Vidutinis lygis

Statusis trikampis. Visas iliustruotas vadovas (2019 m.)

STAČIAKAMPIS TRIKAMPIS. ĮĖJIMO LYGIS.

Problemose stačias kampas visai nereikalingas - apatinis kairysis, todėl reikia išmokti atpažinti stačią trikampį šioje formoje,

ir šiame

ir šiame

Kuo geras stačiakampis trikampis? Na... visų pirma, yra ypatingų gražūs vardai už jo puses.

Dėmesio piešimui!

Prisiminkite ir nesupainiokite: yra dvi kojos ir tik viena hipotenuzė(vienintelis, unikalus ir ilgiausias)!

Na, mes aptarėme pavadinimus, dabar svarbiausias dalykas: Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema.

Ši teorema yra daugelio problemų, susijusių su stačiu trikampiu, sprendimas. Tai Pitagoras įrodė visiškai neatmenamais laikais ir nuo tada tai davė daug naudos žinantiems. Ir geriausia, kad tai paprasta.

Taigi, Pitagoro teorema:

Ar pamenate pokštą: „Pitagoro kelnės iš visų pusių lygios!

Nupieškime tas pačias Pitagoro kelnes ir pažiūrėkime į jas.

Ar tai neatrodo kaip šortai? Na, iš kurių pusių ir kur jie yra lygūs? Kodėl ir iš kur kilo pokštas? Ir šis pokštas yra susijęs būtent su Pitagoro teorema, o tiksliau su tuo, kaip pats Pitagoras suformulavo savo teoremą. Ir jis tai suformulavo taip:

"Suma kvadratų plotai, pastatytas ant kojų, yra lygus kvadratinis plotas, pastatytas ant hipotenuzės“.

Ar tikrai skamba šiek tiek kitaip? Taigi, kai Pitagoras nubrėžė savo teoremos teiginį, išėjo būtent toks paveikslas.

Šiame paveikslėlyje mažų kvadratų plotų suma yra lygi didelio kvadrato plotui. O kad vaikai geriau prisimintų, jog kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, kažkas šmaikštuolio sugalvojo šį pokštą apie pitagoro kelnes.

Kodėl dabar formuluojame Pitagoro teoremą?

Ar Pitagoras kentėjo ir kalbėjo apie aikštes?

Matote, senovėje nebuvo... algebros! Nebuvo jokių ženklų ir pan. Nebuvo jokių užrašų. Ar įsivaizduojate, kaip baisu buvo vargšams senovės studentams viską prisiminti žodžiais??! Ir galime pasidžiaugti, kad turime paprastą Pitagoro teoremos formuluotę. Pakartokime dar kartą, kad geriau prisimintume:

Dabar turėtų būti lengva:

Hipotenuzės kvadratas lygi sumai kojų kvadratai.

Na, o svarbiausia teorema apie stačiuosius trikampius buvo aptarta. Jei jus domina, kaip tai įrodoma, skaitykite šiuos teorijos lygius, o dabar eikime toliau... į tamsų mišką... trigonometriją! Prie baisių žodžių sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje.

Tiesą sakant, viskas nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų pažvelgti į „tikrąjį“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą. Bet aš tikrai nenoriu, ar ne? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

Kodėl viskas tik už kampo? Kur yra kampas? Norėdami tai suprasti, turite žinoti, kaip žodžiais rašomi teiginiai nuo 1 iki 4. Žiūrėk, suprask ir prisimink!

1.
Iš tikrųjų tai skamba taip:

O kaip kampas? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga (kampui) koja? Žinoma, yra! Tai koja!

O kaip kampas? Atidžiai pažiūrėk. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, koja. Tai reiškia, kad kampui koja yra greta, ir

Dabar atkreipkite dėmesį! Pažiūrėkite, ką gavome:

Pažiūrėkite, kaip tai šaunu:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar galiu tai užrašyti žodžiais? Kokia koja yra kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai - jis „guli“ priešais kampą. O koja? Šalia kampo. Taigi ką mes turime?

Pažiūrėkite, kaip skaitiklis ir vardiklis apsikeitė vietomis?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Tęsti

Trumpai surašykime viską, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiųjų trikampių teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei nelabai gerai, tai pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Visai gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga? Kaip aš galiu tai įrodyti? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Pažiūrėkite, kaip sumaniai suskirstėme jo puses į ilgius ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs pats žiūrite į piešinį ir galvojate, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip dėl mažesnio ploto? Be abejo,. Liko bendro ploto keturi kampai. Įsivaizduokite, kad paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito su jų hipotenomis. Kas atsitiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „pjūvių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Transformuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui

Smailaus kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smailiojo kampo liestinė lygi priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui.

Smailiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos ir priešingos pusės santykiui.

Ir dar kartą visa tai tabletės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

I. Iš dviejų pusių

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailaus kampo

a)

b)

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TAD TRIKAMPIAI NELYGŪS, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Tai būtina abiejuose trikampiuose koja buvo greta arba abiejuose buvo priešinga.

Ar pastebėjote, kaip skiriasi stačiųjų trikampių lygybės ženklai įprasti ženklai trikampio sutapimas? Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei trys jų elementai turi būti lygūs: dvi kraštinės ir kampas tarp jų, du kampai ir kraštinė tarp jų arba trys kraštinės. Tačiau stačiųjų trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, tiesa?

Su stačiųjų trikampių panašumo ženklais situacija yra maždaug tokia pati.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

I. Išilgai smailiojo kampo

II. Iš dviejų pusių

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Vietoj stačiakampio apsvarstykite visą stačiakampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

1. - mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad yra ir priešingai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Atidžiai pažiūrėk. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, nuo kurio atstumai nuo visų trijų trikampio viršūnių yra lygūs, ir tai yra APRATUMO CENTRAS. Taigi kas atsitiko?

Taigi pradėkime nuo šio „be to...“.

Pažiūrėkime ir.

Tačiau panašūs trikampiai turi vienodus kampus!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo?

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė „Aukštis stačiakampiame trikampyje“:

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Reikia labai gerai atsiminti abi šias formules ir naudoti patogesnę. Užrašykime juos dar kartą

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: .

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

• iš dviejų pusių:
• pagal koją ir hipotenuzę: arba
• išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
• išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
• pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai:

• vienas ūmus kampas: arba
• iš dviejų kojų proporcingumo:
• nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

• Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
• Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis: .

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta iš viršūnės stačiu kampu, yra lygus pusei hipotenuzės: .

Stačiojo trikampio plotas:

• per kojas:

Gyvenime dažnai teks spręsti matematines problemas: mokykloje, universitete ir tada padėti vaikui baigti. namų darbai. Žmonės tam tikros profesijos su matematika susidurs kasdien. Todėl pravartu įsiminti arba prisiminti matematines taisykles. Šiame straipsnyje apžvelgsime vieną iš jų: stačiojo trikampio kraštinės radimą.

Kas yra stačiakampis trikampis

Pirmiausia prisiminkime, kas yra stačiakampis trikampis. Statusis trikampis yra geometrinė figūra iš trijų atkarpų, jungiančių taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, o vienas iš šios figūros kampų yra 90 laipsnių. Kraštinės, sudarančios stačią kampą, vadinamos kojomis, o pusė, kuri yra priešais stačią kampą, vadinama hipotenuse.

Stačiojo trikampio kojos radimas

Yra keletas būdų, kaip sužinoti kojos ilgį. Norėčiau juos išsamiau apsvarstyti.

Pitagoro teorema stačiojo trikampio kraštinei rasti

Jei žinome hipotenuzą ir koją, tada nežinomos kojos ilgį galime rasti naudodami Pitagoro teoremą. Tai skamba taip: „Kipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai“. Formulė: c²=a²+b², kur c – hipotenuzė, a ir b – kojos. Transformuojame formulę ir gauname: a²=c²-b².

Pavyzdys. Hipotenuzė yra 5 cm, o kojelė yra 3 cm Transformuojame formulę: c²=a²+b² → a²=c²-b². Toliau sprendžiame: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonometriniai santykiai stačiojo trikampio kojai rasti

Taip pat galite rasti nežinomą koją, jei žinote bet kurią kitą stačiojo trikampio kraštinę ir smailųjį kampą. Yra keturi būdai, kaip rasti koją naudojant trigonometrinės funkcijos: pagal sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą. Žemiau pateikta lentelė padės mums išspręsti problemas. Apsvarstykime šias galimybes.

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami sinusą

Kampo sinusas (sin) yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis. Formulė: sin=a/c, kur a yra koja, priešinga duotam kampui, o c yra hipotenuzė. Toliau transformuojame formulę ir gauname: a=sin*c.

Pavyzdys. Hipotenuzė yra 10 cm, o kampas A yra 30 laipsnių. Naudodamiesi lentele apskaičiuojame kampo A sinusą, jis lygus 1/2. Tada, naudodami transformuotą formulę, išsprendžiame: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami kosinusą

Kampo kosinusas (cos) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Formulė: cos=b/c, kur b yra gretima kojelė šis kampas, o c yra hipotenuzė. Transformuokime formulę ir gaukime: b=cos*c.

Pavyzdys. Kampas A lygus 60 laipsnių, hipotenuzė lygi 10 cm Naudodami lentelę apskaičiuojame kampo A kosinusą, jis lygus 1/2. Toliau sprendžiame: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami liestinę

Kampo liestinė (tg) yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis. Formulė: tg=a/b, kur a – kampui priešinga pusė, o b – gretima. Transformuokime formulę ir gaukime: a=tg*b.

Pavyzdys. Kampas A lygus 45 laipsniams, hipotenuza lygi 10 cm Naudodamiesi lentele apskaiciuojame kampo A liestine, jis lygus Spręsti: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami kotangentą

Kampo kotangentas (ctg) yra gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis. Formulė: ctg=b/a, kur b yra kraštinė, esanti šalia kampo, ir yra priešinga pusė. Kitaip tariant, kotangentas yra „apversta liestinė“. Gauname: b=ctg*a.

Pavyzdys. Kampas A yra 30 laipsnių, priešinga kojelė yra 5 cm. Pagal lentelę kampo A liestinė yra √3. Skaičiuojame: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Taigi dabar jūs žinote, kaip rasti koją stačiakampiame trikampyje. Kaip matote, tai nėra taip sunku, svarbiausia atsiminti formules.

Trikampis geometrijoje yra viena iš pagrindinių figūrų. Iš ankstesnių pamokų žinote, kad trikampis yra daugiakampė figūra, turinti tris kampus ir tris kraštines.

Trikampis vadinamas stačiakampis, jei jo kampas yra 90 laipsnių.
Stačiakampis trikampis turi dvi viena kitai statmenas kraštines, vadinamas kojos ; trečioji jo pusė vadinama hipotenuzė . Hipotenuzė yra didžiausia šio trikampio kraštinė.

• Pagal statmenos ir įstrižos savybes, hipotenuzė yra ilgesnė už kiekvieną koją (bet mažesnė už jų sumą).
• Dviejų suma aštrūs kampai stačiakampis yra lygus stačiajam kampui.
• Dvi stačiojo trikampio aukščiai sutampa su jo kojomis. Todėl vienas iš keturių puikių taškų patenka į stačiojo trikampio kampo viršūnes.
• Stačiojo trikampio apskritimo centras yra hipotenuzės viduryje.
• Stačiojo trikampio, nubrėžto nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, mediana yra apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys.

Stačiųjų trikampių savybės ir požymiai

Aš – turtas. Stačiakampio trikampio smailiųjų kampų suma yra 90°. Priešais didesnę trikampio kraštinę yra didesnis kampas, o priešais didesnį kampą yra didesnė kraštinė. Stačiakampiame trikampyje didžiausias kampas yra stačiu kampu. Jei didžiausias trikampio kampas yra didesnis nei 90°, tai toks trikampis nustoja būti stačiakampis, nes visų kampų suma viršija 180 laipsnių. Iš viso to išplaukia, kad hipotenuzė yra didžiausia trikampio kraštinė.

II yra nuosavybė. Stačiojo trikampio kojelė, esanti priešais 30 laipsnių kampą, yra lygi pusei hipotenuzės.

III – e nuosavybė. Jei stačiakampiame trikampyje kojelė yra lygi pusei hipotenuzės, tada kampas, esantis priešais šią koją, bus lygus 30 laipsnių.

Apibrėžimas.Statusis trikampis - trikampis, kurio vienas kampas yra tiesus (lygus ).

Statusis trikampis - ypatingas atvejis paprastas trikampis. Todėl išsaugomos visos įprastų trikampių savybės stačiakampiams trikampiams. Tačiau yra ir tam tikrų savybių dėl stačiojo kampo.

Bendrieji pavadinimai (1 pav.):

- stačiu kampu;

- hipotenuzė;

- kojos;

.

Ryžiai. 1.

SUstačiojo trikampio savybės.

1 nuosavybė. Kampų ir stačiakampio trikampio suma yra lygi .

Įrodymas. Prisiminkite, kad bet kurio trikampio kampų suma yra lygi . Atsižvelgdami į tai, kad , Mes nustatome, kad likusių dviejų kampų suma yra lygi Tai yra,

2 nuosavybė. Stačiakampiame trikampyje hipotenuzė daugiau nei bet kuris iš kojos(yra didžiausia pusė).

Įrodymas. Prisiminkite, kad trikampyje didesnė kraštinė yra priešinga didesniam kampui (ir atvirkščiai). Iš 1 savybės, įrodyta aukščiau, išplaukia, kad kampų ir stačiakampio trikampio suma yra lygi . Kadangi trikampio kampas negali būti lygus 0, kiekvienas iš jų yra mažesnis nei . Tai reiškia, kad jis yra didžiausias, o tai reiškia, kad didžiausia trikampio kraštinė yra priešais jį. Tai reiškia, kad hipotenuzė yra ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė, tai yra: .

3 nuosavybė. Stačiakampiame trikampyje hipotenuzė yra mažesnė už kojų sumą.

Įrodymas. Ši savybė tampa akivaizdi, jei prisiminsime trikampio nelygybė.

Trikampio nelygybė

Bet kuriame trikampyje bet kurių dviejų kraštinių suma yra didesnė už trečiąją kraštinę.

Iš šios nelygybės iš karto išplaukia 3 savybė.

Pastaba: nepaisant to, kad kiekviena koja atskirai yra mažesnė už hipotenuzą, jų suma yra didesnė. Skaitiniame pavyzdyje tai atrodo taip: , bet .

V:

1 ženklas (iš 2 pusių ir kampas tarp jų): Jei trikampiai turi dvi lygias kraštines ir kampą tarp jų, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.

2 ženklas (šalia ir du gretimi kampai): jei trikampiai turi lygias kraštines ir du kampus, esančius greta duotosios kraštinės, tai tokie trikampiai yra kongruentiški. Pastaba: Naudojantis tuo, kad trikampio kampų suma yra pastovi ir lygi , nesunku įrodyti, kad „gretimų“ kampų sąlyga nebūtina, tai yra, ženklas bus teisingas tokioje formuluotėje: „. .. kraštinė ir du kampai yra lygūs, tada...“.

3 ženklas (iš trijų pusių): Jei trikampių visos trys kraštinės yra lygios, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.

Natūralu, kad visi šie ženklai išlieka teisingi stačiakampiams trikampiams. Tačiau stačiakampiai trikampiai turi vieną reikšmingą savybę – jie visada turi porą vienodų stačių kampų. Todėl šie ženklai jiems yra supaprastinti. Taigi, suformuluokime stačiųjų trikampių lygybės ženklus:

1 ženklas (iš dviejų pusių): jei statieji trikampiai turi poromis lygias kojeles, tai tokie trikampiai yra lygūs vienas kitam (2 pav.).

Duota:

Ryžiai. 2. Stačiųjų trikampių lygybės pirmojo ženklo iliustracija

Įrodykite:

Įrodymas: stačiuose trikampiuose: . Tai reiškia, kad galime panaudoti pirmąjį trikampių lygybės ženklą (pagal 2 kraštines ir kampą tarp jų) ir gauti: .

2-tas ženklas (pagal koją ir kampą): jeigu vieno stačiojo trikampio kojelė ir smailusis kampas yra lygūs kito stačiojo trikampio koja ir smailusis kampas, tai tokie trikampiai yra kongruentiški (3 pav.).

Duota:

Ryžiai. 3. Stačiųjų trikampių antrojo lygybės ženklo iliustracija

Įrodykite:

Įrodymas: Iš karto atkreipkime dėmesį į tai, kad kampai, esantys greta vienodos kojos, nėra esminis. Iš tiesų, stačiojo trikampio smailių kampų suma (pagal savybę 1) yra lygi . Tai reiškia, kad jei viena šių kampų pora yra lygi, tai kita yra lygi (nes jų sumos yra vienodos).

Šios savybės įrodymas yra naudojimas antrasis trikampių lygybės ženklas(iš 2 kampų ir vienos pusės). Iš tiesų, pagal sąlygą kojos ir gretimų kampų pora yra vienodi. Tačiau antroji gretimų kampų pora susideda iš kampų . Tai reiškia, kad galime naudoti antrąjį trikampių lygybės kriterijų ir gauti: .

3 ženklas (pagal hipotenuzą ir kampą): jeigu vieno stačiojo trikampio įtvaras ir smailusis kampas lygūs kito stačiojo trikampio įtvarui ir smailiajam kampui, tai tokie trikampiai yra kongruentiški (4 pav.).

Duota:

Ryžiai. 4. Trečiojo stačiųjų trikampių lygybės ženklo iliustracija

Įrodykite:

Įrodymas: Norėdami įrodyti šį ženklą, galite iš karto naudoti antrasis trikampių lygybės ženklas- ant šono ir dviejų kampų (tiksliau, išplaukia, kad kampai nebūtinai turi būti greta šono). Iš tiesų pagal sąlygą: , , o iš stačiųjų trikampių savybių išplaukia, kad . Tai reiškia, kad galime naudoti antrąjį trikampių lygybės kriterijų ir gauti: .

4 ženklas (pagal hipotenuzę ir koją): jei vieno stačiojo trikampio įtvara ir kojelė yra atitinkamai lygios kito stačiojo trikampio įtvarai ir kojelei, tai tokie trikampiai yra lygūs vienas kitam (5 pav.).

Duota:

Ryžiai. 5. Ketvirtojo stačiųjų trikampių lygybės ženklo iliustracija

Įrodykite:

Įrodymas:Šiam kriterijui įrodyti naudosime trikampių lygybės kriterijų, kurį suformulavome ir įrodėme paskutinėje pamokoje, būtent: jei trikampiai turi dvi lygias kraštines ir didesnį kampą, tai tokie trikampiai yra lygūs. Iš tikrųjų pagal sąlygą turime dvi lygias puses. Be to, pagal stačiųjų trikampių savybę: . Belieka įrodyti, kad stačiakampis yra didžiausias trikampyje. Tarkime, kad taip nėra, o tai reiškia, kad turi būti dar bent vienas kampas, didesnis nei . Bet tada trikampio kampų suma jau bus didesnė. Bet tai neįmanoma, o tai reiškia, kad toks kampas negali egzistuoti trikampyje. Tai reiškia, kad stačiakampis yra didžiausias stačiakampiame trikampyje. Tai reiškia, kad galite naudoti aukščiau suformuluotą ženklą ir gauti: .

Dabar suformuluokime dar vieną savybę, būdingą tik stačiakampiams trikampiams.

Turtas

Priešais kampą esanti koja yra 2 kartus mažesnė už hipotenuzą(6 pav.).

Duota:

Ryžiai. 6.

Įrodykite:AB

Įrodymas: Atlikime papildomą konstrukciją: tiesę už taško pratęskime iki atkarpos, lygios . Paimkime tašką. Kadangi kampai ir yra greta, jų suma yra lygi . Nuo tada kampas .

Taigi stačiakampiai trikampiai (iš dviejų pusių: - bendroji, - pagal konstrukciją) - pirmasis stačiųjų trikampių lygybės ženklas.

Iš trikampių lygybės išplaukia, kad visi atitinkami elementai yra lygūs. Reiškia,. Kur:. Be to, (iš tų pačių trikampių lygybės). Tai reiškia, kad trikampis yra lygiašonis (kadangi jo pagrindo kampai yra lygūs), bet lygiašonis trikampis, kurio vienas iš kampų lygus , yra lygiakraštis. Iš to visų pirma išplaukia, kad .

Kojos, esančios priešais kampą, savybė

Verta paminėti, kad teisingas ir priešingas teiginys: jei stačiakampiame trikampyje hipotenuzė yra dvigubai didesnė už vieną iš kojų, tada smailusis kampas priešais šią koją yra lygus .

Pastaba: ženklas reiškia, kad jei bet kuris teiginys yra teisingas, tai trikampis yra stačiakampis. Tai yra, ši funkcija leidžia nustatyti stačiakampį trikampį.

Svarbu nepainioti ženklo su nuosavybė- tai yra, jei trikampis yra stačiakampis, tai jis turi tokias savybes... Dažnai ženklai ir savybės yra atvirkštiniai, bet ne visada. Pavyzdžiui, lygiakraščio trikampio savybė: lygiakraštis trikampis turi kampą. Bet tai nebus lygiakraščio trikampio ženklas, nes ne kiekvienas trikampis turi kampą, yra lygiakraštis.

Stačiojo trikampio savybės

Mieli septintokai, jūs jau žinote ką geometrines figūras vadinami trikampiais, žinote, kaip įrodyti jų lygybės požymius. Taip pat žinote apie specialius trikampių atvejus: lygiašonius ir stačius kampus. Jūs puikiai žinote lygiašonių trikampių savybes.

Tačiau stačiakampiai trikampiai taip pat turi daug savybių. Vienas akivaizdus dalykas yra susijęs su sumos teorema vidiniai kampai Trikampis: Stačiakampio trikampio smailių kampų suma yra 90°. Labiausiai nuostabi nuosavybė apie statųjį trikampį sužinosite 8 klasėje, kai studijuosite garsiąją Pitagoro teoremą.

Dabar pakalbėsime apie dar du svarbios savybės. Vienas skirtas 30° stačiakampiams trikampiams, o kitas – atsitiktiniams stačiakampiams trikampiams. Suformuluokime ir įrodykime šias savybes.

Jūs puikiai žinote, kad geometrijoje įprasta formuluoti teiginius, kurie yra priešingi įrodytam, kai teiginio sąlyga ir išvada keičiasi vietomis. Priešingi teiginiai ne visada teisingi. Mūsų atveju abu priešingi teiginiai yra teisingi.

Turtas 1.1 Stačiakampiame trikampyje koja, esanti priešais 30° kampą, yra lygi pusei hipotenuzės.

Įrodymas: Apsvarstykite stačiakampį ∆ ABC, kuriame ÐA=90°, ÐB=30°, tada ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, todėl ką reikėjo įrodyti.

1.2 ypatybė (priešingai 1.1 ypatybei) Jei stačiakampio trikampio kojelė yra lygi pusei hipotenuzės, tada kampas priešais ją yra 30°.

Turtas 2.1 Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės.

Panagrinėkime stačiakampį ∆ ABC, kuriame РВ=90°.

BD mediana, tai yra AD = DC. Įrodykime tai.

Norėdami tai įrodyti, padarysime papildomą konstrukciją: tęsime BD už taško D, kad BD=DN ir sujungsime N su A ir C..gif" width="616" height="372 src=">

Duota: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, nes stačiakampyje ∆BCE smailiųjų kampų suma yra 90o

2. BE = 14 cm (1 savybė)

3. ÐABE=30o, nes ÐA+ÐABE=ÐBEC (savybė išorinis kampas trikampis) todėl ∆AEB lygiašonis AE=EB=14cm.

3. (1 nuosavybė).

BC=2AN=20 cm (2 savybė).

3 užduotis. Įrodykite, kad stačiojo trikampio, paimto į hipotenuzą, aukštis ir mediana sudaro kampą, lygų skirtumui tarp smailių trikampio kampų.

Duota: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-mediana, AH-aukštis.

Įrodykite: RMAN = RS-RV.

Įrodymas:

1)РМАС=РС (pagal savybę 2 ∆ AMC-lygiašonis, AM = SM)

2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.

Belieka įrodyti, kad РНАС=РВ. Tai išplaukia iš to, kad ÐB+ÐC=90° (∆ ABC) ir ÐNAS+ÐC=90° (iš ∆ ANS).

Taigi, RMAN = RS-RV, ką reikėjo įrodyti.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Duota: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN aukštis, .

Rasti: РВ, РС.

Sprendimas: imkime medianą AM. Tegul AN=x, tada BC=4x ir

VM=MS=AM=2x.

Stačiakampėje ∆AMN hipotenuzė AM yra 2 kartus didesnė už koją AN, todėl ÐAMN=30°. Kadangi VM=AM,

РВ=РВAM100%">

Doc: Įveskite ∆ABC ÐA=900 ir AC=1/2BC

Išplėskime AC už taško A, kad AD=AC. Tada ∆ABC=∆ABD (ant 2 kojų). BD=BC=2AC=CD, taigi ∆DBC-lygiakraščiai, ÐC=60o ir ÐABC=30o.

5 problema

Lygiašoniame trikampyje vienas iš kampų yra 120°, pagrindas 10 cm. Raskite į šoną nubrėžtą aukštį.

Sprendimas: pirmiausia atkreipiame dėmesį, kad 120° kampas gali būti tik trikampio viršūnėje ir į šoną nubrėžtas aukštis kris jo tęsinyje.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image019_27.gif" height="26">K vertikali siena atsirėmė į kopėčias. Laiptų viduryje sėdi kačiukas. Staiga kopėčios pradėjo slysti žemyn siena. Kokią trajektoriją apibūdins kačiukas?

AB - laiptinė, K - kačiukas.

Bet kurioje kopėčių padėtyje, kol galiausiai nukrenta ant žemės, ∆ABC yra stačiakampis. MC – mediana ∆ABC.

Pagal 2 savybę SK = 1/2AB. Tai yra, bet kuriuo laiko momentu atkarpos SK ilgis yra pastovus.

Atsakymas: taškas K judės apskritimo lanku, kurio centras C ir spindulys CK=1/2AB.

Savarankiško sprendimo problemos.

Vienas iš stačiojo trikampio kampų yra 60°, o skirtumas tarp hipotenuzės ir trumpesnės kojos yra 4 cm. Raskite hipotenuzės ilgį. Stačiakampėje ∆ ABC, kurios hipotenuzė BC ir kampas B lygus 60°, brėžiamas aukštis AD. Raskite DC, jei DB = 2 cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - aukštis, BC=2ВD. Įrodykite, kad AD=3ВD. Stačiojo trikampio aukštis padalija hipotenuzą į 3 cm ir 9 cm dalis. Raskite trikampio kampus ir atstumą nuo hipotenuzės vidurio iki ilgesnės kojos. Bisektorius padalija trikampį į dvi dalis lygiašonis trikampis. Raskite pradinio trikampio kampus. Mediana padalija trikampį į du lygiašonius trikampius. Ar įmanoma rasti kampus

Originalus trikampis?