Équation de la leçon de Kolyagin cosx a. Leçon d'algèbre sur le thème "Résoudre des équations trigonométriques simples. Résoudre une équation de la forme cos x = a." III. "Conférence avancée"

FÉDÉRATION DE RUSSIE

DISTRICT AUTONOME DE YAMAL-NENETS

DÉPARTEMENT DE L'ÉDUCATION DE L'ADMINISTRATION DE LA VILLE DE NOYABRSK

INSTITUTION ÉDUCATIVE MUNICIPALE

"ÉCOLE SECONDAIRE N°7

FORMATION MUNICIPALE VILLE DE NOYABRSK"

Développement méthodologique

cours d'algèbre (10e année)

Sujet : « Arc cosinus du nombre a.

Résoudre les équations cos x = a"

Professeur de mathématiques,

Noïabrsk

2009 Une leçon d'apprentissage de nouvelle matière et de consolidation initiale des connaissances.

Leçon ouverte d'algèbre et d'analyse de base en 10e année.

Sujet de la leçon : Arc cosinus de a. Résoudre les équations cos x = a.

Objectifs de la leçon :

Pédagogique:

a) introduire la notion d'arc cosinus du nombre a ;

b) développer l'habileté de calculer l'arc sinus d'un nombre ;

c) dériver la formule des racines des équations trigonométriques les plus simples : cos x = a ;

d) apprendre à utiliser la formule lors de la résolution d'équations trigonométriques simples ;

e) étudier des cas particuliers de la solutionéquations trigonométriques pour et égal à 0, -1, 1.

Pédagogique:

a) développer la capacité d'exprimer des pensées et des idées de manière brève, logique et cohérente jugements;

b) développer la capacité d'argumenter vos déclarations ;

c) développer les compétences nécessaires pour classer, comparer, analyser et tirer des conclusions.

3. Éducatif :

a) enseigner les compétences de planification d'activités, en travaillant à un rythme optimal,

b) cultiver la capacité d'évaluer correctement ses capacités, les résultats des activités éducatives et développer des compétences en communication ;

c) cultiver le travail acharné et la détermination.

Équipement: ordinateur, tableau blanc interactif, documents à distribuer, cartes reflétant les activités d'apprentissage (pour chaque élève), affiche avec un cercle unitaire.

Écrivez au tableau :

Tout étudiant a le droit :

Apprenez-en plus que le professeur et défendez vos hypothèses.

Progression de la leçon :

Moment d'organisation(2 minutes)

Professeur: Bonjour les gars.

Aujourd'hui, en classe, nous apprendrons(Diapositive 1)

a) exprimer brièvement, logiquement et systématiquement des pensées et des jugements ;

b) motiver ses déclarations ;

c) comparer, analyser et tirer des conclusions ;

d) évaluer les résultats de leurs activités éducatives.

Nous rappelons que chaque étudiant, comme toujours, a le droit :

Exprimez votre opinion et soyez entendu;
Planifiez votre propre auto-apprentissage à domicile ;
En savoir plus que le professeur et défendre vos hypothèses(écrire au tableau)

2.Mise à jour des connaissances(3-4 minutes)

Arithmétique orale (les tâches sont projetées sur un écran interactif(Diapositive 2)

Professeur

Étudiant

Points du cercle unitaire, , appartenir à quel quartier ?

Points du cercle unitaire, , appartenir au 1 quart ?

Le cosinus de quel angle est une quantité positive ?

Conclusion: Le cosinus d'un angle aigu est une quantité positive.

Si l'angle appartient à 1 quart

2. Calculez les valeurs : parce que;

Professeur

Étudiant

Points du cercle unitaire, , appartenir à quel quartier ?

Points du cercle unitaire, , parce que;

parce que

Conclusion: appartiennent à 2 quarts.

Le cosinus de quel angle est une quantité négative ?

Le cosinus d'un angle obtus est une valeur négative Si l'angle appartient au 2ème quart

2. Le cosinus dont l'angle est égal à; 0 ; ; 1 ; ; - ; - , Si ? 3. Vérifier les devoirs

(3-4min)

(3 élèves préparent à l'avance des solutions d'équations à l'aide d'un cercle unité au tableau) 1 étudiant

t = +2πk , où k Z (

l'explication est basée sur le cercle unité)

Réponse : t = +2πk, où k Z.

2 étudiants

coût t = 1,5,.

N'a pas de solution parce que -1≤à≤1

Réponse : aucune solution

coût t = 1,

T = 2πk, où k Z.

Réponse :t = 2πk, où k Z.

3 étudiants

coût t = 0,

t = + πk, k ;

Réponse : t = + πk, k ;

coût t = -1,

t = π + 2πk, k . Réponse : t = π + 2πk, k.

Professeur

Étudiant

4.Apprendre du nouveau matériel(13-15 minutes)

Maintenant, résolvons l'équation coût t = . sur le tableau écrit sur le tableau principal à côté de l'exemple

coût t =

, tous les autres élèves écoutent (l'exemple et le cercle unitaire sont écrits à l'avance)

En récitant l'algorithme de résolution de l'équation trigonométrique la plus simple, l'élève résout l'équation en utilisant le cercle unité. t = t 1 +2πk, t = t 2 +2πk, où k Z, car t 1= - t 2, alors t = ± t 1 +2πk, où k Z, Est-ce que cette entrée

répondre des solutions à l'équation ?

Professeur: Cette entrée n'est pas la réponse pour résoudre l'équation, puisque les valeurs ne sont pas définies 1 t 1. 1 Quel est ce numéro t, n'est pas encore connu, il est seulement clair que t . Face à cette situation, les mathématiciens ont compris qu’ils devaient trouver un moyen de la décrire en langage mathématique. Par conséquent, un nouveau symbole arccos a été introduit pour examen UN ,

qui se lit comme suit : arc cosinus UN .

Professeur	Étudiant
Écrivons le sujet de la leçon d'aujourd'hui : « Arc cosinus du nombre a. Résoudre les équations cos t = a"	(Diapositive 3.4)
Alors, lorsque l’on calcule l’arc cosinus d’un nombre, quelle question faut-il se poser ? Le cosinus de quel nombre est égal à a ?	À l’aide de la définition que vous avez apprise, trouvez le sens de l’expression arccos(); arcсos() arcсos() (Diapositive 5) arccos(); arcсos() arcсos() (Diapositive 5)
arccos() =	arcсos() =
Toutes les valeurs de a appartiennent au segment de -1 à 0. À quel quart appartient l'arc cosinus de a ?) (Les valeurs arccosa appartiennent à l'intervalle de 0 à(Diapositive 6) Calculer : arccos (- ); arccos(- ); arccos(- ); (Diapositive 6)	arccos (- )= arccos(- ) = arccos(- ) =
Toutes les valeurs appartiennent au segment de -1 à 0. À quel quartier appartiennent les valeurs arccos(–a) ?) ? Notez le matériel de référence (diapositive 6)	Les valeurs arccos(a) appartiennent au segment deà π Les élèves écrivent la formule dans leur cahier.

Renforcer et pratiquer la notion d'arc cosinus d'un nombre et l'algorithme de calcul de celui-ci (travail frontal avec la classe)

Calculer à partir d'une diapositive sur le tableau interactif

Exercice

Trouvez le sens de l'expression :(Diapositive 7)

a) arccos ()- arccos (- )+ + arcos1

b) 2arccos 0 + 3 arccos 1 – arcos (- ) (Diapositive 8)

5. Travail indépendant (suivi d'un autotest)(Diapositive 9)

2 personnes travaillent de manière indépendante au tableau, les autres travaillent dans des cahiers, puis vérifient l'exactitude de l'exécution. Ceux qui ont travaillé sur les devoirs écrivent au tableaudépliants, puis soumettez-les pour inspection

Professeur

Étudiant

Revenons à l'équation cos t =. ce que j'ai décidé... Connaissant les concepts d'arc cosinus, nous pouvons maintenant écrire la réponse pour résoudre cette équation comme suit.

(13-15 minutes)

t = ±arccos + 2πk , où k Z .

Réponse : t = ±arccos + 2πk, où k Z

Nous avons résolu l’équation de deux manières : en utilisant le cercle unité et en utilisant la formule.

Notez la solution du professeur dans un cahier

Alors, écrivons le matériel de référence et mettons-le en évidence en résolvant l'équation(Diapositive 10)

cos t = a, où a .

t = ± arccos a + 2πk, k.

Réponse : t = ± arccos a + 2πk, k.

Notez dans un cahier un modèle de résolution de l'équation pour l'enseignant

6. Consolidation du matériel étudié(13min)

N° 15.5 (b, d), 15.6 (a, b).

(2 élèves travaillent individuellement au tableau)

1ère leçon : a) coût t = ; b) coût t = - ;

2ème leçon : a) coût t = ; b) coût t = . ()

faites attention à cet exemple lorsque vous effectuez une estimation de nombre

Résolvez l'équation :

N° 15.5(b,d)

b) coût t = .

d) coût t = ;

15.6 (a, b) a) coût t = 1 ;

(faites attention à la réponse et mettez en évidence les cas particuliers)

b) coût t = - 7. Résumer la leçon (réflexion

).(3-4min)

Professeur	Étudiant
(travail oral frontal avec la classe)	Quels nouveaux concepts avez-vous appris en classe ?
Nous avons appris un nouveau concept : l'arc cosinus a.	Quelle nouvelle façon de résoudre des équations trigonométriques simples avons-nous examiné en classe ?
Utiliser des formulesEncore une fois, examinez attentivement le matériel de référence que nous avons enregistré. Fermez vos cahiers, passez le test sur votre bureau, chacun avec votre propre option, et remplissez les espaces vides. Vous disposez de 3 minutes pour ce travail (contrôle mutuel) (après 3 minutes de travail, les élèves échangent des feuilles de papier et vérifient l'exactitude, les réponses sont projetées sur le tableau interactif)	(Les parties manquées du test sont surlignées en noir)
Vous avez désormais identifié des lacunes dans vos connaissances, et je vous demande d'y prêter attention chez vous.

8.Devoirs (différenciés)(1min) (Diapositive 12)

Professeur: Nous avons étudié le matériel pédagogique du niveau obligatoire et résolu les tâches de test du niveau B au format Examen d'État unifié, en même temps il vous est demandé de résoudre des équations trigonométriques réduites au plus simple.

§16, n° 15.3, 15.4, 15.5(c,d), 15.6(c,d), *15.12

Aperçu :

Calculer : un rc avec os - arc avec os + + un rc avec os 1 =

Calculer : 2) 2 a rc avec os 0 + 3 arc avec os 1 - arc avec os =

Ouvrage indépendant n° 15.1(a,b,c), 15.2(c,d)

coût t = a, où a ϵ [-1;1] t = ± arc c os a + 2 π k, k ϵ Z Réponse : ± arc c os a + 2π k, k ϵ Z n° 15.5(b), 15.6(b), 15.5(d), 15.6(a)

Option 1 Option 2 Si a ϵ [-1;1], alors arc c os a est un nombre du segment [ 0; π ], dont le cosinus est égal à a. si dans ϵ [-1;0], alors arc avec os dans ϵ si a ¢ [-1;1], alors l'équation cost t = a n'a pas de solution si cost t = 1, alors t = 2π k , k ϵ Z ; si a ϵ, alors ar avec cos a ϵ si a ϵ, alors ar avec cos (-a)= π- ar avec cos et si cos t = 0, alors t = + π k, k ϵ Z ; si a ϵ [-1;1], alors l'équation cost t = a a des solutions t = ± arc avec os a + 2π k, k ϵ Z

Devoirs §16, n° 15.3, 15.4, 15.5(c,d), 15.6(c,d), *15.12

merci pour la leçon

Si | un | 1, alors l'équation cos t = a n'a pas de racines réelles

Cas particuliers si cost t = 1, alors t = 2 π k, k ϵ Z si cost t = -1, alors t = π + 2 π k, k ϵ Z si cost t = 0, alors t = + π k, k ϵ Z

Leçons 34-35. Équations trigonométriques

09.07.2015 4523 0

Cible: envisagez de résoudre des équations trigonométriques.

I. Communiquer le sujet et le but des cours

II. Répétition et consolidation de la matière abordée

1. Réponses aux questions sur les devoirs (analyse des problèmes non résolus).

2. Suivi de l'assimilation de la matière (enquête écrite).

Option 1

arctg x.

2. Représentez graphiquement la fonction :

3. Calculer

Option 2

1. Définir et lister les principales propriétés de la fonction y = arcctg x.

2. Représentez graphiquement la fonction :

3. Calculer

III. Apprendre du nouveau matériel

Considérons la résolution de certains types d'équations trigonométriques. Pour ce faire, il faut, à l'aide de transformations, réduire cette équation à l'une des équations les plus simples - sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a , dont la solution peut être écrite.

1. Les équations trigonométriques les plus simples

Rappelons encore une fois les solutions des équations trigonométriques les plus simples.

1. Solutions d'équations sin x = a (où | a | ≤ 1) ont la forme :

2. Solutions d'équations parce que x = a (où |a| ≤ 1) ont la forme :

3. Solutions d'équations tg x = a a la forme :

4. Solutions aux équations ctg x = a a la forme :

Lors de la résolution d'équations péché x = 0 ; ±1 et cosx = 0 ; ±1 (cas particuliers), il est plus pratique d'utiliser non pas des formules générales, mais d'utiliser le cercle numérique, on obtient alors :

Exemple 1

Pour l’équation sin x = 1, nous montrerons la préférence d'utiliser le cercle numérique.

Nous écrivons d’abord les solutions de l’équation péché x = 1, en utilisant la formule généralePour plusieurs valeurs n ces solutions sont données dans le tableau.

D'après les données du tableau, il est clair que lors de l'utilisation de la formuleChaque solution est répétée deux fois. De plus, l'expressionplus lourd par rapport à la formulequi est obtenu en considérant le cercle numérique.

Exemple 2

Trouvons des solutions à l'équationappartenant au segment.

Résolvons cette équation en utilisant le cercle numérique. On obtient :Sélectionnons les solutions qui appartiennent au segment . Par condition on obtient l'inégalitéRésolvons cette inégalité :Trois valeurs entières entrent dans cette plage n:n = 0, 1, 2. Pour ces valeurs n trouvons les solutions correspondantes :

Exemple 3

Résolvons l'équation

En utilisant la formule générale, on obtient :Alors

2. Deux méthodes principales pour résoudre des équations trigonométriques

Pour résoudre des équations plus complexes, utilisez la méthode d'introduction d'une nouvelle variable et la méthode de factorisation. Considérons d'abord la méthode d'introduction d'une nouvelle variable.

Exemple 4

Résolvons l'équation :

a) Introduisons une nouvelle variable z = cosx dont les racines sont z 1 = 1 et z 2 = 2/3. Revenons à la vieille inconnue et obtenons les équations les plus simples cos x = 1 et cos x = 2/3. Solutions à la première équation x = 2πn , solutions à la deuxième équation

b) Utilisation de la formuledans l'équation passons à la fonction péché. On obtient : ou Ensuite, nous procédons de la même manière au point a. Introduisons une nouvelle variable z = péché x et on obtient une équation quadratiquedont les racines sont z 1 = 2 et z 2 = 1/3. Revenons à la vieille inconnue et obtenons les équations les plus simples péché x = 2 (n'a pas de solutions) et péché x = 1/3 (sa solution).

Parlons maintenant de la deuxième méthode : la méthode de factorisation. Lorsqu'elle est appliquée, l'équation f(x ) = 0 s'écrit sous la forme, alors soit f 1 (x) = 0, soit f 2 (x) = 0. Ainsi, le problème se réduit à résoudre un ensemble d'équations

Exemple 5

Résolvons l'équation :

a) Le côté gauche de l’équation a déjà été pris en compte. Le problème revient à résoudre un ensemble d'équations tg x - 1 = 0 (ou tg x = 1) et cos x + 1/2 = 0 (ou cos x = -1/2). Solutions à la première équationsolutions à la deuxième équation

b) Retirons cos 3 x en dehors des parenthèses on obtient :Nous devons maintenant résoudre un ensemble d'équations cos 3 x = 0 et (ou ). En résolvant la première équation, on trouve : Et En résolvant la deuxième équation, on obtient :

Précisons la méthode en question. De l’équation.il s'ensuit que soit f 1 (x ) = 0 (dans ce cas l'expression f2 (x) a du sens), ou f2 (x) = 0 (dans ce cas l'expression f 1 (x) a du sens).

Exemple 6

Résolvons l'équation cot x (cos + 1) = 0.

A partir de l'équation cot x = 0 on trouve : à partir de l'équation cos x + 1 = 0 (ou cos x = -1) on obtient : x = π + 2π n . Mais pour de telles valeurs de x, l'expression ctg x cela n'a pas de sens. Par conséquent, les solutions de cette équation x = π/2 + n n.

3. Équations trigonométriques homogènes

Discutons maintenant d'un type d'équations fréquemment rencontré : les équations homogènes.

Définition. Équation de la forme(où une ≠ 0, b ≠ 0) est appelée équation trigonométrique homogène du premier degré. Équation de la forme(où a ≠ 0) est appelée une équation trigonométrique homogène du deuxième degré.

Considérons d'abord la solution des équations trigonométriques homogènes du premier degré Assurons-nous que parce que x ≠ 0. Supposons que parce que x = 0, et remplacez cette valeur dans cette équation. On obtient : un péché x = 0. Puisque a ≠ 0, alors péché x = 0. Évidemment, les égalités cos x = 0 et péché x = 0 ne peut pas être exécuté simultanément, puisque l'égalité péché 2 x + cos 2 x = 1 n'est pas exécuté.

Puisque cos x ≠ 0, alors parce que x. On obtient : ou d'où et

Exemple 7

Résolvons l'équation

Divisons tous les termes de l'équation par et on obtient : Nous trouverons et

Exemple 8

Résolvons l'équation

Prenons en compte la parité de la fonction cosinus et la formule de réduction. On obtient :ou Divisons les deux côtés de l'équation par parce que 3x. On a : 2 tg 3 x = -1, d'où tg 3 x = -1/2,

Considérons maintenant la solution d'une équation trigonométrique homogène du deuxième degré Assurons-nous que parce que x ≠ 0. Remplacez la valeur parce que x = 0 dans cette équation et on obtient : un péché 2 x = 0. Puisque a ≠ 0, on a : péché x = 0. Mais les égalités cos x = 0 et péché x = 0 ne peut pas être exécuté simultanément.

Puisque cos x ≠ 0, puis divisez tous les termes de l'équation par cos 2 x et on obtient : ou Introduisons une nouvelle variable z = bronzage x et on arrive à l'équation quadratique az 2 + bz + c = 0. Résolvez cette équation. Ensuite, nous revenons à l'ancienne variable, obtenons les équations trigonométriques les plus simples et trouvons leurs solutions.

Exemple 9

Résolvons l'équation

Divisons tous les termes de l'équation par cos 2 x et on obtient : tg 2 x – tg x - 2 = 0. Introduisons une nouvelle variable z = bronzage x et on obtient une équation quadratique z 2 - z - 2 = 0, dont les racines z 1 = -1 et z 2 = 2. Revenons à l'ancienne variable. Nous avons les équations trigonométriques les plus simples tg x = -1 (ses solutions) et tan x = 2 (ses solutions ).

Exemple 10

Résolvons l'équation

Cette équation n'est pas homogène, puisque le côté droit contient le chiffre 1, et non le chiffre 0. Si l'on prend en compte l'égalité péché 2 x + cos 2 x = 1, alors l'équation peut être facilement réduite à une équation homogène. On obtient : ou Divisons tous les termes de l'équation par parce que 2 x . On a : tg 2 x + 5 tg x + 4 = 0. Introduisons une nouvelle variable z = bronzage x et on obtient une équation quadratique z 2 + 5 z + 4 = 0, dont les racines z 1 = -1 et z 2 = -4. Revenons à l'ancienne variable. Obtenons les équations trigonométriques les plus simples tg x = -1 (ses solutions) et tg x = -4 (ses solutions).

Soit une équation trigonométrique homogène coefficient a = 0. L’équation ressemble alors à :Dans ce cas, divisez par cos 2 x n'est pas possible, car cos x peut être nul. Il est donc nécessaire d’utiliser la méthode de factorisation. Nous obtenonsNous avons l'équation trigonométrique la plus simple parce que x = 0 et une équation trigonométrique homogène du premier degréNous savons déjà comment résoudre de telles équations.

Exemple 11

Résolvons l'équation

Factorisons le côté gauche de l'équation :Le produit de deux facteurs est égal à zéro. L’un des facteurs est donc nul. Nous obtenons l'équation trigonométrique la plus simple cos x = 0 (ses solutions ) et une équation trigonométrique homogène du premier ordreou (ses solutions).

La méthode de factorisation est également utilisée dans le cas où le coefficient c = 0. L'équation ressemble alors à : ou On obtient encore une fois l'équation trigonométrique la plus simple péché x = 0 et une équation trigonométrique homogène du premier ordrequi sont résolus de la même manière que l’exemple 11.

La considération des exemples 9 à 11 permet de formuler un algorithme de résolution de l'équation

1. Si le coefficient a n'est pas nul, alors tous les termes de l'équation sont divisés par parce que 2 x . Introduire une nouvelle variable z = bronzage x et obtenez une équation quadratique. Trouvez les racines de cette équation et revenez à la vieille inconnue. Obtenez les équations trigonométriques les plus simples et résolvez-les.

2. Si les coefficients a et c sont égaux à zéro, utilisez la méthode de factorisation. À un = 0 est retiré des parenthèses parce que x, quand c = 0 ils retirent péché x . Obtenez l'équation trigonométrique la plus simple et une équation trigonométrique homogène du premier ordre et résolvez-les.

IV. Questions de sécurité

1. Solutions des équations trigonométriques les plus simples.

2. Deux méthodes principales pour résoudre des équations trigonométriques.

3. Définition d'une équation trigonométrique homogène des premier et deuxième degrés.

4. Solution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré.

5. Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du deuxième degré.

V. Devoir de cours

§ 18, n° 3 (a, c) ; 5 (a, b); 6b); 8 (g); 10 (a, b); 11c); 12(a); 13c); 16 ; 18 ; 20(a); 21 (a, b); 23(a); 27 (a, b); 30(a); 31 ; 33(a); 34b); 35(a).

VI. Devoir à la maison

§ 18, n° 3 (b, d) ; 5 (c, d); 6 (g); 8b); 10 (c, d); 11(a); 12b); 13 (g); 17 ; 19 ; 20b); 21 (c, d); 23b); 27 (c, d); 30b); 32 ; 33b); 34(a); 35(b).

VII. Résumer les leçons

Leçon pour la section : « Équations trigonométriques », 10e année

Sujet de la leçon : « Équation cos x = a. »

Type d'activité: formation de nouvelles connaissances, compétences et aptitudes

Objectifs de la leçon :

-pédagogique

considérons les solutions aux équations trigonométriques les plus simples du type cosx=a.

-pédagogique

développer des compétences en matière de culture de travail ;

-développement

développer le sens des responsabilités et les compétences de travail indépendant et de maîtrise de soi ;

développer une pensée logique;

développer la capacité de classer et de généraliser ;

développer la capacité de poser des questions.

Équipement: tableau blanc interactif avec projecteur multimédia et ordinateur, tableaux avec formules, présentation.

Objectifs de la leçon :

1). Les élèves répètent les concepts de base du sujet.

2). Les élèves résolvent des équations telles que cos x = a.

Techniques méthodologiques : technique de cluster (« grappes »), technique « croyez-vous ? (au stade du défi), « cours magistral avancé » (au stade de la compréhension), solution commentée d'équations, travail autonome des étudiants (au stade de la réflexion).

La leçon a été dispensée en utilisant des éléments de technologie de pensée critique.

Progression de la leçon:

Appel

I. La leçon commence par une question à la classe :« Le sujet de notre leçon est écrit au tableau. À quelles questions souhaiteriez-vous répondre aujourd’hui ?

Au cours de la discussion, un schéma (cluster) apparaît au tableau :

cosx = a.

P. Travailler avec le tableau « Croyez-vous que... ? »,(« Est-ce vrai que... ? ») :

1). Équation cos x = une a une infinité de racines ;

2). parce que x – abscisse d'un point du cercle unité ;

3). Sur l'intervalle [o;π] l'équation cosx = ½ a 1 racine ;

4). arccos un- angle à partir de l'intervalle [-π /2 ; π/2], dont le cosinus est égal à UN(|UN|≤1);

5). arccos (-а) = π - arccos a ;

6). Équations cosx = 1 ; cosx = -1 ; cosx = 0 a une série de racines ?

Les questions comportaient spécifiquement une formulation incorrecte.

Les élèves travaillent en binôme et remplissent la colonne (1) du tableau (« + » - oui ; « - » - non). Puis, sans discussion, la même colonne (1) du tableau « Croyez-vous que… ? » est remplie au tableau. Des cartes avec une table sont sur chaque bureau.

Compréhension

III. "Conférence avancée".

Devoir : les étudiants de l'option 1 suivent le cluster (schéma), les étudiants de l'option 2 rédigent un court résumé de cours.

un) parce que x- abscisse du point du cercle unité obtenu en faisant tourner le point P 0 (1;0) d'un angle X autour de l'origine.

C'est-à-dire quand UN moins que -1 et plus que 1 , équation parce que x= un n'a pas de racines . Résolvons l'équation cosx = 3/2. ( Réponse : pas de racines).

b). Résolvons l'équation parce que x = 1/2.

π /3 + 2 π k, k є Z.

-π /3 + 2 π k, k є Z.

Répondre : ± π/3 + 2 πk, k є Z.

Équation cosx =1/2 a une infinité de racines, mais sur le segment cette équation a 1 racine π /3, qui s'appelle arccos 1/2 .

Écrire: arccos 1/2= π /3.

c) résoudre de la même manière les équations :

cos x = une, où |a|≤1 :

arccos un

- arccos a

Répondre : x = ± arccos a + 2π ok, okє Z.

Rappelons que arccos(-a) =π - arccos a.

arccos(-UN) arccos (-UN)

G). cas particuliers :

1). cosx =1

x= 2πk, k є Z.

2). cosx =-1

x= π + 2πk, k є Z.

3). cosx = 0

x= π/2 + πk, k є Z.

IV. Travaillez en binôme avec un cluster et un tableau « Est-ce vrai que... ? » Quatre binômes travaillent avec le cluster, le reste avec le tableau (remplissez la colonne 2).

Vous disposez de 2 minutes pour travailler, 5 minutes supplémentaires pour vérifier, discuter et écrire au tableau. Lors de la vérification du tableau (il est dessiné au tableau), les connaissances acquises sont comparées aux connaissances initiales et les bonnes réponses sont mises en évidence en couleur vive.

Réflexion

V. Maintenant que nous avons obtenu les formules des racines de l'équation trigonométrique cos x = une, les élèves commentent et résolvent des équations au tableau :

2). 3 cos x/3 = 2

Travail indépendant des étudiants :

1). 2cos 3x = -1,

2). 2cos(x+ π / 3) = -1,

3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,

4). cos 2x(2cos x + 2) = 0.

Le résultat d'un travail indépendant est vérifié.

Quelles nouvelles choses ai-je apprises ?

Comment mes connaissances ont changé ;

Que vais-je faire à ce sujet ?

VI. Section de contrôle des cours.

jeV.: cos2x=√2/2 IIV.: cos (x/2)= √3/2.

VII. Devoirs
Article 33№№ 571-573.

LITTÉRATURE

1). Algèbre et analyse de base niveaux 10 - 11 : manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveau de base) Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyaguine, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabounine. – M. : Éducation, 2013.

2). Matériel didactique sur l'algèbre et l'analyse de base pour la 10e année. M.I. Shabounine, M.V. Tkatcheva, 2012.

3). Travail indépendant et test sur l'algèbre et l'analyse de base pour la 10e année. A.P. Ershova, V.V. Goloborodko - M.:ILEKSA, 2011.

4). Problèmes d'algèbre et d'analyse de base pour les classes 10-11. S.M. Sahakyan, A.M. Goldman, D.V. Denisov. – M. : Éducation, 2011.

Ressources Internet :

Ministère de l'Éducation de la Fédération de Russie : http://www.ed.gov.ru/ ; http://www.edu.ru

Tests en ligne : niveaux 5 à 11 : http://www.kokch.kts.ru/cdo

Réseau d'enseignants créatifs : http://it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com,

Site Internet d'Alexandre Larin (préparation à l'examen d'État unifié) : http://alexlarin.narod.ru/ege.html

Nouvelles technologies dans l'éducation : http://edu.secna.ru/main

Guide « Dans le monde de la science » pour les écoliers : http://www.uic.ssu.samara.ru

Mégaencyclopédie de Cyrille et Méthode : http://mega.km.ru

Sites d'encyclopédie : http://www.rubricon.ru/ ; http://www.encyclopedia.ru

site Web d'auto-éducation et de tests en ligne : http://uztest.ru/

ALGÈBRE ET DÉBUTS DE L'ANALYSE

LEÇON

- "attaque cérébrale"

Sujet.Résoudre des équations trigonométriques simples.

Équations de la forme parce que x = un .

10e année

Gymnase n°3

professeur

Momot

Lyudmila

Alexandrovna

Berdiansk

Résultats attendus : après cette leçon les enfants :

acquérir une compréhension des équations trigonométriques les plus simples ;

apprendre à résoudre des équations de la forme : péché x = un

commenceront à comprendre que ce sujet est une extension de leurs connaissances du domaine de la trigonométrie ;

apprendront à appliquer des concepts mathématiques qui leur sont connus : racines d'une équation, plage de valeurs admissibles d'une variable, simplification des expressions, etc. lors de la résolution d'équations trigonométriques ;

Matériel de cours :

courte leçon OK ;

diapositive avec dictée mathématique ;

algorithme pour résoudre une équation trigonométrique ;

diapositives pour le travail de groupe.

Déroulement de la leçon.

Étape d'orientation.

Les enfants, nous continuons à étudier le sujet « Équations trigonométriques », aujourd'hui nous allons nous familiariser avec un autre type d'équations trigonométriques, à savoir les équations de la forme : cosx = un .

Je vois l'objectif principal de notre leçon comme suit :

continuer à compiler un algorithme pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples ;

développer la capacité de réduire n'importe quelle équation trigonométrique à sa forme la plus simple ;

J'ai laissé un espace vide sur la diapositive, souhaitez-vous le remplir ?

C'est exactement ce que nous ferons avec vous dans la leçon d'aujourd'hui.

Tout en étudiant ce sujet, nous continuerons à travailler en groupe ; personne n'a envie de changer la composition du groupe.

Voilà, les équipes sont au complet, mettons-nous au travail.

Je propose de prendre les paroles du grand professeur A.S. Makarenko comme devise de notre leçon :

"Si tu ne peux pas faire quelque chose toi-même,

n’interférez pas avec celui qui fait ça.

Étape de définition de l'objectif de la leçon.

Le travail que nous ferons aujourd'hui vous permettra de naviguer plus largement dans les « labyrinthes des équations trigonométriques » et d'appliquer avec précision le matériel théorique étudié dans la pratique.

Étape de conception.

J'aimerais vraiment que dans la leçon d'aujourd'hui, toi et moi:

Nous avons rappelé et consolidé nos connaissances sur l'équation trigonométrique.

Nous avons continué à créer OK sur le sujet.

Nous avons pu résoudre un autre bloc d’équations trigonométriques.

A démontré ses connaissances en transformant les conditions des équations.

A fait preuve d'une individualité créative.

Nous avons pu appliquer le système de connaissances lors de l'exécution du PSR.

Reçu, démontré et évalué ses connaissances et compétences.

Maintenant que vous savez ce que nous allons faire en classe, réfléchissez et dites :

Vous souhaitez participer à notre cours ?

Pourquoi as-tu besoin de ça ?

Qu'attendez-vous de la leçon d'aujourd'hui ?

Quelle partie de la leçon vous effraie ou vous inquiète ?

Quelle étape est la plus intéressante ?

L'étape d'organisation de la mise en œuvre du plan d'activité.

1.Utilisation de la technique « Mo attaque zag" lors de la vérification des devoirs.

Réponses aux questions qui se sont posées lors des devoirs.

Réalisation de la tâche : « Dictée mathématique » selon le programme « Molniya » (qui prend plus en 6 minutes) :

1. péché x = 0 ; 2. péché x = 1 3. péché x = -1

4. péché x = 5. péché x = 6. péché x =

7. péché x = - 8. péché x = - 9. péché x = -

10. péché x = 11. péché x = -
12. péché x = 0,5

Résumer les résultats d'un travail indépendant.

2. Étudier du nouveau matériel.

2.1.Travailler en binôme avec OK sur le thème « Les équations trigonométriques les plus simples » en utilisant la technique « Tout le monde enseigne à tout le monde ».

2.2. Interprétation pratique des connaissances acquises sur les équations trigonométriques les plus simples de la forme :parce que x = un :

faites attention à cet exemple lorsque vous effectuez une estimation de nombre

cosx =

faites attention à cet exemple lorsque vous effectuez une estimation de nombre

cosx =

cosx = -

cosx =

2.3. Application des connaissances acquises sous la forme du jeu « Race for the Leader » :

2cosx – 1 = 0 car 2x – 1 = 0

/2 points/ cos 2 x - péché 2 x = 0,5 2 péché 2 x = 1 /4 points/

6cos 2 x + cosx – 1 = 0 cos 2 x + 3cosx = 0

4cos 2 x –3 =0 cos 2 2x = 1 + péché 2 2x / 6 indiquer ov/

Phase de contrôle et d’évaluation.

Réflexion.

1.1. - Je crois qu'aujourd'hui nous avons atteint notre objectif. Il ne reste plus qu'à découvrir dans quelle mesure chacun d'entre vous maîtrise le système de connaissances sur le thème « Résoudre une équation de la forme : parce que x = un » et est prêt à faire ses devoirs. Je vous propose les devoirs nivelés que vos camarades vous ont gentiment préparés.

- Devoirs à plusieurs niveaux.

Niveau 1 : Réussir des tests préparés par un étudiant fort.

Niveau II : Résoudre des équations.

1.2. Étudiants lisant une carte réfléchissante sur un ordinateur.

Appréciation.

Pensez-vous que nous avons atteint les objectifs de la leçon ?

Tous les points du plan ont-ils été réalisés ?

Je suis très satisfait de votre travail, j'ai particulièrement apprécié la façon dont vous avez habilement géré la préparation du OK, j'ai été satisfait de vos réponses correctes et rapides dans « Lightning », j'espère que vous avez fait un excellent travail.

Évaluation.

- Vous êtes déjà assez vieux et pouvez évaluer objectivement votre travail. Donnez-vous une note dans la première case.

Répartissez les points gagnés dans le cours au prorata de votre participation au groupe. Et indiquez leur numéro dans le deuxième carré.

Je remplirai la troisième case lorsque je vérifierai vos devoirs et j'aurai grand plaisir à prendre les bonnes décisions.

S A S I B O Z A U R O K !

JE VOUS SOUHAITE DU SUCCÈS DANS VOTRE PROCHAINE LEÇON !

Le cours s'est déroulé dans un laboratoire informatique. Dans cette leçon, les élèves ont travaillé avec l'ordinateur individuellement et en groupes.

Le sujet et les objectifs de la leçon étaient affichés sur l'écran et les enfants pouvaient accéder à l'ordinateur central et apporter des modifications au plan de la leçon.

La résolution d'équations à l'aide du programme « Lightning » a montré leur capacité à sélectionner rapidement la réponse souhaitée et à marquer autant de points que possible, ce qui constituait leur « capital de départ » - 1 à 6 points.

Après avoir examiné des solutions toutes faites aux types d'équations les plus simples parce que x = un , Les enfants, s'expliquant à partir de notes toutes faites, se sont racontés et par paires ils ont compilé un algorithme de solution, le premier couple l'a affiché à l'écran. Après discussion générale, sa version finale a été approuvée.

Les enfants ont obtenu la seconde moitié de leur note en effectuant un travail indépendant sur trois niveaux (facultatif).

Les résultats des premier et deuxième travaux indépendants ont été saisis dans l'ordinateur, c'est-à-dire que l'évaluation était composée des résultats de deux travaux.

Les enfants l'ont transféré sur leur feuille d'évaluation.

L'utilisation d'un ordinateur dans cette leçon a introduit des formes et des méthodes nouvelles et variées dans le processus éducatif, ce qui a suscité un réel intérêt chez les enfants et a facilité l'enseignement d'un cours de trigonométrie qui n'était pas le sujet le plus simple.

Poursuivant le sujet précédent, qui traitait d'exemples de résolution de fonctions trigonométriques, cette leçon vidéo présente aux élèves l'arc cosinus et la résolution de l'équation cos t = a.

Un exemple de résolution de l'équation cos t =1/4 est considéré. En utilisant le cercle numérique, nous trouvons des points de coordonnée x = 1/4 ; sur le graphique, nous marquons ces points comme M(t 1) et N(t 2).

Le graphique montre que t 1 est la longueur de AM et t 2 est la longueur de AN. D'une autre manière, on peut dire que t 1 = arccos 1/4 ; t 2 = - arccos 1/4. Solution de l'équation t = ± arccos ¼ + 2πk.

Ainsi, arccos 1/4 est le nombre (longueur de AM) dont le cosinus est égal à 1/4. Ce nombre appartient à l'intervalle de 0 à π/2, c'est-à-dire premier quart du cercle.

Ensuite, nous considérons la solution de l'équation cos t = - 1/4. Par analogie avec l'exemple précédent, t = ± arccos (-1/4 + 2πk. On peut dire que arccos (-1/4 est un nombre (longueur d'arc AM) dont le cosinus est - ¼ et ce nombre appartient à le quart de cercle II, c'est à dire soit un segment de π/2 à π.

A partir de deux exemples, la définition de l'arccosinus est donnée : si le module a est inférieur ou égal à 1, alors arccos a est un nombre du segment de 0 à π dont le cosinus est égal à a. Alors l'expression cos t = a de module a inférieur ou égal à 1 peut ressembler à t = ± arccos a + 2πk. Ci-dessous se trouvent les valeurs de t au cos t = 0 ; coût t = 1 ; coût t = - 1.

L'auteur donne l'exemple 1. Trouver une solution à l'expression arcсos. Indiquons que cette valeur d'arccos est égale à t, donc le coût t est égal à cette valeur, où t appartient au segment de 0 à π. En utilisant le tableau des valeurs, on trouve que cos t correspond à la valeur t =π/6. Trouvons la valeur du cosinus correspondante, où π/6 appartient au segment de 0 à π.

Regardons l'exemple 2. Calculez les arcсos d'un nombre négatif. Supposons que l'arcсos de ce nombre soit égal, donc coût t est égal à ce nombre, où t appartient au segment de 0 à π. À partir du tableau des valeurs, nous verrons quelle valeur correspond au cos t, c'est t = 5π/6. Ceux. cos 5π/6 est moins la racine de trois divisée par deux, où 5π/6 appartient au segment de 0 à π.

Ensuite, l'auteur considère le théorème : pour tout a appartenant au segment de moins un à un, l'égalité est bien arccos a + arccos (-a) = π Dans la preuve, pour être précis, nous supposons que a > 0, alors - un< 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.

Lorsque a > 0, arccos a appartient au premier quart du cercle (marqué sur la figure), et lorsque a< 0, arccos a принадлежит II четверти.

Regardons un autre exemple. Résolvez l'expression où coût t est égal à un nombre négatif. Écrivons à quoi t est égal dans ce cas. Ensuite, nous trouvons la valeur de l'arc cosinus, c'est 3π/4. Remplaçons la valeur trouvée de arcсos par la valeur de t et obtenons que t = ± 3π/4+ 2πk.

Analysons la solution à l'inégalité des coûts. Pour résoudre, nous devons trouver les points sur le cercle numérique auxquels x est égal à la valeur du cosinus. Ce sont des points de valeurs π/4 et - π/4. Comme on peut le voir sur la figure, la longueur de l'arc MN est π/4≤ t ≤π/4. Cela signifie que la réponse à l'inégalité sera - π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.

DÉCODAGE DE TEXTE :

Arc cosinus. Résoudre l'équation coût = a

Considérons la résolution de l'équation coût = .

Considérant que cost t est l'abscisse du point M(t) (em de te) du cercle numérique, on trouve les points en abscisse sur le cercle numérique

Sur le cercle numérique, nous marquons les points M(t 1), N(t 2) - les points d'intersection de la droite x= avec ce cercle.

t 1 est la longueur de l'arc AM, t 2 est la longueur de l'arc AN, t 2 = - t 1.

Lorsque les mathématiciens ont été confrontés à cette situation pour la première fois, ils ont introduit le nouveau symbole arccos

arccos (arc cosinus d'un quart).

Alors t 1 = arccos ; t 2 = - arccos

Et puis les racines de l’équation coût = peuvent s’écrire sous deux formules :

t = arccos + 2πk, t = - arccos + 2πk ou t = arccos + 2πk.

Que signifie arccos ?

Ce numéro

(longueur de l'arc AM), dont le cosinus est égal à un quart et ce nombre appartient au premier quart, c'est-à-dire au segment.

Considérons maintenant l'équation

coût = - . Semblable à la résolution de l’équation précédente, nous écrivons

t = arccos) + 2πk.

Comment comprendre arccos(-) ? Ce numéro

(longueur de l'arc AM), dont le cosinus est égal à moins un quart et ce nombre appartient au deuxième quart, c'est-à-dire le segment [; ].

Définissons l'arccosinus :

DÉFINITION. Laissez | un | 1 (le module a est inférieur ou égal à un). Arc cosinus a est un nombre du segment dont le cosinus est égal à a (Fig. 1)

EXEMPLE 1. Calculer arccos (arc cosinus racine de trois par deux)

Solution. Soit arccos = t. Alors coût = et t[; ](te appartient au segment de zéro à pi). Rappelons que la valeur de cos correspond à

(Afficher le tableau des valeurs) Cela signifie t = (pi fois six), puisque cos = et . Cela signifie arccos = .

arcos est la longueur de l'arc, mais la longueur de l'arc de cercle est t dans la définition du coût

(Conventionnellement, on peut dire que l'arc cosinus est la « valeur de l'angle » auquel le point est passé de M à partir du point A, si l'on se souvient que nous avons entré le nombre t dans le cadre de la longueur du cercle, le rayon est égal à 1 (un), puis 2π - le cercle entier est égal à 360° , π - un demi-cercle =180°, ==60°)

EXEMPLE 2. Calculez arccos(- (arc cosinus moins racine de trois fois deux).

Solution. Soit arccos(-) = t. Alors coût = et t[; ](te appartient au segment de zéro à pi). Cela signifie t = (cinq pi sur six), puisque cos = - et [; ]. Donc arccos) = .

Démontrons le THÉORÈME. Pour tout un [; ](et du segment de moins un à un) l'égalité arccosá+ arccos(-а) = π(la somme de l'arccosinus a et de l'arccosinus moins a est égale à pi).

Preuve. Pour plus de précision, nous supposerons que a 0, puis a 0. Sur le cercle numérique, nous marquons arcos a (c'est la longueur de l'arc AK) et

arccos(-a) (c'est la longueur de l'arc AT) (voir Fig. 2)

Du théorème éprouvé, il résulte : arcos (-a) = π - arcos a (arccosinus moins a est égal à la différence entre pi et arccosinus a), où 0 a 1 (où a est supérieur ou égal à zéro et inférieur à ou égal à un).

Quand a > 0, on considère que arcos UN appartient au premier quart du cercle numérique.

Quand un< 0 считают, что arcosUN appartient au deuxième quart du cercle numérique.

EXEMPLE 3. Résolvez l'équation coût = - .

Solution. Créons une formule pour les solutions : t = arccos(-)+ 2πk.

Calculons les valeurs de l'arccosinus : arccos(-) = π - arccos = π - = .

(D'après la relation arccos(-) = π - arccos arccos, puis en substituant cette valeur dans la formule, nous obtenons que arccos(-) =) .

Remplaçons la valeur trouvée dans la formule de solution t = arccos(-)+ 2πk et obtenons la valeur de t : t = + 2πk.

EXEMPLE 4.Résoudre l'inégalité des coûts.

Solution. Nous savons que le coût est l'abscisse du point M(t) sur le cercle numérique. Cela signifie que vous devez trouver les points M(t) sur le cercle numérique qui satisfont à l'inégalité x.

La droite x = coupe le cercle numérique en deux points M et N.