Équilibre d'un système mécanique. Equilibre des corps. Types d'équilibre des corps Équilibre d'un système mécanique

Vous permet d'analyser les schémas généraux de mouvement si la dépendance de l'énergie potentielle sur les coordonnées est connue. Considérons, par exemple, le mouvement unidimensionnel d'un point matériel (particule) le long de l'axe 0x dans le champ de potentiel représenté sur la Fig. 4.12.

Figure 4.12. Mouvement d'une particule près des positions d'équilibre stables et instables

Puisque dans un champ de gravité uniforme l'énergie potentielle est proportionnelle à la hauteur d'élévation du corps, on peut imaginer une glissade de glace (en négligeant les frottements) avec un profil correspondant à la fonction P(x) sur l'image.

De la loi de conservation de l'énergie E = K + P et du fait que l'énergie cinétique K = E - P est toujours non négatif, il s'ensuit que la particule ne peut se trouver que dans des régions où E > P. La figure montre une particule avec une énergie totale E ne peut se déplacer que dans des zones

Dans la première région, son mouvement sera limité (finiment) : avec un apport d'énergie totale donné, la particule ne peut pas surmonter les « glissements » sur son chemin (on les appelle obstacles potentiels) et est condamné à rester à jamais dans la « vallée » qui les sépare. Éternel - du point de vue de la mécanique classique, que nous étudions actuellement. A la fin du cours nous verrons comment la mécanique quantique aide une particule à s'échapper de son emprisonnement dans un puits potentiel - une région

Dans la deuxième région, le mouvement de la particule n’est pas limité (à l’infini), elle peut s’éloigner infiniment de l’origine vers la droite, mais à gauche son mouvement est toujours limité par la barrière de potentiel :

Vidéo 4.6. Démonstration de mouvements finis et infinis.

Aux points extrêmes d’énergie potentielle xMIN Et x MAXIMUM la force agissant sur la particule est nulle car la dérivée de l'énergie potentielle est nulle :

Si vous placez une particule au repos à ces points, elle y restera... encore une fois pour toujours, sans les fluctuations de sa position. Il n'y a rien de strictement au repos dans ce monde ; une particule peut expérimenter de petites écarts (fluctuations) à partir de la position d’équilibre. Dans ce cas, naturellement, des forces apparaissent. S'ils ramènent la particule à la position d'équilibre, alors cet équilibre est appelé durable. Si, lorsque la particule s'écarte, les forces qui en résultent l'éloignent encore plus de sa position d'équilibre, alors nous avons affaire à instableéquilibre, et la particule ne reste généralement pas longtemps dans cette position. Par analogie avec une glissade de glace, on peut deviner qu'une position stable sera à un minimum d'énergie potentielle, et une position instable au maximum.

Prouvons que c'est bien le cas. Pour une particule au point extremum xM (xMIN ou x MAXIMUM) force agissant sur lui F x (x M) = 0. Laissez la coordonnée de la particule changer légèrement en raison de la fluctuation X. Avec un tel changement de coordonnées, une force commencera à agir sur la particule

(le premier indique la dérivée par rapport à la coordonnée X). Étant donné que F x =-P", on obtient l'expression de la force

Au point minimum, la dérivée seconde de l'énergie potentielle est positive : U"(x MIN) > 0. Alors, pour des écarts positifs par rapport à la position d'équilibre X > 0 la force résultante est négative, et quand X<0 la force est positive. Dans les deux cas, la force empêche la particule de changer ses coordonnées et la position d'équilibre à l'énergie potentielle minimale est stable.

Au contraire, au point maximum la dérivée seconde est négative : U"(x MAX)<0 . Ensuite, une augmentation de la coordonnée des particules Δx conduit à l'émergence d'une force positive, ce qui augmente encore l'écart par rapport à la position d'équilibre. À X<0 la force est négative, c'est-à-dire que dans ce cas elle contribue à une déviation supplémentaire de la particule. Cette position d'équilibre est instable.

Ainsi, la position d’équilibre stable peut être trouvée en résolvant ensemble l’équation et l’inégalité.

Vidéo 4.7. Trous potentiels, barrières potentielles et équilibre : stable et instable.

Exemple. L'énergie potentielle d'une molécule diatomique (par exemple, H2 ou O 2) est décrit par une expression de la forme

Où r est la distance entre les atomes, et UN, B- des constantes positives. Déterminer la distance d'équilibre rM entre les atomes d'une molécule. Une molécule diatomique est-elle stable ?

Solution. Le premier terme décrit la répulsion des atomes à courte distance (la molécule résiste à la compression), le second décrit l'attraction à grande distance (la molécule résiste à la rupture). Conformément à ce qui a été dit, la distance d'équilibre se trouve en résolvant l'équation

En différenciant l'énergie potentielle, on obtient

On trouve maintenant la dérivée seconde de l'énergie potentielle

et substituez-y la valeur de la distance d'équilibre rM :

La position d'équilibre est stable.

En figue. 4.13 présente une expérience d'étude des courbes de potentiel et des conditions d'équilibre d'une balle. Si, sur le modèle de courbe de potentiel, une balle est placée à une hauteur supérieure à la hauteur de la barrière de potentiel (l'énergie de la balle est supérieure à l'énergie de la barrière), alors la balle franchit la barrière de potentiel. Si la hauteur initiale de la balle est inférieure à la hauteur de la barrière, alors la balle reste dans le puits de potentiel.

Une boule placée au point le plus haut de la barrière de potentiel est en équilibre instable, puisque toute influence extérieure conduit la boule à se déplacer vers le point le plus bas du puits de potentiel. Au point bas du puits de potentiel, la boule est en équilibre stable, puisque toute influence extérieure entraîne le retour de la boule au point bas du puits de potentiel.

Riz. 4.13. Etude expérimentale des courbes de potentiel

Informations Complémentaires

http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF – Supplément à la revue « Quantum » - discussions sur l'équilibre stable et instable (A. Leonovich) ;

http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 – Targ S.M. Cours court de mécanique théorique, Maison d'édition, Ecole supérieure, 1986 – pp. 11–15, §2 – dispositions initiales de la statique.

Considérons un point matériel dont le mouvement est limité de telle manière qu'il n'a qu'un seul degré de liberté.

Cela signifie que sa position peut être déterminée à l'aide d'une seule quantité, telle que la coordonnée x. Un exemple est une bille glissant sans frottement le long d'un fil fixe courbé dans un plan vertical (Fig. 26.1a).

Un autre exemple est une bille fixée à l'extrémité d'un ressort, coulissant sans frottement sur un guide horizontal (Fig. 26.2, a).

Une force conservatrice agit sur la bille : dans le premier cas c'est la force de gravité, dans le second cas c'est la force élastique d'un ressort déformé. Les graphiques d'énergie potentielle sont présentés sur la figure. 26.1, b et 26.2, b.

Puisque les balles se déplacent le long du fil sans frottement, la force avec laquelle le fil agit sur la balle est dans les deux cas perpendiculaire à la vitesse de la balle et n'exerce donc aucun travail sur la balle. Par conséquent, les économies d’énergie ont lieu :

De (26.1), il s'ensuit que l'énergie cinétique ne peut augmenter qu'en raison d'une diminution de l'énergie d'amplitude. Par conséquent, si la balle est dans un état tel que sa vitesse est nulle et que l'énergie potentielle a une valeur minimale, alors sans influence extérieure, elle ne pourra pas bouger, c'est-à-dire qu'elle sera en équilibre.

Les minima de U correspondent à des valeurs égales dans les graphiques (sur la Fig. 26.2 il y a la longueur de l'escouade non déformée) La condition pour l'énergie potentielle minimale a la forme

Conformément à t (22.4), la condition (26.2) équivaut au fait que

(dans le cas où U est fonction d'une seule variable, ). Ainsi, la position correspondant à l'énergie potentielle minimale a la propriété que la force agissant sur le corps est nulle.

Dans le cas représenté sur la Fig. 26.1, les conditions (26.2) et (26.3) sont également satisfaites pour x égal à (c'est-à-dire pour le maximum de U). La position de la balle déterminée par cette valeur sera également l'équilibre. Cependant, cet équilibre, contrairement à l'équilibre à, sera instable : il suffit de retirer légèrement la balle de cette position et une force apparaîtra qui éloignera la balle de la position . Les forces qui surviennent lorsque la balle est déplacée d'une position d'équilibre stable (pour laquelle ) sont dirigées de telle manière qu'elles tendent à ramener la balle à la position d'équilibre.

Connaissant le type de fonction t qui exprime l’énergie potentielle, nous pouvons tirer un certain nombre de conclusions sur la nature du mouvement de la particule. Expliquons cela à l'aide du graphique présenté sur la figure. 26.1, b. Si l'énergie totale a la valeur indiquée sur la figure, alors la particule peut se déplacer soit dans la plage de à, soit dans la plage de à l'infini. La particule ne peut pas pénétrer dans la région, puisque l’énergie potentielle ne peut pas devenir supérieure à l’énergie totale (si cela se produisait, l’énergie cinétique deviendrait négative). Ainsi, la région représente une barrière potentielle à travers laquelle une particule ne peut pas pénétrer pour une quantité d’énergie totale donnée. La zone est appelée puits potentiel.

Si une particule ne peut pas s'éloigner à l'infini au cours de son mouvement, le mouvement est dit fini. Si la particule peut aller aussi loin que désiré, le mouvement est dit infini. Une particule dans un puits de potentiel subit un mouvement fini. Le mouvement d’une particule avec une énergie totale négative dans le champ central des forces attractives sera également fini (on suppose que l’énergie potentielle disparaît à l’infini).

L'équilibre d'un système mécanique est un état dans lequel tous les points du système considéré sont au repos par rapport au système de référence choisi.

Le moment d'une force autour de n'importe quel axe est le produit de la grandeur de cette force F par le bras d.

Le moyen le plus simple de connaître les conditions d'équilibre est de prendre l'exemple du système mécanique le plus simple - un point matériel. Selon la première loi de la dynamique (voir Mécanique), la condition pour le repos (ou mouvement linéaire uniforme) d'un point matériel dans un système de coordonnées inertielle est que la somme vectorielle de toutes les forces qui lui sont appliquées est égale à zéro.

Lorsqu'on passe à des systèmes mécaniques plus complexes, cette condition à elle seule ne suffit pas à leur équilibre. En plus du mouvement de translation, provoqué par des forces externes non compensées, un système mécanique complexe peut subir un mouvement de rotation ou une déformation. Découvrons les conditions d'équilibre pour un corps absolument rigide - un système mécanique constitué d'un ensemble de particules dont les distances mutuelles ne changent pas.

La possibilité d'un mouvement de translation (avec accélération) d'un système mécanique peut être éliminée de la même manière que dans le cas d'un point matériel, en exigeant que la somme des forces appliquées à tous les points du système soit égale à zéro. C'est la première condition d'équilibre d'un système mécanique.

Dans notre cas, le corps solide ne peut pas se déformer, puisque nous avons convenu que les distances mutuelles entre ses points ne changent pas. Mais contrairement à un point matériel, une paire de forces égales et dirigées de manière opposée peuvent être appliquées à un corps absolument rigide en différents points. De plus, la somme de ces deux forces étant nulle, le système mécanique considéré n’effectuera pas de mouvement de translation. Cependant, il est évident que sous l'influence d'une telle paire de forces, le corps commencera à tourner par rapport à un certain axe avec une vitesse angulaire toujours croissante.

L'apparition d'un mouvement de rotation dans le système considéré est due à la présence de moments de forces non compensés. Le moment d'une force autour de n'importe quel axe est le produit de la grandeur de cette force $F$ par le bras $d,$ c'est-à-dire par la longueur de la perpendiculaire abaissée à partir du point $O$ (voir figure) par lequel passe l'axe , par la direction de la force . Notez que le moment de force avec cette définition est une quantité algébrique : il est considéré comme positif si la force conduit à une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et négatif dans le cas contraire. Ainsi, la deuxième condition pour l'équilibre d'un corps rigide est l'exigence que la somme des moments de toutes les forces par rapport à n'importe quel axe de rotation soit égale à zéro.

Dans le cas où les deux conditions d'équilibre trouvées sont remplies, le corps solide sera au repos si au moment où les forces ont commencé à agir, les vitesses de tous ses points étaient égales à zéro. Sinon, il effectuera un mouvement uniforme par inertie.

La définition considérée de l'équilibre d'un système mécanique ne dit rien sur ce qui se passera si le système s'écarte légèrement de sa position d'équilibre. Dans ce cas, il y a trois possibilités : le système reviendra à son état d’équilibre antérieur ; le système, malgré l'écart, ne changera pas son état d'équilibre ; le système sera déséquilibré. Le premier cas est appelé état d'équilibre stable, le second est indifférent et le troisième est instable. La nature de la position d'équilibre est déterminée par la dépendance de l'énergie potentielle du système aux coordonnées. La figure montre les trois types d'équilibre à l'aide de l'exemple d'une boule lourde située dans une dépression (équilibre stable), sur une table horizontale lisse (indifférente), au sommet d'un tubercule (instable).

L'approche ci-dessus du problème de l'équilibre d'un système mécanique a été envisagée par des scientifiques du monde antique. Ainsi, la loi de l'équilibre d'un levier (c'est-à-dire d'un corps rigide avec un axe de rotation fixe) a été trouvée par Archimède au IIIe siècle. avant JC e.

En 1717, Johann Bernoulli a développé une approche complètement différente pour trouver les conditions d'équilibre d'un système mécanique : la méthode des déplacements virtuels. Il est basé sur la propriété des forces de réaction de liaison découlant de la loi de conservation de l'énergie : avec un petit écart du système par rapport à la position d'équilibre, le travail total des forces de réaction de liaison est nul.

Lors de la résolution de problèmes de statique (voir Mécanique) basés sur les conditions d'équilibre décrites ci-dessus, les connexions existant dans le système (supports, filetages, tiges) sont caractérisées par les forces de réaction qui y apparaissent. La nécessité de prendre en compte ces forces lors de la détermination des conditions d’équilibre dans le cas de systèmes constitués de plusieurs corps conduit à des calculs fastidieux. Cependant, du fait que le travail des forces de réaction des liaisons est égal à zéro pour de petits écarts par rapport à la position d'équilibre, il est possible d'éviter complètement de considérer ces forces.

Outre les forces de réaction, des forces externes agissent également sur des points d'un système mécanique. Quel est leur travail pour un petit écart par rapport à la position d'équilibre ? Puisque le système est initialement au repos, pour tout mouvement, il est nécessaire d'effectuer un travail positif. En principe, ce travail peut être effectué à la fois par des forces externes et par des forces de réaction de liaison. Mais comme nous le savons déjà, le travail total effectué par les forces de réaction est nul. Par conséquent, pour que le système quitte l’état d’équilibre, le travail total des forces externes pour tout déplacement possible doit être positif. Par conséquent, la condition d'impossibilité de mouvement, c'est-à-dire la condition d'équilibre, peut être formulée comme l'exigence que le travail total des forces externes soit non positif pour tout mouvement possible : $ΔA≤0.$

Supposons qu'en déplaçant les points du système $Δ\overrightarrow(γ)_1…\ Δ\overrightarrow(γ)_n$ la somme du travail des forces externes s'avère être égale à $ΔA1.$ Et que se passe-t-il si le système effectue des mouvements $−Δ\overrightarrow(γ ​​)_1,−Δ\overrightarrow(γ)_2,\ …,−Δ\overrightarrow(γ)_n?$ Ces mouvements sont possibles de la même manière que les premiers ; cependant, le travail des forces extérieures va maintenant changer de signe : $ΔA2 =−ΔA1.$ En raisonnant de manière similaire au cas précédent, nous arriverons à la conclusion que maintenant la condition d'équilibre du système a la forme : $ΔA1≥0,$ c'est-à-dire que le travail des forces extérieures doit être non négatif. La seule façon de « concilier » ces deux conditions presque contradictoires est d'exiger l'égalité exacte à zéro du travail total des forces externes pour tout mouvement (virtuel) possible du système à partir de la position d'équilibre : $ΔA=0.$ Par possible mouvement (virtuel) nous entendons ici un mouvement mental infinitésimal du système, qui ne contredit pas les connexions qui lui sont imposées.

Ainsi, la condition d'équilibre d'un système mécanique sous la forme du principe des déplacements virtuels se formule comme suit :

"Pour l'équilibre de tout système mécanique avec des connexions idéales, il est nécessaire et suffisant que la somme des travaux élémentaires des forces agissant sur le système pour tout déplacement possible soit égale à zéro."

En utilisant le principe des déplacements virtuels, les problèmes non seulement de statique, mais aussi d'hydrostatique et d'électrostatique sont résolus.

On sait que pour l'équilibre d'un système avec des connexions idéales, il est nécessaire et suffisant que ou. (7)

Puisque les variations de coordonnées généralisées sont indépendantes les unes des autres et, en général, ne sont pas égales à zéro, il faut que
,
,…,
.

Pour l'équilibre d'un système avec des contraintes holonomiques, stationnaires et idéales, il est nécessaire et suffisant que toutes les forces généralisées correspondant aux coordonnées généralisées sélectionnées soient égales à zéro.

Cas des forces potentielles :

Si le système est dans un champ de force potentiel, alors

,
,…,

,
,…,

C'est-à-dire que les positions d'équilibre du système ne peuvent concerner que les valeurs de coordonnées généralisées pour lesquelles la fonction de force U et énergie potentielle P. avoir des valeurs extrêmes ( maximum ou min).

Le concept de stabilité de l'équilibre.

Après avoir déterminé les positions dans lesquelles le système peut être en équilibre, il est possible de déterminer lesquelles de ces positions sont réalisables et lesquelles ne sont pas réalisables, c'est-à-dire déterminer quelle position est stable et laquelle est instable.

En général, nécessaire signe de stabilité de l'équilibre selon Lyapunov peut être formulé comme suit :

Retirons le système de la position d'équilibre en fournissant de petites valeurs de module des coordonnées généralisées et de leurs vitesses. Si, après un examen plus approfondi du système, les coordonnées généralisées et leurs vitesses restent faibles, c'est-à-dire que le système ne s'écarte pas loin de la position d'équilibre, alors une telle position d'équilibre est stable.

Condition suffisante pour la stabilité de l’équilibre le système est déterminé Théorème de Lagrange-Dirichlet :

Si dans la position d'équilibre d'un système mécanique avec des connexions idéales, l'énergie potentielle a une valeur minimale, alors une telle position d'équilibre est stable.

,
- durable.

DÉFINITION

Solde stable- il s'agit d'un équilibre dans lequel un corps, retiré d'une position d'équilibre et livré à lui-même, revient à sa position antérieure.

Cela se produit si, avec un léger déplacement du corps dans n'importe quelle direction par rapport à la position d'origine, la résultante des forces agissant sur le corps devient non nulle et est dirigée vers la position d'équilibre. Par exemple, une balle reposant au fond d'une dépression sphérique (Fig. 1 a).

DÉFINITION

Équilibre instable- c'est un équilibre dans lequel un corps, sorti d'une position d'équilibre et laissé à lui-même, va s'écarter encore plus de la position d'équilibre.

Dans ce cas, avec un léger déplacement du corps par rapport à la position d'équilibre, la résultante des forces qui lui sont appliquées est non nulle et dirigée depuis la position d'équilibre. Un exemple est une balle située au sommet d'une surface sphérique convexe (Fig. 1 b).

DÉFINITION

Équilibre indifférent- il s'agit d'un équilibre dans lequel un corps, sorti d'une position d'équilibre et laissé à lui-même, ne change pas de position (d'état).

Dans ce cas, avec de petits déplacements du corps par rapport à la position d'origine, la résultante des forces appliquées au corps reste égale à zéro. Par exemple, une balle posée sur une surface plane (Fig. 1c).

Fig. 1. Différents types d'équilibre du corps sur un support : a) équilibre stable ; b) équilibre instable ; c) équilibre indifférent.

Equilibre statique et dynamique des corps

Si, sous l'action des forces, le corps ne reçoit pas d'accélération, il peut être au repos ou se déplacer uniformément en ligne droite. On peut donc parler d’équilibre statique et dynamique.

DÉFINITION

Solde statique- c'est un équilibre où, sous l'influence des forces appliquées, le corps est au repos.

Equilibre dynamique- c'est un équilibre où, sous l'action des forces, le corps ne change pas de mouvement.

Une lanterne suspendue à des câbles, ou toute structure de bâtiment, est dans un état d'équilibre statique. À titre d'exemple d'équilibre dynamique, considérons une roue qui roule sur une surface plane en l'absence de forces de frottement.