Stochastinio proceso modelis. Stochastiniai minimax modeliai Stochastinis matematinis modelis

Stochastinio modeliavimo ypatumai.

Stochastinio režimo ypatybės: stochastinis modeliavimas – atsitiktinių įtakų modeliavimas.

Stochastinis modeliavimas (SM) - m atsitiktinių procesų ir atsitiktinių įvykių modeliavimas.

SM esmė– pakartotinis modelio eksperimentų kartojimas, siekiant gauti statistiką apie sistemos savybes, gauti duomenis apie atsitiktinių įvykių ir dydžių savybes.

Tikslas– dėl objektų parametrų SM turėtų būti gautas atsitiktinio dydžio numatomos vertės, sklaidos ir pasiskirstymo dėsnio įvertis.

Atsitiktinio įvykio ir atsitiktinio dydžio samprata.

Atsitiktinis įvykis yra bet koks faktas, kuris gali įvykti arba neįvykti dėl patirties. Atsitiktiniai įvykiai gali būti: Patikimi (įvykis, atsirandantis kiekviename eksperimente). Neįmanoma (įvykis, kuris negali įvykti dėl patirties).

Vadinamas skaitinis dydis, kuris atsitiktinai atlikus eksperimentą įgauna vienokią ar kitokią reikšmę atsitiktinis kintamasis .

Atsitiktinių dydžių ir atsitiktinių įvykių charakteristikos.

Atsitiktinio įvykio ypatybės:

Įvykio pasireiškimo dažnis yra konkretaus įvykio atsiradimo tikimybė, atsižvelgiant į neribotą eksperimentų skaičių.

Atsitiktinio dydžio charakteristikos:

Matematinis lūkestis yra skaičius, aplink kurį sutelktos atsitiktinio dydžio reikšmės.

Atsitiktinio dydžio dispersija apibūdina atsitiktinio dydžio sklaidą aplink jo matematinį lūkestį.

Tikimybių pasiskirstymo tankiai yra funkcijos tipas, kurį lemia atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis.

Atsitiktinių įvykių modeliavimas.

Pradiniai duomenys:

Įvykio Pa tikimybė;

Būtina sukurti įvykio A, kuris įvyksta su tikimybe Pa, modelį.

Modeliavimo algoritmas:

Naudojamas atsitiktinių skaičių jutiklis, turintis vienodą pasiskirstymo dėsnį nuo 0 iki 1:

Atsitiktinis (RND)  x i . 0<=x i <=1

Jei Xi patenkintas<=Pa то событие A произошло. В противном случае произошло событие не A.

Visos atsitiktinių įvykių grupės modeliavimas.

Nesuderinamų įvykių grupė vadinama užbaigta, jei testavimo metu tikrai įvyks tik vienas įvykis (algoritmas).

Stochastinių modelių pavyzdžiai.

Modeliai, skirti prognozuoti pokyčius greitkelio būklė įmonių.

Literatūra: , .

3. Imitacinis modeliavimas

Imitacinio modeliavimo samprata.

IM esmė yra kompiuterinis eksperimentas – objekto savybių tyrimas eksperimentuojant su jo kompiuteriniu modeliu.

Imitacinio modeliavimo aktualumas.

1) sudėtingų sistemų modeliavimas (kai neįmanoma objekto panaudoti analitiškai)

2) atsitiktinių veiksnių veikimo modeliavimas (reikia kartoti kelis kartus)

3) matematinio modelio nebuvimas (tiriant nežinomus reiškinius).

4) poreikis gauti rezultatus iki tam tikros datos (greičiausiai tai yra svarbiausia priežastis)

Modeliavimo problemų pavyzdžiai: eilių sistemų modeliai, atsitiktinių įvykių modeliai, korinio ryšio automatai, sudėtingų sistemų modeliai ir kt.

1. Eilių sistemų modeliai

SMO schema

CFR tikslas: optimalių sistemos parametrų nustatymas

Pavyzdys: prekybos centre eilė

Paslaugų užklausos gali būti gaunamos su didesniu prioritetu. Pavyzdys: degalinė (greitoji pagalba, policija).

2. Atsitiktinių įvykių modeliai

Atsitiktinis iškviesti įvykį, kuris gali įvykti arba neįvykti dėl testo. Visapusiška atsitiktinio įvykio charakteristika yra jo atsiradimo tikimybė. Pavyzdžiai: per dieną įmonės pagaminamos produkcijos kiekiai; valiutos kotiravimas valiutos keityklose; laiko intervalas iki kito kliento pasirodymo, transporto priemonės techninės priežiūros trukmė.

3. Korinio ryšio automatai

Korinio ryšio automatas- sistema, kuri yra identiškų ląstelių rinkinys. Visos ląstelės sudaro vadinamąją ląstelių automatų gardelę. Kiekviena ląstelė yra baigtinių būsenų mašina, kurios būsenas lemia gretimų ląstelių būsenos ir jos pačios būsenos. Pirmą kartą tokių automatų idėja buvo pastebėta Neumanno darbuose 1940 m.

Pavyzdys:žaidimas „Gyvenimas“. Buvo 1970 m. John Conway.

Nuolatiniai stochastiniai modeliai (K-schemos)

Nepertraukiamo stochastinio modelio ypatumus nagrinėsime naudodami eilių sistemų (QS) pavyzdį kaip standartinius matematinius modelius. Šiuo atveju naudojama sistema įforminama kaip tam tikra paslaugų sistema. Tokiems objektams būdinga atsitiktinis paslaugų reikalavimų (prašymų) atsiradimas ir paslaugos teikimas atsitiktiniu laiku. Tie. Prietaisų veikimo pobūdis yra stochastinis.

Pagrindinės eilių teorijos sąvokos.

Bet kuriame elementariame paslaugų teikimo veiksme galima išskirti du pagrindinius komponentus:

1) Laukiama aptarnavimo

2) Tiesą sakant, paslauga

Kai kurios įrangos priežiūros rūšys:

OA – aptarnavimo įrenginys

K – kanalas

Aptarnavimo įrenginys (i-asis) susideda iš:

Įvykių srautas yra įvykių seka, vykstanti vienas po kito tam tikrais atsitiktiniais laiko momentais.

Įvykių srautas vadinamas vienalytis , jei jis apibūdinamas tik šių įvykių (sukeliančių momentų) atvykimo momentais ir nurodomas laiko seka: ,

Srautas vadinamas nevienalytis , jei jį suteikia sekanti aibė, kur t n yra suveikimo momentas, f n yra įvykio atributų rinkinys (prioriteto buvimas, priklausymas vienam ar kitam taikymo tipui).

Jei laiko intervalas tarp pranešimų yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, tada toks srautas vadinamas srautu su ribotas poveikis.

Įvykių srautas vadinamas įprastas , jei tikimybė, kad per mažą laiko intervalą greta laiko t įvyks daugiau nei vienas įvykis, yra nežymiai maža, palyginti su tikimybe, kad tame pačiame intervale įvyks lygiai vienas įvykis.

Srautas vadinamas stacionarus , jei tikimybė, kad tam tikrame laiko intervale įvyks tam tikras įvykių skaičius, priklauso tik nuo intervalo ilgio ir nepriklauso nuo to, kurioje laiko ašyje ši atkarpa paimta.

Esant įprastam srautui, vidutinis pranešimų, patenkančių į sekciją, esančią greta tam tikro laiko momento t, skaičius bus lygus .

Tada vidutinis pranešimų skaičius per laikotarpį bus: - įprastas srauto intensyvumas .

Už stacionarus srautas – jo intensyvumas nepriklauso nuo laiko ir yra pastovi reikšmė, lygi vidutiniam įvykių, vykstančių per laiko vienetą, skaičiui.

Programų srautas (), t.y. laiko intervalai tarp programų, rodomų kanalo įėjime, momentų (tai yra nekontroliuojamų kintamųjų poaibis)

Paslaugų srautas () – t.y. laiko intervalai tarp aptarnavimo užklausų pradžios ir pabaigos priklauso valdomų užklausų pogrupiui.

Kanalo pateiktos užklausos arba užklausos, dėl kurių įrenginys nebuvo aptarnaujamas, sudaro išvesties srautą. I-ojo įrenginio veikimo procesą galima pavaizduoti kaip jo elementų būsenų keitimo procesą laikui bėgant.

Perėjimas į naują i-ojo įrenginio būseną reiškia užklausų, esančių saugykloje arba kanale, skaičiaus pasikeitimą:

kur - vairavimo būsena , jei = 0, tai diskas tuščias (nėra užklausų), jei užklausų skaičius atitinka atminties talpą, tada diskas pilnas; - kanalo būsena (0 – laisvas arba 1 – užimtas).

Modeliavimo praktikoje elementarios Q grandinės dažniausiai yra derinamos, o jei skirtingų paslaugų įrenginių kanalai yra sujungti lygiagrečiai, tada kelių kanalų paslauga . O jei paeiliui - kelių fazių paslauga . Taigi, norint nurodyti Q schemą, reikia naudoti konjugacijos operatorių R, ​​kuris atspindi struktūros elementų ryšį. Varijuok atviras Ir uždaryta Q schemos.

Atidaryti – išvesties užklausų srautas negali pasiekti jokio elemento, t.y. jokio atsiliepimo

Uždaryta – yra grįžtamasis ryšys.

Pačios Q schemos vidiniai parametrai bus:

• fazių skaičius
• kanalų skaičius kiekvienoje fazėje
• kiekvienos fazės saugojimo įrenginių skaičius
• saugojimo talpa.

Atsižvelgiant į disko talpą, eilių teorijoje vartojama tokia terminija: jei talpa lygi nuliui (t.y. nėra disko, o tik kanalas), tada nuostolinga sistema . Jei talpa linkusi į begalybę, tada laukimo sistema , t.y. paraiškų eilė neribota.

Mišraus tipo sistema.

Norint apibrėžti Q schemą, taip pat būtina aprašyti jos veikimo algoritmą, kuris nustato užklausų elgesio sistemoje įvairiose situacijose taisyklių rinkinį. Į užklausų nevienalytiškumą, atspindintį procesus konkrečioje realioje sistemoje, atsižvelgiama įvedant prioritetines klases.

Visas galimų užklausų veikimo algoritmų rinkinys Q schemoje gali būti pavaizduotas kaip operatorius:

Q = (W, U, R, H, Z, A)

kur W yra įvesties srautų poaibis;

U yra paslaugų srauto poaibis;

R - struktūros elementų konjugacijos operatorius;

H - savųjų parametrų poaibis;

Z yra sistemos būsenų rinkinys;

A – elgesio ir užklausų aptarnavimo algoritmų operatorius;

Norint gauti ryšius, jungiančius charakteristikas, lemiančias Q schemos veikimą, pateikiamos kai kurios prielaidos dėl įvesties srautų, paskirstymo funkcijų, užklausų aptarnavimo trukmės ir aptarnavimo disciplinų.

Įrenginių, kurių veikimo procesas vystosi atsitiktine tvarka, veikimo matematiniam aprašymui, matematiniais modeliais galima apibūdinti vadinamuosius. Markovo atsitiktiniai procesai .

Atsitiktinis procesas vadinamas Markovu, jei jis turi tokią savybę – kiekvienam laiko momentui bet kurios sistemos būsenos tikimybė ateityje (t. y. tam tikru momentu) priklauso tik nuo sistemos būsenos dabartyje ir nepriklauso nuo to, kada ir kaip sistema pasiekė šią būseną. Kitaip Markovo atsitiktiniame procese jo ateities raida priklauso tik nuo dabartinės būsenos ir nepriklauso nuo istorinio proceso.

/* realybėje tokių sistemų, žinoma, nėra. Tačiau yra mechanizmų, kurie leidžia juos redukuoti iki šių procesų.*/

Markovo procesams dažniausiai sudaromos Kolmogorovo lygtys.

Apskritai Kolmogorovo lygtys atrodo taip:

kur yra vektorius, apibrėžiantis tam tikrą sistemai būdingų koeficientų rinkinį

Stacionariems santykiams:

,

kuri leidžia gauti stacionarią priklausomybę

Tada prijunkite išvesties charakteristikas per koeficientų rinkinį, atitinkantį sistemą:

Paskutinis ryšys parodo išvesties parametrų priklausomybę nuo kai kurių vidinių modelio parametrų ir yra vadinamas pagrindinis modelis .

Dėl viso to turime rasti:

Kuris bus vadinamas sąsajos modelis .

Vadinasi, sistemos matematinis modelis yra sudarytas kaip bazinių ir sąsajos modelių rinkinys, leidžiantis tuos pačius bazinius modelius naudoti įvairioms projektavimo užduotims, prisitaikant prie atitinkamos užduoties keičiant tik sąsajos modelį. Q schemoms matematinis modelis turi pateikti atsako laiko apskaičiavimą ir sistemos veikimo nustatymą.

Pavyzdys: tegul yra kokia nors sistema S, kuri turi baigtinį būsenų rinkinį (nagrinėsime 4 būsenas).

Gauname nukreiptą grafiką:

Būsenų aibės tikimybių tankiai.

Raskime tikimybę, t.y. tikimybė, kad momentu t sistema bus būsenoje .

Suteikime t nedidelį prieaugį ir išsiaiškinkime, kad tuo momentu sistema bus būsenoje .

Tai galima įgyvendinti dviem būdais:

Pirmojo metodo tikimybę rasime kaip tikimybės ir sąlyginės tikimybės sandaugą, kad, būdama būsenoje, laikui bėgant sistema iš jos nepereis į būseną. Ši sąlyginė tikimybė iki be galo mažų aukštesnių laipsnių verčių bus lygi:

Panašiai antrojo metodo tikimybė yra lygi tikimybei, kad kitą akimirką t buvo būsenoje, padauginta iš sąlyginės perėjimo į būsenas tikimybės, t.y.:

=>

Pirmajai būsenai išvedėme Kolmogorovo lygtį.

Šios sistemos integravimas suteikia reikiamas sistemos tikimybes kaip laiko funkciją. Pradinės sąlygos paimamos priklausomai nuo to, kokia buvo pradinė sistemos būsena. Pavyzdžiui, jei momentu t = 0 sistema buvo būsenoje, tada pradinė sąlyga bus .

Be to, reikia pridėti normalizavimo būsena (tikimybių suma = 1).

Kolmogorovo lygtis sukonstruota pagal tokią taisyklę: kiekvienos lygties kairėje pusėje yra būsenos tikimybės išvestinė, o dešinėje joje yra tiek terminų, kiek su tam tikra būsena susijusių rodyklių. Jei rodyklė nukreipta iš būsenos, tai atitinkamas narys turi „-“ ženklą, į būseną – „+“. Kiekvienas narys yra lygus tam tikrą rodyklę atitinkančio perėjimo tikimybės tankio (intensyvumo) sandaugai, padaugintai iš būsenos, iš kurios kyla rodyklė, tikimybės.

Laboratorinis darbas Nr.1.

Nustatykite vidutinį santykinį laiką, kurį sistema išlieka ribinėje nejudančioje būsenoje. Perėjimų iš būsenos į būseną intensyvumas nurodomas ≤ 10 dydžio matricos pavidalu.

Pranešimas: pavadinimas, tikslas, teorinė dalis ir skaičiavimai.

Apsvarstykite kelių kanalų eilių sistemą su gedimais.

Sistemos būseną sunumeruosime pagal užimtų kanalų skaičių. Tie. pagal aplikacijų skaičių sistemoje.

Pavadinkime valstybes:

Visi kanalai yra nemokami

Vienas kanalas užimtas, kiti nemokami

K kanalai yra užimti, kiti nemokami

Visi n kanalų užimti

Būsenos grafikas:

Pažymėkime grafiką, t.y. Sudėkime atitinkamų įvykių intensyvumą.

Naudodama rodykles iš kairės į dešinę, sistema perduoda tą patį srautą intensyviai.

Nustatykime įvykių srautų, perkeliančių sistemą iš dešinės į kairę, intensyvumą.

Tegul sistema veikia. Tada, kai baigsis šį kanalą užimančios užklausos aptarnavimas, sistema pereis į => srautas, kuris perkelia sistemą į kitą būseną, turės perėjimo intensyvumą m. Jei užimti 2 kanalai, o ne vienas, tada perėjimo intensyvumas bus 2 m.

Kolmogorovo lygtys:

Apriboti būsenų tikimybes 0 p Ir p n apibūdinti pastovios būsenos eilių sistemos veikimo režimą t® ¥.

Vidutinis į sistemą patenkančių užklausų skaičius per vidutinį vienos užklausos aptarnavimo laiką.

Žinant visas būsenų tikimybes 0 p , … , p n, galite rasti QS charakteristikas:

• nesėkmės tikimybė – tikimybė, kad visi n kanalų yra užimti

• santykinis pralaidumas – tikimybė, kad paraiška bus priimta įteikti

• vidutinis įteiktų prašymų skaičius per laiko vienetą

Gauti ryšiai gali būti laikomi pagrindiniu modeliu vertinant sistemos veikimo charakteristikas. Į šį modelį įtrauktas parametras yra vidutinė vartotojo charakteristika. Parametras m yra kompiuterio techninių charakteristikų ir sprendžiamų užduočių funkcija.

Šį ryšį galima nustatyti naudojant ryšius, vadinamus sąsajos modeliu. Jei informacijos įvedimo/išvedimo laikas kiekvienai užduočiai atlikti yra mažas, palyginti su problemos sprendimo laiku, logiška manyti, kad sprendimo laikas yra lygus 1 / m ir yra lygus vidutinio procesoriaus atliekamų operacijų skaičiaus sprendžiant vieną problemą ir vidutinės procesoriaus spartos santykiui.

„Pasidaryk pats“: įdėtos Markovo grandinės metodas

Reikalavimai ataskaitai: pavadinimas, tikslas, trumpa teorinė informacija (parašykite, ko nežinote), pavyzdys, programos tekstas.

Ne Markovo atsitiktiniai procesai redukuoti į Markovo.

Realūs procesai labai dažnai turi pasekmes ir todėl nėra Markovo. Kartais, tiriant tokius procesus, galima panaudoti Markovo grandinėms sukurtus metodus. Dažniausios yra:

1. Atsitiktinio proceso išskaidymo į fazes metodas (pseudo būsenų metodas)

2. Įdėtos grandinės metodas

Klasikinis tikimybės apibrėžimas

Tikimybinis eksperimento su baigtiniu rezultatų skaičiumi modelis. Tikimybių erdvės apibrėžimas, algebra, įvykiai. Klasikinės tikimybių problemos atsitiktinių tikimybių skaičiavimui. Elementarių rezultatų skaičius, kai pasirenkama su grąžinimu / be jo, sutvarkyti / netvarkomi pasirinkimai. Ryšys su granulių patalpinimo ląstelėse skaičiavimo užduotimi. Klasikinės tikimybinės užduotys, skirtos atsitiktiniams šansams apskaičiuoti (sutapimo problema, laimėjimas loterijoje). Binominis skirstinys. Daugianominis skirstymas. Daugiamatis hipergeometrinis skirstinys.

Sąlyginės tikimybės. Nepriklausomybė. Sąlyginis matematinis lūkestis.

Sąlyginės tikimybės apibrėžimas, savybės. Bendrosios tikimybės formulė. Bayes'o formulė, Bayes'o teorema. Įvykių nepriklausomumo nustatymas. Pavyzdys yra tas, kad iš porinio įvykių nepriklausomumo, paprastai kalbant, jų nepriklausomumas neišplaukia. Bernulli schema.

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai ir jų charakteristikos

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymas. Atsitiktinio dydžio skirstinio funkcijos savybės. Matematinės lūkesčių apibrėžimas, dispersija, kovariacija ir koreliacija, savybės. Geriausia vieno atsitiktinio dydžio reikšmių vidutinė kvadratinė linijinė prognozė iš kito atsitiktinio dydžio verčių.

Ribinės teoremos

Bernulli schema. Čebyševo nelygybė, pasekmės. Bernulio didelių skaičių dėsnis. Ribinės teoremos (lokalinės, Moivre-Laplace, Puasono).

Atsitiktinis pasivaikščiojimas

Sužlugdymo tikimybė ir vidutinė trukmė monetų metimo žaidime. Refleksijos principas. Arkinio įstatymas.

Martingalai

Apibrėžimas. Martingalų pavyzdžiai. Sustojimo momento nustatymas. Waldo tapatybės.

Diskretinės Markovo grandinės. Ergodinė teorema.

Bendras Markovo proceso apibrėžimas. Diskrečios Markovo grandinės apibrėžimas. Kolmogorovo-Chapman lygtis. Vienalytė Markovo grandinė. Markovo grandinės būsenų klasifikacija (neesminės, pasikartojančios, bendraujančios, nulinės, periodinės, ergodinės būsenos), jų savybių „solidarumo“ teorema. Neardoma diskreti Markovo grandinė. Būtina ir pakankama sąlyga, kad pasikartotų vienalytės diskrečios Markovo grandinės būsena. Ergodinės diskrečios Markovo grandinės apibrėžimas. Stacionarus paskirstymas. Ergodinė teorema vienalytės diskrečios Markovo grandinės atveju.

Tikimybinis eksperimento su begaliniu įvykių skaičiumi modelis. Kolmogorovo aksiomatika. Įvairūs atsitiktinių dydžių konvergencijos tipai.

Kolmogorovo aksiomatika. Algebros ir sigmos algebros. Išmatuojamos erdvės (R, B(R)), (Rd, B(Rd)), (R∞, B(R∞)) ir (RT, B(RT)), kur T yra savavališka aibė. Diskrečių matų pavyzdžiai, absoliučiai tęstinių matų pavyzdžiai. Daugiamatis normalusis skirstinys. Kolmogorovo teorema apie matų tąsą (R∞, B(R∞)) (be įrodymo). Atsitiktinio dydžio apibrėžimas ir jo savybės. Pasiskirstymo funkcija ir jos savybės. Lebesgue integralo konstrukcija. Matematinis lūkestis, savybės. Teorema apie monotonišką konvergenciją, Fatou lema, Lebesgue teorema apie dominuojančią konvergenciją (be įrodymų). Vienoda integruojamų atsitiktinių dydžių šeima, pakankama vienodo integravimo sąlyga. Chebyshev, Cauchy-Bunyakovsky, Jensen, Lyapunov, Hölder, Minkowski nelygybė. Radono-Nikodimo teorema (be įrodymo). Sąlyginės matematinės lūkesčių ir sąlyginės tikimybės apibrėžimas, savybės. Įvairūs atsitiktinių dydžių sekų konvergencijos tipai, apibrėžimai, ryšiai tarp skirtingų konvergencijos tipų, kontrapavyzdžiai. Borel-Cantelli Lemma. Būdingos funkcijos apibrėžimas, savybės, pavyzdžiai.

Iki šiol svarstėme modelius su deterministine tinklo topologija. Modeliuojant sudėtingą projektą, tinklo modeliai su stochastine struktūra dažnai yra lankstiausi ir naudingiausi. Stochastinis tinklas apibrėžiamas kaip tinklas, kuriame yra alternatyvių mazgų (būsenų), kurių lankai (darbai) apibūdinami ne tik tikimybiniu trukmės pasiskirstymu, bet ir jų įvykdymo tikimybe.

Stochastinis tinklo modelis su daugybe galimų rezultatų, kaip tolimesnė tradicinių tinklų plėtra, leidžia visapusiškiau atspindėti kompleksinio projekto kūrimo ir kūrimo procesą. Stochastinio tinklo modeliams analizuoti naudojamas matematinis aparatas leidžia apskaičiuoti įvairių alternatyvių rezultatų tikimybes ir įvertinti galimo jų įgyvendinimo laiką.

Stochastinis tinklo modelis yra baigtinis grafikas G=(W,A), kur W yra deterministinių ir alternatyvių viršūnių, identifikuotų su įvykiais, rinkinys, o technologinė matrica A=(p ij ) nurodo orientuotų lankų rinkinį, identifikuojamą su užduotimis ( arba jungtys). Stochastiniams tinklams 0 £ p ij £ 1, o p ij =1 nustato darbą (i, j), panašų į tradiciniuose tinkluose priimtus apibrėžimus, ir

0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.

Tegu j(t ij) yra darbo atlikimo laiko pasiskirstymo tankis (i,j). M[x] – atsitiktinio dydžio x matematinis lūkestis.

Atsitiktinio dydžio t ij momentų sąlyginė generavimo funkcija įvedama kaip М ij (s)=М [е st ij ], t.y.

M ij (s) = ò e st ij j(t ij) dt ij (ištisiniam atsitiktiniam dydžiui),

е st ij j(t ij) (diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui).

Visų pirma, M ij (s) = M[e sа ] = е sа, kai t ij =a = const, M ij (0) = 1.

Kiekvienam lankui (i, j) Y funkcija apibrėžiama kaip

Y ij (s) = p ij М ij (s).

Pradinis tinklas transformuojamas į lygiavertį naudojant tris pagrindines transformacijas:

· nuoseklūs lankai,

· lygiagrečiai lankai,

Iš eilės lankams (7 pav.)

Y ik (s) = Y ij (s)Y jk (s).

Lygiagretiesiems lankams (8 pav.)

Y ij (s) = Y a (s) +Y b (s).

Formos kilpoms (9 pav.)

Y ij (s) = Y b (s)/.

Sujungus pagrindines transformacijas, bet kurį tinklą galima paversti lygiaverčiu tinklu, susidedančiu iš vieno lanko (E-arc).

Stochastinio tinklo laiko analizės tikslas – apskaičiuoti tinklo (ar bet kurio jo fragmento) vykdymo laiko lūkesčius ir dispersiją bei tinklo veikimo pabaigos (ar bet kokio kito įvykio) tikimybę.

Čia naudojama uždaro srauto grafikų teorija, kur aukščiau pateikta Y funkcija interpretuojama kaip atitinkamas lanko pralaidumo koeficientas. Šios teorijos rezultatams pritaikyti atviram tinklui su norimu parametru Y E (s), įvedamas papildomas lankas su parametru Y A (s), jungiantis galutinį įvykį (sink) su pradiniu (šaltinis).

Tada naudojama uždarų grafikų topologinė lygtis, žinoma kaip Meisono taisykle:

1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)

čia åT(L m) yra visų galimų m eilės kilpų ekvivalentinių pralaidumo koeficientų suma.

M-osios eilės kilpos ekvivalentinis pralaidumas yra lygus pralaidumo koeficientų m sandaugai nesusiję pirmos eilės kilpos, t.y.

T(L m)=Õ m k=1 T k .

Iš Masono taisyklės tiesiogiai išplaukia, kad 1–Y A (s) Y E (s) = 0 arba Y A (s) = 1 / Y E (s). Naudojant šį rezultatą, topologinėje lygtyje (10) Y A (s) pakeičiama 1/Y E (s) ir tada išsprendžiama Y E (s), taip gaunama lygiavertė Y funkcija pradiniam stochastiniam tinklui.

Kadangi Y E (s) = p E M E (s) ir M E (0) = 1, tada p E = Y E (0), o tai reiškia, kad

M E (s) = Y E (s)/p E = Y E (s) / Y E (0). (11)

Gavus M E (s) analitinę išraišką, apskaičiuokite funkcijos M E (s) pirmąją ir antrąją dalines išvestines taške s=0, t.y.

m 1E = ¶/¶s [M E (s)] s = 0 (12)

m 2E = ¶ 2 / ¶ s 2 [M E (s)] s = 0 (13)

Pirmasis momentas m 1E šaltinio atžvilgiu yra matematinis tinklo vykdymo laiko lūkestis (paverstas jo ekvivalentu E lanku), o tinklo vykdymo laiko sklaida yra lygi skirtumui tarp antrojo momento m 2E ir kvadrato. pirmųjų, t.y.

s 2 = m 2E – (m 1E) 2. (14)

Taigi aukščiau aprašytas aparatas leidžia apskaičiuoti bet kokių vartotoją dominančių įvykių laiko parametrus stochastiniame tinkle, taip pat nustatyti jų atsiradimo tikimybę.

Naudodamiesi gauta informacija, galite naudoti Čebyševo nelygybę, kad įvertintumėte bet kokių projekto užbaigimo laiko pasikliautinųjų intervalų tikimybę pagal savavališkus atskirų operacijų atlikimo laiko paskirstymo įstatymus. Jei kiekvienos operacijos vykdymo laikas yra normaliai paskirstytas, tada gautas laikas taip pat yra normaliai paskirstytas. Tokiu atveju galima gauti tikimybinius projekto užbaigimo laiko įverčius naudojant Moivre-Laplace integralų teoremą. Be to, jei tinkle yra pakankamai daug užduočių ir tenkinamos tam tikros sąlygos (ypač darbų nepriklausomybė), galite naudoti Lyapunov ribinę teoremą ir gautą projekto užbaigimo laiką laikyti normaliai paskirstytu atsitiktiniu dydžiu. charakteristikos, apskaičiuotos aukščiau aprašytu metodu.

Taigi, stochastinio tinklo modelis apima visus atsitiktinius nuokrypius ir neapibrėžtumą, kurie atsiranda tiesiogiai atliekant kiekvieną atskirą darbą.

3.4. Bendrosios projektų valdymo darbo planavimo problemos formulavimo įforminimas ir universalaus tinklo modelio aprašymas bei jo pagrindu išspręstos laiko analizės problemos

Atlikus minėtų modelių analizę ir sintezę, buvo pasiūlytas universalus matematinis modelis, kurio ypatingais atvejais yra klasikiniai, apibendrinti ir stochastiniai tinklo modeliai.

Šis modelis (vadinamas ciklinis stochastinis tinklo modelis – TSSM) yra lankstesnė ir tinkamesnė priemonė sudėtingo projekto kūrimo valdymo procesui apibūdinti.

CSSM yra baigtinis, orientuotas, ciklinis grafikas G(W,A), susidedantis iš įvykių W aibės ir lankų (i,j)(įvykiai i, jОW), apibrėžtų gretumo matrica A=(p ij ). 0Ј p ij Ј1 ir p ij =1 apibrėžia deterministinį lanką (i,j) ir 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.

Pažymėkime T i i-ojo įvykio pabaigos laiką, tada ryšį tarp įvykių, sujungtų lanku (i, j), laiko duoda nelygybė:

T j – T i i y ij , (15)

kur y ij bendruoju atveju yra atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal tam tikrą dėsnį intervale nuo – Ґ iki 0 arba nuo 0 iki +Ґ.

Be to, i įvykio metu galimi absoliutūs apribojimai:

l i Ј T i ЈL i . (16)

Santykiai (15)-(16) yra atitinkamų nelygybių apibendrinimas aprašant apibendrintus tinklo modelius, kur parametras y ij ir gretimų matrica A yra deterministinio pobūdžio.

Panagrinėkime santykio (15) semantinę apkrovą su parametro y ij tikimybe.

Jei (i,j) yra lankinis darbas (arba jo dalis), tada teigiamai paskirstytas atsitiktinis kintamasis y ij nurodo minimalios šio darbo trukmės pasiskirstymą (susijusią su maksimaliu jį apibrėžiančio resurso prisotinimu). Darbe matyti, kad dydžio y ij pasiskirstymas yra unimodalinis ir asimetrinis, o šiuos reikalavimus tenkina beta skirstinys, taigi minimalus veikimo laikas yra atsitiktinis dydis y ij =t min (i,j), paskirstytas pagal beta pasiskirstymo dėsnį atkarpoje [a, b] su tankiu

j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)

kur C nustatoma iš sąlygos

Jei (15) atsitiktinis kintamasis y ij, atitinkantis lanko darbą (i,j), yra paskirstytas intervale nuo – Ґ iki 0, tai –y ij =t max (j,i) nurodo maksimalaus laiko intervalo, per kurį darbas (i,j) turi būti pradėtas ir baigtas net ir minimaliai prisotinus jį apibrėžiantį išteklius, ilgis. Šiam kiekiui mes gavome panašios formos skirstinį (17). Žinant kiekvieno darbo (i, j) atsitiktinio dydžio y ij pasiskirstymą, atitinkamomis formulėmis apskaičiuojama jo matematinė prognozė ir dispersija.

Neigiamai paskirstytų verčių y ij lanko darbams (i, j) įvedimas į (15) žymiai išplečia darbo laiko charakteristikų apibūdinimo galimybes, todėl plačiai naudojamas tikimybinis modelis tampa tik vienu iš ypatingų atvejų.

Lankiniams ryšiams (i,j) reikšmė y ij nurodo laiko priklausomybės pasiskirstymą tarp įvykių i ir j, o teigiamai paskirstyta reikšmė y ij nustato „ne anksčiau“ tipo ryšį (įvykis j gali įvykti ne anksčiau nei y ij dienų po įvykio įvykio i), o neigiamai paskirstyta reikšmė y ij lemia „ne vėliau“ tipo ryšį (i įvykis gali įvykti ne vėliau kaip –y ij dienos po įvykio j). Pastaruoju atveju tokie ryšiai vadinami „atvirkštiniais“.

Taigi, čia mes gavome šių ryšių apibendrinimą, atsižvelgiant į jų galimą tikimybę.

Kadangi įvykių laiką T i lemia technologiškai prieš juos einančių darbų trukmių suma, tai esant pakankamai dideliam tokių darbų skaičiui, pagal centrinės ribos teoremą atsitiktinio dydžio T i pasiskirstymas. linkęs normaliai su parametrais – matematine lūkesčiu MT i ir dispersija DT i . Parametras y ij, atitinkantis „atvirkštinius“ lankus, taip pat turi normalųjį skirstinį, tai patvirtina ir statistinė analizė.

Absoliutūs įvykių laiko apribojimai, nurodyti (16), atspindi atitinkamą politiką, organizacinius ir technologinius darbų ar jų dalių laiko apribojimus, nurodytus „absoliučioje“ (realiojoje arba sąlyginėje) laiko skalėje. Absoliutiniams apribojimams taip pat būdingas tipas „ne anksčiau“ arba „ne vėliau“ ir jie yra tokie: T i – T 0 i l i, T 0 – T i i –L i. Taigi absoliutūs formos (16) apribojimai yra specialus formos (15) apribojimų tam tikroms lankinėms jungtims atvejis.

Stochastinės gretumo matricos A įvedimas kartu su apibendrintais ryšiais suteikia papildomų galimybių aprašyti sudėtingo projekto kūrimo procesą.

Tegu L(i,j) yra kelias, jungiantis įvykius i ir j:

L(i,j)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j). (18)

Tai deterministinis kelias, jei visiems kО pi k-1 i k =1 yra teisinga, ir stochastinis, kitaip. Taigi stochastiniame kelyje yra bent vienas lankas, kurio „įvykdymo“ tikimybė yra griežtai mažesnė už 1.

Apibrėžiama panašiai deterministinė ir stochastinė grandinėК(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (tokie įvykiai vadinami „kontūru“).

Jei įvykiai i ir j yra sujungti keliu L(i,j), tai įvykio j pasireiškimo tikimybė su sąlyga, kad įvykis i įvyko P(j/i) yra gretumo matricos A koeficientų sandauga, atitinkanti jungiamojo kelio lankai:

Р(j/i)=Х v k=1 p i k-1 i k . (19)

Jei įvykiai i ir j yra sujungti keliais keliais, tada pagal darbe pateiktas formules atliekama atitinkamo tinklo fragmento ekvivalentinė GERT transformacija, apskaičiuojama transformuoto fragmento generavimo funkcija Y ij (s) ir įvykio j tikimybė, su sąlyga, kad įvykis i įvyko P (j/i)= Y ij (0).

Pirmoji funkcijos Y ij (s)/ Y ij (0) išvestinė s atžvilgiu taške s=0 (pirmas momentas m 1 (j/i)) nustato matematinį laiko lūkestį M(j/i). įvykio j atsiradimo, palyginti su įvykio i atsiradimo laiku. Funkcijos Y ij (s)/ Y ij (0) antroji išvestinė s atžvilgiu taške s=0 (antrasis momentas m 2 (j/i)) leidžia apskaičiuoti įvykio pasireiškimo laiko sklaidą. j, palyginti su įvykio i atsiradimo laiku, naudojant formulę

s 2 (j/i) =m 2 (j/i) – (m 1 (j/i)) 2. (20)

Kelio ilgis L(i,j) yra atsitiktinis dydis, kurio matematinė prognozė ML(i,j) yra visų lankų, sudarančių šį kelią, ilgių matematinių lūkesčių ir dispersijos DL suma. (i,j) yra lygus dispersijų sumai.

Esant tokioms sąlygoms, kelio (grandinės) ilgis gali užtrukti neigiamas vertės, kuri aiškinama taip:

jei L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться ne vėliau kaip nei –y ji dienų po įvykio i. Parametras y ji yra tikimybinio pobūdžio, o tai leidžia lanksčiau (ciklinių tinklo modelių atžvilgiu) apibūdinti loginius-laikinius ryšius tarp įvykių.

Arkos y ij parametru taip pat galime laikyti bet kurį charakteringą parametrą, kuris yra adityvumas išilgai bet kurio kelio lankų (pavyzdžiui, darbo kaina), ir naudojant ekvivalentinę GERT transformaciją gauname matematinį lūkestį ir dispersiją. tinklo fragmento arba viso projekto kaina.

CSSM laiko analizės problemos (ir jų sprendimo algoritmai) o taip pat klasikinių, apibendrintų ar stochastinių tinklų modelių laiko analizė yra pagrindas sprendžiant visas planavimo ir projektų valdymo problemas. Jie turi savarankišką reikšmę sprendžiant projektų valdymo problemas, neatsižvelgiant į išteklių apribojimus.

Laikinosios analizės užduotys taip pat būtinos norint sugeneruoti įvairius plano variantus tam tikroms išteklių prieinamumo vektoriaus reikšmėms, kad vėliau būtų galima jas palyginti, įvertinti plano variantų kokybę ir pasirinkti tolesnio jo tobulinimo kryptį.

Sprendžiant optimalaus darbo planavimo projektų valdyme problemas, CSSM laiko analizės algoritmai naudojami kaip būtinų parametrų, naudojamų atitinkamuose optimizavimo algoritmuose, skaičiavimo įrankis, siekiant užtikrinti technologinių suvaržymų laikymąsi.

CSSM laiko analizės užduotis sumažinama iki atsitiktinio vektoriaus T=(T 0 ,T 1 ,…,T n) suradimo, kur T i yra i-ojo įvykio, kurio koordinatės tenkina, atsiradimo laikas. nelygybes (15), (16) ir pasukti į ekstremumą kokią nors tikslinę funkciją f(T).

Paryškinta trijų klasių laiko analizės uždaviniai:

· klasika, kuriame apskaičiuoti (Ti) naudojami visų lankų trukmės matematiniai lūkesčiai;

· tikimybinis kurioje, remiantis Liapunovo ribine teorema ar kitomis analitinėmis priemonėmis, apskaičiuojami matematiniai i-tųjų įvykių laiko lūkesčiai - (MT i), kurie yra tikslinės funkcijos f(T) argumentai;

· statistiniai, kuriame tam tikram pasitikėjimo lygiui p, naudojant darbe aprašytą metodą, tiek i-ųjų įvykių laiko - (W p (T i)), tiek jų išvestinių empirinių skirstinių p-kvantiliniai įverčiai, įskaitant tikslo funkcijos reikšmes f(W p (T)), kur W p (T)=(W p (T 0),W p (T 1),…,W p (T n)).

Įvedama CSSM nuoseklumo sąvoka.

Ciklinio stochastinio tinklo modelis vadinamas nuoseklus, jeigu yra bent vienas įgyvendinamas planas, apskaičiuotas atitinkamai laiko analizės uždavinių klasei (klasikinei, tikimybinei ar statistinei), tenkinantis nelygybių sistemą (15), (16).

Pažvelkime į šias tris sąvokas.

Klasikinis modelio nuoseklumas.

Apskaičiuojami visų lankų trukmių matematiniai lūkesčiai, po kurių susidaro pastovių lanko ilgių tinklas. Atsižvelgiant į nagrinėjamo modelio stochastinį pobūdį ir apibendrintų jungčių buvimą, CSSM, atlikus aukščiau pateiktus skaičiavimus, gali susidaryti stochastiniai ir deterministiniai kontūrai. Įrodyta tokia teorema:

1 teorema . Kad ciklinis stochastinis modelis, kuriame lankų trukmės skaičiuojamos pagal klasikinę schemą, atitiktų nurodytą tikimybę a, būtina ir pakanka, kad visų deterministinių kontūrų ilgiai nebūtų teigiami.

Tikimybinio modelio nuoseklumas.

Analitiškai apskaičiuojami įvykių laiko matematinės lūkesčiai MT i ir dispersija s 2 T i. Taip apskaičiuoti parametrai reikšme skiriasi 15-20% nuo skaičiuojamų klasikiniu būdu (pagal matematinius lankų trukmės lūkesčius).

Pakalbėkime apie vidutinis tikimybinis modelio nuoseklumas, jei tokiu būdu gauta aibė tenkina nelygybes (15)-(16), kur y ij reikšme imamas jos matematinis lūkestis. Įrodytas šios teoremos pagrįstumas:

2 teorema . Kad ciklinis stochastinis modelis būtų vidutiniškai tikimybiškai nuoseklus, būtina ir pakanka, kad visų deterministinių kontūrų ilgių matematiniai lūkesčiai nebūtų teigiami.

Darant prielaidą, kad T i yra normalusis skirstinys su šiais parametrais: matematinė lūkestis – MT i ir dispersija – s 2 T i, pristatome platesnę e. modelio tikimybinis nuoseklumas.

Sakysime, kad CSSM yra e-tikimybiškai nuoseklus, jei egzistuoja e > 0, kad visiems T i, tenkinantiems nelygybę

|T i –MT i |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:

3 teorema . Tam, kad ciklinis alternatyvus modelis būtų e-tikimybiškai nuoseklus, būtina ir pakanka, kad visų deterministinių kontūrų ilgių matematiniai lūkesčiai tenkintų santykį ML(K(i)) Ј –4e.

Tikimybinis modelio nuoseklumas vidutiniškai yra ypatingas e-tikimybinės nuoseklumo atvejis, kai e=0.

Statistinis modelio nuoseklumas.

Taikant statistinį tinklo modelio parametrų skaičiavimo metodą, nagrinėjame jų p-kvantilinius reikšmių įverčius, kurie yra tikimybių teoriniai atitinkamų rodiklių analogai. Sakoma, kad ciklinis stochastinis modelis statistiškai atitinka tikimybę p, jei kiekvienam įvykiui i yra įvykių W p (T i) laiko p kvantiliniai įverčiai, tenkinantys nelygybes:

W p (T j) – W p (T i)i W p (y ij), (21)

l i ЈW p (Т i)ЈL i . (22)

Čia ryšiai (21)-(22) yra tikimybiniai (15)-(16) analogai, W p (y ij) yra lanko ilgio (i,j) p-kvantilis. Įrodyta:

4 teorema . Kad ciklinis alternatyvus modelis statistiškai atitiktų tikimybę p, būtina ir pakanka, kad visų deterministinių kontūrų ilgių p kvantiliniai įverčiai patenkintų santykį W p (L(K(i))) Ј 0.

CSSM laiko parametrų skaičiavimo algoritmai.

Ankstyvieji ir vėlyvieji planai.

Ankstyvajai ir vėlyvajai įvykių datai apskaičiuoti siūlomas modifikuotas „Švytuoklės“ algoritmas. Modifikacijos idėja yra susintetinti statistinį tikimybiniams tinklams naudojamų parametrų skaičiavimo metodą ir apibendrintuose tinkluose naudojamą „Švytuoklės“ algoritmą, o tada pritaikyti jį CSSM.

10 pav. Skaičiavimo algoritmo schematinė blokinė schema

p-kvantilio įverčiai ankstyvos datosįvykių įvykdymas

1 blokas. Pradinių duomenų įvedimas (matricos A koeficientai, pasiskirstymo parametrai y ij, pasikliovimo lygis p).

2 blokas. Reikiamo „lygiųjų“ skaičiaus N apskaičiavimas, kad būtų užtikrintas nurodytas rezultatų tikslumas. Atlikti skaičiavimai parodė, kad esant p=0,95, e=0,05 gauname N»270.

3 blokas. v:=v+1 (v yra „piešimo“ skaičius).

4 blokas. Atsitiktinių dydžių y ij v-ojo varianto brėžinys, kiekvienas pagal savo pasiskirstymo dėsnį, gaunant konstantas y ij (v) - lanko ilgis (i, j) v-ajame brėžinyje.

5 blokas. Kiekvienos alternatyvios perėjimo į gretimą viršūnę j viršūnės i brėžinys (nubraižytas diskretusis atsitiktinis kintamasis p ij, vaizduojamas gretimų matricos A i-ąja eilute, 0< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе lema 1, tas pats stochastinis kontūras tam tikram pasikliovimo lygiui p gali būti suformuotas ne daugiau kaip k kartų, kur k apskaičiuojamas naudojant atitinkamą formulę. Kontūro k karto ilgį pridedame prie lanko ilgio, kurį „žaidėme“ (k+1) žingsnyje ir pereiname prie kito stochastinio kontūro (jei toks yra) analizės. Tokiu atveju tinkle gali kilti prieštaravimų (teigiamos deterministinės grandinės), tada pagal darbe pateiktas formules pridedame grandinės ilgį d kartų, taip įvertinant įvykio „išėjimo“ pabaigos laiką. nuo grandinės vidutiniškai.

6 blokas. Gautą deterministinį apibendrintą tinklą G (v) padaliname į du tinklus G 1 (v) ir G 2 (v), kad nei G 1 (v), nei G 2 (v) nebūtų kontūrų. Tinklo G 1 (v) viršūnes išdėstome rangais ir pagal jas nustatome „teisingą“ numeraciją. Šią numeraciją perkeliame į tinklą G 2 (v) ir į pradinį G (v).

7 blokas. Visoms G 1 (v) tinklo viršūnėms i apskaičiuojame ankstyvuosius terminus

Т i 0(v) :=maks. j (Т i 0(v) , Т j 0(v) + y ij (v) ).

8 blokas. Tinklo G 2 (v) viršūnėms atliekame procedūras, panašias į 7 bloką.

9 blokas. Jei 7 ir 8 blokų rezultatai nesutampa bent vienam rodikliui, tada grįžtame į 7 bloką (tokių grąžų nėra daugiau nei galinių lankų skaičius G 2 (v)), kitu atveju į 10 bloką.

10 blokas. Jei piešimo numeris yra vЈN, eikite į 4 bloką, kitu atveju į 11 bloką.

11 blokas. Iš gautos aibės (T i 0(v)) kiekvienai viršūnei i sudarome variacijų eilutę. Fiksuojame Т i 0(x) reikšmę taip, kad N x /N=р, kur N x yra variacijų eilutės narių skaičius, mažesnis už Т i 0(x) . Reikšmė T i 0(x) yra norimas i-ojo įvykio ankstyvojo periodo p-kvantilis – W p (T i 0). Panašiai, naudojant variacijų eilutes (y ij (v) ), sudarome p-kvantilių lanko ilgių įverčius – W p (y ij).

6 bloko įvestis gauna V-ąją apibendrinto tinklo modelio G (v) versiją, o iš tikrųjų 6–9 blokai vaizduoja padidintą „Švytuoklės“ algoritmo blokinę diagramą, skirtą apskaičiuoti ankstyvąsias įvykių datas. OSM. Apskaičiuojant taikant atitinkamą algoritmą vėlyvos datosįvykius 7 ir 8 blokuose, gauname T i 1(v) – v-osios apibendrinto tinklo modelio versijos įvykių vėlyvas laikas, o 11 bloke pateikiami W p (T i 1) – p-kvantilio įverčiai. vėlyvos datos renginių užbaigimas.

Minimalios trukmės planai.

Bet kurio leistino plano T (v) = (T i (v) ) v-ojo tinklo G (v) varianto trukmė L(T (v)) nustatoma pagal formulę:

L(T (v))=max ij |T i (v) – T j (v) |. (23)

Pakeitimas blokinėje schemoje pav. 10 blokų 6 – 9 vienam blokui, norint rasti funkcijos minimumą (23), gauname tinklo G minimalios trukmės planą (v) (arba „suspaustą“ planą). Didumas

L(T* (v))=min max ij |T i (v) – T j (v) | (24)

yra tinklo G(v) kritinis laikas.

Naudodami suspausto OSM plano radimo metodą 6-9 blokuose ir gautus planus perduodame per 11 bloką, gauname suglaudintų planų tikimybinius p kvantilinius įverčius.

Darbo laiko rezervai (i,j) atitinka jų p-kvantilio analogus, apskaičiuotus pagal formules:

R p p (i,j) = W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) pilnas rezervas, (25)

R su p (i,j) = W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) laisvas rezervas. (26)

Naudojant atitinkamas formules, apskaičiuojami p-kvantiliai įtempimo koeficientai veikia W p (k n (i,j)), tada p-kvantilis kritinė zona, p-kvantilis rezervinė zona ir p-kvantilis tarpinė zona.

Lanko parametru laikėme operacijos (darbo) vykdymo laiką. Taip pat galime apsvarstyti bet kokį būdingą parametrą, kuris turi adityvumą bet kurio kelio lankuose. Tai gali būti darbų kaina, reikalingų sukauptų išteklių kiekis ir kt.

Pažymėtina, kad iki šiol platų praktinį pritaikymą rado tik deterministinio tinklo modeliavimo metodai, kai kurie euristiniai optimalaus išteklių paskirstymo metodai ir parametriniai kaštų įvertinimo metodai (daugiausia oro ir kosminių skrydžių srityje). Nors teoriškai buvo rastas (aprašytas) tikslus išlaidų planavimo problemų sprendimas, pagrįstas klasikiniais tinklo modeliais, praktinis jo panaudojimas yra susijęs su sunkumu gauti faktinius duomenis apie laiko ir sąnaudų ryšius.

Kiekvienas iš aukščiau aptartų modelių turi savo dalykinę sritį, savaip (daugiau ar mažiau) įgyvendina pagrindines projektų valdymo funkcijas ir tik analizuojamų modelių ir metodų sintezė leidžia sukurti modelį, kuris tinkamai atspindi sudėtingo projekto įgyvendinimo procesą neapibrėžtumo sąlygomis ir tuo pačiu gauti priimtiną sprendžiant suformuluotą problemą.

4 tema. IŠTEKLIŲ VARTOJIMO OPTIMIZAVIMAS, PAGRĮSTAS TINKLO MODELIAIS

Bendrosios sąvokos.

Aukščiau buvo svarstomi tinklo modeliai, neatsižvelgiant į ribotus išteklius, t.y. nebuvo iškelta geriausio išteklių paskirstymo problema. Nagrinėjamuose tinklo modelių panaudojimo metoduose didžiausias dėmesys buvo skiriamas individualaus darbo laiko nustatymui ir svarbiausių (kritinių ir subkritinių) darbų grandinių, kurių pagrindu būtų galima laiku užbaigti projektą (įrengti objektą). operacija) priklauso. Taigi būdingas šių metodų bruožas yra informacijos klasifikavimas pagal jos svarbą, siekiant laiku atlikti visą darbų kompleksą.

Kiekybinis informacijos svarbos matas yra darbo laiko rezervai arba įtempimo koeficientai

K ij =1 – R p ij /(T n 0 –T cr (i,j)), (25)

kur R p ij – visas darbo rezervas (i,j), T n 0 – kritinis projekto laikas, T cr (i,j) – maksimalaus kelio atkarpos, kurioje yra darbas (i,j), trukmė. sutampa su kritiniu keliu. 0 £ K ij £ 1, o kuo arčiau K ij yra 1, tuo santykinai mažiau yra atsargų darbui (i, j), todėl tuo didesnė rizika, kad jis nebus atliktas per nurodytą laiką. Pavyzdžiui, darbui (2,5) (5 pav.) T cr (2,5) = 5, R p 25 = 3, iš kurio K 25 = 1 –3/(22 – 5) = 0,82, o darbui ( 5,8) T cr (5,8)=0, R p 58 =12, iš kur K 58 =1 –12/(22 – 0)=0,45. Darbų bendrosios atsargos gali būti vienodos, tačiau jų atlikimo laiko įtampos laipsnis gali būti skirtingas. Ir atvirkščiai, skirtingi pilni rezervai gali atitikti tuos pačius intensyvumo koeficientus. Turėdamas tokiu būdu įslaptintą informaciją, projekto vadovas gali bet kuriuo metu nustatyti, kur sutelkti dėmesį (ir išteklius), kad pašalintų bet kokius galimus nukrypimus nuo numatytos visų darbų pabaigos datos.

Prieš apibūdindami tolesnius tinklo planavimo ir valdymo metodų tobulinimo būdus, pakalbėkime išsamiau apie kai kuriuos pagrindinius aukščiau aptartų metodų trūkumus.

Pateikdami laikiną bet kokio darbo trukmės įvertinimą, šiam darbui atlikti darėme prielaidą, kad tam darbui atlikti naudojami tam tikri ištekliai su tam tikru intensyvumu (resursų sunaudojimo intensyvumas – tai išteklių kiekis, sunaudotas per laiko vienetą).

Skiriant laiko sąmatą, nėra žinoma, kada šie darbai turės būti atlikti, ar kokios kitos projekto veiklos, eikančios tos pačios rūšies išteklius, tuo pačiu metu bus vykdomos. Be to, paprastai skirtingiems projektams vienu metu gali prireikti tų pačių išteklių. Todėl gali būti, kad bendra tam tikro išteklių paklausa tam tikru momentu gali viršyti turimą jo lygį. Tokiais atvejais reikės arba sumažinti resursų vartojimo intensyvumą atskiruose darbuose, arba atidėti kai kurių darbų atlikimą vėlesniam laikui, dažnai viršijant visus šių darbų rezervus. Vykdant projektą tai lemia dažnus pradinio plano koregavimus, kitaip tariant, plano nestabilumą.

Akivaizdu, kad jei planuojant projekto vykdymo procesą iš anksto atsižvelgiama į išteklių apribojimus, galima gauti daug patikimesnį planą.

Turimi išteklių lygis ir galimos projekto pabaigos datos yra tarpusavyje susijusios. Viso projekto užbaigimo laikas priklausys nuo to, kada ir kiek išteklių bus skirta kiekvienai veiklai, ir tai daugiausia lemia numatomas jų prieinamumas bet kuriuo metu.

Taigi iškyla išteklių paskirstymo tinklo aplinkoje problema.

Paprastai tariant, bet koks gamybos planavimo procesas yra ne kas kita, kaip efektyvaus išteklių naudojimo problemos sprendimas.

Naudingumo kriterijai gali būti skirtingi, svarstydami konkrečias užduotis, aptarsime šį svarbų planavimo momentą (kriterijaus parinkimas ir pagrindimas).

Leiskite mums pristatyti keletą sąvokų ir apibrėžimų.

· Darbo programaĮvardinkime tam tikrą operacijų (darbų) rinkinį, kurį reikia atlikti norint pasiekti vieną ar kelis tikslus, o programos darbų įgyvendinimas pavaldus vienam vadovavimo centrui. Galime kalbėti apie paleidimo komplekso darbo programą, aikštelės darbo programą, statybos organizaciją, projektavimo institutą ir kt.

· Darbo programa viena tema vadinsime programą, susidedančią iš vieno technologiškai tarpusavyje susijusių darbų rinkinio, skirto vienam (vienos paskirties tema) arba keletui tikslų (daugiafunkcinė tema) siekti.

· Kelių temų darbo programa vadinsime programą, susidedančią iš kelių darbų kompleksų, technologiškai tarpusavyje susijusių kiekviename komplekse. Kiekvienas darbų rinkinys gali turėti vieną ar daugiau galutinių tikslų. Skirtingiems kompleksams priklausantys kūriniai technologiškai tarpusavyje nesusiję. Temų priklausomybę vienai kelių temų programai lemia valdymo centro vienybė ir resursų rezervuaro bendrumas.

Pirmiausia panagrinėkime įvairias išteklių paskirstymo problemų formuluotes vienos temos, vienos paskirties programa.

Remiantis dviem galimais tikslais valdant projektą, aprašytą tinklo modeliu, galimi du pagrindiniai užduočių nustatymo tipai. Pirmasis tipas yra orientuotas į griežtą išteklių apribojimų laikymąsi, o antrasis - griežtai laikomasi projekto užbaigimo terminų.

Pirmojo tipo problemos teiginio formulavimas („kalibravimas“).

Atsižvelgdami į pateiktus išteklių vartojimo apribojimus, raskite tokį jų paskirstymą, atsižvelgdami į technologinę darbų seką, nulemtą tinklo diagramos topologijos, kuri užtikrina visos programos įvykdymą per minimalų laiką.

Antrojo tipo problemos teiginio formulavimas („išlyginimas“).

Išlaikant nurodytą programos vykdymo trukmę, būtina paskirstyti išteklius tarp atskirų darbų, kad jų suvartojimas būtų optimalus. Mes konkrečiai apsvarstysime šios formuluotės optimalumo kriterijaus pasirinkimo klausimą.

Dėl skirtingų išteklių poreikio tenkinimo mechanizmų jie dažniausiai skirstomi į dvi grupes: kaupiamuosius (saugomus) ir nekaupiamuosius (nesaugomus). Antroji išteklių grupė dažnai vadinama „pajėgumo tipo ištekliais“.

Pirmoji grupė apima išteklius, kurie pagal savo pobūdį leidžia kaupti su galimybe juos vėliau panaudoti, pavyzdžiui, pinigai, įvairios medžiagos ir konstrukcijos ir kt. Šiuo atveju išteklių apribojimai gali būti nurodyti integralia nemažėjančia funkcija, kiekvienu laiko momentu parodant bendrą resursų kiekį per visą ankstesnį laikotarpį.

Antroji grupė apima išteklius, kurių sukaupti vėlesniam naudojimui neįmanoma. Pavyzdžiui, darbo ir kompiuterio laiko ištekliai. Darbuotojų ir technikos prastovos yra nepataisomas nuostolis. Išteklių apribojimus šiai grupei nustato išteklių prieinamumo funkcija kiekvienu laiko momentu.

Stochastinis modelis yra finansinio modeliavimo metodas, kai vienas ar keli modelio kintamieji yra stochastinio pobūdžio, tai yra, jie vaizduoja atsitiktinį procesą. Vadinasi, lygties sprendimas taip pat yra stochastiniai procesai. Stochastinė lygtis pagrįsta Brauno judėjimu.

Jis plačiai naudojamas prognozuoti, kaip akcijų rinkos, obligacijos ir vertybiniai popieriai veiks ateityje. Statistinis modeliavimas yra priemonė įvertinti rezultatų tikimybę ir numatyti sąlygas įvairiose situacijose. Naudojami atsitiktiniai dydžiai paprastai apsiriboja istoriniais duomenimis, tokiais kaip naujausia rinkos grąža. Pavyzdžiui, naudojant modelį portfelio vertinime, atliekami keli portfelio vaizdavimo modeliai, remiantis atskirų akcijų grąžos tikimybių skirstiniais. Statistinė rezultatų analizė gali padėti nustatyti tikimybę, kad portfelis duos norimus rezultatus. Pagrindinis statistinio tyrimo tikslas – iš imties savybių išsiaiškinti populiacijos savybes. Pavyzdžiui, sudaryti prognozę reiškia sužinoti būsimų populiacijos stebėjimų tikimybių pasiskirstymą, remiantis praeities verčių imtimi. Norėdami tai padaryti, turime mokėti apibūdinti stochastinius procesus ir laiko eilutes bei žinoti stochastinių modelių klases, tinkamas aprašyti praktikoje pasitaikančias situacijas. Stochastinio modeliavimo šalininkai teigia, kad atsitiktinumas yra pagrindinė finansų rinkų savybė.

Statistinis modeliavimas suteikia struktūrinį portfelio tyrimo būdą, atsižvelgiant į atsitiktinius veiksnius, tokius kaip infliacija ar rizikos tolerancija. Jei modeliavimas rodo mažą tikimybę pasiekti investavimo tikslus, fondas gali būti diversifikuotas arba koreguoti įmokų lygiai.

Statistinis modeliavimas yra duomenų atvaizdavimo arba rezultatų prognozavimo metodas, leidžiantis tam tikrą atsitiktinumo ar nenuspėjamumo laipsnį. Pavyzdžiui, draudimo rinka labai priklauso nuo stochastinio modeliavimo, kad būtų galima numatyti būsimą įmonės balansų būklę, nes juos gali paveikti nenuspėjami įvykiai, dėl kurių bus išmokamos žalos. Daugeliui kitų pramonės šakų ir studijų sričių gali būti naudingas stochastinis modeliavimas, pavyzdžiui, statistika, investavimas į akcijas, biologija, kalbotyra ir kvantinė fizika.

Ypač draudimo pasaulyje stochastinis modeliavimas yra labai svarbus nustatant, kokių rezultatų galima tikėtis, o kokių – mažai tikėtina. Užuot naudoję fiksuotus kintamuosius, kaip kituose matematiniuose modeliuose, stochastiniai modeliai apima atsitiktinius pokyčius, kad būtų galima numatyti būsimas sąlygas ir pamatyti, kokios jos gali būti. Žinoma, vieno atsitiktinio pakeitimo galimybė reiškia, kad galimi keli rezultatai. Dėl šios priežasties stochastiniai procesai veikia ne vieną kartą, o šimtus ar net tūkstančius kartų. Didelis duomenų rinkimas ne tik išreiškia galimus rezultatus, bet ir numatomus svyravimus.

Kitas realus stochastinio modeliavimo taikymas, be draudimo, yra gamyba. Gamyba yra vertinama kaip stochastinis procesas, nes nežinomi arba atsitiktiniai dydžiai gali turėti įtakos galutiniam rezultatui. Pavyzdžiui, gamykla, kuri gamina tam tikrą prekę, visada žino, kad nedidelė dalis gaminių neišeina taip, kaip buvo numatyta, ir jų parduoti negalima. Tai gali lemti daugybė veiksnių, tokių kaip sąnaudų kokybė, gamybos įrangos eksploatacinė būklė, taip pat darbuotojų kompetencija ir daug daugiau. Kaip šie veiksniai įtakoja rezultatus, galima modeliuoti, kad būtų galima numatyti tam tikrą gamybos klaidų lygį gamybos planavimui.