Kokių tipų matricos yra? Kvadratinė matrica. Matricos. Operacijos su matricomis

Matrica dydis m ? n yra stačiakampė skaičių lentelė, kurioje yra m eilučių ir n stulpelių. Skaičiai, sudarantys matricą, vadinami elementai matricos.

Matricos žymimos lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis ( A, B, C...), o matricos elementams žymėti naudojamos mažosios raidės su dvigubu indeksavimu:

Kur i- linijos numeris, j- stulpelio numeris.

Pavyzdžiui, matrica

Arba sutrumpintai, A=(); i=1,2…, m; j = 1,2, …, n.

Naudojami kiti matriciniai žymėjimai, pavyzdžiui: , ? ?.

Dvi matricos A Ir IN vadinami tokio pat dydžio lygus, jei jie sutampa po elemento, t.y. = , kur i= 1, 2, 3, …, m, A j= 1, 2, 3, …, n.

Apsvarstykite pagrindinius matricų tipus:

1. Tegul m = n, tada matrica A yra kvadratinė matrica, kurios eilė n:

Elementai sudaro pagrindinę įstrižainę, elementai – antrinę įstrižainę.

Kvadratinė matrica vadinama įstrižainės, jei visi jo elementai, išskyrus galbūt pagrindinės įstrižainės elementus, yra lygūs nuliui:

Vadinama įstrižainė, taigi ir kvadratinė, matrica vienišas, jei visi pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs 1:

Atkreipkite dėmesį, kad tapatybės matrica yra matricos analogas vienai realiųjų skaičių rinkinyje, taip pat pabrėžiame, kad tapatybės matrica apibrėžiama tik kvadratinėms matricoms.

Čia yra tapatybės matricų pavyzdžiai:

Kvadratinės matricos

vadinami atitinkamai viršutiniu ir apatiniu trikampiu.

2. Leiskite m= 1, tada matrica A- eilutės matrica, kuri atrodo taip:
3. Leiskite n=1, tada matrica A- stulpelio matrica, kuri atrodo taip:

4. Nulinė matrica yra mn eilės matrica, kurios visi elementai lygūs 0:

Atkreipkite dėmesį, kad nulinė matrica gali būti kvadratinė, eilučių matrica arba stulpelių matrica. Nulinė matrica yra nulio matricos analogas realiųjų skaičių rinkinyje.

5. Matrica vadinama perkelta į matricą ir žymima, jei jos stulpeliai yra skaičių atitinkančios matricos eilutės.

Pavyzdys. Leiskite

Atkreipkite dėmesį, kad jei matrica A turi tvarką mn, tada perkelta matrica turi tvarką nm.

6. Matrica A vadinama simetriška, jei A =, ir pasvirusiąja, jei A =.

Pavyzdys. Patikrinkite matricos simetriją A Ir IN.

taigi matrica A- simetriškas, nes A =.

taigi matrica IN- pasviręs-simetriškas, nes B = -.

Atkreipkite dėmesį, kad simetrinės ir pasvirusios simetriškos matricos visada yra kvadratinės. Bet kokie elementai gali būti pagrindinėje simetrinės matricos įstrižainėje, o identiški elementai turi būti išdėstyti simetriškai pagrindinės įstrižainės atžvilgiu, tai yra, pagrindinėje simetrinės matricos įstrižainėje visada yra nuliai ir simetriškai pagrindinės įstrižainės atžvilgiu.

matricos kvadrato laplaso atšaukimas

1 apibrėžimas. Matrica A dydism n yra stačiakampė lentelė iš m eilučių ir n stulpelių, sudaryta iš skaičių arba kitų matematinių išraiškų (vadinamų matricos elementais), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, arba

2 apibrėžimas. Dvi matricos
Ir
vadinami tokio pat dydžio lygus, jei jie sutampa po elemento, t.y. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Naudojant matricas, nesunku įrašyti kai kurias ekonomines priklausomybes, pavyzdžiui, tam tikrų ūkio sektorių išteklių paskirstymo lenteles.

3 apibrėžimas. Jeigu matricos eilučių skaičius sutampa su jos stulpelių skaičiumi, t.y. m = n, tada vadinama matrica kvadratinė tvarkan, kitaip stačiakampio formos.

4 apibrėžimas. Perėjimas iš matricos A į matricą A m, kai eilutės ir stulpeliai keičiami išlaikant tvarką, vadinamas perkėlimas matricos.

Matricų tipai: kvadratas (dydis 33) -
,

stačiakampis (dydis 25) -
,

įstrižainė -
, vienišas -
, nulis -
,

matricos eilutė -
, matrica-stulpelis -.

5 apibrėžimas. Kvadratinės n eilės matricos elementai su vienodais indeksais vadinami pagrindinės įstrižainės elementais, t.y. tai elementai:
.

6 apibrėžimas. Kvadratinės matricos n eilės elementai vadinami antrinės įstrižainės elementais, jeigu jų indeksų suma lygi n + 1, t.y. tai elementai: .

1.2. Operacijos su matricomis.

1 0 . Suma dvi matricos
Ir
vienodo dydžio matrica C = (su ij), kurios elementus lemia lygybė su ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

Matricos sudėjimo operacijos savybės.

Bet kurioms tokio paties dydžio matricoms A, B, C galioja šios lygybės:

1) A + B = B + A (komutaciškumas),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asociatyvumas).

2 0 . Darbas matricos
už skaičių  vadinama matrica
tokio pat dydžio kaip A matrica, o b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Matricos dauginimo iš skaičiaus operacijos savybės.

(A) = ()A (daugybos asociatyvumas);

(A+B) = A+B (daugybos pasiskirstymas matricos sudėjimo atžvilgiu);

(+)A = A+A (daugybos pasiskirstymas, palyginti su skaičių sudėjimu).

7 apibrėžimas. Tiesinis matricų derinys
Ir
tokio pat dydžio yra A+B formos išraiška, kur  ir  yra savavališki skaičiai.

3 0 . Produktas A  Matricose A ir B, kurių matmenys mn ir nk, atitinkamai vadinami mk dydžio matrica C, kad elementas su ij yra lygus i-osios eilutės elementų sandaugų sumai. matricos A ir j-osios matricos B stulpelio, t.y. su ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Produktas AB egzistuoja tik tuo atveju, jei matricos A stulpelių skaičius sutampa su matricos B eilučių skaičiumi.

Matricos daugybos operacijos savybės:

(AB)C = A(BC) (asociatyvumas);

(A+B)C = AC+BC (paskirstymas matricos pridėjimo atžvilgiu);

A(B+C) = AB+AC (paskirstymas matricos pridėjimo atžvilgiu);

AB  BA (ne komutacinė).

8 apibrėžimas. Matricos A ir B, kurioms AB = BA, vadinamos važinėjimu į darbą arba atgal.

Bet kokios eilės kvadratinę matricą padauginus iš atitinkamos tapatybės matricos, matrica nekeičiama.

9 apibrėžimas. Elementarios transformacijosŠios operacijos vadinamos matricomis:

Sukeiskite dvi eilutes (stulpelius).

Kiekvieno eilutės (stulpelio) elemento padauginimas iš skaičiaus, kuris nėra nulis.

Prie vienos eilutės (stulpelio) elementų pridedami atitinkami kitos eilutės (stulpelio) elementai.

10 apibrėžimas. Matrica B, gauta iš matricos A naudojant elementariąsias transformacijas, vadinama lygiavertis(žymimas BA).

1.1 pavyzdys. Raskite tiesinę matricų 2A–3B kombinaciją, jei

,
.

,
,

Pavyzdys 1.2. Raskite matricų sandaugą
, Jei

Sprendimas: kadangi pirmosios matricos stulpelių skaičius sutampa su antrosios matricos eilučių skaičiumi, tai matricų sandauga egzistuoja. Dėl to gauname naują matricą
, Kur

Kaip rezultatas, mes gauname
.

2 paskaita. Determinantai. Antros ir trečios eilės determinantų skaičiavimas. Determinantų savybėsn– įsakymas.

MATRIKOS APIBRĖŽIMAS. MATRIKŲ RŪŠYS

M dydžio matrica× n vadinamas rinkiniu m·n skaičiai, išdėstyti stačiakampėje lentelėje m linijos ir n stulpelius. Ši lentelė paprastai pateikiama skliausteliuose. Pavyzdžiui, matrica gali atrodyti taip:

Trumpumo dėlei matrica gali būti pažymėta viena didžiąja raide, pavyzdžiui, A arba IN.

Apskritai, dydžio matrica m× n parašyk tai taip

Skaičiai, sudarantys matricą, vadinami matricos elementai. Matricos elementus patogu pateikti su dviem indeksais a ij: pirmasis nurodo eilutės numerį, o antrasis nurodo stulpelio numerį. Pavyzdžiui, a 23– elementas yra 2 eilutėje, 3 stulpelyje.

Jei matricoje yra tiek pat eilučių, kiek stulpelių, tada matrica iškviečiama kvadratas, ir vadinamas jo eilučių arba stulpelių skaičius tvarka matricos. Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose antroji matrica yra kvadratinė - jos tvarka yra 3, o ketvirtoji matrica yra 1.

Iškviečiama matrica, kurioje eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui stačiakampis. Pavyzdžiuose tai yra pirmoji matrica ir trečioji.

Taip pat yra matricų, kuriose yra tik viena eilutė arba vienas stulpelis.

Vadinama matrica, turinti tik vieną eilutę matrica – eilutė(arba eilutę) ir matricą su tik vienu stulpeliu matrica – stulpelis.

Vadinama matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui nulinis ir žymimas (0) arba tiesiog 0. Pavyzdžiui,

Pagrindinė įstrižainė kvadratinės matricos įstrižainė, einanti iš viršutinio kairiojo į apatinį dešinįjį kampą.

Vadinama kvadratinė matrica, kurioje visi elementai žemiau pagrindinės įstrižainės yra lygūs nuliui trikampis matrica.

Kvadratinė matrica, kurioje visi elementai, išskyrus galbūt esančius pagrindinėje įstrižainėje, yra lygūs nuliui, vadinama įstrižainės matrica. Pavyzdžiui, arba.

Vadinama įstrižainė matrica, kurioje visi įstrižainės elementai yra lygūs vienetui vienišas matrica ir žymima raide E. Pavyzdžiui, 3 eilės tapatybės matrica turi formą .

VEIKSMAI DĖL MATRIKŲ

Matricinė lygybė. Dvi matricos A Ir B sakoma, kad jie yra lygūs, jei jie turi tiek pat eilučių ir stulpelių, o atitinkami jų elementai yra lygūs a ij = b ij. Taigi, jei Ir , Tai A=B, Jei a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Ir a 22 = b 22.

Transponuoti. Apsvarstykite savavališką matricą A iš m linijos ir n stulpelius. Jis gali būti susietas su tokia matrica B iš n linijos ir m stulpeliai, kurių kiekviena eilutė yra matricos stulpelis A su tuo pačiu numeriu (taigi kiekvienas stulpelis yra matricos eilutė A su tuo pačiu numeriu). Taigi, jei , Tai .

Ši matrica B paskambino perkelta matrica A, ir perėjimas iš AĮ B perkėlimas.

Taigi perkėlimas yra matricos eilučių ir stulpelių vaidmenų apvertimas. Matrica perkelta į matricą A, paprastai žymimas A T.

Ryšys tarp matricos A o jo perkėlimas gali būti parašytas forma .

Pavyzdžiui. Raskite matricą, perkeltą duotosios.

Matricos papildymas. Tegul matricos A Ir B susideda iš vienodo skaičiaus eilučių ir tiek pat stulpelių, t.y. turėti tie patys dydžiai. Tada norėdami pridėti matricų A Ir B reikalingi matricos elementams A pridėti matricos elementus B stovi tose pačiose vietose. Taigi dviejų matricų suma A Ir B vadinama matrica C, kuri nustatoma pagal taisyklę, pvz.

Pavyzdžiai. Raskite matricų sumą:

Nesunku patikrinti, ar matricos pridėjimas paklūsta šiems dėsniams: komutacinis A+B=B+A ir asociatyvus ( A+B)+C=A+(B+C).

Matricos padauginimas iš skaičiaus. Padauginti matricą A už skaičių k reikalingas kiekvienas matricos elementas A padauginkite iš šio skaičiaus. Taigi, matricos produktas A už skaičių k yra nauja matrica, kuri nustatoma pagal taisyklę arba .

Dėl bet kokių skaičių a Ir b ir matricos A Ir B galioja šios lygybės:

Pavyzdžiai.

Matricos daugyba.Ši operacija atliekama pagal savotišką dėsnį. Visų pirma, atkreipiame dėmesį, kad faktorių matricų dydžiai turi būti nuoseklūs. Galite dauginti tik tas matricas, kuriose pirmosios matricos stulpelių skaičius sutampa su antrosios matricos eilučių skaičiumi (t. y. pirmosios eilutės ilgis lygus antrojo stulpelio aukščiui). Darbas matricos A ne matrica B vadinama nauja matrica C=AB, kurio elementai sudaryti taip:

Taigi, pavyzdžiui, norint gauti produktą (t. y. matricoje C) elementas, esantis 1 eilutėje ir 3 stulpelyje nuo 13, reikia paimti 1-ą eilutę 1-oje matricoje, 3-ią stulpelį antroje, o tada padauginti eilutės elementus iš atitinkamų stulpelio elementų ir pridėti gautus produktus. O kiti sandaugos matricos elementai gaunami naudojant panašų pirmosios matricos eilučių ir antrosios matricos stulpelių sandaugą.

Apskritai, jei padauginsime matricą A = (a ij) dydis m× nį matricą B = (b ij) dydis n× p, tada gauname matricą C dydis m× p, kurio elementai apskaičiuojami taip: elementas c ij gaunamas elementų sandaugos rezultatas i matricos eilutė Aį atitinkamus elementus j matricos stulpelis B ir jų papildymai.

Iš šios taisyklės išplaukia, kad visada galite padauginti dvi tos pačios eilės kvadratines matricas, todėl gauname tos pačios eilės kvadratinę matricą. Visų pirma, kvadratinę matricą visada galima padauginti iš savęs, t.y. kvadratu.

Kitas svarbus atvejis – eilučių matricos dauginimas iš stulpelio matricos, o pirmosios plotis turi būti lygus antrosios aukščiui, todėl gaunama pirmos eilės matrica (t.y. vienas elementas). tikrai,

Pavyzdžiai.

Taigi šie paprasti pavyzdžiai rodo, kad matricos, paprastai kalbant, viena su kita nejuda, t.y. A∙B ≠ B∙A . Todėl dauginant matricas reikia atidžiai stebėti faktorių eiliškumą.

Galima patikrinti, ar matricos daugyba paklūsta asociatyviniams ir paskirstymo dėsniams, t.y. (AB)C=A(BC) Ir (A+B)C=AC+BC.

Taip pat nesunku tai patikrinti padauginus kvadratinę matricą Aį tapatybės matricą E ta pačia tvarka vėl gauname matricą A, ir AE=EA=A.

Galima pastebėti tokį įdomų faktą. Kaip žinote, 2 ne nulinių skaičių sandauga nėra lygi 0. Matricoms taip gali nebūti, t.y. 2 nenulinių matricų sandauga gali pasirodyti lygi nulinei matricai.

Pavyzdžiui, Jei , Tai

DETERMINANTŲ SAMPRATA

Tegu pateikiama antros eilės matrica – kvadratinė matrica, susidedanti iš dviejų eilučių ir dviejų stulpelių .

Antros eilės determinantas atitinkantis nurodytą matricą, yra skaičius, gautas taip: 11–22–12–21 val.

Determinantas nurodomas simboliu .

Taigi, norint rasti antros eilės determinantą, iš pagrindinės įstrižainės elementų sandaugos reikia atimti antrosios įstrižainės elementų sandaugą.

Pavyzdžiai. Apskaičiuokite antros eilės determinantus.

Panašiai galime apsvarstyti trečiosios eilės matricą ir atitinkamą determinantą.

Trečiosios eilės determinantas, atitinkantis nurodytą trečios eilės kvadratinę matricą, yra skaičius, žymimas ir gaunamas taip:

Taigi ši formulė pateikia trečiosios eilės determinanto išplėtimą pagal pirmosios eilutės elementus 11, 12, 13 ir sumažina trečiosios eilės determinanto skaičiavimą iki antros eilės determinanto skaičiavimo.

Pavyzdžiai. Apskaičiuokite trečiosios eilės determinantą.

Panašiai galima įvesti ketvirtojo, penktojo ir kt. determinantų sąvokas. įsakymus, sumažindami jų eiliškumą išplečiant į 1-os eilės elementus, kai terminų ženklai „+“ ir „–“ keičiasi.

Taigi, skirtingai nuo matricos, kuri yra skaičių lentelė, determinantas yra skaičius, kuris tam tikru būdu priskiriamas matricai.

Apibrėžimas pagal matricą– vadinama skaičių lentele, kurioje yra tam tikras skaičius eilučių ir stulpelių

Matricos elementai yra a ij formos skaičiai, kur i yra eilutės numeris j yra stulpelio numeris

1 pavyzdys i = 2 j = 3

Pavadinimas: A=

Matricų tipai:

1. Jei eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui, tada iškviečiama matrica stačiakampis:

2. Jei eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui, tada iškviečiama matrica kvadratas:

Kvadratinės matricos eilučių arba stulpelių skaičius vadinamas jo tvarka. Pavyzdyje n = 2

Apsvarstykite n eilės kvadratinę matricą:

Vadinama įstrižainė, kurioje yra elementai a 11, a 22 ......., a nn pagrindinis , o įstrižainė, kurioje yra elementai a 12, a 2 n -1, …….a n 1 – pagalbinis.

Vadinama matrica, kurioje tik pagrindinės įstrižainės elementai yra nuliniai įstrižainės:

4 pavyzdys n=3

3. Jei įstrižainės matricos elementai yra lygūs 1, tada matrica iškviečiama vienišas ir žymimas raide E:

6 pavyzdys n=3

4. Vadinama matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui nulinis matrica ir žymimas raide O

7 pavyzdys

5. Trikampis N-osios eilės matrica yra kvadratinė matrica, kurios visi elementai, esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui:

8 pavyzdys n=3

Veiksmai su matricomis:

Matricos A ir B suma yra matrica C, kurios elementai yra lygūs atitinkamų A ir B matricų elementų sumai.

Galima pridėti tik tokias matricas, kuriose yra tiek pat eilučių ir stulpelių.

Matricos A ir skaičiaus k sandauga vadinama tokia matrica kA, kurios kiekvienas elementas lygus ka ij

10 pavyzdys

Matricos padauginimas iš skaičiaus sumažinamas iki visų matricos elementų padauginimo iš to skaičiaus.

Matricų sandauga Norėdami padauginti matricą iš matricos, turite pasirinkti pirmąją pirmosios matricos eilutę ir padauginti iš atitinkamų antrosios matricos pirmojo stulpelio elementų ir pridėti rezultatą. Įdėkite šį rezultatą į rezultatų matricą 1 eilutėje ir 10 stulpelyje. Atliekame tuos pačius veiksmus su visais kitais elementais: 1 eilutė iki antrojo stulpelio, 3-ioji ir tt, tada su šiomis eilutėmis.

11 pavyzdys

Padauginti matricą A iš matricos B galima tik tuo atveju, jei pirmosios matricos stulpelių skaičius yra lygus antrosios matricos stulpelių skaičiui.

- darbas yra;

- kūrinys neegzistuoja

12 pavyzdžiai nėra iš ko dauginti paskutinę II matricos eilutę, t.y. kūrinys neegzistuoja

Matricos perkėlimas Eilučių elementų pakeitimo stulpelio elementais operacija vadinama:

13 pavyzdys

Pakeliant į valdžią vadinamas nuosekliu matricos dauginimu iš savęs.

OPV. Stačiakampis stalas, susidedantis iš T linijos ir n vadinami realiųjų skaičių stulpeliai matrica dydis t × p. Matricos žymimos didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: A, B,..., o skaičių masyvas atskiriamas apvaliais arba laužtiniais skliaustais.

Lentelėje esantys skaičiai vadinami matricos elementais ir žymimi mažomis lotyniškomis raidėmis su dvigubu indeksu, kur i- eilutės numeris, j– stulpelio, kurio sankirtoje yra elementas, numeris. Apskritai matrica parašyta taip:

Nagrinėjamos dvi matricos lygus, jei atitinkami jų elementai yra lygūs.

Jei matricos eilučių skaičius T lygus jo stulpelių skaičiui n, tada vadinama matrica kvadratas(kitaip – stačiakampis).

Dydžių matrica
vadinama eilučių matrica. Dydžių matrica

vadinama stulpelių matrica.

Matricos elementai, turintys vienodus indeksus (
ir tt), forma pagrindinė įstrižainė matricos. Kita įstrižainė vadinama šonine įstrižaine.

Kvadratinė matrica vadinama įstrižainės, jei visi jo elementai, esantys už pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui.

Vadinama įstrižainė matrica, kurios įstrižainės elementai lygūs vienetui vienišas matrica ir turi standartinį žymėjimą E:

Jei visi matricos elementai, esantys virš (arba žemiau) pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui, sakoma, kad matrica turi trikampę formą:

§2. Operacijos su matricomis

1. Matricos transpozicija – transformacija, kai matricos eilutės rašomos kaip stulpeliai, išlaikant jų tvarką. Kvadratinės matricos atveju ši transformacija prilygsta simetriniam pagrindinės įstrižainės atvaizdavimui:

2. To paties matmens matricas galima sumuoti (atimti). Matricų suma (skirtumas) yra to paties matmens matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus pradinių matricų atitinkamų elementų sumai (skirtumui):

3. Bet kurią matricą galima padauginti iš skaičiaus. Matricos sandauga iš skaičiaus yra tos pačios eilės matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus atitinkamo pradinės matricos elemento sandaugai šiuo skaičiumi:

4. Jei vienos matricos stulpelių skaičius yra lygus kitos matricos eilučių skaičiui, tada pirmąją matricą galite padauginti iš antrosios. Tokių matricų sandauga yra matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus pirmosios matricos atitinkamos eilutės elementų ir antrosios matricos atitinkamo stulpelio elementų porinių sandaugų sumai.

Pasekmė. Matricos eksponencija Į>1 yra matricos A sandauga Į vieną kartą. Apibrėžta tik kvadratinėms matricoms.

Pavyzdys.

Veiksmų su matricomis savybės.

(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T = kA T;
(A+B) T =A T +B T;
(AB) T =B T A T;

Aukščiau išvardytos savybės yra panašios į operacijų su skaičiais savybes. Taip pat yra specifinių matricų savybių. Tai apima, pavyzdžiui, išskirtinę matricos daugybos savybę. Jei produktas AB egzistuoja, tai produktas BA

Gali neegzistuoti

Gali skirtis nuo AB.

Pavyzdys. Įmonė gamina dviejų tipų A ir B produktus ir naudoja trijų rūšių žaliavas S 1, S 2 ir S 3. Žaliavos suvartojimo normos nurodomos matrica N=
, Kur n ij– žaliavų kiekis j, išleista produkcijos vienetui pagaminti i. Gamybos planas pateikiamas matrica C=(100 200), o kiekvienos rūšies žaliavos vieneto savikaina – matrica . Nustatyti žaliavų sąnaudas, reikalingas planuojamai gamybai ir bendrą žaliavų savikainą.