Kas yra atvirkštinės matricos apibrėžimas. Aukštoji matematika

Daugeliu savybių panašus į atvirkštinį.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

✪ Kaip rasti atvirkštinę matricos vertę - bezbotvy

✪ Atvirkštinė matrica (2 būdai rasti)

✪ Atvirkštinė matrica Nr. 1

✪ 2015-01-28. Atvirkštinė 3x3 matrica

✪ 2015-01-27. Atvirkštinė matrica 2x2

Subtitrai

Atvirkštinės matricos savybės

det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Kur det (\displaystyle \\det )žymi determinantą.
(A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) dviem kvadratinėms apverčiamoms matricoms A (\displaystyle A) Ir B (\displaystyle B).
(A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Kur (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))žymi transponuotą matricą.
(k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) bet kokiam koeficientui k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
Jei reikia išspręsti tiesinių lygčių sistemą, (b yra nulinis vektorius), kur x (\displaystyle x) yra norimas vektorius, o jei A − 1 (\displaystyle A^(-1)) tada egzistuoja x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Priešingu atveju arba sprendinių erdvės matmuo yra didesnis už nulį, arba sprendinių visai nėra.

Atvirkštinės matricos radimo metodai

Jei matrica yra apverčiama, norėdami rasti atvirkštinę matricą, galite naudoti vieną iš šių metodų:

Tikslieji (tiesioginiai) metodai

Gauss-Jordan metodas

Paimkime dvi matricas: the A ir vienišas E. Pateikiame matricą A tapatybės matricai naudojant Gauss-Jordan metodą, taikant transformacijas išilgai eilučių (taip pat galite taikyti transformacijas išilgai stulpelių, bet ne maišyti). Pritaikę kiekvieną operaciją pirmajai matricai, taikykite tą pačią operaciją antrajai. Kai bus baigtas pirmosios matricos redukavimas į vieneto formą, antroji matrica bus lygi A−1.

Naudojant Gauso metodą, pirmoji matrica kairėje bus padauginta iš vienos iš elementariųjų matricų Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvekcinė arba įstrižainė matrica su matricomis pagrindinėje įstrižainėje, išskyrus vieną padėtį):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rodyklė dešinėn \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 - a 1 m / a m m 0 … 0 ... 0 ... 1 - a m - 1 m / a m m 0 ... 0 0 ... 0 1 / a m m 0 ... 0 0 ... 0 - a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\taškai &&&\\0&\taškai &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\taškai &0\\0&\taškai &0&1/a_(mm)&0&\taškai &0\\0&\taškai &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\taškai &0\\&&&\taškai &&&\\0&\taškai &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\taškai &1\pabaiga(bmatrica))).

Antroji matrica pritaikius visas operacijas bus lygi Λ (\displaystyle\Lambda), tai yra, jis bus norimas. Algoritmo sudėtingumas - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Naudojant algebrinę komplemento matricą

Matrica atvirkštinė matrica A (\displaystyle A), gali būti pavaizduotas formoje

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Kur adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- adjungtinė matrica;

Algoritmo sudėtingumas priklauso nuo determinanto O det skaičiavimo algoritmo sudėtingumo ir yra lygus O(n²)·O det.

Naudojant LU/LUP skaidymą

Matricinė lygtis A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) atvirkštinei matricai X (\displaystyle X) galima laikyti kolekcija n (\displaystyle n) formos sistemos A x = b (\displaystyle Ax=b). Pažymėkime i (\displaystyle i) matricos stulpelis X (\displaystyle X) per X i (\displaystyle X_(i)); Tada A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), nes i (\displaystyle i) matricos stulpelis I n (\displaystyle I_(n)) yra vieneto vektorius e i (\displaystyle e_(i)). kitaip tariant, norint rasti atvirkštinę matricą, reikia išspręsti n lygčių su ta pačia matrica ir skirtingomis dešiniosiomis pusėmis. Atlikus LUP skaidymą (O(n³) laikas), kiekvienai iš n lygčių išspręsti reikia O(n²) laiko, todėl šiai darbo daliai taip pat reikia O(n³) laiko.

Jei matrica A yra ne vienaskaita, tada jai galima apskaičiuoti LUP skaidymą P A = L U (\displaystyle PA = LU). Leiskite P A = B (\displaystyle PA = B), B – 1 = D (\displaystyle B^(-1) = D). Tada iš atvirkštinės matricos savybių galime parašyti: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jei šią lygybę padauginsite iš U ir L, galite gauti dvi formos lygybes U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Ir D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Pirmoji iš šių lygčių yra n² tiesinių lygčių sistema n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) iš kurių žinomos dešinės pusės (iš trikampių matricų savybių). Antrasis taip pat reiškia n² tiesinių lygčių sistemą n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) iš kurių žinomos dešinės pusės (taip pat iš trikampių matricų savybių). Kartu jie sudaro n² lygybių sistemą. Naudodami šias lygybes galime rekursyviai nustatyti visus n² matricos D elementus. Tada iš lygybės (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. gauname lygybę A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1) = DP).

Naudojant LU dekompoziciją, matricos D stulpelių permutacija nereikalinga, tačiau sprendimas gali skirtis, net jei matrica A yra ne vienaskaita.

Algoritmo sudėtingumas yra O(n³).

Iteraciniai metodai

Schultzo metodai

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),),\\U_() k+1)=U_(k)\suma _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\pabaiga(atvejai)))

Klaidos įvertinimas

Pradinio aproksimavimo pasirinkimas

Pradinės aproksimacijos pasirinkimo problema čia nagrinėjamuose iteraciniuose matricos inversijos procesuose neleidžia jų traktuoti kaip nepriklausomų universalių metodų, konkuruojančių su tiesioginės inversijos metodais, pagrįstais, pavyzdžiui, matricų LU skaidymu. Yra keletas rekomendacijų, kaip pasirinkti U 0 (\displaystyle U_(0)), užtikrinančios sąlygos įvykdymą ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (matricos spektrinis spindulys yra mažesnis už vienetą), kuris yra būtinas ir pakankamas proceso konvergencijai. Tačiau šiuo atveju pirmiausia reikia iš viršaus žinoti apverčiamosios matricos A arba matricos spektro įvertinimą. A A T (\displaystyle AA^(T))(būtent jei A yra simetriška teigiama apibrėžtoji matrica ir ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), tada galite pasiimti U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), kur; jei A yra savavališka ne vienaskaita matrica ir ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), tada jie tiki U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), kur taip pat α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Žinoma, galite supaprastinti situaciją ir pasinaudoti tuo ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), įdėti U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Antra, tokiu būdu nurodant pradinę matricą, nėra garantijos, kad ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) bus mažas (gal net pasirodys ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), o aukštas konvergencijos rodiklis nebus atskleistas iš karto.

Pavyzdžiai

Matrica 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] .

(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrica)).) 2x2 matricos inversija galima tik su sąlyga, kad.

a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0)

Matricinė algebra – atvirkštinė matrica

Atvirkštinė matrica Atvirkštinė matrica
yra matrica, kurią dešinėje ir kairėje padauginus iš nurodytos matricos, gaunama tapatumo matrica. Pažymime atvirkštinę matricos matricą A

Kur per , tada pagal apibrėžimą gauname: E
– tapatybės matrica. Kvadratinė matrica paskambino (neypatingas neišsigimęs ), jei jo determinantas nėra nulis. Priešingu atveju jis vadinamas (ypatingas išsigimęs ) arba.

vienaskaita Teorema galioja:

Kiekviena ne vienaskaita matrica turi atvirkštinę matricą. Vadinama atvirkštinės matricos radimo operacija apeliacija matricos. Panagrinėkime matricos inversijos algoritmą. Tegu pateikta ne vienaskaita matrica n

- užsakymas: A ≠ 0.

kur Δ = det Algebrinis elemento pridėjimas matricos. Panagrinėkime matricos inversijos algoritmą. Tegu pateikta ne vienaskaita matrica matricos Pažymime atvirkštinę matricos matricą– įsakymas matricos. Panagrinėkime matricos inversijos algoritmą. Tegu pateikta ne vienaskaita matrica vadinamas determinantu matricos, paimtos su tam tikru ženklu ( –1) užsakymas gautas išbraukus i -toji eilutė ir j Pažymime atvirkštinę matricos matricą:

matricos stulpelis Sukurkime vadinamąjį pridedamas

matrica: Pažymime atvirkštinę matricos matricą.
kur yra atitinkamų matricos elementų algebriniai papildiniai Pažymime atvirkštinę matricos matricą Atkreipkite dėmesį, kad matricos eilutės elementų algebriniai papildymai Ã dedami į atitinkamus matricos stulpelius
ty matrica perkeliama tuo pačiu metu. Ã Padalijus visus matricos elementus Pažymime atvirkštinę matricos matricą pagal Δ – matricos determinanto reikšmė

, gauname atvirkštinę matricą:
Atkreipkime dėmesį į keletą specialių atvirkštinės matricos savybių: Pažymime atvirkštinę matricos matricą 1) duotai matricai jos atvirkštinė matrica
yra vienintelis; 2) jei yra atvirkštinė matrica, tai Ir dešinė atvirkštinė kairėje pusėje
matricos sutampa su juo;

3) vienaskaitos (vienskaitos) kvadrato matrica neturi atvirkštinės matricos.
Pagrindinės atvirkštinės matricos savybės:
1) atvirkštinės matricos determinantas ir pradinės matricos determinantas yra reciprokiniai dydžiai;

2) kvadratinių matricų sandaugos atvirkštinė matrica yra lygi atvirkštinės veiksnių matricos sandaugai, paimtai atvirkštine tvarka:

PAVYZDYS Apskaičiuokite pateiktos matricos atvirkštinę vertę.

Paprastai atvirkštinės operacijos naudojamos sudėtingoms algebrinėms išraiškoms supaprastinti. Pavyzdžiui, jei problema susijusi su dalybos iš trupmenos operacija, galite ją pakeisti daugybos iš trupmenos atvirkštinio skaičiaus operacija, kuri yra atvirkštinė operacija. Be to, matricos negalima padalyti, todėl reikia padauginti iš atvirkštinės matricos. Apskaičiuoti atvirkštinę 3x3 matricos vertę yra gana nuobodu, tačiau jūs turite tai padaryti rankiniu būdu. Taip pat galite rasti abipusį koeficientą naudodami gerą grafinį skaičiuotuvą.

Žingsniai

Naudojant adjungtinę matricą

Perkelkite pradinę matricą. Perkėlimas yra eilučių pakeitimas stulpeliais pagrindinės matricos įstrižainės atžvilgiu, tai yra, reikia sukeisti elementus (i,j) ir (j,i). Šiuo atveju pagrindinės įstrižainės elementai (prasideda viršutiniame kairiajame kampe ir baigiasi apatiniame dešiniajame kampe) nesikeičia.

Norėdami pakeisti eilutes į stulpelius, pirmame stulpelyje parašykite pirmosios eilutės elementus, antrame stulpelyje - antrosios eilutės elementus, o trečiame stulpelyje - trečios eilutės elementus. Elementų padėties keitimo tvarka parodyta paveikslėlyje, kuriame atitinkami elementai apibraukti spalvotais apskritimais.

Raskite kiekvienos 2x2 matricos apibrėžimą. Kiekvienas bet kurios matricos elementas, įskaitant perkeltą, yra susietas su atitinkama 2x2 matrica. Norėdami rasti 2x2 matricą, atitinkančią konkretų elementą, perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra nurodytas elementas, tai yra, turite išbraukti penkis pradinės 3x3 matricos elementus. Keturi elementai liks nesukryžiuoti, kurie yra atitinkamos 2x2 matricos elementai.

Pavyzdžiui, norėdami rasti 2x2 matricą elementui, esančiam antros eilutės ir pirmojo stulpelio sankirtoje, perbraukite penkis elementus, esančius antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje. Likę keturi elementai yra atitinkamos 2x2 matricos elementai.
Raskite kiekvienos 2x2 matricos determinantą. Norėdami tai padaryti, atimkite antrinės įstrižainės elementų sandaugą iš pagrindinės įstrižainės elementų sandaugos (žr. pav.).
Išsamią informaciją apie 2x2 matricas, atitinkančias konkrečius 3x3 matricos elementus, galite rasti internete.

Sukurkite kofaktorių matricą. Anksčiau gautus rezultatus parašykite naujos kofaktorių matricos forma. Norėdami tai padaryti, parašykite rastą kiekvienos 2x2 matricos determinantą, kur buvo atitinkamas 3x3 matricos elementas. Pavyzdžiui, jei svarstote apie 2x2 matricą elementui (1,1), parašykite jo determinantą (1,1) pozicijoje. Tada pakeiskite atitinkamų elementų ženklus pagal tam tikrą schemą, kuri parodyta paveikslėlyje.

Ženklų keitimo schema: pirmos eilutės pirmojo elemento ženklas nesikeičia; pirmosios eilutės antrojo elemento ženklas yra apverstas; pirmos eilutės trečiojo elemento ženklas nesikeičia ir taip eilutę po eilutės. Atkreipkite dėmesį, kad „+“ ir „-“ ženklai, kurie rodomi diagramoje (žr. pav.), nereiškia, kad atitinkamas elementas bus teigiamas ar neigiamas. Šiuo atveju „+“ ženklas rodo, kad elemento ženklas nesikeičia, o „-“ ženklas rodo elemento ženklo pasikeitimą.
Išsamią informaciją apie kofaktorių matricas galima rasti internete.
Tokiu būdu rasite pradinės matricos adjungtinę matricą. Kartais ji vadinama sudėtinga konjuguota matrica. Tokia matrica žymima kaip adj(M).

Kiekvieną adjungtinės matricos elementą padalinkite iš jo determinanto. Matricos M determinantas buvo apskaičiuotas pačioje pradžioje, siekiant patikrinti, ar atvirkštinė matrica egzistuoja. Dabar padalykite kiekvieną adjungtinės matricos elementą šiuo determinantu. Parašykite kiekvienos padalijimo operacijos rezultatą, kur yra atitinkamas elementas. Tokiu būdu matricą rasite atvirkštinę pradinei.

Paveiksle parodytos matricos determinantas yra 1. Taigi čia adjunktinė matrica yra atvirkštinė (nes bet kurį skaičių padalijus iš 1, jis nesikeičia).
Kai kuriuose šaltiniuose dalybos operacija pakeičiama daugybos iš 1/det(M) operacija. Tačiau galutinis rezultatas nesikeičia.

Parašykite atvirkštinę matricą. Elementus, esančius dešinėje didelės matricos pusėje, parašykite kaip atskirą matricą, kuri yra atvirkštinė matrica.

Įveskite originalią matricą į skaičiuotuvo atmintį. Norėdami tai padaryti, spustelėkite mygtuką Matrica, jei yra. „Texas Instruments“ skaičiuoklei gali tekti paspausti 2 ir Matrix mygtukus.

Pasirinkite meniu Redaguoti. Atlikite tai naudodami rodyklių mygtukus arba atitinkamą funkcijų mygtuką, esantį skaičiuotuvo klaviatūros viršuje (mygtuko vieta skiriasi priklausomai nuo skaičiuotuvo modelio).

Įveskite matricos žymėjimą. Dauguma grafinių skaičiuotuvų gali dirbti su 3-10 matricų, kurios gali būti žymimos raidėmis A-J. Paprastai tiesiog pasirinkite [A], kad nurodytumėte pradinę matricą. Tada paspauskite Enter mygtuką.

Įveskite matricos dydį.Šiame straipsnyje kalbama apie 3x3 matricas. Tačiau grafiniai skaičiuotuvai gali dirbti su didelėmis matricomis. Įveskite eilučių skaičių, paspauskite Enter mygtuką, tada įveskite stulpelių skaičių ir dar kartą paspauskite Enter mygtuką.

Įveskite kiekvieną matricos elementą. Skaičiuotuvo ekrane bus rodoma matrica. Jei anksčiau įvedėte matricą į skaičiuotuvą, ji bus rodoma ekrane. Žymeklis paryškins pirmąjį matricos elementą. Įveskite pirmojo elemento reikšmę ir paspauskite Enter. Žymeklis automatiškai pereis prie kito matricos elemento.

Atvirkštinės matricos radimo metodai, . Apsvarstykite kvadratinę matricą

Pažymime Δ =det A.

Kvadratinė matrica A vadinama neišsigimęs, arba neypatingas, jei jo determinantas nėra lygus nuliui, ir išsigimęs, arba ypatingas, JeiΔ = 0.

Kvadratinė matrica B skirta tos pačios eilės kvadratinei matricai A, jei jų sandauga yra A B = B A = E, kur E yra tos pačios eilės tapatumo matrica kaip ir matricos A ir B.

Teorema . Kad matrica A turėtų atvirkštinę matricą, būtina ir pakanka, kad jos determinantas skirtųsi nuo nulio.

Matricos A atvirkštinė matrica, žymima A- 1, taigi B = A - 1 ir apskaičiuojamas pagal formulę

, (1)

kur A i j yra matricos A elementų a i j algebriniai papildiniai.

A -1 skaičiavimas naudojant (1) formulę aukštos eilės matricoms yra labai daug darbo reikalaujantis, todėl praktikoje patogu rasti A -1 elementariųjų transformacijų (ET) metodu. Bet kuri ne vienaskaita matrica A gali būti sumažinta iki tapatybės matricos E, naudojant tik stulpelių (arba tik eilučių) ED. Jei ED, ištobulintos per matricą A, ta pačia tvarka pritaikoma tapatybės matricai E, tada rezultatas yra atvirkštinė matrica. Patogu atlikti EP matricose A ir E vienu metu, abi matricas rašant viena šalia kitos per eilutę. Dar kartą atkreipkime dėmesį, kad ieškant kanoninės matricos formos, norint surasti, galima naudoti eilučių ir stulpelių transformacijas. Jei reikia rasti atvirkštinę matricos vertę, transformavimo procese turėtumėte naudoti tik eilutes arba tik stulpelius.

2.10 pavyzdys. Dėl matricos rasti A-1.

Sprendimas.Pirmiausia randame matricos A determinantą
Tai reiškia, kad atvirkštinė matrica egzistuoja ir ją galime rasti naudodami formulę: , kur A i j (i,j=1,2,3) yra pradinės matricos elementų a i j algebriniai priedai.

Kur .

2.11 pavyzdys. Elementariųjų transformacijų metodu raskite matricos A -1: A = .

Sprendimas.Pradinei matricai dešinėje priskiriame tokios pat eilės tapatybės matricą: . Naudodami elementarias stulpelių transformacijas, kairiąją „pusę“ sumažinsime iki tapatybės, tuo pačiu atlikdami lygiai tokias pačias transformacijas dešinėje matricoje.
Norėdami tai padaryti, pakeiskite pirmąjį ir antrąjį stulpelius: ~ . Prie trečiojo stulpelio pridedame pirmąjį, o į antrąjį - pirmąjį, padaugintą iš -2: . Iš pirmo stulpelio atimame antrąjį padvigubintą, o iš trečiojo - antrąjį padaugintą iš 6; . Trečiąjį stulpelį pridėkime prie pirmojo ir antrojo: . Paskutinį stulpelį padauginkite iš -1: . Kvadratinė matrica, gauta dešinėje nuo vertikalios juostos, yra atvirkštinė duotosios matricos A matrica.
.

Matrica A -1 vadinama atvirkštine matricos A atžvilgiu, jei A*A -1 = E, kur E yra n-osios eilės tapatumo matrica. Atvirkštinė matrica gali egzistuoti tik kvadratinėms matricoms.

Paslaugos paskirtis. Naudodamiesi šia paslauga internete galite rasti algebrinius papildinius, transponuotą matricą A T, sąjunginę matricą ir atvirkštinę matricą. Sprendimas priimamas tiesiogiai svetainėje (internetu) ir yra nemokamas. Skaičiavimo rezultatai pateikiami ataskaitoje Word ir Excel formatu (t.y. galima patikrinti sprendimą). žr. dizaino pavyzdį.

Instrukcijos. Norint gauti sprendimą, būtina nurodyti matricos matmenis. Tada naujame dialogo lange užpildykite matricą A.

Taip pat žiūrėkite atvirkštinę matricą naudojant Jordano-Gauss metodą

Atvirkštinės matricos radimo algoritmas

Transponuotos matricos A T radimas.
Algebrinių komplementų apibrėžimas. Pakeiskite kiekvieną matricos elementą jo algebriniu papildiniu.
Atvirkštinės matricos sudarymas iš algebrinių priedų: kiekvienas gautos matricos elementas yra padalintas iš pradinės matricos determinanto. Gauta matrica yra atvirkštinė pradinei matricai.

Kitas atvirkštinės matricos paieškos algoritmas panašus į ankstesnį, išskyrus kai kuriuos veiksmus: pirmiausia apskaičiuojami algebriniai papildiniai, o tada nustatoma sąjunginė matrica C.

Nustatykite, ar matrica yra kvadratinė. Jei ne, tada jai nėra atvirkštinės matricos.
Matricos A determinanto apskaičiavimas. Jei jis nelygus nuliui, tęsiame sprendimą, kitaip atvirkštinė matrica neegzistuoja.
Algebrinių komplementų apibrėžimas.
Sąjungos (abipusės, adjungtinės) matricos C užpildymas.
Atvirkštinės matricos sudarymas iš algebrinių priedų: kiekvienas adjungtinės matricos C elementas dalijamas iš pradinės matricos determinanto. Gauta matrica yra atvirkštinė pradinei matricai.
Jie atlieka patikrinimą: padaugina originalą ir gautas matricas. Rezultatas turėtų būti tapatybės matrica.

1 pavyzdys. Parašykime matricą tokia forma:

Algebriniai priedai.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1	-2
5	4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2	-2
-2	4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2	-1
-2	5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2	3
5	4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1	3
-2	4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1	2
-2	5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2	3
-1	-2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1	3
2	-2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1	2
2	-1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Tada atvirkštinė matrica gali būti parašytas taip:

A -1 = 1/10

6	-4	8
7	2	1
-1	4	-3

A -1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Kitas atvirkštinės matricos paieškos algoritmas

Pateiksime kitą atvirkštinės matricos radimo schemą.

Raskite duotosios kvadratinės matricos A determinantą.
Visiems A matricos elementams randame algebrinius papildymus.
Rašome eilučių elementų algebrinius papildymus į stulpelius (transpozicija).
Kiekvieną gautos matricos elementą padaliname iš matricos A determinanto.

Kaip matome, transpozicijos operacija gali būti taikoma tiek pradžioje, pradinėje matricoje, tiek pabaigoje, gautose algebrinėse prieduose.

Ypatingas atvejis: Atvirkštinė tapatybės matrica E yra tapatybės matrica E.

Taip pat rekomenduojame

Įkeliama...

Pradžia > Koregavimas