Jei išvestinė lygi nuliui, tada funkcija. Išvestinės taikymas tiriant funkcijas

Užduotis.

Funkcija y=f(x) yra apibrėžta intervale (-5; 6). Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas. Tarp taškų x 1, x 2, ..., x 7 raskite tuos taškus, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė lygi nuliui. Atsakydami užrašykite rastų taškų skaičių.

Sprendimas:

Šios problemos sprendimo principas yra toks: yra trys galimos funkcijos elgesys šiame intervale:

1) kai funkcija didėja (kai išvestinė yra didesnė už nulį)

2) kai funkcija mažėja (kai išvestinė yra mažesnė už nulį)

3) kai funkcija nedidėja arba nemažėja (kai išvestinė yra lygi nuliui arba jos nėra)

Mus domina trečiasis variantas.

Išvestinė lygi nuliui, kai funkcija yra lygi ir neegzistuoja lūžio taškuose. Pažvelkime į visus šiuos punktus.

x 1 - funkcija didėja, o tai reiškia išvestinę f′(x) >0

x 2 - funkcija užima minimumą ir yra lygi, o tai reiškia išvestinę f ′(x) = 0

x 3 - funkcija trunka maksimaliai, tačiau šiuo metu yra pertrauka, o tai reiškia vedinys f “(x) neegzistuoja

x 4 - funkcija trunka maksimaliai, bet šiuo metu yra pertrauka, o tai reiškia vedinys f “(x) neegzistuoja

x 5 – išvestinė f ′(x) = 0

x 6 - funkcija didėja, o tai reiškia išvestinę f′(x) >0

x 7 - funkcija trunka mažiausiai ir yra sklandi, o tai reiškia išvestinė f ′(x) = 0

Matome, kad f ′(x) = 0 taškuose x 2, x 5 ir x 7, iš viso 3 taškai.

Funkcijos išvestinė yra viena iš sudėtingiausių temų mokyklos mokymo programa. Ne kiekvienas abiturientas atsakys į klausimą, kas yra darinys.

Šiame straipsnyje paprastai ir aiškiai paaiškinama, kas yra išvestinė priemonė ir kodėl ji reikalinga.. Dabar pristatyme nesieksime matematinio griežtumo. Svarbiausia suprasti prasmę.

Prisiminkime apibrėžimą:

Išvestinė yra funkcijos kitimo greitis.

Paveikslėlyje pavaizduoti trijų funkcijų grafikai. Kuris, jūsų nuomone, auga greičiau?

Atsakymas akivaizdus – trečiasis. Ji turi didžiausią kitimo greitį, ty didžiausią išvestinę priemonę.

Štai dar vienas pavyzdys.

Kostya, Grisha ir Matvey gavo darbus tuo pačiu metu. Pažiūrėkime, kaip per metus pasikeitė jų pajamos:

Grafikas rodo viską iš karto, ar ne? Kostjos pajamos per šešis mėnesius išaugo daugiau nei dvigubai. Ir Grišos pajamos taip pat padidėjo, bet tik šiek tiek. Ir Matvey pajamos sumažėjo iki nulio. Pradinės sąlygos yra tos pačios, bet funkcijos kitimo greitis, tai yra išvestinė, - kitoks. Kalbant apie Matvey, jo pajamų išvestinė priemonė paprastai yra neigiama.

Intuityviai mes lengvai įvertiname funkcijos kitimo greitį. Bet kaip tai padaryti?

Mes iš tikrųjų žiūrime į tai, kaip staigiai funkcijos grafikas kyla aukštyn (arba žemyn). Kitaip tariant, kaip greitai y keičiasi keičiantis x? Akivaizdu, kad ta pati funkcija skirtinguose taškuose gali turėti skirtinga prasmė išvestinė – tai yra, ji gali keistis greičiau arba lėčiau.

Funkcijos išvestinė žymima .

Parodysime, kaip jį rasti naudojant grafiką.

Nubraižytas kokios nors funkcijos grafikas. Paimkime tašką su abscise. Šioje vietoje nubrėžkime funkcijos grafiko liestinę. Norime įvertinti, kaip staigiai kyla funkcijos grafikas. Patogi vertė yra liestinės kampo liestinė.

Funkcijos išvestinė taške yra lygi liestinės kampo, nubrėžto į funkcijos grafiką šiame taške, liestinei.

Atkreipkite dėmesį, kad kaip liestinės pasvirimo kampas imame kampą tarp liestinės ir teigiamos ašies krypties.

Kartais mokiniai klausia, kas yra funkcijos grafiko liestinė. Tai tiesi linija, turinti vieną bendrą tašką su diagrama šioje dalyje ir kaip parodyta mūsų paveikslėlyje. Tai atrodo kaip apskritimo liestinė.

Suraskime. Prisimename, kad smailiojo kampo liestinė in stačiakampis trikampis lygus priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui. Iš trikampio:

Išvestinę radome naudodami grafiką, net nežinodami funkcijos formulės. Tokios problemos dažnai aptinkamos vieningame valstybiniame matematikos egzamine pagal numerį.

Yra dar vienas svarbus ryšys. Prisiminkite, kad tiesią liniją suteikia lygtis

Šioje lygtyje esantis dydis vadinamas tiesios linijos nuolydis. Jis lygus tiesės polinkio į ašį kampo liestinei.

.

Mes tai gauname

Prisiminkime šią formulę. Ji išreiškia geometrinę išvestinės reikšmę.

Funkcijos išvestinė taške yra lygi to taško funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui.

Kitaip tariant, išvestinė lygi liestinės kampo tangentei.

Jau sakėme, kad ta pati funkcija skirtinguose taškuose gali turėti skirtingus išvestinius. Pažiūrėkime, kaip išvestinė yra susijusi su funkcijos veikimu.

Nubraižykime kokios nors funkcijos grafiką. Tegul ši funkcija vienose srityse didėja, o kitose mažėja ir skirtingais tempais. Ir tegul ši funkcija turi didžiausius ir mažiausius taškus.

Tam tikru momentu funkcija padidėja. Susidaro taške nubrėžto grafiko liestinė aštrus kampas; su teigiama ašies kryptimi. Tai reiškia, kad taško išvestinė yra teigiama.

Tuo metu mūsų funkcija sumažėja. Liestinė šiame taške sudaro bukąjį kampą; su teigiama ašies kryptimi. Nuo tangento bukas kampas yra neigiamas, taške išvestinė yra neigiama.

Štai kas nutinka:

Jei funkcija didėja, jos išvestinė yra teigiama.

Jei jis mažėja, jo išvestinė yra neigiama.

Kas atsitiks su didžiausiu ir mažiausiu taškais? Matome, kad taškuose (maksimalus taškas) ir (minimalus taškas) liestinė yra horizontali. Todėl liestinės kampo liestinė šiuose taškuose lygus nuliui, o išvestinė taip pat lygi nuliui.

Taškas – maksimalus taškas. Šiuo metu funkcijos padidėjimas pakeičiamas sumažėjimu. Vadinasi, išvestinės ženklas taške pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“.

Taške - minimaliame taške - išvestinė taip pat yra nulis, tačiau jos ženklas keičiasi iš „minuso“ į „pliusą“.

Išvada: naudodamiesi išvestine galime sužinoti viską, kas mus domina apie funkcijos elgesį.

Jei išvestinė yra teigiama, tada funkcija didėja.

Jei išvestinė yra neigiama, tada funkcija mažėja.

Didžiausiame taške išvestinė yra nulis ir keičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“.

Mažiausiame taške išvestinė taip pat yra nulis ir keičia ženklą iš „minuso“ į „pliusą“.

Parašykime šias išvadas lentelės pavidalu:

	didėja	maksimalus taškas	mažėja	minimalus taškas	didėja
+	0	-	0	+

Padarykime du nedidelius paaiškinimus. Vieno iš jų prireiks sprendžiant problemą. Kitas – pirmame kurse, su rimtesniu funkcijų ir išvestinių tyrimu.

Gali būti, kad funkcijos išvestinė tam tikru momentu yra lygi nuliui, tačiau funkcija šiuo metu neturi nei maksimumo, nei minimumo. Tai yra vadinamasis :

Taške grafiko liestinė yra horizontali, o išvestinė lygi nuliui. Tačiau prieš tašką funkcija padidėjo, o po taško ji toliau didėja. Darinio ženklas nesikeičia – jis lieka teigiamas toks, koks buvo.

Taip pat atsitinka, kad maksimumo ar minimumo taške išvestinė neegzistuoja. Grafike tai atitinka staigų pertrauką, kai tam tikrame taške neįmanoma nubrėžti liestinės.

Kaip rasti išvestinę, jei funkcija pateikta ne grafiku, o formule? Šiuo atveju tai taikoma

Funkcijos tęstinumas ir diferencijavimas.

Darboux teorema . Monotonijos intervalai.

Kritiniai taškai . Ekstremalumas (minimumas, maksimalus).

Funkcijų tyrimo projektavimas.

Funkcijos tęstinumo ir diferencialumo ryšys. Jei funkcija f(x)yra diferencijuotas tam tikru momentu, tada tame taške jis yra tęstinis. Atvirkščiai netiesa: nuolatinė funkcija gali neturėti darinio.

Iliustracija. Jei funkcija tam tikru momentu nepertraukiama, tada šiuo metu jis neturi išvestinės.

Pakankami funkcijos monotoniškumo požymiai.

Jei f’(x) > 0 kiekviename intervalo taške (a, b), tada funkcija f (x)per šį intervalą didėja.

Jei f’(x) < 0 kiekviename intervalo taške (a, b) , tada funkcija f(x)mažėja šiuo intervalu.

Darboux teorema. Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė yra 0arba neegzistuoja, padalinkite funkcijos apibrėžimo sritį į intervalus, kuriuose išvestinė išlaiko savo ženklą.

Naudodami šiuos intervalus galime rasti monotonijos intervalai funkcijas, o tai labai svarbu juos studijuojant.

Todėl funkcija didėja intervalais (- , 0) ir ( 1, + ) ir mažėja per intervalą ( 0, 1). Taškas x= 0 neįtrauktas į funkcijos apibrėžimo sritį, bet artėjantx k0 terminas x - 2 neribotai didėja, taigi ir funkcija neribotai didėja. Taškex= 1 funkcijos reikšmė yra 3. Pagal šią analizę galime paskelbtinubraižykite funkciją ( 4 pav b ) .

Kritiniai taškai. Funkcijų srities vidiniai taškai, kuriame išvestinė yra lygi niekinis arba neegzistuoja, yra vadinami kritiškas taškaisšią funkciją. Šie taškai yra labai svarbūs analizuojant funkciją ir braižant jos grafiką, nes tik šiuose taškuose funkcija gali turėti ekstremumas (minimumas arba maksimalus , 5 pav A,b).

Taškuose x 1 , x 2 (5 pav a) Ir x 3 (5 pav b) išvestinė yra 0; taškuose x 1 , x 2 (5 pav b) išvestinė neegzistuoja. Bet jie visi yra kraštutiniai taškai.

Būtina ekstremumo sąlyga. Jeigu x 0 - funkcijos ekstremalus taškas f(x) ir išvestinė f’ egzistuoja šiame taške, tada f’(x 0)= 0.

Ši teorema yra būtina ekstremalios būklės. Jei funkcijos išvestinė tam tikru momentu yra 0, tai nereiškia funkcija šioje vietoje turi ekstremumą. Pavyzdžiui, funkcijos išvestinėf (x) = x 3 lygus 0 at x= 0, tačiau ši funkcija šiame taške neturi ekstremumo (6 pav.).

Kita vertus, funkcijay = | x| 3 pav., taške turi minimumąx= 0, bet šiuo metu išvestinė neegzistuoja.

Pakankamos sąlygos ekstremumui.

Jei išvestinė eidama per tašką x 0 tada pakeičia savo ženklą iš pliuso į minusą x 0 - maksimalus taškas.

Jei išvestinė eidama per tašką x 0 pakeičia savo ženklą iš minuso į pliusą, tada x 0 - minimalus taškas.

Funkcijų tyrimo projektavimas. Norėdami pavaizduoti funkciją, jums reikia:

1) suraskite funkcijos apibrėžimo sritį ir reikšmių diapazoną,

2) nustatyti, ar funkcija lygi, ar nelyginė,

3) nustatyti, ar funkcija yra periodinė, ar ne,

4) Raskite funkcijos nulius ir jos reikšmesx = 0,

5) rasti pastovaus ženklo intervalus,

6) rasti monotoniškumo intervalus,

7) šiuose taškuose suraskite ekstremalių taškų ir funkcijų reikšmes,

8) išanalizuoti funkcijos elgseną šalia „vienaskaitos“ taškų

Ir esant didelėms modulio vertėmsx .

PAVYZDYS Ištirkite funkcijąf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 ir nubraižykite grafiką.

Sprendimas Išnagrinėkime funkciją pagal aukščiau pateiktą schemą.

1) apibrėžimo sritisxR (x– bet koks tikras numeris);

Vertybių diapazonasyR , nes f (x) – nelyginis daugianario

laipsnių;

2) funkcija f (x) nėra nei lyginis, nei nelyginis

(paaiškinkite);

3) f (x) yra neperiodinė funkcija (įrodykite patys);

4) funkcijos grafikas kerta ašįY taške (0, – 2),

Nes f (0) = - 2 ; norėdami rasti reikalingos funkcijos nulius

Išspręskite lygtį:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, viena iš šaknų

Kuris ( x= 1) yra akivaizdu. Kitos šaknys yra

(jei jie egzistuoja! ) išsprendus kvadratinę lygtį:

x 2 + 3 x+ 2 = 0, kuris gaunamas padalijus daugianarį

x 3 + 2 x 2 - x- 2 už dvinarį ( x– 1). Lengva patikrinti

Kokios yra kitos dvi šaknys:x 2 = - 2 ir x 3 = - 1. Taigi,

Funkcijos nuliai yra šie: - 2, - 1 ir 1.

5) Tai reiškia, kad skaičių ašis yra padalinta iš šių šaknų iš

Keturi ženklo pastovumo intervalai, kurių ribose

Funkcija išlaiko savo ženklą:

Tokį rezultatą galima gauti išplečiant

daugianario į veiksnius:

x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)

Ir kūrinio ženklo įvertinimas .

6) Išvestinė f' (x) = 3 x 2 + 4 x- 1 neturi taškų, kuriuose

Jo nėra, todėl jo apibrėžimo sritis yraR (Visi

Tikrieji skaičiai); nuliaif' (x) yra lygties šaknys:

3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .

Gauti rezultatai apibendrinti lentelėje:

Sprendžiant įvairias geometrijos, mechanikos, fizikos ir kitų žinių šakų problemas, atsirado poreikis naudoti tą patį šios funkcijos analitinį procesą. y=f(x) gauti nauja funkcija kuris vadinamas išvestinė funkcija(arba tiesiog duotosios funkcijos f(x) išvestinė ir yra pažymėtas simboliu

Procesas, kurio metu iš tam tikros funkcijos f(x) gauti naują funkciją f“ (x), paskambino diferenciacija ir jis susideda iš šių trijų žingsnių: 1) pateikite argumentą x prieaugis  x ir nustatyti atitinkamą funkcijos prieaugį  y = f(x+ x) -f(x);

2) užmegzti ryšį x 3) skaičiavimas  x pastovus ir
0, randame f“ (x), kurį žymime x, tarsi pabrėžiant, kad gaunama funkcija priklauso tik nuo reikšmės , ties kuria einame iki ribos.: Apibrėžimas Išvestinė y " =f " (x) duota funkcija y=f(x) duotam x
vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, su sąlyga, kad argumento prieaugis linkęs į nulį, jei, žinoma, ši riba egzistuoja, t.y. baigtinis.

Taigi, x, arba Atkreipkite dėmesį, kad jei už tam tikrą vertę, pavyzdžiui, kai
x=a  x, požiūris f(x) adresu Atkreipkite dėmesį, kad jei už tam tikrą vertę0 nėra linkęs į baigtinę ribą, tada šiuo atveju jie sako, kad funkcija Atkreipkite dėmesį, kad jei už tam tikrą vertę adresu Atkreipkite dėmesį, kad jei už tam tikrą vertę.

(arba taške

Apsvarstykite funkcijos y = f (x), diferencijuojamos taško x 0 kaimynystėje, grafiką.

f(x)

Panagrinėkime savavališką tiesę, einančią per funkcijos grafiko tašką – tašką A(x 0, f (x 0)) ir kertančią grafiką tam tikrame taške B(x;f(x)). Tokia linija (AB) vadinama sekantu. Iš ∆ABC: ​​AC = ∆x;

ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Kadangi AC || Ox, tada ALO = BAC = β (kaip atitinka lygiagrečiai). Bet ALO yra sekanto AB polinkio kampas į teigiamą Ox ašies kryptį. Tai reiškia, kad tanβ = k yra tiesės AB kampinis koeficientas.

Dabar sumažinsime ∆х, t.y. ∆х→ 0. Šiuo atveju taškas B pagal grafiką priartės prie taško A, o sekantė AB suksis. Sekanto AB ribinė padėtis taške ∆x→ 0 bus tiesė (a), vadinama funkcijos y = f (x) grafiko liestine taške A.
Jei lygybėje tgβ =∆y/∆x einame į ribą kaip ∆x → 0, gausime
ortg =f "(x 0), kadangi
 - Ox ašies teigiamos krypties liestinės polinkio kampas

, pagal išvestinės apibrėžimą. Bet tg = k yra liestinės kampinis koeficientas, o tai reiškia, kad k = tg = f "(x 0).

Taigi, geometrinė išvestinės reikšmė yra tokia: 0 Funkcijos taške x išvestinė 0 .

lygus funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui, nubrėžtam taške su abscise x

3. Fizinė vedinio reikšmė.

Apsvarstykite taško judėjimą tiesia linija. Tegu yra taško koordinatė bet kuriuo momentu x(t). Yra žinoma (iš fizikos kurso), kad vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį yra lygus per šį laikotarpį nuvažiuoto atstumo ir laiko santykiui, t.y.

Vav = ∆x/∆t. Eikime į ribą paskutinėje lygybėje kaip ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - momentinis greitis momentu t 0, ∆t → 0.

ir lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (pagal išvestinės apibrėžimą).

Taigi, (t) =x"(t).y = f(xFizinė išvestinės reikšmė yra tokia: funkcijos išvestinėx 0 ) taškefyra funkcijos kitimo greitisx 0

(x) taške

Išvestinė naudojama fizikoje norint rasti greitį pagal žinomą koordinačių ir laiko funkciją, pagreitį pagal žinomą greičio ir laiko funkciją.

(t) = x"(t) - greitis,

a(f) = "(t) – pagreitis arba

Jei žinomas materialaus taško judėjimo apskritime dėsnis, tada galima rasti kampinį greitį ir kampinį pagreitį sukimosi metu:

φ = φ(t) – kampo pokytis laikui bėgant,

ω = φ"(t) – kampinis greitis,

ε = φ"(t) – kampinis pagreitis arba ε = φ"(t).

Jei yra žinomas nehomogeninio strypo masės pasiskirstymo dėsnis, tai galima rasti nehomogeninio strypo tiesinį tankį:

m = m(x) – masė,

p = m"(x) – tiesinis tankis.

Naudojant išvestinę, sprendžiami tamprumo ir harmoninių virpesių teorijos uždaviniai. Taigi, pagal Huko dėsnį

F = -kx, x – kintamoji koordinatė, k – spyruoklės elastingumo koeficientas. Padėję ω 2 =k/m, gauname spyruoklės švytuoklės diferencialinę lygtį x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

čia ω = √k/√m virpesių dažnis (l/c), k – spyruoklės standumas (H/m).

Formos y" + ω 2 y = 0 lygtis vadinama harmoninių virpesių (mechaninių, elektrinių, elektromagnetinių) lygtimi. Tokių lygčių sprendimas yra funkcija.

y = Asin(ωt + φ 0) arba y = Acos(ωt + φ 0), kur

A - virpesių amplitudė, ω - ciklinis dažnis,

φ 0 – pradinė fazė.

B9 uždavinys pateikia funkcijos arba išvestinės grafiką, iš kurio reikia nustatyti vieną iš šių dydžių:

1. Išvestinės vertė tam tikru tašku x 0,
2. Maksimalus arba minimalus balas (ekstremalūs taškai),
3. Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalai (monotoniškumo intervalai).

Šioje užduotyje pateiktos funkcijos ir išvestiniai visada yra tęstiniai, todėl sprendimas yra daug lengvesnis. Nepaisant to, kad užduotis priklauso matematinės analizės skyriui, ją gali atlikti net patys silpniausi mokiniai, nes čia nereikia gilių teorinių žinių.

Norint rasti išvestinės vertės, ekstremumo taškų ir monotoniškumo intervalų reikšmę, yra paprasti ir universalūs algoritmai – visi jie bus aptarti toliau.

Atidžiai perskaitykite problemos B9 sąlygas, kad nepadarytumėte kvailų klaidų: kartais tenka susidurti su gana ilgais tekstais, bet svarbios sąlygos, kurios turi įtakos sprendimo eigai, yra nedaug.

Išvestinės vertės apskaičiavimas. Dviejų taškų metodas

Jei uždaviniui pateikiamas funkcijos f(x), liestinės šiam grafui tam tikrame taške x 0 grafikas ir reikia rasti išvestinės reikšmę šiame taške, taikomas toks algoritmas:

1. Lietinės grafike raskite du „adekvačius“ taškus: jų koordinatės turi būti sveikosios. Pažymėkime šiuos taškus A (x 1 ; y 1) ir B (x 2 ; y 2). Teisingai užsirašykite koordinates – tai yra pagrindinis taškas sprendimus, o bet kokia klaida čia lemia neteisingą atsakymą.
2. Žinant koordinates, nesunku apskaičiuoti argumento Δx = x 2 − x 1 ir funkcijos Δy = y 2 − y 1 prieaugį.
3. Galiausiai randame išvestinės D = Δy/Δx reikšmę. Kitaip tariant, reikia padalyti funkcijos prieaugį iš argumento prieaugio – ir tai bus atsakymas.

Dar kartą pastebėkime: taškų A ir B reikia ieškoti būtent liestinėje, o ne funkcijos f(x) grafike, kaip dažnai nutinka. Tangentinėje linijoje būtinai bus bent du tokie taškai – kitaip problema nebus suformuluota teisingai.

Apsvarstykite taškus A (-3; 2) ir B (-1; 6) ir raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Raskime išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .

Apsvarstykite taškus A (0; 3) ir B (3; 0), raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Dabar randame išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .

Apsvarstykite taškus A (0; 2) ir B (5; 2) ir raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Belieka rasti išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iš paskutinis pavyzdys galime suformuluoti taisyklę: jei liestinė lygiagreti OX ašiai, tai funkcijos išvestinė liesties taške lygi nuliui. Tokiu atveju jums net nereikia nieko skaičiuoti - tiesiog pažiūrėkite į grafiką.

Maksimalių ir minimalių taškų skaičiavimas

Kartais vietoj funkcijos grafiko uždavinys B9 pateikia išvestinės grafiką ir reikalauja surasti funkcijos maksimalų arba mažiausią tašką. Šioje situacijoje dviejų taškų metodas yra nenaudingas, tačiau yra kitas, dar paprastesnis algoritmas. Pirmiausia apibrėžkime terminologiją:

1. Taškas x 0 vadinamas maksimaliu funkcijos f(x) tašku, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f(x 0) ≥ f(x).
2. Taškas x 0 vadinamas funkcijos f(x) minimaliu tašku, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f(x 0) ≤ f(x).

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią taškus išvestinėje grafike, tiesiog atlikite šiuos veiksmus:

1. Perbraižykite išvestinį grafiką, pašalindami visą nereikalingą informaciją. Kaip rodo praktika, nereikalingi duomenys tik trukdo priimti sprendimą. Todėl koordinačių ašyje pažymime išvestinės nulius - ir viskas.
2. Sužinokite išvestinės ženklus intervaluose tarp nulių. Jei kokiam nors taškui x 0 žinoma, kad f'(x 0) ≠ 0, tai galimi tik du variantai: f'(x 0) ≥ 0 arba f'(x 0) ≤ 0. Išvestinės ženklas yra nesunku nustatyti iš pirminio brėžinio: jei išvestinis grafikas yra virš OX ašies, tai f'(x) ≥ 0. Ir atvirkščiai, jei išvestinis grafikas yra po OX ašimi, tai f'(x) ≤ 0.
3. Dar kartą patikriname išvestinės nulius ir ženklus. Kai ženklas keičiasi iš minuso į pliusą, yra minimalus taškas. Ir atvirkščiai, jei išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, tai yra maksimalus taškas. Skaičiavimas visada atliekamas iš kairės į dešinę.

Ši schema veikia tik nuolatinėms funkcijoms – problemų B9 nėra.

Užduotis. Paveiksle parodytas intervale [−5; apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas; 5]. Raskite funkcijos f(x) mažiausią tašką šioje atkarpoje.

Atsikratykime nereikalingos informacijos ir palikime tik ribas [−5; 5] ir išvestinės x = −3 ir x = 2,5 nuliai. Taip pat atkreipiame dėmesį į ženklus:

Akivaizdu, kad taške x = −3 išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą. Tai yra minimalus taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−3; 7]. Raskite maksimalų funkcijos f(x) tašką šioje atkarpoje.

Perbraižykime grafiką, palikdami tik ribas [−3; 7] ir išvestinės x = −1,7 nuliai ir x = 5. Gautame grafike pažymėkime išvestinės požymius. Turime:

Akivaizdu, kad taške x = 5 išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą – tai didžiausias taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje parodytas intervale [−6; apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas; 4]. Raskite atkarpai [−4 priklausančios funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių; 3].

Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad pakanka nagrinėti tik atkarpa ribojamą grafo dalį [−4; 3]. Todėl kuriame naują grafiką, kuriame pažymime tik ribas [−4; 3] ir jo viduje esančios išvestinės nuliai. Būtent taškai x = −3,5 ir x = 2. Gauname:

Šiame grafike yra tik vienas maksimalus taškas x = 2. Būtent šioje vietoje išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą.

Maža pastaba apie taškus, kurių koordinatės nėra sveikos. Pavyzdžiui, paskutinėje užduotyje buvo nagrinėjamas taškas x = −3,5, tačiau su tokia pat sėkme galime imti x = −3,4. Jei problema parašyta teisingai, tokie pakeitimai neturėtų turėti įtakos atsakymui, nes taškai „be konkrečioje vietoje gyvenamoji vieta“ tiesiogiai nedalyvauja sprendžiant problemą. Žinoma, šis triukas neveiks su sveikaisiais taškais.

Didėjančios ir mažėjančios funkcijos intervalų radimas

Esant tokiai problemai, kaip ir maksimalus bei minimalus taškai, išvestiniu grafiku siūloma rasti sritis, kuriose pati funkcija didėja arba mažėja. Pirmiausia apibrėžkime, kas yra didėjantis ir mažėjantis:

1. Laikoma, kad funkcija f(x) didėja atkarpoje, jei bet kuriems dviem taškams x 1 ir x 2 iš šios atkarpos yra teisingas šis teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Kitaip tariant, kuo didesnė argumento reikšmė, tuo didesnė funkcijos reikšmė.
2. Funkcija f(x) vadinama mažėjančia atkarpoje, jei bet kuriems dviem taškams x 1 ir x 2 iš šios atkarpos yra teisingas toks teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. didesnę vertę argumentas atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Suformuluokime pakankamai sąlygų didėjanti ir mažėjanti:

1. Kad atkarpoje ištisinė funkcija f(x) padidėtų, pakanka, kad jos išvestinė atkarpos viduje būtų teigiama, t.y. f’(x) ≥ 0.
2. Tam, kad atkarpoje tolydi funkcija f(x) sumažėtų, pakanka, kad jos išvestinė atkarpos viduje būtų neigiama, t.y. f’(x) ≤ 0.

Priimkime šiuos teiginius be įrodymų. Taigi gauname didėjimo ir mažėjimo intervalų nustatymo schemą, kuri daugeliu atžvilgių yra panaši į ekstremalių taškų skaičiavimo algoritmą:

1. Pašalinkite visą nereikalingą informaciją. Pradiniame išvestinės grafike mus pirmiausia domina funkcijos nuliai, todėl paliksime tik juos.
2. Pažymėkite išvestinės ženklus intervalais tarp nulių. Kur f’(x) ≥ 0, funkcija didėja, o kur f’(x) ≤ 0, ji mažėja. Jei problema nustato apribojimus kintamajam x, juos papildomai pažymime naujame grafike.
3. Dabar, kai žinome funkcijos elgseną ir apribojimus, belieka apskaičiuoti užduotyje reikalingą kiekį.

Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−3; 7.5]. Raskite funkcijos f(x) mažėjimo intervalus. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Kaip įprasta, perbraižykime grafiką ir pažymėkime ribas [−3; 7.5], taip pat išvestinės x = −1,5 ir x = 5,3 nuliai. Tada pažymime išvestinės požymius. Turime:

Kadangi išvestinė yra neigiama intervale (− 1,5), tai yra mažėjančios funkcijos intervalas. Belieka susumuoti visus sveikuosius skaičius, esančius šiame intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas intervale [−10; apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas; 4]. Raskite funkcijos f(x) didėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Atsikratykime nereikalingos informacijos. Palikime tik ribas [−10; 4] ir išvestinės nuliai, kurių šį kartą buvo keturi: x = −8, x = −6, x = −3 ir x = 2. Pažymėkime išvestinės ženklus ir gausime tokį paveikslėlį:

Mus domina didėjančios funkcijos intervalai, t.y. toks kur f’(x) ≥ 0. Grafike yra du tokie intervalai: (−8; −6) ir (−3; 2). Apskaičiuokime jų ilgį:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Kadangi reikia rasti didžiausio intervalo ilgį, kaip atsakymą užrašome reikšmę l 2 = 5.