Parabolė sukasi aplink x ašį. Kaip apskaičiuoti besisukančio kūno tūrį? Plokščios figūros plotas

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos „a“ ir „būti“ ribas.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokštumos figūrą riboja viršuje esančios parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – funkcija formulėje kvadratu: , taigi revoliucijos kūno tūris visada yra neneigiamas, o tai labai logiška.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Nes pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t. t., tiek žalių žmogeliukų jūsų vaizduotė gali įdėti į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink figūros ašį, ribojamą linijomis , ,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, kurią riboja linijos , , , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apskaičiuokime apsisukimo kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.

Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį .

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Jo tūrį pažymėkime .

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva pažymėta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo apsisukimo kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, kurias knygoje pastebėjo Perelmanas (ne tas). Linksma geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, eilinis žmogus per visą savo gyvenimą išgeria 18 kvadratinių metrų kambario ekvivalentą skysčio, kuris, priešingai, atrodo per mažas tūris.

Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, parašyta jo dar 1950 m., labai gerai lavina, kaip sakė humoristas, mąstymą ir moko ieškoti originalių, nestandartinių problemų sprendimo būdų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.

Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidariusį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis , , kur .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad viskas vyksta juostoje, kitaip tariant, pateikiamos praktiškai paruoštos integracijos ribos. Taip pat pabandykite teisingai nubraižyti trigonometrinių funkcijų grafikus, jei argumentas padalintas iš dviejų: tada grafikai ištempiami du kartus išilgai ašies. Pabandykite surasti bent 3-4 taškus pagal trigonometrines lenteles ir tiksliau užbaigti piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.

Sukimosi susidariusio kūno tūrio apskaičiavimas
plokščia figūra aplink ašį

Antroji pastraipa bus dar įdomesnė nei pirmoji. Apskaičiuojant ordinačių ašį besisukančio kūno tūrį taip pat gana dažnas svečias bandomajame darbe. Pakeliui bus svarstoma figūros ploto radimo problema antrasis metodas – integracija pagal ašį, tai leis ne tik patobulinti savo įgūdžius, bet ir išmokys rasti pelningiausią sprendimo kelią. Čia taip pat yra praktinė gyvenimo prasmė! Kaip su šypsena prisiminė mano matematikos mokymo metodų mokytoja, daugelis abiturientų jai padėkojo žodžiais: „Jūsų dalykas mums labai padėjo, dabar esame efektyvūs vadovai ir optimaliai valdome personalą“. Naudodamasis proga taip pat reiškiu jai didelį dėkingumą, juolab kad įgytas žinias naudoju pagal paskirtį =).

5 pavyzdys

Pateikta plokščia figūra, apribota linijų , , .

1) Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos.
2) Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Dėmesio! Net jei norite perskaityti tik antrąjį punktą, pirmiausia Būtinai skaityk pirmą!

Sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo aikštės.

1) Padarykime piešinį:

Nesunku pastebėti, kad funkcija nurodo viršutinę parabolės šaką, o funkcija – apatinę parabolės šaką. Prieš mus yra triviali parabolė, kuri „guli ant šono“.

Norima figūra, kurios plotą reikia rasti, nuspalvinta mėlyna spalva.

Kaip rasti figūros plotą? Jį galima rasti „įprastu“ būdu, apie kurį buvo kalbama klasėje Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Be to, figūros plotas randamas kaip plotų suma:
– segmente;
- segmente.

Štai kodėl:

Kodėl įprastas sprendimas šiuo atveju yra blogas? Pirma, gavome du integralus. Antra, integralai yra šaknys, o integralų šaknys nėra dovana, be to, galite susipainioti keisdami integracijos ribas. Tiesą sakant, integralai, žinoma, nėra žudantys, bet praktiškai viskas gali būti daug liūdniau, aš tiesiog pasirinkau „geresnes“ problemai.

Yra racionalesnis sprendimas: jį sudaro perjungimas į atvirkštines funkcijas ir integravimas išilgai ašies.

Kaip pasiekti atvirkštines funkcijas? Grubiai tariant, reikia išreikšti „x“ per „y“. Pirmiausia pažvelkime į parabolę:

To pakanka, bet įsitikinkime, kad tą pačią funkciją galima išvesti iš apatinės šakos:

Tai lengviau su tiesia linija:

Dabar pažiūrėkite į ašį: paaiškindami, periodiškai pakreipkite galvą į dešinę 90 laipsnių kampu (tai ne pokštas!). Mums reikalinga figūra yra atkarpoje, kuri pažymėta raudona punktyrine linija. Šiuo atveju atkarpoje tiesi linija yra virš parabolės, o tai reiškia, kad figūros plotą reikia rasti naudojant jums jau žinomą formulę:. Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.

! Pastaba: turi būti nustatytos integravimo ribos išilgai ašies griežtai iš apačios į viršų!

Vietos radimas:

Todėl segmente:

Atkreipkite dėmesį, kaip aš atlikau integraciją, tai yra racionaliausias būdas, o kitoje užduoties pastraipoje bus aišku, kodėl.

Skaitytojams, abejojantiems integracijos teisingumu, rasiu išvestinių:

Gaunama pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integracija buvo atlikta teisingai.

Atsakymas:

2) Apskaičiuokime kūno tūrį, susidariusį šiai figūrai sukantis aplink ašį.

Piešinį perbraižysiu kiek kitokiu dizainu:

Taigi, mėlynai nuspalvinta figūra sukasi aplink ašį. Rezultatas yra "svyrantis drugelis", kuris sukasi aplink savo ašį.

Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, integruosime išilgai ašies. Pirmiausia turime pereiti prie atvirkštinių funkcijų. Tai jau buvo padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.

Dabar vėl pakreipiame galvą į dešinę ir tyrinėjame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno tūris turėtų būti rastas kaip tūrių skirtumas.

Aplink ašį pasukame raudonai apvestą figūrą, todėl gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šį tūrį .

Aplink ašį pasukame žaliai apvestą figūrą ir pažymime ją gauto sukimosi kūno tūriu.

Mūsų drugelio tūris yra lygus tūrių skirtumui.

Revoliucijos kūno tūriui rasti naudojame formulę:

Kuo skiriasi ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė? Tik laiške.

Tačiau integracijos pranašumą, apie kurį neseniai kalbėjau, rasti daug lengviau, nei pirmą kartą pakelti integrandą į 4 laipsnį.

Atsakymas:

Tačiau ne liguistas drugelis.

Atkreipkite dėmesį, kad jei tą pačią plokščią figūrą pasuksite aplink ašį, natūraliai gausite visiškai kitokį sukimosi kūną, kitokio tūrio.

6 pavyzdys

Duota plokščia figūra, apribota linijomis ir ašimi.

1) Eikite į atvirkštines funkcijas ir raskite plokštumos figūros plotą, kurį riboja šios linijos, integruodami per kintamąjį.
2) Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Besidomintieji taip pat gali rasti figūros plotą „įprastu“ būdu, taip patikrindami 1). Bet jei, kartoju, suksite plokščią figūrą aplink ašį, gausite visiškai kitokį sukimosi kūną su skirtingu tūriu, beje, teisingą atsakymą (taip pat ir tiems, kurie mėgsta spręsti problemas).

Visas dviejų siūlomų užduoties punktų sprendimas yra pamokos pabaigoje.

Taip, ir nepamirškite pakreipti galvos į dešinę, kad suprastumėte sukimosi kūnus ir integracijos ribas!

Jau ruošiausi baigti straipsnį, bet šiandien jie atnešė įdomų pavyzdį, kaip rasti apsisukimo kūno tūrį aplink ordinačių ašį. Šviežia:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno, susidariusio sukantis aplink figūros, apribotos kreivių ir, ašį, tūrį. Kairioji nepanaudota parabolės šaka atitinka atvirkštinę funkciją – funkcijos grafikas yra atkarpoje virš ašies;

Logiška manyti, kad revoliucijos kūno tūrio reikia ieškoti kaip apsisukimų kūnų tūrių sumos!

Mes naudojame formulę:

Šiuo atveju:

Atsakymas:

IN figūros ploto radimo problema dažnai naudojamas plotų sumavimas, bet sukimosi kūnų tūrių sumavimas, matyt, yra retas, nes tokia įvairovė beveik iškrito iš mano regėjimo lauko. Visgi gerai, kad aptartas pavyzdys pasirodė laiku – pavyko išgauti daug naudingos informacijos.

Sėkmingas figūrų reklamavimas!

Cilindras yra paprastas geometrinis kūnas, gaunamas sukant stačiakampį aplink vieną iš jo kraštų. Kitas apibrėžimas: cilindras yra geometrinis kūnas, kurį riboja cilindrinis paviršius ir dvi lygiagrečios jį kertančios plokštumos.

cilindro tūrio formulė

Jei norite sužinoti, kaip apskaičiuoti cilindro tūrį, jums tereikia rasti aukštį (h) ir spindulį (r) ir įtraukti juos į formulę:

Jei atidžiai pažvelgsite į šią formulę, pastebėsite, kad (\pi r^2) yra apskritimo ploto formulė, o mūsų atveju - pagrindo ploto.

Todėl cilindro tūrio formulę galima parašyti pagal pagrindo plotą ir aukštį:

Mūsų internetinis skaičiuotuvas padės jums apskaičiuoti cilindro tūrį. Tiesiog įveskite nurodytus cilindro parametrus ir gaukite jo tūrį.

Jūsų įvertinimas

[Įvertinimai: 168 Vidutinis: 3,4]

Cilindro formulės tūris (naudojant pagrindo spindulį ir aukštį)

(V=\pi r^2 h), kur

r yra cilindro pagrindo spindulys,

h - cilindro aukštis

Cilindro formulės tūris (per pagrindo plotą ir aukštį)

S yra cilindro pagrindo plotas,

h - cilindro aukštis

Cilindro tūrio skaičiuoklė internetu

Kaip rasti revoliucijos kūno tūrį naudojant integralą

Naudodami apibrėžtąjį integralą galite apskaičiuoti ne tik plokštumos figūrų plotai, bet ir kūnų tūrius, susidariusius sukant šias figūras aplink koordinačių ašis.

Kūnas, suformuotas sukantis aplink Ox ašį kreivinės trapecijos, kurią iš viršaus riboja funkcijos y= f(x) grafikas, turi tūrį

Panašiai kūno tūris v, gautas sukantis aplink kreivinės trapecijos ordinačių ašį (Oy), išreiškiamas formule

Skaičiuodami plokštumos figūros plotą, sužinojome, kad kai kurių figūrų plotus galima rasti kaip dviejų integralų skirtumą, kuriuose integrandai yra tos funkcijos, kurios riboja figūrą iš viršaus ir apačios. Tai panaši į situaciją su kai kuriais sukimosi kūnais, kurių tūriai skaičiuojami kaip dviejų kūnų tūrių skirtumas. Tokie atvejai aptariami 3, 4 ir 5 pavyzdžiuose.

1 pavyzdys.

Raskite kūno tūrį, susidariusį sukantis aplink abscisių ašį (Ox) figūroje, kurią riboja hiperbolė, abscisių ašis ir linijos ,.

Sprendimas. Sukamojo kūno tūrį randame naudodami formulę (1), kurioje , ir integravimo ribos a = 1, b = 4:

2 pavyzdys.

Raskite rutulio, kurio spindulys R, tūrį.

Sprendimas. Laikykime rutulį kaip kūną, gautą sukantis aplink R spindulio puslankio abscisių ašį, kurio centras yra pradžioje. Tada formulėje (1) integrando funkcija bus parašyta forma , o integravimo ribos yra -R ir R. Vadinasi,

Neturite laiko įsigilinti į sprendimą?

Galite užsisakyti darbą!

3 pavyzdys. Raskite kūno tūrį, susidariusį sukant aplink abscisių ašį (Ox) figūros, esančios tarp parabolių ir .

Įsivaizduokime reikiamą tūrį kaip kūnų tūrių skirtumą, gautą sukant apie abscisių ašį kreivines trapecijas ABCDE ir ABFDE. Šių kūnų tūrius randame naudodami (1) formulę, kurioje integravimo ribos lygios ir yra parabolių susikirtimo taškų B ir D abscisės. Dabar galime rasti kūno tūrį:

4 pavyzdys.

Apskaičiuokite toro tūrį (toras yra kūnas, gautas sukant a spindulio apskritimą aplink ašį, esančią jos plokštumoje atstumu b nuo apskritimo centro ().

Pavyzdžiui, vairas turi toro formą).

Sprendimas. Leiskite apskritimui suktis aplink Ox ašį (1 pav.).

Geometrinių figūrų plotų ir tūrių formulės

20). Toro tūrį galima pavaizduoti kaip kūnų tūrių skirtumą, gautą sukant kreivines trapecijas ABCDE ir ABLDE aplink Ox ašį.

Apskritimo LBCD lygtis yra

ir BCD kreivės lygtis

ir BLD kreivės lygtis

Naudodamiesi skirtumu tarp kūnų tūrių, gauname toro v tūrio išraišką

5 pavyzdys.

Raskite kūno, susidarančio sukantis aplink ordinačių ašį (Oy), tūrį figūros, apribotos tiesėmis ir.

Įsivaizduokime reikiamą tūrį kaip skirtumą tarp kūnų tūrių, gautų sukant aplink trikampio OBA ir kreivinės trapecijos OnBA ordinačių ašį.

Šių kūnų tūrius randame naudodami (2) formulę. Integravimo ribos yra ir - parabolės ir tiesės susikirtimo taškų O ir B ordinatės.

Taigi gauname kūno tūrį:

Puslapio viršuje

Atlikite testą tema Integral

Temos „Integralus“ pradžia

Neapibrėžtinis integralas: pagrindinės sąvokos, savybės, neapibrėžtinių integralų lentelė

Raskite neapibrėžtą integralą: pradžia, sprendimų pavyzdžiai

Neriboto integralo kintamojo keitimo metodas

Integravimas sudedant diferencialo ženklą

Integravimo dalimis būdas

Trupmenų integravimas

Racionaliųjų funkcijų integravimas ir neapibrėžtų koeficientų metodas

Kai kurių neracionalių funkcijų integravimas

Trigonometrinių funkcijų integravimas

Apibrėžtasis integralas

Plokštumos figūros plotas naudojant integralą

Netinkami integralai

Dvigubų integralų skaičiavimas

Kreivės lanko ilgis naudojant integralą

Apsisukimo paviršiaus plotas naudojant integralą

Jėgos darbo nustatymas naudojant integralą

Geriausia matematikos lovelė. Kokybiškas. Nieko papildomo.

Geometrinės figūros tūris- kiekybinė kūno ar medžiagos užimamos erdvės charakteristika. Laivo korpuso arba konteinerio tūris nustatomas pagal jo formą ir linijinius matmenis.

Kubo tūris

Kubo tūris lygus jos veido ilgio kubui.

Formulės kubas

kur yra kubo tūris,
- kubo ilgis.

Prizmės plotas

Prizmės plotas yra lygus prizmės dugno paviršiaus ir aukščio sandaugai.

Prizmės tūrio formulė

kur yra prizmės laipsnis,

- prizmės pagrindas,

- prizmės aukštis.

Lygiagretasienių stulpelių tūris

Lygiagretasienių stulpelių tūris lygus pagrindo paviršiaus sandaugai aukščio atžvilgiu.

Lygiagretainės formulės tūris

kur yra gretasienio tūris,

- bazinis plotas,

- aukščio aukštis.

Stačiakampio gretasienio tūris tai tas pats, kas jo ilgio, pločio ir aukščio sandauga.

Stačiakampio gretasienio tūrio formulė

kur yra stačiakampio gretasienio tūris,
- ilgis,

- plotis

- aukštis.

Piramidės tūris

Piramidės tūris sudaro trečdalį produkto baziniame plote pagal aukštį.

Piramidės tūrio formulė

kur yra piramidės tūris,

- piramidės pagrindo pagrindas,

- piramidės ilgis.

Taisyklingo tetraedro tūris

Taisyklingo tetraedro tūrio formulė

Tegul linija būna ribota. plokštumos figūra apibrėžiama polinėje koordinačių sistemoje.

Pavyzdys: Apskaičiuokite apskritimą: x 2 +y 2 =R 2

Apskaičiuokite 4-osios apskritimo dalies, esančios pirmajame kvadrante, ilgį (x≥0, y≥0):

Jei kreivės lygtis nurodyta parametro formoje:
, funkcijos x(t), y(t) yra apibrėžtos ir tolydžios kartu su jų išvestinėmis intervale [α,β]. Išvestinė, tada pakeičiama į formulę:
ir atsižvelgiant į tai

gauname
pridėti daugiklį
po šaknies ženklu ir pagaliau gauname

Pastaba: atsižvelgiant į plokštumos kreivę, taip pat galite apsvarstyti funkciją, kuriai suteiktas parametras erdvėje, tada pridėti funkciją z=z(t) ir formulę

Pavyzdys: Apskaičiuokite astroido ilgį, kuris pateikiamas pagal lygtį: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

Apskaičiuokite 4-osios dalies ilgį:

pagal formulę

Plokštumos kreivės lanko ilgis, nurodytas polinių koordinačių sistemoje:

Tegu kreivės lygtis pateikiama polinių koordinačių sistemoje:
- ištisinė funkcija kartu su jos išvestine intervale [α,β].

Perėjimo iš polinių koordinačių formulės:

laikyti parametriniais:

ϕ - parametras, pagal f-le

Pvz.: Apskaičiuokite kreivės ilgį:
>0

Koncepcija: apskaičiuokime pusę apskritimo:

Kūno tūris, skaičiuojamas pagal kūno skerspjūvio plotą.

Tegul kūnas yra ribojamas uždaro paviršiaus, o bet kurios šio kūno atkarpos plotas yra žinomas pagal plokštumą, statmeną Ox ašiai. Ši sritis priklausys nuo pjovimo plokštumos padėties.

tegul visas kūnas yra tarp 2 plokštumų, statmenų Ox ašiai, kertančių ją taškuose x=a, x=b (a

Norint nustatyti tokio kūno tūrį, jį padalijame į sluoksnius naudodami pjovimo plokštumas, statmenas Ox ašiai ir susikertant ją taškuose. Kiekviename daliniame intervale
. Rinksim

ir kiekvienai reikšmei i=1,....,n sukonstruosime cilindrinį kūną, kurio generatorius yra lygiagretus su Ox, o kreiptuvas yra kūno pjūvio kontūras x=C i plokštuma, tokio elementaraus cilindro, kurio pagrindo plotas S=C i ir aukštis ∆x i, tūris. V i =S(C i)∆x i . Visų tokių elementarių cilindrų tūris bus
. Šios sumos riba, jeigu ji egzistuoja ir yra baigtinė ties max ∆х  0, vadinama duoto kūno tūriu.

Kadangi V n yra tolydžios intervale funkcijos S(x) integralioji suma, tai nurodyta riba egzistuoja (egzistavimo sąlygos) ir išreiškiama def. Integralinis.

- kūno tūris, skaičiuojamas pagal skerspjūvio plotą.

Revoliucijos kūno tūris:

Tegul kūnas susidaro sukantis aplink Ox ašį kreivinės trapecijos, ribojamos funkcijos y=f(x), Ox ašies ir tiesių x=a, x=b grafiku.
gauname sukimosi aplink Ox ašį kūno tūrio apskaičiavimo formulę:

Jei kreivinė trapecija, apribota tolydžios funkcijos grafiku, sukasi aplink Oy ašį, tai tokio sukimosi kūno tūris yra:

Tą patį tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę:
. Jei linija nurodyta parametrinėmis lygtimis:

Pakeitę kintamąjį gauname:

Jei linija nurodyta parametrinėmis lygtimis:

y (α) = c , y (β) = d . Pakeitę y = y (t), gauname:

Apskaičiuokite apsisukimų kūnus aplink parabolės ašį, .

2) Apskaičiuokite V kūno, besisukančio aplink OX ašį išlenktos trapecijos, apribotos tiese y=0, lanku (su centru taške (1; 0), o spinduliu = 1), su .

Sukimosi kūno paviršiaus plotas

Tegul duotas paviršius susidaro sukdamas kreivę y =f(x) aplink Ox ašį. Būtina nustatyti šio paviršiaus S ties .

Tegul funkcija y =f(x) yra apibrėžta ir tolydi, turi nenatūralų ir neneigiamą visuose atkarpos [a;b] taškuose

Nubrėžkime ilgio akordus, kuriuos atitinkamai pažymime (n akordai)

pagal Lagrange'o teoremą:

Visos aprašytos laužytos linijos paviršiaus plotas bus lygus

Apibrėžimas: šios sumos riba, jei ji yra baigtinė, kai didžiausia trūkinės linijos grandis yra max, vadinama nagrinėjamo apsisukimo paviršiaus plotu.

Galima įrodyti, kad šimtas sumos riba yra lygi p-osios integralios sumos ribai

Apsisukimo kūno S paviršiaus formulė =

S paviršiaus, kurį sudaro kreivės lanko sukimasis x=g(x) aplink Oy ašį ties

Tęsinys su jo dariniu

Jei kreivė parametriškai pateikiama ur-mix=x(t) ,y= t(t) f-iix’(t), y’(t), x(t), y(t) yra apibrėžti intervale [a; b], x(a)= a, x(b)= btada pakeiskite jį pakeitimux= x(t)

Jei kreivė pateikiama parametriškai, pakeitus formulę gauname:

Jei kreivės lygtis pateikta polinėje koordinačių sistemoje

Ssukimosi aplink ašį paviršius bus lygus

Integralų naudojimas sukimosi kūnų tūriams rasti

Praktinis matematikos naudingumas yra dėl to, kad be

Dėl specifinių matematinių žinių sunku suprasti įrenginio veikimo principus ir šiuolaikinių technologijų panaudojimą. Kiekvienas žmogus savo gyvenime turi atlikti gana sudėtingus skaičiavimus, naudoti įprastai naudojamą įrangą, žinynuose rasti reikiamas formules, kurti paprastus problemų sprendimo algoritmus. Šiuolaikinėje visuomenėje vis daugiau specialybių, kurioms reikalingas aukštas išsilavinimas, siejama su tiesioginiu matematikos taikymu. Taigi matematika studentui tampa profesiniu požiūriu reikšmingu dalyku. Pagrindinis vaidmuo formuojant algoritminį mąstymą tenka matematikai, ji ugdo gebėjimą veikti pagal duotą algoritmą ir konstruoti naujus algoritmus.

Nagrinėjant temą apie integralo panaudojimą skaičiuojant revoliucijos kūnų tūrius, siūlau pasirenkamųjų klasių mokiniams apsvarstyti temą: „Susisukimo kūnų tūriai naudojant integralus“. Žemiau pateikiamos metodinės rekomendacijos nagrinėjant šią temą:

1. Plokščios figūros plotas.

Iš algebros kurso žinome, kad praktinio pobūdžio problemos atvedė prie apibrėžtojo integralo sampratos. Vienas iš jų yra plokščios figūros, apribotos ištisine linija y=f(x) (kur f(x)DIV_ADBLOCK243">

Apskaičiuokime kreivinės trapecijos plotą pagal formulę, jei trapecijos pagrindas yra x ašyje arba pagal formulę https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" plotis ="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink Ox ašį kreivinės trapecijos, ribojamos lūžio linija y=f(x), Ox ašies, tiesių x=a ir x=b, apskaičiuojame naudojant formulę

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Cilindro tūris.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Kūgis gaunamas sukant stačiąjį trikampį ABC (C = 90) aplink Ox ašį, ant kurios yra kojelė AC.

Segmentas AB yra tiesėje y=kx+c, kur https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Tegul a=0, b=H (H yra kūgio aukštis), tada Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Nupjauto kūgio tūris.

Nupjautą kūgį galima gauti sukant stačiakampę trapeciją ABCD (CDOx) aplink Ox ašį.

Atkarpa AB yra tiesėje y=kx+c, kur , c=r.

Kadangi tiesė eina per tašką A (0;r).

Taigi tiesi linija atrodo taip https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Tegul a=0, b=H (H yra nupjauto kūgio aukštis), tada https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Kamuolio tūris.

Rutulį galima gauti sukant apskritimą su centru (0;0) aplink Ox ašį. Puslankis, esantis virš Ox ašies, pateikiamas lygtimi

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Be to plokštumos figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą svarbiausias temos pritaikymas yra apskaičiuojant apsisukimo kūno tūrį. Medžiaga paprasta, bet skaitytojas turi būti pasiruošęs: tu turi mokėti išspręsti neapibrėžtieji integralai vidutinio sudėtingumo ir pritaikykite Niutono-Leibnizo formulę apibrėžtasis integralas . Kaip ir sprendžiant srities radimo problemą, jums reikia užtikrintų piešimo įgūdžių - tai beveik svarbiausias dalykas (nes patys integralai dažnai bus lengvi). Kompetentingus ir greitus diagramų sudarymo būdus galite įvaldyti pasitelkę metodinę medžiagą . Bet, tiesą sakant, apie piešinių svarbą jau ne kartą kalbėjau klasėje. .

Apskritai integraliniame skaičiavime yra daug įdomių pritaikymų, naudojant apibrėžtą integralą, galite apskaičiuoti figūros plotą, sukimosi kūno tūrį, lanko ilgį, paviršiaus plotą; kūnas ir daug daugiau. Taigi bus smagu, būkite optimistiški!

Įsivaizduokite kokią nors plokščią figūrą koordinačių plokštumoje. Pristatė? ... Įdomu, kas ką pristatė... =))) Jo plotą jau radome. Be to, šią figūrą taip pat galima pasukti ir pasukti dviem būdais:

– aplink x ašį; – aplink ordinačių ašį.

Šiame straipsnyje bus nagrinėjami abu atvejai. Antrasis sukimo būdas yra ypač įdomus, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Kaip premiją grįšiu figūros ploto radimo problema , ir aš jums pasakysiu, kaip rasti sritį antruoju būdu - išilgai ašies. Tai ne tiek premija, kiek medžiaga puikiai tinka temai.

Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.

Kūno, susidariusio sukant plokščią figūrą aplink ašį, tūrio apskaičiavimas

1 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant linijomis ribojamą figūrą aplink ašį.

Sprendimas: Kaip ir vietovės radimo problema, sprendimas pradedamas nuo plokščios figūros piešinio. Tai yra, plokštumoje būtina sukurti figūrą, ribojamą tiesių , ir nepamirškite, kad lygtis nurodo ašį. Kaip efektyviau ir greičiau užbaigti piešinį, rasite puslapiuose Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės Ir Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą . Tai kinų priminimas, ir šiuo metu aš daugiau negyvensiu.

Piešinys čia yra gana paprastas:

Norima plokščia figūra yra nuspalvinta mėlyna spalva, ji sukasi aplink ašį. Dėl sukimosi gaunama šiek tiek kiaušinio formos skraidanti lėkštė, kuri yra simetriška ašies atžvilgiu. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, bet aš tingiu ieškoti žinyno, todėl judame toliau.

Kaip apskaičiuoti besisukančio kūno tūrį?

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos „a“ ir „būti“ ribas.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokštumos figūrą riboja viršuje esančios parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink figūros ašį, ribojamą linijomis , ,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, kurią riboja linijos , , , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį: