L'espérance mathématique de la variable aléatoire y est égale à. Attente et variance d'une variable aléatoire

Les variables aléatoires, en plus des lois de distribution, peuvent également être décrites caractéristiques numériques .

Attente mathématique M (x) d'une variable aléatoire est appelée sa valeur moyenne.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est calculée à l'aide de la formule

Où – valeurs de variables aléatoires, p je- leurs probabilités.

Considérons les propriétés de l'espérance mathématique :

1. L'espérance mathématique d'une constante est égale à la constante elle-même

2. Si une variable aléatoire est multipliée par un certain nombre k, alors l'espérance mathématique sera multipliée par le même nombre

M (kx) = kM (x)

3. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Pour les variables aléatoires indépendantes x 1, x 2, … x n, l'espérance mathématique du produit est égale au produit de leurs espérances mathématiques

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Calculons l'espérance mathématique pour la variable aléatoire de l'exemple 11.

M(x) = = .

Exemple 12. Soit les variables aléatoires x 1, x 2 spécifiées en conséquence par les lois de distribution :

x 1 Tableau 2

x 2 Tableau 3

Calculons M (x 1) et M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Les attentes mathématiques des deux variables aléatoires sont les mêmes : elles sont égales à zéro. Cependant, la nature de leur répartition est différente. Si les valeurs de x 1 diffèrent peu de leur espérance mathématique, alors les valeurs de x 2 diffèrent dans une large mesure de leur espérance mathématique et les probabilités de tels écarts ne sont pas faibles. Ces exemples montrent qu'il est impossible de déterminer à partir de la valeur moyenne quels écarts se produisent, à la fois plus petits et plus grands. Ainsi, avec les mêmes précipitations annuelles moyennes dans deux zones, on ne peut pas dire que ces zones soient également favorables aux travaux agricoles. De même, sur la base de l’indicateur du salaire moyen, il n’est pas possible de juger de la part des travailleurs les mieux payés et les moins bien payés. Par conséquent, une caractéristique numérique est introduite - dispersion D(x) , qui caractérise le degré d'écart d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne :

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

La dispersion est l'espérance mathématique de l'écart carré d'une variable aléatoire par rapport à l'espérance mathématique. Pour une variable aléatoire discrète, la variance est calculée à l'aide de la formule :

ré(x)= = (3)

De la définition de la dispersion, il résulte que D (x) 0.

Propriétés de dispersion :

1. La variance de la constante est nulle

2. Si une variable aléatoire est multipliée par un certain nombre k, alors la variance sera multipliée par le carré de ce nombre

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Pour les variables aléatoires indépendantes par paires x 1 , x 2 , … x n la variance de la somme est égale à la somme des variances.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Calculons la variance de la variable aléatoire de l'exemple 11.

Espérance mathématique M (x) = 1. Par conséquent, d'après la formule (3) nous avons :

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Notez qu'il est plus facile de calculer la variance si vous utilisez la propriété 3 :

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Calculons les variances pour les variables aléatoires x 1 , x 2 de l'exemple 12 en utilisant cette formule. Les attentes mathématiques des deux variables aléatoires sont nulles.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Plus la valeur de variance est proche de zéro, plus l'écart de la variable aléatoire par rapport à la valeur moyenne est petit.

La quantité s'appelle écart type. Mode variable aléatoire x type discret Md La valeur d'une variable aléatoire qui a la probabilité la plus élevée est appelée.

Mode variable aléatoire x type continu Md, est un nombre réel défini comme le point maximum de la densité de distribution de probabilité f(x).

Médiane d'une variable aléatoire x type continu Mn est un nombre réel qui satisfait l'équation

– le nombre de garçons sur 10 nouveau-nés.

Il est tout à fait clair que ce nombre n'est pas connu à l'avance, et les dix prochains enfants nés pourraient inclure :

Ou des garçons - un et un seul parmi les options répertoriées.

Et, pour garder la forme, un peu d'éducation physique :

– distance de saut en longueur (dans certaines unités).

Même un maître du sport ne peut pas le prédire :)

Cependant, vos hypothèses ?

2) Variable aléatoire continue – accepte Tous valeurs numériques d'un intervalle fini ou infini.

Note : les abréviations DSV et NSV sont populaires dans la littérature pédagogique

Analysons d’abord la variable aléatoire discrète, puis - continu.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète

- Ce correspondance entre les valeurs possibles de cette quantité et leurs probabilités. Le plus souvent, la loi est écrite dans un tableau :

Le terme est utilisé assez souvent rangée distribution, mais dans certaines situations, cela semble ambigu, et je m'en tiendrai donc à la "loi".

Et maintenant point très important: puisque la variable aléatoire Nécessairement acceptera une des valeurs, puis les événements correspondants se forment groupe complet et la somme des probabilités de leur apparition est égale à un :

ou, s'il est écrit condensé :

Ainsi, par exemple, la loi de distribution de probabilité des points lancés sur un dé a la forme suivante :

Sans commentaires.

Vous avez peut-être l’impression qu’une variable aléatoire discrète ne peut prendre que de « bonnes » valeurs entières. Dissipons l'illusion - ils peuvent être n'importe quoi :

Exemple 1

Certains jeux ont la loi de distribution gagnante suivante :

...vous rêvez probablement de telles tâches depuis longtemps :) Je vais vous confier un secret - moi aussi. Surtout après avoir fini de travailler sur théorie des champs.

Solution: puisqu'une variable aléatoire ne peut prendre qu'une seule valeur parmi trois, les événements correspondants forment groupe complet, ce qui signifie que la somme de leurs probabilités est égale à un :

Dénoncer le « partisan » :

– ainsi, la probabilité de gagner des unités conventionnelles est de 0,4.

Contrôle : c’est de cela qu’il fallait s’assurer.

Répondre:

Il n'est pas rare que vous deviez rédiger vous-même une loi sur la distribution. Pour cela, ils utilisent définition classique de la probabilité, théorèmes de multiplication/addition pour les probabilités d'événements et autres chips Tervera:

Exemple 2

La boîte contient 50 billets de loterie, parmi lesquels 12 sont gagnants, et 2 d'entre eux gagnent 1 000 roubles chacun, et le reste - 100 roubles chacun. Élaborez une loi pour la distribution d'une variable aléatoire - le montant des gains, si un ticket est tiré au hasard dans la boîte.

Solution: comme vous l'avez remarqué, les valeurs d'une variable aléatoire sont généralement placées dans par ordre croissant. Par conséquent, nous commençons par les plus petits gains, à savoir les roubles.

Il y a 50 billets de ce type au total - 12 = 38, et selon définition classique:
– la probabilité qu’un ticket tiré au sort soit perdant.

Dans d'autres cas, tout est simple. La probabilité de gagner des roubles est :

Vérifiez : – et c'est un moment particulièrement agréable de telles tâches !

Répondre: la loi souhaitée de répartition des gains :

La tâche suivante est à résoudre par vous-même :

Exemple 3

La probabilité que le tireur atteigne la cible est de . Établissez une loi de distribution pour une variable aléatoire - le nombre de coups après 2 tirs.

...Je savais qu'il te manquait :) Souvenons-nous théorèmes de multiplication et d'addition. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

La loi de distribution décrit complètement une variable aléatoire, mais en pratique il peut être utile (et parfois plus utile) de n'en connaître qu'une partie. caractéristiques numériques .

Attente d'une variable aléatoire discrète

En termes simples, c'est valeur moyenne attendue lorsque les tests sont répétés plusieurs fois. Laissez la variable aléatoire prendre des valeurs avec des probabilités respectivement. Alors l’espérance mathématique de cette variable aléatoire est égale à somme de produits toutes ses valeurs aux probabilités correspondantes :

ou effondré :

Calculons, par exemple, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire - le nombre de points lancés sur un dé :

Rappelons maintenant notre jeu hypothétique :

La question se pose : est-il rentable de jouer à ce jeu ? ...qui a des impressions ? On ne peut donc pas le dire « à la légère » ! Mais on peut facilement répondre à cette question en calculant l’espérance mathématique, essentiellement : moyenne pondérée par probabilité de gagner :

Ainsi, l'espérance mathématique de ce jeu perdant.

Ne vous fiez pas à vos impressions, faites confiance aux chiffres !

Oui, ici, vous pouvez gagner 10 voire 20 à 30 fois de suite, mais à long terme, une ruine inévitable nous attend. Et je ne vous conseillerais pas de jouer à de tels jeux :) Eh bien, peut-être seulement pour le plaisir.

De tout ce qui précède, il s'ensuit que l'espérance mathématique n'est plus une valeur ALÉATOIRE.

Tâche créative pour une recherche indépendante :

Exemple 4

M. X joue à la roulette européenne selon le système suivant : il mise constamment 100 roubles sur le « rouge ». Élaborez une loi de distribution d'une variable aléatoire - ses gains. Calculez l'espérance mathématique des gains et arrondissez-la au kopeck le plus proche. Combien en moyenne Le joueur perd-il pour chaque cent misé ?

Référence : La roulette européenne contient 18 secteurs rouges, 18 noirs et 1 secteur vert (« zéro »). Si un « rouge » apparaît, le joueur est payé le double de la mise, sinon cela va aux revenus du casino.

Il existe de nombreux autres systèmes de roulette pour lesquels vous pouvez créer vos propres tables de probabilités. Mais c’est le cas lorsque nous n’avons besoin d’aucune loi ou table de distribution, car il est établi avec certitude que l’espérance mathématique du joueur sera exactement la même. La seule chose qui change d'un système à l'autre est

Comme on le sait déjà, la loi de distribution caractérise complètement une variable aléatoire. Cependant, la loi de distribution est souvent inconnue et il faut se limiter à moins d'informations. Parfois, il est encore plus rentable d'utiliser des nombres qui décrivent la variable aléatoire dans son ensemble ; ces numéros sont appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire. L’espérance mathématique est l’une des caractéristiques numériques importantes.

L'espérance mathématique, comme cela sera montré ci-dessous, est approximativement égale à la valeur moyenne de la variable aléatoire. Pour résoudre de nombreux problèmes, il suffit de connaître l’espérance mathématique. Par exemple, si l'on sait que l'espérance mathématique du nombre de points marqués par le premier tireur est supérieure à celle du second, alors le premier tireur marque en moyenne plus de points que le second et, par conséquent, tire mieux. que la seconde. Bien que l’espérance mathématique fournisse beaucoup moins d’informations sur une variable aléatoire que la loi de sa distribution, la connaissance de l’espérance mathématique est suffisante pour résoudre des problèmes comme celui ci-dessus et bien d’autres.

§ 2. Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète

Attente mathématique Une variable aléatoire discrète est la somme des produits de toutes ses valeurs possibles et de leurs probabilités.

Laissez la variable aléatoire X ne peut prendre que des valeurs X 1 ,X 2 , ..., X n , dont les probabilités sont respectivement égales r 1 , r 2 , . . ., r n . Alors l'espérance mathématique M(X) variable aléatoire X est déterminé par l'égalité

M(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x n p n .

Si une variable aléatoire discrète X prend un ensemble dénombrable de valeurs possibles, alors

M(X)=

De plus, l’espérance mathématique existe si la série du côté droit de l’égalité converge absolument.

Commentaire. De la définition, il s'ensuit que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est une quantité non aléatoire (constante). Nous vous recommandons de vous souvenir de cette déclaration, car elle sera utilisée plusieurs fois par la suite. Nous montrerons plus loin que l’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue est également une valeur constante.

Exemple 1. Trouver l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X, connaître la loi de sa distribution :

Solution. L'espérance mathématique requise est égale à la somme des produits de toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire et de leurs probabilités :

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Exemple 2. Trouver l'espérance mathématique du nombre d'occurrences d'un événement UN dans un essai, si la probabilité de l'événement UNégal à r.

Solution. Variable aléatoire X - nombre d'occurrences de l'événement UN dans un test - ne peut prendre que deux valeurs : X 1 = 1 (événement UN s'est produit) avec probabilité r Et X 2 = 0 (événement UN ne s'est pas produit) avec probabilité q= 1 -r. L'espérance mathématique requise

M(X)= 1* p+ 0* q= p

Donc, l'espérance mathématique du nombre d'occurrences d'un événement dans un essai est égale à la probabilité de cet événement. Ce résultat sera utilisé ci-dessous.

§ 3. Signification probabiliste de l'espérance mathématique

Qu'il soit produit n tests dans lesquels la variable aléatoire X accepté T 1 valeur multipliée X 1 , T. 2 valeur multipliée X 2 ,...,m k valeur multipliée x k , et T 1 + T 2 + …+t À =p. Puis la somme de toutes les valeurs prises X, égal à

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X À T À .

Trouvons la moyenne arithmétique toutes les valeurs acceptées par une variable aléatoire, pour lesquelles on divise la somme trouvée par le nombre total de tests :

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X À T À)/p,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X À (T À /n). (*)

Constatant que l'attitude m 1 / n- fréquence relative W 1 valeurs X 1 , m 2 / n - fréquence relative W 2 valeurs X 2 etc., on écrit la relation (*) comme ceci :

=X 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + X À W k . (**)

Supposons que le nombre de tests soit assez important. Alors la fréquence relative est approximativement égale à la probabilité que l'événement se produise (cela sera prouvé au chapitre IX, § 6) :

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W k p k .

En remplaçant les fréquences relatives en relation (**) par les probabilités correspondantes, on obtient

x 1 p 1 + X 2 r 2 + … + X À r À .

Le côté droit de cette égalité approximative est M(X). Donc,

M(X).

La signification probabiliste du résultat obtenu est la suivante : l'espérance mathématique est à peu près égale(plus c'est précis, plus le nombre de tests est grand) la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire.

Remarque 1. Il est facile de comprendre que l'espérance mathématique est supérieure à la plus petite et inférieure à la plus grande valeur possible. En d'autres termes, sur la droite numérique, les valeurs possibles sont situées à gauche et à droite de l'espérance mathématique. En ce sens, l'espérance mathématique caractérise la localisation de la distribution et est donc souvent appelée centre de distribution.

Ce terme est emprunté à la mécanique : si les masses r 1 , p 2 , ..., r n situés aux points d'abscisse x 1 , X 2 , ..., X n, et
puis l'abscisse du centre de gravité

x c =
.

Considérant que
= M (X) Et
nous obtenons M(X)=x Avec .

Ainsi, l'espérance mathématique est l'abscisse du centre de gravité d'un système de points matériels, dont les abscisses sont égales aux valeurs possibles de la variable aléatoire, et les masses sont égales à leurs probabilités.

Remarque 2. L'origine du terme « espérance mathématique » est associée à la période initiale d'émergence de la théorie des probabilités (XVIe - XVIIe siècles), lorsque le champ de son application était limité aux jeux de hasard. Le joueur s'intéressait à la valeur moyenne du gain attendu, ou, en d'autres termes, à l'espérance mathématique de gagner.

L'espérance mathématique est la définition

L'attente de l'échec et mat est l'un des concepts les plus importants de la statistique mathématique et de la théorie des probabilités, caractérisant la distribution des valeurs ou probabilités variable aléatoire. Généralement exprimé sous la forme d'une moyenne pondérée de tous les paramètres possibles d'une variable aléatoire. Largement utilisé dans l'analyse technique, l'étude des séries de nombres et l'étude des processus continus et chronophages. Il est important pour évaluer les risques, prédire les indicateurs de prix lors des transactions sur les marchés financiers et est utilisé pour développer des stratégies et des méthodes de tactiques de jeu dans théories du jeu.

Échec et mat en attente- Ce valeur moyenne d'une variable aléatoire, distribution probabilités la variable aléatoire est prise en compte dans la théorie des probabilités.

L'attente de l'échec et mat est une mesure de la valeur moyenne d'une variable aléatoire dans la théorie des probabilités. Échec et mat l'attente d'une variable aléatoire x désigné par M(x).

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'attente de l'échec et mat est

L'attente de l'échec et mat est en théorie des probabilités, moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles que peut prendre une variable aléatoire.

L'attente de l'échec et mat est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités de ces valeurs.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'attente de l'échec et mat est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et des longues distances.

L'attente de l'échec et mat est dans la théorie du jeu, montant des gains qu'un spéculateur peut gagner ou perdre, en moyenne, sur chaque pari. Dans le langage du jeu spéculateurs c'est ce qu'on appelle parfois "avantage" spéculateur" (s'il est positif pour le spéculateur) ou "house edge" (s'il est négatif pour le spéculateur).

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'attente de l'échec et mat est bénéfice par victoire multiplié par la moyenne profit, moins la perte, multipliée par la perte moyenne.

Attente mathématique d'une variable aléatoire en théorie mathématique

L'une des caractéristiques numériques importantes d'une variable aléatoire est la valeur attendue. Introduisons le concept de système de variables aléatoires. Considérons un ensemble de variables aléatoires qui sont les résultats de la même expérience aléatoire. Si est l’une des valeurs possibles du système, alors l’événement correspond à une certaine probabilité qui satisfait les axiomes de Kolmogorov. Une fonction définie pour toutes les valeurs possibles de variables aléatoires est appelée loi de distribution conjointe. Cette fonction vous permet de calculer les probabilités de tout événement à partir de. En particulier, conjointe loi les distributions de variables aléatoires et, qui prennent des valeurs de l'ensemble et, sont données par des probabilités.

Le terme « mat. "espérance" a été introduite par Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) et vient du concept de "valeur espérée des gains", apparu pour la première fois au XVIIe siècle dans la théorie des jeux de hasard dans les travaux de Blaise Pascal et Christiaan Huygens. Cependant, la première compréhension théorique et évaluation complète de ce concept a été donnée par Pafnuty Lvovich Chebyshev (milieu du XIXe siècle).

Loi les distributions de variables numériques aléatoires (fonction de distribution et séries de distribution ou densité de probabilité) décrivent complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines caractéristiques numériques de la grandeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son éventuel écart par rapport à celle-ci) pour répondre à la question posée. Les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires sont l'espérance, la variance, le mode et la médiane.

La valeur attendue d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de ses valeurs possibles et de leurs probabilités correspondantes. Parfois en jurant. l'espérance est appelée moyenne pondérée, car elle est approximativement égale à la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire sur un grand nombre d'expériences. De la définition de la valeur attendue, il s'ensuit que sa valeur n'est pas inférieure à la plus petite valeur possible de la variable aléatoire ni supérieure à la plus grande. La valeur attendue d'une variable aléatoire est une variable non aléatoire (constante).

L'espérance mathématique a une signification physique simple : si vous placez une unité de masse sur une ligne droite, en plaçant une certaine masse en certains points (pour une distribution discrète), ou si vous la « badigeonnez » d'une certaine densité (pour une distribution absolument continue) , alors le point correspondant à l'espérance mathématique sera la coordonnée "centre de gravité" droite.

La valeur moyenne d'une variable aléatoire est un certain nombre qui est en quelque sorte son « représentant » et le remplace dans des calculs à peu près approximatifs. Lorsque nous disons : « la durée moyenne de fonctionnement de la lampe est de 100 heures » ou « le point d'impact moyen est décalé par rapport à la cible de 2 m vers la droite », nous indiquons une certaine caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui décrit son emplacement. sur l'axe numérique, c'est-à-dire "caractéristiques du poste".

Parmi les caractéristiques d'une position dans la théorie des probabilités, le rôle le plus important est joué par la valeur attendue d'une variable aléatoire, parfois appelée simplement la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Considérons la variable aléatoire X, ayant des valeurs possibles x1, x2, …, xn avec probabilités p1, p2, …, pn. Il faut caractériser par un nombre la position des valeurs d'une variable aléatoire sur l'axe des abscisses avec en tenant compte que ces valeurs ont des probabilités différentes. A cet effet, il est naturel d’utiliser ce que l’on appelle la « moyenne pondérée » des valeurs xi, et chaque valeur xi lors de la moyenne doit être prise en compte avec un « poids » proportionnel à la probabilité de cette valeur. Ainsi, nous calculerons la moyenne de la variable aléatoire X, que nous désignons M |X|:

Cette moyenne pondérée est appelée valeur attendue d’une variable aléatoire. Ainsi, nous avons pris en considération l’un des concepts les plus importants de la théorie des probabilités : le concept mathématique. attentes. Tapis. L'espérance d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et des probabilités de ces valeurs.

Tapis. en attente d'une variable aléatoire X est lié par une dépendance particulière avec la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire sur un grand nombre d'expériences. Cette dépendance est du même type que la dépendance entre fréquence et probabilité, à savoir : avec un grand nombre d'expériences, la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire se rapproche (converge en probabilité) de ses mathématiques. en attendant. De la présence d'un lien entre fréquence et probabilité, on peut déduire en conséquence la présence d'un lien similaire entre la moyenne arithmétique et l'espérance mathématique. En effet, considérons la variable aléatoire X, caractérisé par une série de distribution :

Qu'il soit produit N expériences indépendantes, dans chacune desquelles la valeur X prend une certaine valeur. Supposons que la valeur x1 apparu m1 fois, valeur x2 apparu m2 une fois, au sens général xi est apparu plusieurs fois. Calculons la moyenne arithmétique des valeurs observées de la valeur X, qui, contrairement à l'attente mathématique M|X| nous désignons M*|X| :

Avec un nombre croissant d'expériences N fréquences pi se rapprochera (convergera en probabilité) des probabilités correspondantes. Par conséquent, la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire M|X| avec une augmentation du nombre d'expériences, il se rapprochera (convergera en probabilité) de sa valeur attendue. Le lien formulé ci-dessus entre la moyenne arithmétique et les mathématiques. l'attente est le contenu d'une des formes de la loi des grands nombres.

Nous savons déjà que toutes les formes de loi des grands nombres stipulent que certaines moyennes sont stables sur un grand nombre d’expériences. Nous parlons ici de la stabilité de la moyenne arithmétique à partir d’une série d’observations de même quantité. Avec un petit nombre d'expériences, la moyenne arithmétique de leurs résultats est aléatoire ; avec une augmentation suffisante du nombre d'expériences, elle devient « presque non aléatoire » et, en se stabilisant, se rapproche d'une valeur constante - mat. en attendant.

La stabilité des moyennes sur un grand nombre d’expériences peut être facilement vérifiée expérimentalement. Par exemple, lors de la pesée d'un corps dans un laboratoire sur des balances précises, à la suite de la pesée, nous obtenons à chaque fois une nouvelle valeur ; Pour réduire les erreurs d'observation, nous pesons le corps plusieurs fois et utilisons la moyenne arithmétique des valeurs obtenues. Il est facile de voir qu'avec une nouvelle augmentation du nombre d'expériences (pesées), la moyenne arithmétique réagit de moins en moins à cette augmentation et, avec un nombre d'expériences suffisamment grand, cesse pratiquement de changer.

Il convient de noter que la caractéristique la plus importante de la position d'une variable aléatoire est mat. attente - n'existe pas pour toutes les variables aléatoires. Il est possible de créer des exemples de telles variables aléatoires pour lesquelles mat. il n'y a pas d'attente car la somme ou l'intégrale correspondante diverge. Cependant, de tels cas ne présentent pas un intérêt significatif pour la pratique. En règle générale, les variables aléatoires que nous traitons ont une plage limitée de valeurs possibles et, bien sûr, ont une espérance mathématique.

En plus des caractéristiques les plus importantes de la position d'une variable aléatoire - la valeur attendue - en pratique, d'autres caractéristiques de la position sont parfois utilisées, notamment le mode et la médiane de la variable aléatoire.

Le mode d'une variable aléatoire est sa valeur la plus probable. Le terme « valeur la plus probable » ne s'applique à proprement parler qu'à des quantités discontinues ; pour une quantité continue, le mode est la valeur à laquelle la densité de probabilité est maximale. Les figures montrent respectivement le mode pour les variables aléatoires discontinues et continues.

Si le polygone de répartition (courbe de répartition) comporte plus d'un maximum, la répartition est dite « multimodale ».

Parfois, certaines distributions ont un minimum au milieu plutôt qu'un maximum. De telles distributions sont dites « antimodales ».

Dans le cas général, le mode et la valeur attendue d'une variable aléatoire ne coïncident pas. Dans le cas particulier où la distribution est symétrique et modale (c'est-à-dire possède un mode) et qu'il y a un tapis. attendue, alors elle coïncide avec le mode et le centre de symétrie de la distribution.

Une autre caractéristique de position est souvent utilisée : la médiane d'une variable aléatoire. Cette caractéristique n'est généralement utilisée que pour les variables aléatoires continues, bien qu'elle puisse être formellement définie pour une variable discontinue. Géométriquement, la médiane est l'abscisse du point auquel l'aire délimitée par la courbe de distribution est divisée en deux.

Dans le cas d'une distribution modale symétrique, la médiane coïncide avec le tapis. attente et mode.

La valeur attendue est la valeur moyenne d'une variable aléatoire - une caractéristique numérique de la distribution de probabilité d'une variable aléatoire. De la manière la plus générale, échec et mat l'attente d'une variable aléatoire X(w) est défini comme l'intégrale de Lebesgue par rapport à la mesure de probabilité R. dans l'espace de probabilité d'origine :

Tapis. l'espérance peut également être calculée comme l'intégrale de Lebesgue de X par distribution de probabilité px quantités X:

Il est naturel de définir le concept de variable aléatoire à espérance infinie. Un exemple typique est celui des délais de rapatriement lors de certaines marches aléatoires.

Avec l'aide d'un tapis. les attentes définissent de nombreuses caractéristiques numériques et fonctionnelles de la distribution (comme l'espérance mathématique des fonctions correspondantes d'une variable aléatoire), par exemple la fonction génératrice, la fonction caractéristique, les moments de tout ordre, notamment la dispersion, la covariance.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'espérance mathématique est une caractéristique de la localisation des valeurs d'une variable aléatoire (la valeur moyenne de sa distribution). À ce titre, l'espérance mathématique sert de paramètre de distribution « typique » et son rôle est similaire à celui du moment statique - la coordonnée du centre de gravité de la distribution de masse - en mécanique. L'espérance se distingue des autres caractéristiques de localisation à l'aide desquelles la distribution est décrite en termes généraux - médianes, modes, tapis - par la plus grande valeur qu'elle et la caractéristique de diffusion correspondante - dispersion - ont dans les théorèmes limites de la théorie des probabilités. La signification de l'attente du partenaire est révélée plus pleinement par la loi des grands nombres (inégalité de Chebyshev) et la loi renforcée des grands nombres.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Attente d'une variable aléatoire discrète

Supposons qu'il y ait une variable aléatoire qui peut prendre l'une des nombreuses valeurs numériques (par exemple, le nombre de points lors du lancement d'un dé peut être 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Souvent en pratique, pour une telle valeur, la question se pose : quelle valeur prend-on « en moyenne » avec un grand nombre de tests ? Quel sera notre revenu (ou perte) moyen pour chacune des transactions risquées ?

Disons qu'il y a une sorte de loterie. Nous voulons comprendre s’il est rentable ou non d’y participer (voire d’y participer de manière répétée, régulière). Disons qu'un billet sur quatre est gagnant, que le prix sera de 300 roubles et que n'importe quel billet sera de 100 roubles. Avec un nombre infini de participations, c'est ce qui se passe. Dans les trois quarts des cas, nous perdrons, toutes les trois pertes coûteront 300 roubles. Dans un cas sur quatre, nous gagnerons 200 roubles. (prix moins coût), c'est-à-dire que pour quatre participations, nous perdons en moyenne 100 roubles, pour une - en moyenne 25 roubles. Au total, le tarif moyen de notre ruine sera de 25 roubles par ticket.

Nous jetons les dés. S’il ne s’agit pas de tricher (sans déplacer le centre de gravité, etc.), alors combien de points aurons-nous en moyenne à la fois ? Puisque chaque option est également probable, nous prenons simplement la moyenne arithmétique et obtenons 3,5. Puisque c'est MOYEN, il n'y a pas lieu de s'indigner qu'aucun lancer spécifique ne donnera 3,5 points - eh bien, ce cube n'a pas de face avec un tel chiffre !

Résumons maintenant nos exemples :

Regardons l'image qui vient d'être donnée. A gauche se trouve un tableau de la distribution d'une variable aléatoire. La valeur X peut prendre l'une des n valeurs possibles (données dans la ligne du haut). Il ne peut y avoir d’autres significations. Sous chaque valeur possible, sa probabilité est écrite ci-dessous. À droite se trouve la formule, où M(X) est appelé mat. en attendant. La signification de cette valeur est qu’avec un grand nombre de tests (avec un grand échantillon), la valeur moyenne tendra vers cette même attente.

Revenons encore au même cube de jeu. Tapis. le nombre de points attendu lors du lancer est de 3,5 (calculez-le vous-même en utilisant la formule si vous ne me croyez pas). Disons que vous l'avez lancé plusieurs fois. Les résultats étaient de 4 et 6. La moyenne était de 5, ce qui est loin de 3,5. Ils l'ont lancé encore une fois, ils ont obtenu 3, soit en moyenne (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... D'une certaine manière loin du tapis. attentes. Maintenant, faites une expérience folle : lancez le cube 1000 fois ! Et même si la moyenne n’est pas exactement de 3,5, elle s’en rapprochera.

Calculons le tapis. en attendant la loterie décrite ci-dessus. La plaque ressemblera à ceci :

Ensuite, l’attente d’échec et mat sera celle que nous avons établie ci-dessus :

Une autre chose est qu'il serait difficile de le faire « sur les doigts » sans formule s'il y avait plus d'options. Bon, disons qu'il y aurait 75 % de tickets perdants, 20 % de tickets gagnants et 5 % de tickets surtout gagnants.

Certaines propriétés répondent désormais aux attentes.

Tapis. l'attente est linéaire. C'est facile à prouver :

Le multiplicateur constant peut être retiré au-delà du signe échec et mat. attentes, c'est-à-dire :

Il s’agit d’un cas particulier de la propriété de linéarité de la contrainte attendue.

Autre conséquence de la linéarité du tapis. attentes :

c'est-à-dire mat. l'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme des espérances mathématiques des variables aléatoires.

Soit X, Y des variables aléatoires indépendantes, Alors:

C'est aussi facile à prouver) Travail XY elle-même est une variable aléatoire, et si les valeurs initiales pouvaient prendre n Et m valeurs en conséquence, alors XY peut prendre des valeurs nm. chaque valeur est calculée sur la base du fait que les probabilités d'événements indépendants sont multipliées. En conséquence, nous obtenons ceci :

Attente d'une variable aléatoire continue

Les variables aléatoires continues ont une caractéristique telle que la densité de distribution (densité de probabilité). Cela caractérise essentiellement la situation dans laquelle une variable aléatoire prend plus souvent certaines valeurs de l'ensemble des nombres réels et d'autres moins souvent. Par exemple, considérons ce graphique :

Ici X- variable aléatoire réelle, f(x)- densité de distribution. A en juger par ce graphique, lors des expériences, la valeur X sera souvent un nombre proche de zéro. Les chances sont dépassées 3 ou être plus petit -3 plutôt purement théorique.

Si la densité de distribution est connue, alors la valeur attendue se trouve comme suit :

Supposons par exemple une distribution uniforme :

Trouvons un échec et mat. attente:

Ceci est tout à fait cohérent avec une compréhension intuitive. Disons que si nous obtenons de nombreux nombres réels aléatoires avec une distribution uniforme, chacun des segments |0; 1| , alors la moyenne arithmétique devrait être d'environ 0,5.

Les propriétés des attentes mathématiques - linéarité, etc., applicables aux variables aléatoires discrètes, sont également applicables ici.

Relation entre l'espérance mathématique et d'autres indicateurs statistiques

DANS statistique l'analyse, avec l'espérance mathématique, il existe un système d'indicateurs interdépendants qui reflètent l'homogénéité des phénomènes et la stabilité processus. Les indicateurs de variation n’ont souvent aucune signification indépendante et sont utilisés pour une analyse plus approfondie des données. L'exception est le coefficient de variation, qui caractérise l'homogénéité données ce qui a de la valeur statistique caractéristiques.

Degré de variabilité ou de stabilité processus en science statistique peut être mesurée à l’aide de plusieurs indicateurs.

L'indicateur le plus important caractérisant variabilité la variable aléatoire est Dispersion, qui est le plus étroitement et directement lié au tapis. en attendant. Ce paramètre est activement utilisé dans d'autres types d'analyses statistiques (tests d'hypothèses, analyse des relations de cause à effet, etc.). Comme l’écart linéaire moyen, la dispersion reflète également la mesure de l’écart données autour de la valeur moyenne.

Il est utile de traduire le langage des signes dans le langage des mots. Il s’avère que la dispersion est le carré moyen des écarts. Autrement dit, la valeur moyenne est d'abord calculée, puis la différence entre chaque valeur originale et moyenne est prise, mise au carré, ajoutée, puis divisée par le nombre de valeurs dans la population. Différence entre une valeur individuelle et la moyenne reflète la mesure de l'écart. Il est mis au carré pour que tous les écarts deviennent des nombres exclusivement positifs et pour éviter la destruction mutuelle des écarts positifs et négatifs lors de leur addition. Ensuite, étant donné les carrés des écarts, on calcule simplement la moyenne arithmétique. Moyenne - carré - écarts. Les écarts sont mis au carré et la moyenne est calculée. La réponse au mot magique « dispersion » tient en seulement trois mots.

Cependant, sous sa forme pure, comme la moyenne arithmétique ou la dispersion, elle n'est pas utilisée. Il s’agit plutôt d’un indicateur auxiliaire et intermédiaire utilisé pour d’autres types d’analyses statistiques. Il n’a même pas d’unité de mesure normale. À en juger par la formule, il s'agit du carré de l'unité de mesure des données originales.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Mesurons une variable aléatoire N Plusieurs fois, par exemple, nous mesurons la vitesse du vent dix fois et souhaitons trouver la valeur moyenne. Comment la valeur moyenne est-elle liée à la fonction de distribution ?

Ou bien nous lancerons les dés un grand nombre de fois. Le nombre de points qui apparaîtront sur les dés à chaque lancer est une variable aléatoire et peut prendre n'importe quelle valeur naturelle de 1 à 6. La moyenne arithmétique des points perdus calculée pour tous les lancers de dés est également une variable aléatoire, mais pour les grands N il tend vers un nombre très spécifique – échec et mat. en attendant MX. Dans ce cas Mx = 3,5.

Comment as-tu obtenu cette valeur ? Laisser entrer N essais n1 une fois que vous obtenez 1 point, n2 une fois - 2 points et ainsi de suite. Ensuite, le nombre de résultats dans lesquels un point est tombé :

De même pour les résultats lorsque 2, 3, 4, 5 et 6 points sont obtenus.

Supposons maintenant que nous connaissons les distributions de la variable aléatoire x, c'est-à-dire que nous savons que la variable aléatoire x peut prendre des valeurs x1, x2,..., xk avec des probabilités p1, p2,..., pk .

L'espérance mathématique Mx de la variable aléatoire x est égale à :

Les attentes mathématiques ne sont pas toujours une estimation raisonnable d’une variable aléatoire. Ainsi, pour estimer le salaire moyen, il est plus raisonnable d'utiliser la notion de médiane, c'est-à-dire une valeur telle que le nombre de personnes gagnant moins que la médiane salaire et grand, coïncident.

La probabilité p1 que la variable aléatoire x soit inférieure à x1/2 et la probabilité p2 que la variable aléatoire x soit supérieure à x1/2 sont identiques et égales à 1/2. La médiane n'est pas déterminée de manière unique pour toutes les distributions.

Standard ou écart type en statistique, le degré d'écart des données ou des ensembles d'observation par rapport à la valeur MOYENNE est appelé. Désigné par les lettres s ou s. Un petit écart type indique que les données se regroupent autour de la moyenne, tandis qu'un grand écart type indique que les données initiales sont situées loin de celle-ci. L'écart type est égal à la racine carrée d'une quantité appelée variance. C'est la moyenne de la somme des carrés des différences des données initiales qui s'écartent de la valeur moyenne. L'écart type d'une variable aléatoire est la racine carrée de la variance :

Exemple. Dans des conditions de test lors du tir sur une cible, calculez la dispersion et l'écart type de la variable aléatoire :

Variation- fluctuation, variabilité de la valeur d'une caractéristique parmi les unités de la population. Les valeurs numériques individuelles d'une caractéristique trouvée dans la population étudiée sont appelées valeurs variantes. L'insuffisance de la valeur moyenne pour caractériser pleinement la population nous oblige à compléter les valeurs moyennes par des indicateurs permettant d'évaluer la typicité de ces moyennes en mesurant la variabilité (variation) de la caractéristique étudiée. Le coefficient de variation est calculé à l'aide de la formule :

Plage de variation(R) représente la différence entre les valeurs maximales et minimales de l'attribut dans la population étudiée. Cet indicateur donne l'idée la plus générale de la variabilité de la caractéristique étudiée, comme le montre différence seulement entre les valeurs extrêmes des options. La dépendance à l'égard des valeurs extrêmes d'une caractéristique confère à l'étendue de la variation un caractère instable et aléatoire.

Déviation linéaire moyenne représente la moyenne arithmétique des écarts absolus (modulo) de toutes les valeurs de la population analysée par rapport à leur valeur moyenne :

Espérance mathématique dans la théorie du jeu

L'attente de l'échec et mat est le montant moyen d’argent qu’un spéculateur de jeu peut gagner ou perdre sur un pari donné. Il s’agit d’un concept très important pour un spéculateur car il est fondamental pour évaluer la plupart des situations de jeu. L'échec et mat des attentes est également l'outil optimal pour analyser les dispositions de base des cartes et les situations de jeu.

Disons que vous jouez à un jeu de pièces avec un ami, en pariant 1 $ à chaque fois, quoi qu'il arrive. Face signifie que vous gagnez, face vous perdez. Les chances sont de une contre une que cela tombe face, vous pariez donc 1 $ contre 1 $. Ainsi, votre espérance d’échec et mat est égale à zéro, car D'un point de vue mathématique, vous ne pouvez pas savoir si vous allez mener ou perdre après deux lancers ou après 200.

Votre gain horaire est nul. Les gains horaires correspondent au montant d’argent que vous espérez gagner en une heure. Vous pouvez lancer une pièce 500 fois en une heure, mais vous ne gagnerez ni ne perdrez parce que... vos chances ne sont ni positives ni négatives. Du point de vue d’un spéculateur sérieux, ce système de paris n’est pas mauvais. Mais c'est tout simplement une perte de temps.

Mais disons que quelqu'un veut parier 2 $ contre 1 $ sur le même jeu. Vous avez alors immédiatement une attente positive de 50 centimes pour chaque pari. Pourquoi 50 centimes? En moyenne, vous gagnez un pari et perdez le second. Pariez en premier et vous perdrez 1 $, pariez en deuxième et vous gagnerez 2 $. Vous pariez 1 $ deux fois et vous avancez de 1 $. Donc chacun de vos paris d'un dollar vous a donné 50 centimes.

Si une pièce apparaît 500 fois en une heure, vos gains horaires seront déjà de 250 $, car... en moyenne tu en as perdu un dollar 250 fois et j'en ai gagné deux dollar 250 fois. 500 $ moins 250 $ équivaut à 250 $, soit le total des gains. Veuillez noter que la valeur attendue, qui correspond au montant moyen que vous gagnez par pari, est de 50 centimes. Vous avez gagné 250 $ en pariant un dollar 500 fois, ce qui équivaut à 50 cents par pari.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Tapis. l'attente n'a rien à voir avec les résultats à court terme. Votre adversaire, qui a décidé de parier 2 $ contre vous, pourrait vous battre sur les dix premiers lancers consécutifs, mais vous, bénéficiant d'un avantage de mise de 2 contre 1, toutes choses étant égales par ailleurs, gagnerez 50 cents sur chaque pari de 1 $ dans n'importe quelle situation. circonstances. Peu importe que vous gagniez ou perdiez un pari ou plusieurs paris, du moment que vous disposez de suffisamment d’argent pour couvrir confortablement les frais. Si vous continuez à parier de la même manière, vos gains atteindront sur une longue période la somme des attentes lors des lancers individuels.

Chaque fois que vous faites un meilleur pari (un pari qui peut s'avérer rentable à long terme), lorsque les chances sont en votre faveur, vous êtes assuré de gagner quelque chose, que vous le perdiez ou non dans le futur. donné la main. À l’inverse, si vous faites un pari outsider (un pari qui n’est pas rentable à long terme) alors que les chances sont contre vous, vous perdez quelque chose, que vous gagniez ou perdiez la main.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Vous placez un pari avec le meilleur résultat si vos attentes sont positives, et il est positif si les chances sont de votre côté. Lorsque vous placez un pari avec le pire résultat, vous avez une attente négative, ce qui se produit lorsque les chances sont contre vous. Les spéculateurs sérieux ne parient que sur le meilleur résultat ; si le pire se produit, ils se couchent. Que signifient les chances en votre faveur ? Vous pourriez finir par gagner plus que ce que les probabilités réelles vous apportent. Les chances réelles que des têtes atterrissent sont de 1 contre 1, mais vous obtenez 2 contre 1 en raison du rapport de cotes. Dans ce cas, les chances sont en votre faveur. Vous obtenez certainement le meilleur résultat avec une attente positive de 50 centimes par pari.

Voici un exemple de tapis plus complexe. attentes. Un ami écrit les nombres de un à cinq et parie 5 $ contre 1 $ pour que vous ne deviniez pas le nombre. Faut-il accepter un tel pari ? Quelle est l’attente ici ?

En moyenne, vous vous tromperez quatre fois. Sur cette base, les chances que vous deviniez le nombre sont de 4 contre 1. Les chances que vous perdiez un dollar en une seule tentative. Cependant, vous gagnez 5 contre 1, avec la possibilité de perdre 4 contre 1. Les chances sont donc en votre faveur, vous pouvez prendre le pari et espérer le meilleur résultat. Si vous faites ce pari cinq fois, en moyenne vous perdrez 1 $ quatre fois et gagnerez 5 $ une fois. Sur cette base, pour les cinq tentatives, vous gagnerez 1 $ avec une espérance mathématique positive de 20 cents par pari.

Un spéculateur qui espère gagner plus que ce qu’il parie, comme dans l’exemple ci-dessus, prend des risques. Au contraire, il ruine ses chances lorsqu’il espère gagner moins que ce qu’il a parié. Un spéculateur plaçant un pari peut avoir une attente positive ou négative, selon qu'il gagne ou qu'il ruine les chances.

Si vous pariez 50 $ pour gagner 10 $ avec une chance de gagner de 4 contre 1, vous obtiendrez une attente négative de 2 $ car En moyenne, vous gagnerez 10 $ quatre fois et perdrez 50 $ une fois, ce qui signifie que la perte par pari sera de 10 $. Mais si vous pariez 30 $ pour gagner 10 $, avec les mêmes chances de gagner 4 contre 1, alors dans ce cas, vous avez une attente positive de 2 $, car vous gagnez à nouveau quatre fois 10 $ et perdez une fois 30 $, ce qui équivaut à profità 10$. Ces exemples montrent que le premier pari est mauvais et le second est bon.

Tapis. l’anticipation est au centre de toute situation de jeu. Lorsqu'un bookmaker encourage les fans de football à parier 11 $ pour gagner 10 $, il s'attend à gagner 50 cents pour chaque 10 $. Si le casino paie l'argent de la ligne de passe au craps, alors l'attente positive du casino sera d'environ 1,40 $ pour chaque tranche de 100 $, car Ce jeu est structuré de telle sorte que quiconque parie sur cette ligne perd en moyenne 50,7 % et gagne 49,3 % du temps total. Sans aucun doute, c’est cette attente positive apparemment minime qui rapporte des profits colossaux aux propriétaires de casino du monde entier. Comme l'a noté Bob Stupak, propriétaire du casino Vegas World, « un millième pour cent une probabilité négative sur une distance suffisamment longue ruinera l’homme le plus riche du monde.

Attente en jouant au poker

Le jeu de poker est l'exemple le plus illustratif et le plus illustratif du point de vue de l'utilisation de la théorie et des propriétés de l'attente du compagnon.

Tapis. La valeur attendue au poker est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et de la longue distance. Un jeu de poker réussi consiste à toujours accepter des mouvements avec une valeur attendue positive.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Signification mathématique des mathématiques. Lorsqu'on joue au poker, on s'attend à ce que nous rencontrions souvent des variables aléatoires lors de la prise de décision (nous ne savons pas exactement quelles cartes l'adversaire a en main, quelles cartes apparaîtront lors des tours suivants). commerce). Il faut considérer chacune des solutions du point de vue de la théorie des grands nombres, qui stipule qu'avec un échantillon suffisamment grand, la valeur moyenne d'une variable aléatoire tendra vers sa valeur attendue.

Parmi les formules particulières permettant de calculer les attentes en matière de mat, la suivante est la plus applicable au poker :

Lorsque vous jouez au poker, échec et mat. l'attente peut être calculée à la fois pour les paris et les appels. Dans le premier cas, le Fold Equity doit être pris en compte, dans le second, les propres cotes de la banque. Lors de l'évaluation du tapis. attentes d'un mouvement particulier, il ne faut pas oublier qu'un repli a toujours une attente nulle. Ainsi, défausser des cartes sera toujours une décision plus rentable que n’importe quel mouvement négatif.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Les attentes vous indiquent à quoi vous pouvez vous attendre (ou perdre) pour chaque risque que vous prenez. Les casinos gagnent de l'argent argent, puisque l'échec et mat est une attente de tous les jeux qui y sont pratiqués, en faveur du casino. Avec une série de jeux suffisamment longue, vous pouvez vous attendre à ce que le client perde son argent, puisque les « chances » sont en faveur du casino. Cependant, les spéculateurs professionnels des casinos limitent leurs jeux à de courtes périodes, augmentant ainsi les chances en leur faveur. Il en va de même pour l’investissement. Si vos attentes sont positives, vous pouvez gagner plus d'argent en effectuant de nombreuses transactions en peu de temps. période temps. L'attente est votre pourcentage de profit par victoire multiplié par votre profit moyen, moins votre probabilité de perte multipliée par votre perte moyenne.

Le poker peut également être vu du point de vue des attentes en matière d'échec et mat. Vous pouvez supposer qu’un certain mouvement est rentable, mais dans certains cas, ce n’est peut-être pas le meilleur car un autre mouvement est plus rentable. Disons que vous obtenez un full au poker à cinq cartes. Votre adversaire fait un pari. Vous savez que si vous relancez la mise, il répondra. Par conséquent, relancer semble être la meilleure tactique. Mais si vous augmentez la mise, les deux spéculateurs restants se coucheront définitivement. Mais si vous suivez, vous avez la certitude que les deux autres spéculateurs après vous feront de même. Lorsque vous relancez votre mise, vous recevez une unité, et lorsque vous suivez, vous en recevez deux. Ainsi, suivre vous donne une valeur attendue positive plus élevée et constituera la meilleure tactique.

Tapis. les attentes peuvent également donner une idée des tactiques de poker les moins rentables et celles qui sont les plus rentables. Par exemple, si vous jouez une certaine main et que vous pensez que votre perte sera en moyenne de 75 cents, mise comprise, alors vous devriez jouer cette main car c'est mieux que de se coucher lorsque l'ante est de 1 $.

Une autre raison importante pour comprendre l’essence du maté. L'attente est que cela vous procure un sentiment de paix, que vous gagniez ou non le pari : si vous avez fait un bon pari ou si vous vous êtes couché au bon moment, vous saurez que vous avez gagné ou économisé une certaine somme d'argent qu'un spéculateur plus faible ne pourrait pas sauvegarder. Il est beaucoup plus difficile de se coucher si vous êtes contrarié parce que votre adversaire a tiré une main plus forte. Avec tout cela, ce que vous avez économisé en ne jouant pas, au lieu de parier, s'ajoute à vos gains par nuit ou par mois.

N'oubliez pas que si vous aviez changé de main, votre adversaire vous aurait suivi, et comme vous le verrez dans l'article sur le Théorème fondamental du poker, ce n'est qu'un de vos avantages. Vous devriez être heureux quand cela arrive. Vous pourriez même apprendre à aimer perdre une main, car vous savez que d’autres spéculateurs dans votre position auraient perdu beaucoup plus.

Comme mentionné dans l'exemple du jeu de pièces au début, le taux de profit horaire est lié à la maturation attendue, et ce concept est particulièrement important pour les spéculateurs professionnels. Lorsque vous allez jouer au poker, vous devez estimer mentalement combien vous pouvez gagner en une heure de jeu. Dans la plupart des cas, vous devrez vous fier à votre intuition et à votre expérience, mais vous pouvez également recourir à quelques mathématiques. Par exemple, vous jouez au draw lowball et vous voyez trois joueurs miser 10 $ puis échanger deux cartes, ce qui est une très mauvaise tactique, vous pouvez comprendre que chaque fois qu'ils parient 10 $, ils perdent environ 2 $. Chacun d’eux fait cela huit fois par heure, ce qui signifie qu’ils perdent tous les trois environ 48 dollars de l’heure. Vous êtes l'un des quatre spéculateurs restants, qui sont à peu près égaux, donc ces quatre spéculateurs (et vous parmi eux) doivent se partager 48 $, chacun réalisant un bénéfice de 12 $ de l'heure. Dans ce cas, vos chances horaires sont simplement égales à votre part de la somme d’argent perdue par trois mauvais spéculateurs en une heure.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Sur une longue période, le total des gains d'un spéculateur est la somme de ses attentes mathématiques entre des mains individuelles. Plus vous jouez de mains avec une attente positive, plus vous gagnez, et inversement, plus vous jouez de mains avec une attente négative, plus vous perdez. Par conséquent, vous devez choisir un jeu qui peut maximiser votre anticipation positive ou annuler votre anticipation négative afin que vous puissiez maximiser vos gains horaires.

Attente mathématique positive dans la stratégie de jeu

Si vous savez compter les cartes, vous pouvez avoir un avantage sur le casino, à condition qu'ils ne le remarquent pas et ne vous jettent pas. Les casinos adorent les spéculateurs ivres et ne supportent pas de compter les cartes. Un avantage vous permettra de gagner plus de fois que vous n’en perdrez au fil du temps. Une bonne gestion de l’argent lors de l’utilisation des calculs d’attentes peut vous aider à tirer davantage de profit de votre avantage et à réduire vos pertes. Sans avantage, il vaut mieux donner l’argent à une œuvre caritative. Dans le jeu boursier, un avantage est donné par le système de jeu qui crée plus de profits que de pertes, la différence prix et commissions. Aucun gestion de l'argent ne sauvera pas un mauvais système de jeu.

Une attente positive est définie comme une valeur supérieure à zéro. Plus ce nombre est élevé, plus l’espérance statistique est forte. Si la valeur est inférieure à zéro, alors échec et mat. l'attente sera également négative. Plus le module de la valeur négative est grand, plus la situation est mauvaise. Si le résultat est nul, alors l’attente est à l’équilibre. Vous ne pouvez gagner que lorsque vous avez des attentes mathématiques positives et un système de jeu raisonnable. Jouer par intuition mène au désastre.

Espérance mathématique et

L'attente d'échec et mat est un indicateur statistique assez largement demandé et populaire lors de la réalisation de transactions boursières sur des marchés financiers. marchés. Tout d'abord, ce paramètre est utilisé pour analyser le succès de commerce. Il n'est pas difficile de deviner que plus cette valeur est élevée, plus il y a de raisons de considérer le métier étudié comme réussi. Bien sûr, l'analyse travail le trader ne peut pas être effectué uniquement en utilisant ce paramètre. Cependant, la valeur calculée en combinaison avec d'autres méthodes d'évaluation de la qualité travail, peut améliorer considérablement la précision de l’analyse.

L'échec et mat des attentes est souvent calculé dans les services de surveillance des comptes de trading, ce qui vous permet d'évaluer rapidement le travail effectué sur le dépôt. Les exceptions incluent les stratégies qui utilisent des transactions non rentables « s’absentant ». Commerçant la chance peut l'accompagner pendant un certain temps et il se peut donc qu'il n'y ait aucune perte dans son travail. Dans ce cas, il ne sera pas possible de se laisser guider uniquement par l'attente mathématique, car les risques utilisés dans le travail ne seront pas pris en compte.

En trading sur marché l'échec et mat est le plus souvent utilisé pour prédire la rentabilité de toute stratégie de trading ou pour prévoir les revenus commerçant sur la base des données statistiques de son précédent enchère.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

En ce qui concerne la gestion de l'argent, il est très important de comprendre qu'il n'y a aucune tendance à effectuer des transactions avec des attentes négatives. gestion de l'argent, ce qui peut certainement générer des profits élevés. Si tu continues à jouer bourse dans ces conditions, alors quelle que soit la méthode gestion de l'argent, vous perdrez la totalité de votre compte, quelle que soit sa taille au début.

Cet axiome est vrai non seulement pour les jeux ou les échanges avec des attentes négatives, mais également pour les jeux avec des chances égales. Par conséquent, le seul moment où vous avez une chance de réaliser des bénéfices à long terme est si vous effectuez des transactions avec une valeur attendue positive.

La différence entre une attente négative et une attente positive est la différence entre la vie et la mort. Peu importe à quel point les attentes sont positives ou négatives ; Tout ce qui compte c'est si c'est positif ou négatif. Par conséquent, avant d’aborder les questions de gestion capital il faut trouver un jeu avec une anticipation positive.

Si vous n'avez pas un tel jeu, alors toute la gestion de l'argent du monde ne vous sauvera pas. D’un autre côté, si vous avez une attente positive, vous pouvez, grâce à une bonne gestion financière, la transformer en une fonction de croissance exponentielle. Peu importe que les attentes positives soient minimes ! En d’autres termes, peu importe la rentabilité d’un système commercial basé sur un seul contrat. Si vous disposez d'un système qui gagne 10 $ par contrat et par transaction (après commissions et dérapages), vous pouvez utiliser des techniques de gestion. capital d'une manière qui le rend plus rentable qu'un système qui affiche un bénéfice moyen de 1 000 $ par transaction (après commissions et dérapages).

Ce qui compte n’est pas la rentabilité du système, mais la certitude qu’il générera au moins un bénéfice minimal à l’avenir. Par conséquent, la préparation la plus importante qui puisse être effectuée est de garantir que le système affichera une valeur attendue positive à l’avenir.

Afin d’avoir une valeur attendue positive dans le futur, il est très important de ne pas limiter les degrés de liberté de votre système. Ceci est réalisé non seulement en éliminant ou en réduisant le nombre de paramètres à optimiser, mais également en réduisant autant de règles système que possible. Chaque paramètre que vous ajoutez, chaque règle que vous établissez, chaque petite modification que vous apportez au système réduit le nombre de degrés de liberté. Idéalement, vous devez construire un système assez primitif et simple qui générera systématiquement de petits bénéfices sur presque tous les marchés. Encore une fois, il est important que vous compreniez que la rentabilité du système n’a pas d’importance, du moment qu’il est rentable. L'argent que vous gagnez en trading le sera grâce à une gestion efficace de votre argent.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Un système commercial est simplement un outil qui vous donne une valeur attendue positive afin que vous puissiez utiliser la gestion de l'argent. Les systèmes qui fonctionnent (montrent au moins des bénéfices minimes) sur un ou quelques marchés seulement, ou qui ont des règles ou des paramètres différents pour différents marchés, ne fonctionneront probablement pas en temps réel assez longtemps. Le problème avec la plupart des traders orientés vers la technique est qu'ils consacrent trop de temps et d'efforts à optimiser les différentes règles et valeurs des paramètres du système commercial. Cela donne des résultats complètement opposés. Au lieu de gaspiller de l'énergie et du temps informatique pour augmenter les bénéfices du système commercial, consacrez votre énergie à augmenter le niveau de fiabilité pour obtenir un profit minimum.

Sachant que gestion de l'argent n'est qu'un jeu de chiffres qui nécessite l'utilisation d'attentes positives, un commerçant peut arrêter de chercher le « Saint Graal » de la négociation d'actions. Au lieu de cela, il peut commencer à tester sa méthode de trading, découvrir à quel point cette méthode est logique et si elle donne des attentes positives. Des méthodes appropriées de gestion financière, appliquées à toutes les méthodes de trading, même très médiocres, feront elles-mêmes le reste du travail.

Pour que tout commerçant réussisse dans son travail, il doit résoudre trois tâches les plus importantes :. S'assurer que le nombre de transactions réussies dépasse les inévitables erreurs et erreurs de calcul ; Configurez votre système de trading pour avoir la possibilité de gagner de l'argent le plus souvent possible ; Obtenez des résultats positifs et stables de vos opérations.

Et ici, pour nous, commerçants qui travaillons, le maté peut être d’une grande aide. attente. Ce terme est l’un des termes clés de la théorie des probabilités. Avec son aide, vous pouvez donner une estimation moyenne d'une valeur aléatoire. L'espérance d'une variable aléatoire est similaire au centre de gravité, si vous imaginez toutes les probabilités possibles comme des points avec des masses différentes.

En ce qui concerne une stratégie de trading, l'attente de profit (ou de perte) est le plus souvent utilisée pour évaluer son efficacité. Ce paramètre est défini comme la somme des produits des niveaux de profits et pertes donnés et de la probabilité de leur apparition. Par exemple, la stratégie de trading développée suppose que 37 % de toutes les transactions généreront des bénéfices et que la partie restante - 63 % - ne sera pas rentable. Dans le même temps, la moyenne revenu d'une transaction réussie sera de 7 $ et la perte moyenne sera de 1,4 $. Calculons le calcul. attentes de trading en utilisant ce système :

Que signifie ce numéro ? Il dit que, selon les règles de ce système, nous recevrons en moyenne 1 708 $ pour chaque transaction clôturée. Étant donné que l’indice d’efficacité qui en résulte est supérieur à zéro, un tel système peut être utilisé pour un travail réel. Si, à la suite du calcul de l'échec et mat, l'attente s'avère négative, cela indique déjà une perte moyenne et cela conduira à la ruine.

Le montant du profit par transaction peut également être exprimé en valeur relative sous forme de %. Par exemple:

Le pourcentage de revenu pour 1 transaction est de 5 % ;

Le pourcentage d'opérations commerciales réussies est de 62 % ;

Pourcentage de perte pour 1 transaction - 3 % ;

Le pourcentage de transactions infructueuses est de 38 % ;

Dans ce cas, échec et mat. l'attente sera :

Autrement dit, le commerce moyen rapportera 1,96%.

Il est possible de développer un système qui, malgré la prédominance des métiers non rentables, produira un résultat positif, puisque son MO>0.

Cependant, attendre seul ne suffit pas. Il est difficile de gagner de l'argent si le système donne très peu de signaux de trading. Dans ce cas, il sera assimilable à des intérêts bancaires. Supposons que chaque opération produise en moyenne seulement 0,5 dollar, mais que se passe-t-il si le système implique 1 000 opérations par an ? Cela représentera une somme très importante dans un délai relativement court. Il s'ensuit logiquement qu'une autre caractéristique distinctive d'un bon système commercial peut être considérée comme une courte période de détention des positions.

Sources et liens

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- — espérance mathématique Une des caractéristiques numériques d'une variable aléatoire, souvent appelée sa moyenne théorique. Pour une variable aléatoire discrète X mathématique... ... Guide du traducteur technique

ATTENTES MATHÉMATIQUES- (valeur attendue) La valeur moyenne de la distribution d'une variable économique qu'elle peut prendre. Si рt est le prix d’un produit au temps t, son espérance mathématique est notée Ept. Pour indiquer le moment auquel ... ... Dictionnaire économique

Attente- valeur moyenne d'une variable aléatoire. L'espérance mathématique est une quantité déterministe. La moyenne arithmétique des réalisations d'une variable aléatoire est une estimation de l'espérance mathématique. Moyenne arithmétique... ... Terminologie officielle - (valeur moyenne) d'une variable aléatoire - une caractéristique numérique d'une variable aléatoire. Si une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité (voir Théorie des probabilités), alors son M. o. MX (ou EX) est défini comme l'intégrale de Lebesgue : où... Encyclopédie physique

ATTENTES MATHÉMATIQUES- une variable aléatoire est sa caractéristique numérique. Si une variable aléatoire X a une fonction de distribution F(x), alors son M. o. volonté: . Si la distribution X est discrète, alors M.o. : , où x1, x2, ... valeurs possibles de la variable aléatoire discrète X ; p1... Encyclopédie géologique

ATTENTES MATHÉMATIQUES- Anglais valeur attendue Allemand Erwartung mathématique. Moyenne stochastique ou centre de dispersion d'une variable aléatoire. Antinazi. Encyclopédie de sociologie, 2009... Encyclopédie de sociologie

Attente- Voir aussi : Espérance mathématique conditionnelle L'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire, la distribution de probabilité d'une variable aléatoire, est considérée en théorie des probabilités. Dans la littérature anglophone et en mathématiques... ... Wikipédia

Attente- 1.14 Espérance mathématique E (X) où xi est la valeur d'une variable aléatoire discrète ; p = P (X = xi); f(x) densité d'une variable aléatoire continue * Si cette expression existe dans le sens de convergence absolue Source ... Dictionnaire-ouvrage de référence des termes de la documentation normative et technique

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Autrement dit, si sl. la quantité a une loi de distribution, alors

appelé son espérance mathématique. Si sl. la quantité a un nombre infini de valeurs, alors l'espérance mathématique est déterminée par la somme de la série infinie , à condition que cette série soit absolument convergente (sinon on dit que l'espérance mathématique n'existe pas) .

Pour continu sl. valeur spécifiée par la fonction de densité de probabilité f(x), l'espérance mathématique est définie comme une intégrale

à condition que cette intégrale existe (si l'intégrale diverge, alors on dit que l'espérance mathématique n'existe pas).

Exemple 1. Déterminons l'espérance mathématique d'une variable aléatoire répartie sur loi de Poisson. Par définition

ou notons

,

Donc le paramètre , la loi de distribution déterminante d'une variable aléatoire de Poisson est égale à la valeur moyenne de cette variable.

Exemple 2. Pour une variable aléatoire ayant une loi de distribution exponentielle, l'espérance mathématique est égale à

():

(prendre les limites dans l'intégrale, en tenant compte du fait que f (x) n'est différent de zéro que pour x positif).

Exemple 3. Variable aléatoire distribuée selon la loi de distribution Cauchy, n'a pas de valeur moyenne. Vraiment

Propriétés de l'espérance mathématique.

Propriété 1. L’espérance mathématique d’une constante est égale à cette constante elle-même.

La constante C prend cette valeur avec probabilité un et, par définition, M(C)=C×1=C

Propriété 2. L'espérance mathématique d'une somme algébrique de variables aléatoires est égale à la somme algébrique de leurs espérances mathématiques.

Nous nous limitons à prouver cette propriété uniquement pour la somme de deux variables aléatoires discrètes, c'est-à-dire prouvons que

Sous la somme de deux mots discrets. Les quantités s'entendent comme suit. Une quantité qui prend des valeurs avec probabilités

Par définition

où est la probabilité de l’événement calculée sous la condition que . Le côté droit de la dernière égalité répertorie tous les cas d'occurrence de l'événement, il est donc égal à la probabilité totale d'occurrence de l'événement, c'est-à-dire . De même . Finalement nous avons

Propriété 3. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques.

U			…
Q			…
X			…
R.			…

Nous présentons des preuves de cette propriété uniquement pour des quantités discrètes. Pour les variables aléatoires continues, cela se prouve de la même manière.

Soit X et Y indépendants et ayant des lois de distribution

Le produit de ces variables aléatoires sera une variable aléatoire qui prend des valeurs avec des probabilités égales, en raison de l'indépendance des variables aléatoires, . Alors

Conséquence. Le facteur constant peut être retiré comme signe de l’espérance mathématique. Ainsi, la constante du siècle C ne dépend pas de la valeur que prend le mot. valeur X, puis par propriété 3. on a

M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)

Exemple. Si a et b sont des constantes, alors M(ax+b)=aM(x)+b.

Espérance mathématique du nombre d'occurrences d'un événement dans un plan d'essais indépendants.

Soit n expériences indépendantes réalisées dont la probabilité d'occurrence d'un événement dans chacune d'elles est égale à P. Le nombre d'occurrences d'un événement dans ces n expériences est une variable aléatoire X distribuée selon la loi binomiale. Cependant, calculer directement sa valeur moyenne est fastidieux. Pour simplifier, nous utiliserons le développement, que nous utiliserons plus d'une fois à l'avenir : Le nombre d'occurrences d'un événement dans n expériences comprend le nombre d'occurrences de l'événement dans des expériences individuelles, c'est-à-dire

où est la loi de distribution (prend la valeur 1 si l'événement s'est produit dans une expérience donnée, et la valeur 0 si l'événement n'est pas apparu dans une expérience donnée).

R.	1er	r

C'est pourquoi

ceux. le nombre moyen d'occurrences d'un événement dans n expériences indépendantes est égal au produit du nombre d'expériences et de la probabilité d'occurrence d'un événement dans une expérience.

Par exemple, si la probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,1, alors le nombre moyen de coups sûrs en 20 tirs est de 20x0,1=2.