaît, et non le produit des nombres. Par conséquent, il est impossible d’appliquer la propriété fondamentale d’une fraction, puisque cette propriété concerne spécifiquement la multiplication des nombres.

Il n'y a tout simplement aucune autre raison pour réduire les fractions, donc la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :

Bonne solution :

Comme vous pouvez le constater, la bonne réponse s’est avérée moins belle. En général, soyez prudent.

Tôt ou tard, tous les enfants de l'école commencent à apprendre les fractions : leur addition, leur division, leur multiplication et toutes les opérations possibles qui peuvent être effectuées avec des fractions. Afin de fournir une assistance appropriée à l'enfant, les parents eux-mêmes ne doivent pas oublier comment diviser les nombres entiers en fractions, sinon vous ne pourrez en aucun cas l'aider, mais ne ferez que le confondre. Si vous avez besoin de vous souvenir de cette action, mais que vous ne parvenez tout simplement pas à regrouper toutes les informations que vous avez en tête dans une seule règle, alors cet article vous aidera : vous apprendrez à diviser un nombre par une fraction et verrez des exemples clairs.

Comment diviser un nombre en fraction

Écrivez votre exemple sous forme de brouillon afin de pouvoir prendre des notes et des ratures. N'oubliez pas que le nombre entier est écrit entre les cellules, juste à leur intersection, et que les nombres fractionnaires sont écrits chacun dans sa propre cellule.

• Dans cette méthode, vous devez retourner la fraction, c'est-à-dire écrire le dénominateur dans le numérateur et le numérateur dans le dénominateur.
• Le signe de division doit être remplacé par multiplication.
• Il ne vous reste plus qu'à effectuer la multiplication selon les règles que vous avez déjà apprises : le numérateur est multiplié par un nombre entier, mais vous ne touchez pas au dénominateur.

Bien sûr, à la suite de cette action, vous vous retrouverez avec un très grand nombre au numérateur. Vous ne pouvez pas laisser une fraction dans cet état - l'enseignant n'acceptera tout simplement pas cette réponse. Réduisez la fraction en divisant le numérateur par le dénominateur. Écrivez l'entier résultant à gauche de la fraction au milieu des cellules, et le reste sera le nouveau numérateur. Le dénominateur reste inchangé.

Cet algorithme est assez simple, même pour un enfant. Après l'avoir complété cinq ou six fois, l'enfant se souviendra de la procédure et pourra l'appliquer à n'importe quelle fraction.

Comment diviser un nombre par une décimale

Il existe d'autres types de fractions - les décimales. La division en eux se produit selon un algorithme complètement différent. Si vous rencontrez un tel exemple, suivez les instructions :

• Tout d’abord, convertissez les deux nombres en décimales. C'est facile à faire : votre diviseur est déjà représenté sous forme de fraction, et vous séparez l'entier naturel divisé par une virgule, obtenant ainsi une fraction décimale. Autrement dit, si le dividende était de 5, vous obtenez la fraction 5,0. Vous devez séparer un nombre par autant de chiffres qu'il y a après la virgule et le diviseur.
• Après cela, vous devez faire des deux fractions décimales des nombres naturels. Cela peut sembler un peu déroutant au début, mais c'est le moyen le plus rapide de diviser et vous prendra quelques secondes après quelques séances d'entraînement. La fraction 5,0 deviendra le nombre 50, la fraction 6,23 deviendra 623.
• Faites la division. Si les nombres sont grands ou si la division se fera avec un reste, faites-le dans une colonne. De cette façon, vous verrez clairement toutes les actions de cet exemple. Vous n'avez pas besoin de mettre une virgule volontairement, car elle apparaîtra d'elle-même au cours du long processus de division.

Ce type de division semble au départ trop déroutant, puisqu'il faut transformer le dividende et le diviseur en fraction, puis à nouveau en nombres naturels. Mais après une courte pratique, vous commencerez immédiatement à voir les nombres qu'il vous suffit de diviser les uns par les autres.

N'oubliez pas que la capacité de diviser correctement des fractions et des nombres entiers par eux peut s'avérer utile plusieurs fois dans la vie. Par conséquent, un enfant doit connaître parfaitement ces règles et principes simples afin que dans les classes supérieures, ils ne deviennent pas une pierre d'achoppement à cause de laquelle l'enfant ne peut pas résoudre des tâches plus complexes.

Une fraction est une ou plusieurs parties d'un tout, qui est généralement considérée comme une (1). Comme pour les nombres naturels, vous pouvez effectuer toutes les opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, division, multiplication) avec des fractions ; pour ce faire, vous devez connaître les caractéristiques du travail avec les fractions et distinguer leurs types. Il existe plusieurs types de fractions : décimales et ordinaires, ou simples. Chaque type de fraction a ses propres spécificités, mais une fois que vous aurez bien compris comment les gérer, vous serez en mesure de résoudre n'importe quel exemple avec des fractions, puisque vous connaîtrez les principes de base pour effectuer des calculs arithmétiques avec des fractions. Examinons des exemples montrant comment diviser une fraction par un nombre entier en utilisant différents types de fractions.

Comment diviser une fraction simple par un nombre naturel ?
Les fractions ordinaires ou simples sont celles écrites sous la forme d'un rapport de nombres dans lequel le dividende (numérateur) est indiqué en haut de la fraction, et le diviseur (dénominateur) de la fraction est indiqué en bas. Comment diviser une telle fraction par un nombre entier ? Regardons un exemple ! Disons que nous devons diviser 8/12 par 2.

Pour ce faire, nous devons effectuer un certain nombre d'actions :
Ainsi, si nous sommes confrontés à la tâche de diviser une fraction par un nombre entier, le diagramme de solution ressemblera à ceci :

De la même manière, vous pouvez diviser n’importe quelle fraction ordinaire (simple) par un nombre entier.

Comment diviser un nombre décimal par un nombre entier ?
Un nombre décimal est une fraction obtenue en divisant une unité en dix, mille, etc. Les opérations arithmétiques avec des décimales sont assez simples.

Regardons un exemple de comment diviser une fraction par un nombre entier. Disons que nous devons diviser la fraction décimale 0,925 par l'entier naturel 5.

Pour résumer, attardons-nous sur deux points principaux qui sont importants lors de la réalisation de l'opération de division de fractions décimales par un nombre entier :

• pour diviser une fraction décimale par un nombre naturel, une division longue est utilisée ;
  
• Une virgule est placée dans un quotient lorsque la division de la totalité du dividende est terminée.
  

En appliquant ces règles simples, vous pouvez toujours facilement diviser n'importe quelle fraction décimale ou simple en un nombre entier. Contenu de la leçon

Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires

Il existe deux types d'addition de fractions :

1. Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
2. Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :

Exemple 2. Ajoutez des fractions et .

La réponse s’est avérée être une fraction impropre. Lorsque la fin de la tâche arrive, il est d'usage de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas, la partie entière est facilement isolée - deux divisé par deux égale un :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :

Exemple 3. Ajoutez des fractions et .

Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :

Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;

Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.

Par exemple, des fractions peuvent être additionnées car elles ont les mêmes dénominateurs.

Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées immédiatement, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.

L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.

Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.

Exemple 1. Additionnons les fractions et

Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.

LCM (2 et 3) = 6

Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.

Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.

Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :

La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).

Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).

Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple de manière trop détaillée. Dans les établissements d’enseignement, il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :

Mais il y a aussi un autre revers à la médaille. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.

Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :

1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
3. Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
4. Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression .

Utilisons les instructions données ci-dessus.

Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions

Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4

Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction

Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :

Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires

On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :

Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :

L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.

Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez-en la partie entière

Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :

Nous avons reçu une réponse

Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs

Il existe deux types de soustraction de fractions :

1. Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.

Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons ceci :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.

Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
2. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.

Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.

Exemple 1. Trouvez le sens de l'expression :

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).

Tout d’abord, nous trouvons le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.

LCM (3 et 4) = 12

Revenons maintenant aux fractions et

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :

On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :

Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Nous avons reçu une réponse

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza

Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :

La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :

La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).

Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.

Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au dessus de la deuxième fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. On l'écrit au-dessus de la troisième fraction :

Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.

La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Que peut-on faire ? Vous pouvez raccourcir cette fraction.

Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.

On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :

Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10

Nous avons reçu une réponse

Multiplier une fraction par un nombre

Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction donnée par ce nombre et laisser le dénominateur identique.

Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.

Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1

L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez une pizza une fois, vous obtenez une pizza

Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :

Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la fraction par 4

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières

Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :

Multiplier des fractions

Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.

Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.

Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :

L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une demi-pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :

Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :

Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :

Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :

En d’autres termes, nous parlons d’une pizza de même taille. La valeur de l’expression est donc

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 105 et 450.

Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :

Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15

Représenter un nombre entier sous forme de fraction

Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :

Nombres réciproques

Nous allons maintenant nous familiariser avec un sujet très intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des « numéros inversés ».

Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.

Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :

Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.

Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :

Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d’autres termes, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l’envers :

Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :

Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.

L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.

Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.

Diviser une fraction par un nombre

Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?

On constate qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on obtient deux morceaux égaux dont chacun constitue une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.

La division des fractions se fait à l'aide d'inverses. Les nombres réciproques vous permettent de remplacer la division par la multiplication.

Pour diviser une fraction par un nombre, vous devez multiplier la fraction par l’inverse du diviseur.

En utilisant cette règle, nous écrirons la division de notre moitié de pizza en deux parties.

Vous devez donc diviser la fraction par le nombre 2. Ici, le dividende est la fraction et le diviseur est le nombre 2.

Pour diviser une fraction par le nombre 2, vous devez multiplier cette fraction par l'inverse du diviseur 2. L'inverse du diviseur 2 est la fraction. Il faut donc multiplier par