Kaip išspręsti apibrėžtąjį integralą. Apibrėžtinis integralas ir jo skaičiavimo metodai. Pats raskite apibrėžtąjį integralą ir tada pažiūrėkite į sprendimą

Integralų sprendimo procesas moksle, vadinamas matematika, vadinamas integracija. Naudodami integraciją galite rasti kai kuriuos fizinius dydžius: plotą, tūrį, kūnų masę ir daug daugiau.

Integralai gali būti neapibrėžti arba apibrėžti. Panagrinėkime apibrėžtojo integralo formą ir pabandykime suprasti jo fizinę reikšmę. Jis pavaizduotas tokia forma: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Skiriamasis bruožas rašant apibrėžtąjį integralą iš neapibrėžto integralo yra tas, kad yra a ir b integravimo ribos. Dabar išsiaiškinsime, kodėl jie reikalingi ir ką iš tikrųjų reiškia apibrėžtas integralas. Geometrine prasme toks integralas yra lygus figūros plotui, kurį riboja kreivė f(x), tiesės a ir b bei Ox ašis.

Iš 1 pav. aišku, kad apibrėžtasis integralas yra ta pati sritis, kuri nudažyta pilka spalva. Patikrinkime tai paprastu pavyzdžiu. Raskime paveikslėlio plotą žemiau esančiame paveikslėlyje naudodami integraciją, o tada apskaičiuokite jį įprastu būdu, padaugindami ilgį iš pločio.

Iš 2 pav. aišku, kad $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Dabar juos pakeičiame į integralo apibrėžimą ir gauname, kad $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(vienetai)^2 $$ Patikrinkime įprastu būdu. Mūsų atveju ilgis = 3, figūros plotis = 1. $$ S = \tekstas(ilgis) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(vienetai)^2 $$ Kaip galite matai, viskas puikiai dera.

Kyla klausimas: kaip spręsti neapibrėžtuosius integralus ir kokia jų reikšmė? Tokių integralų sprendimas yra antidarinių funkcijų radimas. Šis procesas yra priešingas darinio suradimui. Norėdami rasti antidarinį, galite pasinaudoti mūsų pagalba sprendžiant matematikos uždavinius arba jums reikia savarankiškai įsiminti integralų savybes ir paprasčiausių elementariųjų funkcijų integravimo lentelę. Rezultatas atrodo taip: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(kur) F(x) $ yra $ f(x) antidarinys, C = const $.

Norėdami išspręsti integralą, turite integruoti funkciją $ f(x) $ per kintamąjį. Jei funkcija yra lentelės forma, atsakymas rašomas atitinkama forma. Jei ne, tada procesas baigiasi lentelės funkcijos gavimu iš funkcijos $ f(x) $ naudojant sudėtingas matematines transformacijas. Tam yra įvairių metodų ir savybių, kurias svarstysime toliau.

Taigi, dabar sukurkime manekenų integralų sprendimo algoritmą?

Integralų skaičiavimo algoritmas

Išsiaiškinkime apibrėžtąjį integralą ar ne.
Jei neapibrėžta, tuomet reikia rasti integrando $ f(x) $ antidarinę funkciją $ F(x) $ naudojant matematines transformacijas, vedančias į funkcijos $ f(x) $ lentelės formą.
Jei apibrėžta, turite atlikti 2 veiksmą, o tada ribas $ a $ ir $ b $ pakeisti antiderivatine funkcija $ F(x) $. Kokią formulę tai padaryti, sužinosite straipsnyje „Newton-Leibniz formulė“.

Sprendimų pavyzdžiai

Taigi, jūs išmokote išspręsti manekenų integralus, buvo surūšiuoti integralų sprendimo pavyzdžiai. Sužinojome jų fizinę ir geometrinę reikšmę. Sprendimo būdai bus aprašyti kituose straipsniuose.

Integralų sprendimas yra lengvas uždavinys, tačiau tik kai kuriems iš jų. Šis straipsnis skirtas tiems, kurie nori išmokti suprasti integralus, bet nieko arba beveik nieko apie juos nežino. Integral... Kam to reikia? Kaip tai apskaičiuoti? Kas yra apibrėžtieji ir neapibrėžtieji integralai?

Jei vienintelis integralas, kurį žinote, yra naudoti nėrimo kabliuką, panašų į integralo piktogramą, kad gautumėte ką nors naudingo iš sunkiai pasiekiamų vietų, sveiki atvykę! Sužinokite, kaip išspręsti paprasčiausius ir kitus integralus ir kodėl be to neapsieisite matematikoje.

Mes studijuojame koncepciją « integralas »

Integracija buvo žinoma dar Senovės Egipte. Žinoma, ne savo šiuolaikine forma, bet vis tiek. Nuo tada matematikai parašė daug knygų šia tema. Ypač pasižymėjo Niutonas Ir Leibnicas , bet dalykų esmė nepasikeitė.

Kaip suprasti integralus nuo nulio? Negali būti! Norėdami suprasti šią temą, jums vis tiek reikės pagrindinių matematinės analizės pagrindų žinių. Informacijos apie , būtinos integralams suprasti, jau turime savo tinklaraštyje.

Neapibrėžtas integralas

Leiskite mums atlikti tam tikrą funkciją f(x) .

Neapibrėžta integralinė funkcija f(x) ši funkcija vadinama F(x) , kurios išvestinė lygi funkcijai f(x) .

Kitaip tariant, integralas yra atvirkštinė išvestinė arba antidarinė. Beje, skaitykite apie tai mūsų straipsnyje.

Visoms nuolatinėms funkcijoms egzistuoja antidarinys. Taip pat prie antidarinio dažnai pridedamas pastovus ženklas, nes konstanta besiskiriančių funkcijų dariniai sutampa. Integralo radimo procesas vadinamas integracija.

Paprastas pavyzdys:

Kad nebūtų nuolat skaičiuojami elementariųjų funkcijų antidariniai, patogu juos sudėti į lentelę ir naudoti paruoštas reikšmes.

Pilna integralų lentelė mokiniams

Apibrėžtasis integralas

Nagrinėdami integralo sąvoką, turime reikalą su be galo mažais dydžiais. Integralas padės apskaičiuoti figūros plotą, nevienodo kūno masę, nuvažiuotą atstumą netolygaus judėjimo metu ir dar daugiau. Reikia atsiminti, kad integralas yra be galo daug be galo mažų narių suma.

Kaip pavyzdį įsivaizduokite kokios nors funkcijos grafiką.

Kaip rasti figūros plotą, kurį riboja funkcijos grafikas? Naudojant integralą! Kreivinę trapeciją, kurią riboja koordinačių ašys ir funkcijos grafikas, padalinkime į be galo mažas atkarpas. Tokiu būdu figūra bus padalinta į plonus stulpelius. Stulpelių plotų suma bus trapecijos plotas. Tačiau atminkite, kad toks skaičiavimas duos apytikslį rezultatą. Tačiau kuo mažesni ir siauresni segmentai, tuo tikslesnis bus skaičiavimas. Jei sumažinsime juos tiek, kad ilgis būtų linkęs į nulį, tada segmentų plotų suma bus linkusi į figūros plotą. Tai yra apibrėžtas integralas, parašytas taip:

Taškai a ir b vadinami integracijos ribomis.

« Integralinis »

Beje! Mūsų skaitytojams dabar taikoma 10% nuolaida

Manekenų integralų skaičiavimo taisyklės

Neapibrėžtinio integralo savybės

Kaip išspręsti neapibrėžtą integralą? Čia pažvelgsime į neapibrėžtinio integralo savybes, kurios pravers sprendžiant pavyzdžius.

Integralo išvestinė lygi integrandui:

Konstantą galima išimti iš po integralo ženklo:

Sumos integralas lygus integralų sumai. Tai pasakytina ir apie skirtumą:

Apibrėžtinio integralo savybės

Tiesiškumas:

Integralo ženklas pasikeičia, jei integravimo ribos sukeičiamos:

At bet koks taškų a, b Ir Su:

Jau išsiaiškinome, kad apibrėžtasis integralas yra sumos riba. Bet kaip gauti konkrečią vertę sprendžiant pavyzdį? Tam yra Niutono-Leibnizo formulė:

Integralų sprendimo pavyzdžiai

Toliau apžvelgsime neapibrėžtą integralą ir pavyzdžius su sprendimais. Siūlome patiems išsiaiškinti sprendimo subtilybes, o jei kas neaišku, užduoti klausimus komentaruose.

Norėdami sustiprinti medžiagą, žiūrėkite vaizdo įrašą apie tai, kaip integralai sprendžiami praktiškai. Nenusiminkite, jei integralas pateikiamas ne iš karto. Susisiekite su profesionalia studentų aptarnavimo tarnyba ir bet koks trigubas arba išlenktas integralas ant uždaro paviršiaus bus jūsų galioje.

Kiekviename skyriuje bus savarankiško sprendimo užduotys, kurių atsakymus matysite.

Apibrėžtinio integralo samprata ir Niutono-Leibnizo formulė

Pagal apibrėžtą integralą iš nuolatinės funkcijos f(x) paskutiniame segmente [ a, b] (kur ) yra kai kurių jo antidarinių padidėjimas šiame segmente. (Apskritai, supratimas bus pastebimai lengvesnis, jei kartosite neapibrėžto integralo temą) Šiuo atveju naudojamas žymėjimas

Kaip matyti iš toliau pateiktų grafikų (antidarinės funkcijos padidėjimas pažymėtas ), apibrėžtasis integralas gali būti teigiamas arba neigiamas skaičius(Jis apskaičiuojamas kaip skirtumas tarp antidarinio vertės viršutinėje riboje ir vertės apatinėje riboje, t.y. F(b) - F(a)).

Skaičiai a Ir b vadinamos atitinkamai apatine ir viršutine integracijos ribomis, o segmentas [ a, b] – integracijos segmentas.

Taigi, jei F(x) – tam tikra antiderivatinė funkcija f(x), tada pagal apibrėžimą

(38)

Lygybė (38) vadinama Niutono-Leibnizo formulė . Skirtumas F(b) – F(a) trumpai parašyta taip:

Todėl Niutono-Leibnizo formulę parašysime taip:

(39)

Įrodykime, kad apibrėžtasis integralas nepriklauso nuo to, kuri integrando antidarinė imama jį skaičiuojant. Leisti F(x) ir F( X) yra savavališki integrando antidariniai. Kadangi tai yra tos pačios funkcijos antidariniai, jie skiriasi pastoviu terminu: Ф( X) = F(x) + C. Štai kodėl

Tai nustato, kad segmente [ a, b] visų funkcijos antidarinių priedai f(x) suderinti.

Taigi, norint apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, reikia rasti bet kurią integrando antidarinę, t.y. Pirmiausia reikia rasti neapibrėžtą integralą. Pastovus SU neįtraukti į tolesnius skaičiavimus. Tada taikoma Niutono-Leibnizo formulė: viršutinės ribos reikšmė pakeičiama antiderivatine funkcija b , toliau – apatinės ribos reikšmė a ir skirtumas apskaičiuojamas F(b) – F(a) . Gautas skaičius bus apibrėžtas integralas..

At a = b pagal apibrėžimą priimtas

1 pavyzdys.

Sprendimas. Pirmiausia suraskime neapibrėžtą integralą:

Niutono-Leibnizo formulės taikymas antidariniui

(at SU= 0), gauname

Tačiau skaičiuojant apibrėžtąjį integralą, geriau neieškoti antidarinio atskirai, o iš karto integralą rašyti formoje (39).

2 pavyzdys. Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Sprendimas. Naudojant formulę

Pats raskite apibrėžtąjį integralą ir tada pažiūrėkite į sprendimą

Apibrėžtinio integralo savybės

2 teorema.Apibrėžtinio integralo reikšmė nepriklauso nuo integravimo kintamojo žymėjimo, t.y.

(40)

Leisti F(x) – antidarinis skirtas f(x). Dėl f(t) antidarinys atlieka tą pačią funkciją F(t), kuriame nepriklausomas kintamasis žymimas tik skirtingai. Vadinasi,

Remiantis (39) formule, paskutinė lygybė reiškia integralų lygybę

3 teorema.Pastovųjį veiksnį galima išimti iš apibrėžtojo integralo ženklo, t.y.

(41)

4 teorema.Baigtinio skaičiaus funkcijų algebrinės sumos apibrėžtasis integralas yra lygus šių funkcijų apibrėžtųjų integralų algebrinei sumai, t.y.

(42)

5 teorema.Jei integralinis segmentas yra padalintas į dalis, tai viso segmento apibrėžtasis integralas yra lygus jo dalių apibrėžtųjų integralų sumai, t.y. Jeigu

(43)

6 teorema.Perstatant integravimo ribas, absoliuti apibrėžtojo integralo reikšmė nekinta, o keičiasi tik jo ženklas, t.y.

(44)

7 teorema(vidutinės vertės teorema). Apibrėžiamasis integralas yra lygus integravimo atkarpos ilgio sandaugai ir integrando vertei tam tikrame jo viduje, t.y.

(45)

8 teorema.Jei integravimo viršutinė riba yra didesnė už apatinę, o integrandas yra neneigiamas (teigiamas), tai apibrėžtasis integralas taip pat yra neneigiamas (teigiamas), t.y. Jeigu

9 teorema.Jei integracijos viršutinė riba yra didesnė už apatinę, o funkcijos ir yra tolydžios, tada nelygybė

gali būti integruotas po termino, t.y.

(46)

Apibrėžtinio integralo savybės leidžia supaprastinti tiesioginį integralų skaičiavimą.

5 pavyzdys. Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Naudodami 4 ir 3 teoremas ir radę antidarinius - lentelės integralus (7) ir (6), gauname

Apibrėžiamasis integralas su kintama viršutine riba

Leisti f(x) – ištisinis segmente [ a, b] funkcija ir F(x) yra jo antidarinys. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą

(47)

ir per t integravimo kintamasis nurodomas taip, kad nebūtų painiojamas su viršutine riba. Kai pasikeičia X kinta ir apibrėžtasis integralas (47), t.y. tai yra viršutinės integracijos ribos funkcija X, kurį žymime F(X), t.y.

(48)

Įrodykime, kad funkcija F(X) yra antidarinys, skirtas f(x) = f(t). Iš tiesų, diferencijavimas F(X), mes gauname

nes F(x) – antidarinis skirtas f(x), A F(a) yra pastovi reikšmė.

Funkcija F(X) – vienas iš begalinio skaičiaus antidarinių, skirtų f(x), būtent tą x = a eina į nulį. Šis teiginys gaunamas, jei į lygybę (48) įdedame x = a ir naudokite ankstesnės pastraipos 1 teoremą.

Apibrėžtinių integralų skaičiavimas integravimo dalimis metodu ir kintamojo kaitos metodu

kur pagal apibrėžimą F(x) – antidarinis skirtas f(x). Jei integrande pakeisime kintamąjį

tada pagal (16) formulę galime rašyti

Šioje išraiškoje

antiderivatinė funkcija

Tiesą sakant, jo išvestinė, anot sudėtingų funkcijų diferenciacijos taisyklė, yra lygus

Tegul α ir β yra kintamojo reikšmės t, kuriai skirta funkcija

atitinkamai paima vertybes a Ir b, t.y.

Tačiau pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(b) – F(a) Yra

Šis skaičiuotuvas leidžia išspręsti tam tikrą integralą internete. Faktiškai, apibrėžtojo integralo skaičiavimas yra surasti skaičių, lygų plotui po funkcijos grafiku. Norint išspręsti, būtina nurodyti integravimo ribas ir integruotą funkciją. Po integravimo sistema suras nurodytos funkcijos antidarinį, apskaičiuos jos reikšmes taškuose ant integracijos ribų, suras jų skirtumą, kuris bus apibrėžtojo integralo sprendimas. Norėdami išspręsti neapibrėžtą integralą, turite naudoti panašų internetinį skaičiuotuvą, kuris yra mūsų svetainėje nuorodoje - Išspręskite neapibrėžtą integralą.

Mes leidžiame apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą internete greitai ir patikimai. Visada priimsite teisingą sprendimą. Be to, lentelių integralų atsakymas bus pateiktas klasikine forma, tai yra, išreikštas žinomomis konstantomis, tokiomis kaip skaičius „pi“, „rodiklis“ ir kt. Visi skaičiavimai yra visiškai nemokami ir nereikalauja registracijos. Spręsdami apibrėžtąjį integralą su mumis, apsisaugosite nuo daug laiko reikalaujančių ir sudėtingų skaičiavimų, o patys išspręsdami integralą galėsite patikrinti gautą sprendimą.

Kam skirti integralai? Pabandykite atsakyti į šį klausimą sau.

Aiškindami integralų temą, mokytojai išvardija taikymo sritis, kurios mokyklos protui mažai naudingos. Tarp jų:

apskaičiuojant figūros plotą.
Kūno masės apskaičiavimas esant netolygiam tankiui.
nuvažiuoto atstumo nustatymas judant kintamu greičiu.
ir kt.

Ne visada įmanoma sujungti visus šiuos procesus, todėl daugelis mokinių sutrinka, net ir turėdami visas pagrindines žinias integralui suprasti.

Pagrindinė nežinojimo priežastis– integralų praktinės reikšmės nesuvokimas.

Integralas - kas tai?

Būtinos sąlygos. Integracijos poreikis atsirado Senovės Graikijoje. Tuo metu Archimedas pradėjo naudoti metodus, kurie iš esmės buvo panašūs į šiuolaikinį integralinį skaičiavimą, kad surastų apskritimo plotą. Pagrindinis metodas nustatant nelygių figūrų plotą buvo „išnaudojimo metodas“, kurį gana lengva suprasti.

Metodo esmė. Į šią figūrą telpa monotoniška kitų figūrų seka, tada apskaičiuojama jų plotų sekos riba. Ši riba buvo paimta kaip šios figūros plotas.

Šiuo metodu lengvai atsekama integralinio skaičiavimo idėja, ty rasti begalinės sumos ribą. Šią idėją vėliau panaudojo mokslininkai spręsdami taikomų problemų astronautika, ekonomika, mechanika ir kt.

Šiuolaikinis integralas. Klasikinę integracijos teoriją bendra forma suformulavo Niutonas ir Leibnicas. Jis rėmėsi tuo metu galiojusiais diferencialinio skaičiavimo dėsniais. Norėdami tai suprasti, turite turėti tam tikrų pagrindinių žinių, kurios padės matematine kalba apibūdinti vaizdines ir intuityvias idėjas apie integralus.

Mes paaiškiname „integralaus“ sąvoką

Išvestinės radimo procesas vadinamas diferenciacija ir rasti antidarinį – integracija.

Integralinis matematinė kalba– tai funkcijos antidarinys (kas buvo prieš išvestinę) + konstanta „C“.
Integralinis paprastais žodžiais yra kreivinės figūros plotas. Neapibrėžtas integralas yra visas plotas. Apibrėžiamasis integralas yra tam tikros srities plotas.

Integralas parašytas taip:

Kiekvienas integrandas padauginamas iš "dx" komponento. Tai rodo, per kurį kintamąjį integruojama. "dx" yra argumento padidėjimas. Vietoj X gali būti bet koks kitas argumentas, pavyzdžiui, t (laikas).

Neapibrėžtas integralas

Neapibrėžtas integralas neturi integracijos ribų.

Norint išspręsti neapibrėžtus integralus, pakanka rasti integrando antidarinį ir pridėti prie jo „C“.

Apibrėžtasis integralas

Apibrėžtajame integrelyje apribojimai „a“ ir „b“ rašomi ant integravimo ženklo. Žemiau esančiame grafike jie nurodyti X ašyje.

Norėdami apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, turite rasti antidarinį, pakeisti į jį reikšmes „a“ ir „b“ ir rasti skirtumą. Matematikoje tai vadinama Niutono-Leibnizo formulė:

Integralų lentelė mokiniams (pagrindinės formulės)

Atsisiųskite integralų formules, jos jums bus naudingos

Kaip teisingai apskaičiuoti integralą

Yra keletas paprastų integralų transformavimo operacijų. Štai pagrindiniai:

Konstantos pašalinimas iš po integralo ženklo

Sumos integralo išskaidymas į integralų sumą

Jei sukeisite a ir b, ženklas pasikeis

Integralą galite padalyti į intervalus taip

Tai yra paprasčiausios savybės, kurių pagrindu vėliau bus formuluojamos sudėtingesnės teoremos ir skaičiavimo metodai.

Integralų skaičiavimų pavyzdžiai

Neapibrėžtinio integralo sprendimas

Apibrėžtinio integralo sprendimas

Pagrindinės temos supratimo sąvokos

Kad suprastumėte integracijos esmę ir neužvertumėte puslapio nuo nesusipratimų, paaiškinsime keletą pagrindinių sąvokų. Kas yra funkcija, išvestinė, riba ir antiderivatinė.

Funkcija– taisyklė, pagal kurią visi elementai iš vienos aibės koreliuojami su visais kitos aibės elementais.

Darinys– funkcija, apibūdinanti kitos funkcijos kitimo greitį kiekviename konkrečiame taške. Griežtai kalbant, tai yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio riba. Jis apskaičiuojamas rankiniu būdu, tačiau lengviau naudoti išvestinę lentelę, kurioje yra dauguma standartinių funkcijų.

Prieaugis– kiekybinis funkcijos pokytis su tam tikru argumento pasikeitimu.

Riba– reikšmė, į kurią linksta funkcijos reikšmė, kai argumentas linkęs į tam tikrą reikšmę.

Ribos pavyzdys: tarkime, jei X lygus 1, Y bus lygus 2. O kas, jei X nelygus 1, o linkęs į 1, tai yra niekada jo nepasiekia? Šiuo atveju y niekada nepasieks 2, o tik sieks šios vertės. Matematinėje kalboje tai rašoma taip: limY(X), kaip X –> 1 = 2. Rašoma: funkcijos Y(X) riba, kadangi x linksta į 1, lygi 2.

Kaip jau minėta, išvestinė yra funkcija, apibūdinanti kitą funkciją. Pradinė funkcija gali būti kitos funkcijos išvestinė. Ši kita funkcija vadinama antidarinis.

Išvada

Rasti integralus nėra sunku. Jei nesuprantate, kaip tai padaryti, . Antrą kartą tampa aiškiau. Prisiminti! Integralų sprendimas yra paprastas integrando transformavimas ir jo paieška .

Jei teksto paaiškinimas jums netinka, žiūrėkite vaizdo įrašą apie integralo ir išvestinės reikšmę:

Integralai - kas tai yra, kaip išspręsti, sprendimų pavyzdžiai ir paaiškinimai manekenams atnaujinta: 2019 m. lapkričio 22 d.: Moksliniai straipsniai.Ru