Kolyagino pamokos lygtis cosx a. Algebros pamoka tema "Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas. Cos x = a formos lygties sprendimas." III. „Išplėstinė paskaita“

RUSIJOS FEDERACIJA

JAMALO-NENETŲ AUTONOMINIS RAJONAS

NOJABRSKO MIESTO ADMINISTRACIJOS ŠVIETIMO DEPARTAMENTAS

SAVIVALDYBĖS UGDYMO ĮSTAIGA

„VIRDINĖ MOKYKLA Nr. 7

SAVIVALDYBĖS FORMAVIMO MIESTAS NOJABRSK“

Metodinis tobulinimas

algebros pamoka (10 kl.)

Tema: „Skaičiaus a lankinis kosinusas.

Lygčių sprendimas cos x = a"

matematikos mokytoja,

Nojabrskas

2009 m Naujos medžiagos mokymosi ir iš pradžių žinių įtvirtinimo pamoka.

Atvira algebros ir pagrindinės analizės pamoka 10 klasėje.

Pamokos tema: A lankinis kosinusas. Sprendžiant lygtis cos x = a.

Pamokos tikslai:

Švietimas:

a) pristatome skaičiaus a lankinio kosinuso sąvoką;

b) lavina įgūdį skaičiuoti skaičiaus arcsinusą;

c) išveskite paprasčiausių trigonometrinių lygčių šaknų formulę: cos x = a;

d) išmokyti naudotis formule sprendžiant paprastas trigonometrines lygtis;

e) ištirti specialius sprendimo atvejustrigonometrinės lygtys ir lygus 0, -1, 1.

Švietimas:

a) ugdyti gebėjimą trumpai, logiškai, nuosekliai reikšti mintis ir sprendimus;

b) ugdyti gebėjimą argumentuoti savo teiginius;

c) ugdyti gebėjimus klasifikuoti, lyginti, analizuoti ir daryti išvadas.

3. Švietimas:

a) mokyti planuoti veiklą, dirbti optimaliu tempu,

b) ugdyti gebėjimą teisingai įvertinti savo galimybes, ugdomosios veiklos rezultatus, ugdyti bendravimo įgūdžius;

c) ugdyti sunkų darbą ir ryžtą.

Įranga: kompiuteris, interaktyvi lenta, dalomoji medžiaga, kortelės mokymosi veiklai atspindėti (kiekvienam mokiniui), plakatas su vienetų rateliu.

Užrašykite lentoje:

Kiekvienas studentas turi teisę:

Žinokite daugiau nei mokytojas ir apginkite savo hipotezes.

Pamokos eiga:

Organizacinis momentas(2 min.)

Mokytojas: Sveiki vaikinai.

Šiandien pamokoje mokysimės(1 skaidrė)

a) trumpai, logiškai, nuosekliai reikšti mintis ir sprendimus;

b) nurodyti teiginių priežastis;

c) lyginti, analizuoti ir daryti išvadas;

d) vertina savo švietėjiškos veiklos rezultatus.

Mes prisimename, kad kiekvienas studentas, kaip visada, turi teisę:

Išreikškite savo nuomonę ir būsite išgirsti;
Suplanuoti savarankišką mokymąsi namuose;
Žinokite daugiau nei mokytojas ir apginkite savo hipotezes(rašyk ant lentos)

2.Žinių atnaujinimas(3–4 min.)

Žodinė aritmetika (užduotys projektuojamos interaktyviame ekrane(2 skaidrė)

Mokytojas

Studentas

Vieneto apskritimo taškai, , kuriam ketvirčiui priklauso?

Vieneto apskritimo taškai, , priklauso 1 ketvirčiui?

Kurio kampo kosinusas yra teigiamas dydis?

Išvada: Smailiojo kampo kosinusas yra teigiamas dydis.

Jei kampas priklauso 1 ketvirčiui

2. Apskaičiuokite reikšmes: cos;

Mokytojas

Studentas

Vieneto apskritimo taškai, , kuriam ketvirčiui priklauso?

Vieneto apskritimo taškai, , cos;

cos

Išvada: priklauso 2 ketvirčiams.

Kurio kampo kosinusas yra neigiamas dydis?

Bukojo kampo kosinusas yra neigiama reikšmė Jei kampas priklauso 2-ajam ketvirčiui

2. Kurio kampo kosinusas lygus; 0; ; 1; ; - ; - Jei? 3. Namų darbų tikrinimas

(3–4 min.)

(3 mokiniai iš anksto parengia lygčių sprendinius naudodami vienetinį apskritimą lentoje) 1 studentas

t = +2πk , kur k Z (

paaiškinimas pagrįstas vieneto apskritimu)

Atsakymas: t = +2πk, kur k Z.

2 studentas

cos t = 1,5,.

Neturi sprendimo, nes -1≤а≤1

Atsakymas: nėra sprendimų

cos t = 1,

T = 2πk, kur k Z.

Atsakymas: t = 2πk, kur k Z.

3 studentas

cos t = 0,

t = + πk, k ;

Atsakymas: t = + πk, k ;

cos t = -1,

t = π + 2πk, k . Atsakymas: t = π + 2πk, k.

Mokytojas

Studentas

4.Naujos medžiagos mokymasis(13–15 min.)

Dabar išspręskime lygtį cos t = . lentoje rašo pagrindinėje lentoje šalia pavyzdžio

cos t =

, visi kiti mokiniai klauso (pavyzdys ir vieneto apskritimas užrašomi iš anksto)

Deklamuodamas paprasčiausios trigonometrinės lygties sprendimo algoritmą, mokinys išsprendžia lygtį naudodamas vienetinį apskritimą. t = t 1 +2πk, t = t 2 +2πk, kur k Z, nes t 1 = - t 2, tada t = ± t 1 +2πk, kur k Z, Ar šis įrašas

atsakyti lygties sprendiniai?

Mokytojas: Šis įrašas nėra atsakymas į lygties sprendimą, nes reikšmės nėra apibrėžtos 1 t 1. 1 Koks yra šis skaičius t, kol kas nėra žinoma, aišku tik tai, kad t . Susidūrę su tokia situacija, matematikai suprato, kad turi sugalvoti, kaip ją apibūdinti matematine kalba. Todėl buvo pristatytas naujas simbolis arccos A ,

kuriame rašoma: lanko kosinusas A .

Mokytojas	Studentas
Užrašykime šios dienos pamokos temą: „Skaičiaus a lankinis kosinusas. Lygčių sprendimas cos t = a"	(3.4 skaidrė)
Taigi, kokį klausimą turėtumėte užduoti sau, skaičiuodami skaičiaus lankinį kosinusą? Kokio skaičiaus kosinusas lygus a?	Naudodami apibrėžimą, kurį išmokote, suraskite posakio prasmę arccos (); arccos() arccos() (5 skaidrė) arccos (); arccos() arccos() (5 skaidrė)
arccos() =	arcсos() =
Visos a reikšmės priklauso atkarpai nuo -1 iki 0. Kuriam ketvirčiui priklauso a lanko kosinusas?) (Arccosa reikšmės priklauso intervalui nuo 0 iki(6 skaidrė) Apskaičiuoti: arccos (- ); arckos(- ); arckos(- ); (6 skaidrė)	arccos ( - )= arccos(- ) = arccos(- ) =
Visos reikšmės priklauso segmentui nuo -1 iki 0. Kuriam ketvirčiui priklauso arccos(–a) reikšmės?) ? Užsirašykite informacinę medžiagą (6 skaidrė)	Arccos(a) reikšmės priklauso segmentui nuo iki π Mokiniai užrašo formulę į sąsiuvinį.

Skaičiaus lankinio kosinuso sampratos ir jo skaičiavimo algoritmo stiprinimas ir praktikavimas (priekinis darbas su klase)

Skaičiavimas iš skaidrės interaktyvioje lentoje

Pratimai

Raskite posakio prasmę:(7 skaidrė)

a) arkos ()- arkos (- )+ + arcos1

b) 2 arkos 0 + 3 arkos 1 – arkos (- ) (8 skaidrė)

5. Savarankiškas darbas (po to atliekamas savęs patikrinimas)(9 skaidrė)

2 žmonės dirba savarankiškai prie lentos, likusieji dirba sąsiuviniuose, tada tikrina vykdymo teisingumą. Tie, kurie atliko namų darbus, rašo lentojelankstinukus, tada pateikite juos apžiūrai

Mokytojas

Studentas

Grįžkime prie lygties cos t =. ką nusprendžiau... Žinodami lanko kosinuso sąvokas, dabar galime parašyti atsakymą, kad išspręstume šią lygtį taip.

(13–15 min.)

t = ±arccos + 2πk , kur k Z .

Atsakymas: t = ±arccos + 2πk, kur k Z

Lygtį išsprendėme dviem būdais: naudodami vienetinį apskritimą ir naudodami formulę.

Mokytojo sprendimą surašykite į sąsiuvinį

Taigi, užsirašykime pamatinę medžiagą ir išryškinkime ją spręsdami lygtį(10 skaidrė)

cos t = a, kur a .

t = ± arccos a + 2πk, k.

Atsakymas: t = ± arccos a + 2πk, k.

Užsirašykite į sąsiuvinį mokytojo lygties sprendimo modelį

6. Studijuotos medžiagos konsolidavimas(13 min.)

Nr.15.5 (b, d), 15.6 (a, b).

(2 mokiniai individualiai dirba valdyboje)

1 pamoka: a) cos t = ; b) cos t = - ;

2 pamoka: a) cos t = ; b) cos t = . ()

atkreipkite dėmesį į šį pavyzdį atlikdami skaičių įvertinimą

Išspręskite lygtį:

Nr. 15.5(b,d)

b) cos t = .

d) cos t = ;

15.6 (a, b) a) cos t = 1;

(atkreipkite dėmesį į atsakymą ir pabrėžkite ypatingus atvejus)

b) cos t = - 7. Pamokos apibendrinimas (refleksija

).(3–4 min.)

Mokytojas	Studentas
(žodinis frontalinis darbas su klase)	Kokių naujų sąvokų išmokote klasėje?
Išmokome naują sąvoką: lanko kosinusas a.	Kokį naują paprastų trigonometrinių lygčių sprendimo būdą mes apžvelgėme klasėje?
Naudojant formulesDar kartą atidžiai peržiūrėkite mūsų įrašytą pamatinę medžiagą. Uždarykite sąsiuvinius, atlikite testą ant stalo, kiekvienam pasirinkdami savo pasirinkimą, ir užpildykite tuščias vietas. Šiam darbui (abipusis patikrinimas) turite 3 minutes (po 3 minučių darbo mokiniai apsikeičia lapeliais ir patikrina teisingumą, atsakymai projektuojami interaktyvioje lentoje)	(Praleistos testo dalys paryškintos juodai)
Dabar jūs pastebėjote savo žinių spragas ir prašau jūsų atkreipti į tai dėmesį namuose.

8. Namų darbai (diferencijuoti)(1 min.) (12 skaidrė)

Mokytojas: Išstudijavome privalomo lygio mokomąją medžiagą ir sprendėme B lygio testavimo užduotis Vieningo valstybinio egzamino formatu, tuo pačiu prašoma išspręsti trigonometrines lygtis, sumažintas iki paprasčiausių

16 paragrafas, Nr. 15.3, 15.4, 15.5 (c, d), 15.6 (c, d), *15.12

Peržiūra:

Apskaičiuokite: a rc su os - lankas su os + + a rc su os 1 =

Apskaičiuokite: 2) 2 a rc su os 0 + 3 lankas su os 1 - lankas su os =

Savarankiškas darbas Nr. 15.1(a,b,c), 15.2(c,d)

cos t = a, kur a ϵ [-1;1] t = ± lankas c os a + 2 π k, k ϵ Z Atsakymas: ± lankas c os a + 2π k, k ϵ Z Nr. 15.5(b), 15.6 (b), 15.5 (d), 15.6 (a)

1 variantas 2 variantas Jei a ϵ [-1;1], tai arc c os a yra skaičius iš atkarpos [ 0; π ], kurio kosinusas lygus a. jei ϵ [-1;0], tai lankas su os ϵ, jei a ¢ [-1;1], tai lygtis cos t = a neturi sprendinių, jei cos t = 1, tai t = 2π k , k ϵ Z ; jei a ϵ, tai ar su cos a ϵ jei a ϵ, tai ar su cos (-a)= π- ar su cos ir jei cos t = 0, tai t = + π k, k ϵ Z; jei a ϵ [-1;1], tai lygtis cos t = a turi sprendinius t = ± lankas su os a + 2π k , k ϵ Z

Namų darbai §16, Nr. 15.3, 15.4, 15.5 (c, d), 15.6 (c, d), *15.12

ačiū už pamoką

Jei | a | 1, tada lygtis cos t = a neturi realių šaknų

Ypatingi atvejai, jei cos t = 1, tai t = 2 π k, k ϵ Z, jei cos t = -1, tai t = π + 2 π k, k ϵ Z, jei cos t = 0, tai t = + π k, k ϵ Z

34-35 pamokos. Trigonometrinės lygtys

09.07.2015 4523 0

Tikslas: apsvarstykite trigonometrinių lygčių sprendimą.

I. Pamokų temos ir tikslo perteikimas

II. Apimtos medžiagos kartojimas ir konsolidavimas

1. Atsakymai į klausimus apie namų darbus (neišspręstų problemų analizė).

2. Medžiagos įsisavinimo stebėjimas (apklausa raštu).

1 variantas

arctg x.

2. Nubraižykite funkciją:

3. Apskaičiuokite

2 variantas

1. Apibrėžkite ir išvardinkite pagrindines funkcijos y = savybes arcctg x.

2. Nubraižykite funkciją:

3. Apskaičiuokite

III. Naujos medžiagos mokymasis

Panagrinėkime kai kurių tipų trigonometrinių lygčių sprendimą. Norėdami tai padaryti, naudojant transformacijas, šią lygtį reikia sumažinti į vieną iš paprasčiausių lygčių - sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a , kurio sprendimą galima užrašyti.

1. Paprasčiausios trigonometrinės lygtys

Dar kartą prisiminkime paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendinius.

1. Lygčių sprendiniai sin x = a (kur | a | ≤ 1) turi tokią formą:

2. Lygčių sprendiniai cos x = a (kur |a| ≤ 1) turi tokią formą:

3. Lygčių sprendiniai tg x = a turi tokią formą:

4. Lygčių sprendiniai ctg x = a turi tokią formą:

Sprendžiant lygtis sin x = 0; ±1 ir cos x = 0; ±1 (ypatingi atvejai) patogiau naudoti ne bendras formules, o skaičių apskritimą, tada gauname:

1 pavyzdys

Lygčiai sin x = 1 parodysime, kaip pasirinkti skaičių apskritimą.

Pirmiausia užrašome lygties sprendinius nuodėmė x = 1, naudojant bendrą formulęDėl kelių verčių n tokie sprendimai pateikti lentelėje.

Iš lentelės duomenų aišku, kad naudojant formulęKiekvienas tirpalas kartojamas du kartus. Be to, išraiškasudėtingesnis, palyginti su formulekuris gaunamas įvertinus skaičių apskritimą.

2 pavyzdys

Raskime lygties sprendiniuspriklausantis segmentui.

Išspręskime šią lygtį naudodami skaičių apskritimą. Mes gauname:Parinkime tuos sprendimus, kurie priklauso segmentui . Pagal sąlygą gauname nelygybęIšspręskime šią nelygybę:Į šį diapazoną patenka trys sveikųjų skaičių reikšmės n:n = 0, 1, 2. Šioms reikšmėms n Raskime atitinkamus sprendimus:

3 pavyzdys

Išspręskime lygtį

Naudodami bendrą formulę gauname:Tada

2. Du pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai

Norėdami išspręsti sudėtingesnes lygtis, naudokite naujo kintamojo įvedimo metodą ir faktorizavimo metodą. Pirmiausia apsvarstykime naujo kintamojo įvedimo būdą.

4 pavyzdys

Išspręskime lygtį:

a) Įveskime naują kintamąjį z = cos x kurių šaknys yra z 1 = 1 ir z 2 = 2/3. Grįžkime į seną nežinomybę ir gaukime paprasčiausias lygtis cos x = 1 ir cos x = 2/3. Pirmosios lygties sprendiniai x = 2πn , antrosios lygties sprendiniai

b) Naudojant formulęlygtyje pereikime prie funkcijos sinx. Gauname: arba Toliau elgiamės panašiai kaip taške a. Įveskime naują kintamąjį z = sin x ir gauname kvadratinę lygtįkurių šaknys yra z 1 = 2 ir z 2 = 1/3. Grįžkime į seną nežinomybę ir gaukime paprasčiausias lygtis nuodėmė x = 2 (neturi sprendinių) ir nuodėmė x = 1/3 (jo sprendimas).

Dabar aptarkime antrąjį metodą – faktorizavimo metodą. Taikant lygtį f(x ) = 0 parašyta formoje, tada f 1 (x) = 0 arba f 2 (x) = 0. Taigi uždavinys redukuojamas iki lygčių aibės sprendimo

5 pavyzdys

Išspręskime lygtį:

a) Kairioji lygties pusė jau buvo apskaičiuota. Problema kyla sprendžiant lygčių rinkinį tg x - 1 = 0 (arba tg x = 1) ir cos x + 1/2 = 0 (arba cos x = -1/2). Pirmosios lygties sprendiniaiantrosios lygties sprendiniai

b) Išimkime cos 3 x už skliaustų gauname:Dabar turime išspręsti lygčių rinkinį cos 3 x = 0 ir (arba ). Išspręsdami pirmąją lygtį, randame: Ir Išspręsdami antrąją lygtį, gauname:

Paaiškinkime aptariamą metodą. Iš Eq.iš to seka, kad arba f 1 (x ) = 0 (šiuo atveju išraiška f 2 (x) prasminga), arba f 2 (x) = 0 (šiuo atveju išraiška f 1 (x) turi prasmę).

6 pavyzdys

Išspręskime lygtį cot x (cos + 1) = 0.

Iš lygties cot x = 0 randame: iš lygties cos x + 1 = 0 (arba cos x = -1) gauname: x = π + 2π n . Tačiau tokioms x reikšmėms išraiška ctg x neturi prasmės. Todėl šios lygties sprendiniai x = π/2 + n n.

3. Homogeninės trigonometrinės lygtys

Dabar aptarkime dažnai sutinkamą lygčių tipą – vienarūšes lygtis.

Apibrėžimas. Formos lygtis(kur a ≠ 0, b ≠ 0) vadinama homogenine pirmojo laipsnio trigonometrine lygtimi. Formos lygtis(kur a ≠ 0) vadinama homogenine antrojo laipsnio trigonometrine lygtimi.

Pirmiausia panagrinėkime pirmojo laipsnio vienalyčių trigonometrinių lygčių sprendimąĮsitikinkite, kad cos x ≠ 0. Tarkime cos x = 0, ir pakeiskite šią reikšmę į šią lygtį. Mes gauname: nuodėmė x = 0. Kadangi a ≠ 0, tada nuodėmė x = 0. Akivaizdu, lygybės cos x = 0 ir sin x = 0 negali būti vykdomas vienu metu, nes lygybė sin 2 x + cos 2 x = 1 nevykdomas.

Kadangi cos x ≠ 0, tada cos x. Mes gauname: arba iš kur ir

7 pavyzdys

Išspręskime lygtį

Padalinkime visus lygties narius iš ir gauname: Surasime ir

8 pavyzdys

Išspręskime lygtį

Atsižvelgkime į kosinuso funkcijos ir redukcijos formulės paritetą. Mes gauname:arba Padalinkime abi lygties puses iš cos 3x. Turime: 2 tg 3 x = -1, iš kur tg 3 x = -1/2,

Dabar panagrinėkime homogeninės antrojo laipsnio trigonometrinės lygties sprendimąĮsitikinkite, kad cos x ≠ 0. Pakeiskite reikšmę cos x = 0 į šią lygtį ir gauname: nuodėmė 2 x = 0. Kadangi a ≠ 0, turime: nuodėmė x = 0. Bet lygybės cos x = 0 ir sin x = 0 negali būti vykdomas vienu metu.

Kadangi cos x ≠ 0, tada visus lygties narius padalinkite iš cos 2 x ir mes gauname: arba Įveskime naują kintamąjį z = įdegis x ir gauname kvadratinę lygtį az 2 + bz + c = 0. Išspręskite šią lygtį. Tada grįžtame prie senojo kintamojo, gauname paprasčiausias trigonometrines lygtis ir randame jų sprendinius.

9 pavyzdys

Išspręskime lygtį

Padalinkime visus lygties narius iš cos 2 x ir gauname: tg 2 x – tg x - 2 = 0. Įveskime naują kintamąjį z = įdegis x ir gauname kvadratinę lygtį z 2 - z - 2 = 0, kurių šaknys z 1 = -1 ir z 2 = 2. Grįžkime prie senojo kintamojo. Turime paprasčiausias trigonometrines lygtis tg x = -1 (jo sprendiniai) ir tan x = 2 (jo sprendiniai ).

10 pavyzdys

Išspręskime lygtį

Ši lygtis nėra vienalytė, nes dešinėje pusėje yra skaičius 1, o ne skaičius 0. Jei atsižvelgsime į lygybę sin 2 x + cos 2 x = 1, tada lygtį galima lengvai redukuoti iki vienalytės. Mes gauname: arba Padalinkime visus lygties narius iš cos 2x. Turime: tg 2 x + 5 tg x + 4 = 0. Įveskime naują kintamąjį z = įdegis x ir gauname kvadratinę lygtį z 2 + 5 z + 4 = 0, kurio šaknys z 1 = -1 ir z 2 = -4. Grįžkime prie senojo kintamojo. Paimkime paprasčiausias trigonometrines lygtis tg x = -1 (jo sprendiniai) ir tg x = -4 (jo sprendiniai).

Įveskite vienalytę trigonometrinę lygtį koeficientas a = 0. Tada lygtis atrodo taip:Šiuo atveju padalinkite iš cos 2 x negalimas, nes cos x gali būti lygus nuliui. Todėl būtina naudoti faktorizavimo metodą. Mes gaunameTurime paprasčiausią trigonometrinę lygtį cos x = 0 ir pirmojo laipsnio vienalytė trigonometrinė lygtisMes jau žinome, kaip išspręsti tokias lygtis.

11 pavyzdys

Išspręskime lygtį

Išskaidykime kairę lygties pusę:Dviejų veiksnių sandauga lygi nuliui. Todėl vienas iš veiksnių yra nulis. Gauname paprasčiausią trigonometrinę lygtį cos x = 0 (jo sprendiniai ) ir vienalytė pirmos eilės trigonometrinė lygtisarba (jo sprendimai).

Faktorizacijos metodas taip pat naudojamas tuo atveju, kai koeficientas c = 0. Tada lygtis atrodo taip: arba Dar kartą gauname paprasčiausią trigonometrinę lygtį nuodėmė x = 0 ir pirmos eilės vienalytė trigonometrinė lygtiskurios sprendžiamos panašiai kaip 11 pavyzdyje.

9-11 pavyzdžių svarstymas leidžia suformuluoti lygties sprendimo algoritmą

1. Jei koeficientas a nėra lygus nuliui, tai visi lygties nariai dalijami iš cos 2x . Įveskite naują kintamąjį z = įdegis x ir gaukite kvadratinę lygtį. Raskite šios lygties šaknis ir grįžkite į seną nežinomybę. Gaukite paprasčiausias trigonometrines lygtis ir jas išspręskite.

2. Jei koeficientai a ir c lygūs nuliui, tai naudokite faktorizavimo metodą. At a = 0 išimama iš skliaustų cos x, kai c = 0 jie išima nuodėmė x . Gaukite paprasčiausią trigonometrinę lygtį ir vienalytę pirmos eilės trigonometrinę lygtį ir jas išspręskite.

IV. Saugumo klausimai

1. Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendiniai.

2. Du pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.

3. Pirmojo ir antrojo laipsnio vienalytės trigonometrinės lygties apibrėžimas.

4. Pirmojo laipsnio vienalytės trigonometrinės lygties sprendimas.

5. Antrojo laipsnio vienalytės trigonometrinės lygties sprendimo algoritmas.

V. Pamokos užduotis

§ 18, Nr. 3 (a, c); 5 (a, b); 6 (b); 8 (g); 10 (a, b); 11 (c); 12(a); 13 (c); 16; 18; 20(a); 21 (a, b); 23(a); 27 (a, b); 30(a); 31; 33(a); 34(b); 35(a).

VI. Namų darbų užduotis

§ 18, Nr. 3 (b, d); 5 (c, d); 6 (g); 8 (b); 10 (c, d); 11(a); 12 (b); 13 (g); 17; 19; 20 (b); 21 (c, d); 23(b); 27 (c, d); 30(b); 32; 33(b); 34(a); 35(b).

VII. Apibendrinant pamokas

Pamoka skyriui: „Trigonometrinės lygtys“, 10 klasė

Pamokos tema: „Cos x = a lygtis“.

Veiklos rūšis: naujų žinių, įgūdžių ir gebėjimų formavimas

Pamokos tikslai:

-edukacinis

apsvarstykite paprasčiausių cosx=a tipo trigonometrinių lygčių sprendinius.

- edukacinis

ugdyti darbo kultūros įgūdžius;

-besivystantis

ugdyti atsakomybės jausmą ir savarankiško darbo bei savikontrolės įgūdžius;

ugdyti loginį mąstymą;

ugdyti gebėjimą klasifikuoti ir apibendrinti;

ugdyti gebėjimą užduoti klausimus.

Įranga: interaktyvi lenta su multimedijos projektoriumi ir kompiuteriu, lentelės su formulėmis, pristatymas.

Pamokos tikslai:

1). Mokiniai kartoja pagrindines temos sąvokas.

2). Mokiniai sprendžia tokias lygtis kaip cos x = a.

Metodinės technikos: klasterių technika („krūvos“), „ar tiki? (iššūkio stadijoje), „išplėstinė paskaita“ (supratimo stadija), komentuojamas lygčių sprendimas, savarankiškas studentų darbas (refleksijos etapas).

Pamoka vyko naudojant kritinio mąstymo technologijos elementus.

Pamokos eiga:

Skambinti

I. Pamoka prasideda klausimu klasei:„Mūsų pamokos tema parašyta lentoje. Į kokius klausimus šiandien norėtum gauti atsakymų?

Diskusijos metu lentoje pasirodo diagrama (grupė):

cos x = a.

P. Darbas su lentele „Ar tu tiki, kad...?“,(„Ar tiesa, kad...?“):

1). Lygtis cos x = a turi be galo daug šaknų;

2). cos x – vienetinio apskritimo taško abscisė;

3). Intervale [o;π] lygtis cos x = ½ turi 1 šaknį;

4). arccos a- kampas nuo intervalo [-π /2; π/2], kurio kosinusas lygus A(|A|≤1);

5). arccos (-а) = π - arccos а;

6). Lygtys cos x = 1; cos x = -1; cos x = 0 turi vieną šaknų seriją?

Klausimai konkrečiai buvo neteisingi formuluotės.

Mokiniai dirba poromis, pildydami lentelės (1) stulpelį („+“ – taip; „-“ – ne). Tada be diskusijų lentoje užpildoma ta pati lentelės stulpelis (1) „Ar tikite, kad...“. Ant kiekvieno stalo yra kortelės su stalu.

Supratimas

III. „Išplėstinė paskaita“.

Užduotis: 1 varianto studentai laikosi klasterio (schemos), 2 varianto studentai rašo trumpą paskaitos santrauką.

a) cos x- vienetinio apskritimo taško abscisė, gauta pasukus tašką P 0 (1;0) kampu X aplink kilmę.

Tai yra, kada A mažiau nei -1 ir daugiau nei 1 , lygtis cos x= a neturi šaknų . Išspręskime lygtį cos x = 3/2. ( Atsakymas: nėra šaknų).

b). Išspręskime lygtį cos x = 1/2.

π /3 + 2 π k, k є Z.

-π /3 + 2 π k, k є Z.

Atsakymas : ± π/3 + 2 πk, k є Z.

Lygtis cos x = 1/2 turi be galo daug šaknų, bet atkarpoje ši lygtis turi 1 šaknį π /3, kuris vadinamas arccos 1/2 .

Užsirašykite: arccos 1/2= π /3.

c) panašiai išspręskite lygtis:

cos x = a, kur |a|≤1:

arccos a

- Arccos a

Atsakymas : x = ± arccos a + 2π k, kє Z.

Leiskite jums tai priminti arccos(-a) =π - arccos a.

Arccos (-A) arccos (-A)

G). ypatingi atvejai:

1). cos x =1

x= 2πk, k є Z.

2). cos x =-1

x= π + 2πk, k є Z.

3). cos x = 0

x= π/2 + πk, k є Z.

IV. Dirbkite poromis su grupe ir lentele "Ar tiesa, kad...?" Keturios poros dirba su klasteriumi, likusios su lentele (užpildykite 2 stulpelį).

Jums suteikiamos 2 minutės darbui, dar 5 minutės tikrinimui, aptarimui ir užrašymui lentoje. Tikrinant lentelę (ji nubraižyta lentoje), įgytos žinios lyginamos su pirminėmis žiniomis ir teisingi atsakymai paryškinami ryškia spalva.

Atspindys

V. Dabar, kai gavome trigonometrinės lygties šaknų formules cos x = a, mokiniai lentoje komentuoja ir sprendžia lygtis:

2). 3cos x/3 = 2

Savarankiškas studentų darbas:

1). 2cos 3x = -1,

2). 2cos(x+ π / 3) = -1,

3). (2 cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,

4). cos 2x(2cos x + 2) = 0.

Tikrinamas savarankiško darbo rezultatas.

Ką naujo sužinojau;

Kaip pasikeitė mano žinios;

Ką aš ketinu daryti?

VI. Pamokų valdymo skyrius.

ašV.: cos 2x=√2/2 IIV.: cos (x/2) = √3/2.

VII. Namų darbai
§ 33№№ 571-573.

LITERATŪRA

1). Algebra ir bazinė analizė 10 - 11 klasės: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (pagrindinis lygis) Sh.A. Alimovas, Yu.M. Kolyaginas, M.V. Tkačiova, N.E. Fedorova, M.I. Šabuninas. – M.: Švietimas, 2013 m.

2). Didaktinė medžiaga apie algebrą ir bazinę analizę 10 klasei. M.I. Šabuninas, M.V. Tkačiova, 2012 m.

3). Savarankiškas ir kontrolinis darbas su algebra ir bazine analize 10 klasei. A.P. Eršova, V.V. Goloborodko - M.:ILEKSA, 2011 m.

4). Algebros ir pagrindinės analizės uždaviniai 10-11 klasei. S.M. Sahakyanas, A.M. Goldmanas, D.V. Denisovas – M.: Išsilavinimas, 2011 m.

Interneto šaltiniai:

Rusijos Federacijos švietimo ministerija: http://www.ed.gov.ru/; http://www.edu.ru

Testavimas internetu: 5–11 klasės: http://www.kokch.kts.ru/cdo

Kūrybingų mokytojų tinklas: http://it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com,

Aleksandro Larino svetainė (pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui): http://alexlarin.narod.ru/ege.html

Naujos technologijos švietime: http://edu.secna.ru/main

Vadovas „Mokslo pasaulyje“ moksleiviams: http://www.uic.ssu.samara.ru

Kirilo ir Metodijaus megaenciklopedija: http://mega.km.ru

Enciklopedijos svetainės: http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclopedia.ru

saviugdos ir internetinių testų svetainė: http://uztest.ru/

ALGEBRA IR ANALIZĖS PRADŽIA

PAMOKA

- "smegenų ataka"

Tema.Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas.

Formos lygtys cos x = a .

10 klasė

3 gimnazija

mokytojas

Momot

Liudmila

Aleksandrovna

Berdjanskas

Laukiami rezultatai: po šios pamokos vaikai:

įgyti supratimą apie paprasčiausias trigonometrines lygtis;

išmokti išspręsti formos lygtis: nuodėmė x = a

pradės suprasti, kad ši tema yra jų žinių iš trigonometrijos srities pratęsimas;

išmoks taikyti jiems žinomas matematines sąvokas: lygties šaknis, leistinų kintamojo reikšmių diapazoną, reiškinių supaprastinimą ir kt. sprendžiant trigonometrines lygtis;

Pamokos įranga:

trumpa OK pamoka;

skaidrė su matematiniu diktantu;

trigonometrinės lygties sprendimo algoritmas;

skaidrės grupiniam darbui.

Pamokos eiga.

Orientavimosi etapas.

Vaikai, mes ir toliau studijuojame temą „Trigonometrinės lygtys“, šiandien susipažinsime su kitu trigonometrinių lygčių tipu, būtent su formos lygtimis: cosx = a .

Pagrindinis mūsų pamokos tikslas yra toks:

toliau sudaryti paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo algoritmą;

ugdyti gebėjimą redukuoti bet kurią trigonometrinę lygtį į paprasčiausią formą;

Skaidrėje palikau tuščią laukelį, ar norėtumėte jį užpildyti?..

Būtent tai ir padarysime su jumis šios dienos pamokoje.

Nagrinėdami šią temą, mes ir toliau dirbsime grupėse, niekas nenori keisti grupės sudėties.

Ką gi, komandos sukomplektuotos, kimbam į darbą.

Siūlau mūsų pamokos šūkiu laikyti puikaus mokytojo A. S. Makarenko žodžius:

„Jei negali ko nors padaryti pats,

nesikišti tam, kas tai daro“.

Pamokos tikslo nustatymo etapas.

Darbas, kurį atliksime šiandien, leis plačiau naršyti „trigonometrinių lygčių labirintais“ ir tiksliai pritaikyti išstuduotą teorinę medžiagą praktikoje.

Projektavimo etapas.

Labai to norėčiau šios dienos pamokoje tu ir aš:

Prisiminėme ir įtvirtinome žinias apie trigonometrinę lygtį.

Toliau kūrėme OK šia tema.

Mums pavyko išspręsti dar vieną trigonometrinių lygčių bloką.

Savo žinias demonstravo transformuodami lygčių sąlygas.

Parodė kūrybingą individualumą.

Žinių sistemą galėjome pritaikyti atlikdami PSR.

Gavo, demonstravo ir įvertino savo žinias ir įgūdžius.

Dabar, kai žinote, ką veiksime klasėje, pagalvokite ir pasakykite:

Ar norėtumėte dalyvauti mūsų pamokoje?

kam tau to reikia?

Ko tikitės iš šiandienos pamokos?

Kuri pamokos dalis jus gąsdina ar kelia nerimą?

Kuris etapas labiausiai domina?

Veiklos plano įgyvendinimo organizavimo etapas.

1. Technikos naudojimas « Mo zag ataka" kai tikrina namų darbus.

Atsakymai į klausimus, kilusius atliekant namų darbus.

Užduoties atlikimas: „Matematinis diktantas“ pagal „Molniya“ programą (kuris užtrunka daugiau per 6 minutes):

1. sin x = 0; 2. sin x = 1 3. sin x = -1

4. sin x = 5. sin x = 6. sin x =

7. sin x = - 8. sin x = - 9. nuodėmė x = -

10. sin x = 11. sin x = -
12. sin x = 0,5

Savarankiško darbo rezultatų apibendrinimas.

2. Naujos medžiagos studijavimas.

2.1.Dirbkite poromis su OK tema „Paprasčiausios trigonometrinės lygtys“ naudodami techniką „Visi moko visus“.

2.2 Praktinis įgytų žinių apie paprasčiausias formos trigonometrines lygtis interpretavimas:cos x = a :

atkreipkite dėmesį į šį pavyzdį atlikdami skaičių įvertinimą

cos x =

atkreipkite dėmesį į šį pavyzdį atlikdami skaičių įvertinimą

cos x =

cos x = -

cos x =

2.3. Įgytų žinių pritaikymas žaidimo „Lenktynės dėl lyderio“ forma:

2cosx – 1 = 0 cos 2x – 1 = 0

/2 taškai/ cos 2 x – sin 2 x = 0,5 2 sin 2 x = 1 /4 taškai/

6cos 2 x + cosx – 1 = 0 cos 2 x + 3cosx = 0

4 cos 2 x –3 =0 cos 2 2x = 1 + sin 2 2x / 6 tašką ov/

Kontrolės ir vertinimo etapas.

Atspindys.

1.1. – Tikiu, kad šiandien savo tikslą pasiekėme. Belieka tik išsiaiškinti, kiek kiekvienas iš jūsų įvaldė žinių sistemą tema „Formos lygties sprendimas: cos x = a “ ir yra pasiruošęs susitvarkyti su namų darbais. Siūlau jums išlygintus namų darbus, kuriuos jums maloniai paruošė jūsų bendražygiai.

- Kelių lygių namų darbai.

1 lygis: Stipraus mokinio parengtų testų išlaikymas.

II lygis: Lygčių sprendimas.

1.2. Mokiniai kompiuteriu skaito atspindintį žemėlapį.

Įvertinimas.

Kaip manote, ar mes pasiekėme pamokos tikslus?

Ar visi plano punktai įvykdyti?

Esu labai patenkintas Jūsų darbu, ypač patiko, kaip sumaniai tvarkėtės rengiant OK, džiaugiuosi teisingais ir greitais atsakymais "Žaibe", tikiuosi puikiai atlikote savo darbą.

Įvertinimas.

- Jau esi pakankamai senas ir gali objektyviai įvertinti savo darbą. Suteikite sau įvertinimą pirmame langelyje.

Pamokoje surinktus taškus paskirstykite proporcingai savo dalyvavimui grupėje. Ir antrame langelyje nurodykite jų skaičių.

Trečią langelį užpildysiu, kai patikrinsiu jūsų namų darbus ir man bus malonu priimti teisingus sprendimus.

S A S I B O Z A U R O K!

LINKIU JUMS SĖKMĖS KITOSE PAMOKOJE!

Pamoka vyko kompiuterių laboratorijoje. Šioje pamokoje mokiniai dirbo su kompiuteriu individualiai ir grupėse.

Ekrane buvo rodoma pamokos tema ir tikslai, vaikai galėjo eiti prie centrinio kompiuterio ir keisti pamokos planą.

Lygčių sprendimas naudojant „Žaibo“ programą parodė jų gebėjimą greitai pasirinkti norimą atsakymą ir surinkti kuo daugiau taškų, kurie sudarė jų „pradinį kapitalą“ - 1–6 balus.

Apsvarstę paruoštus paprasčiausių lygčių tipų sprendimus cos x = a , Vaikai, aiškindami vieni kitiems iš paruoštų užrašų, pasakojo vienas kitam ir poromis sudarė sprendimo algoritmą, pirmoji pora jį atvaizdavo ekrane. Po bendrų diskusijų buvo patvirtintas galutinis jo variantas.

Antrąją pažymio pusę vaikai uždirbo atlikdami savarankišką trijų lygių darbą (neprivaloma).

Pirmojo ir antrojo savarankiškų darbų rezultatai buvo suvesti į kompiuterį, ty vertinimas sudarytas iš dviejų darbų rezultatų.

Vaikai jį perkėlė į savo vertinimo lapą.

Kompiuteris šioje pamokoje įvedė naujas ir įvairias formas bei metodus į ugdymo procesą, o tai sukėlė nuoširdų vaikų susidomėjimą ir palengvino trigonometrijos kurso dėstymą, kuris nebuvo pati lengviausia tema.

Tęsiant ankstesnę temą, kurioje buvo nagrinėjami trigonometrinių funkcijų sprendimo pavyzdžiai, šioje video pamokoje mokiniai supažindinami su lanko kosinusu ir lygties cos t = a sprendimu.

Nagrinėjamas lygties cos t =1/4 sprendimo pavyzdys. Naudodami skaičių apskritimą randame taškus, kurių koordinatė x = 1/4, šiuos taškus pažymime kaip M(t 1) ir N(t 2).

Grafikas rodo, kad t 1 yra AM ilgis, o t 2 yra AN ilgis. Kitaip galime pasakyti, kad t 1 = arccos 1/4; t 2 = - lankas 1/4. Lygties t = ± arccos ¼ + 2πk sprendimas.

Taigi, arkos 1/4 yra skaičius (AM ilgis), kurio kosinusas yra lygus 1/4. Šis skaičius priklauso intervalui nuo 0 iki π/2, t.y. pirmasis apskritimo ketvirtis.

Toliau nagrinėjame lygties cos t = - 1/4 sprendinį. Analogiškai su ankstesniu pavyzdžiu t = ± arkos (-1/4 + 2πk. Galime pasakyti, kad arkos (-1/4 yra skaičius (lanko ilgis AM), kurio kosinusas yra - ¼ ir šis skaičius priklauso II ketvirčio apskritimas, t.y. atkarpa nuo π/2 iki π.

Remiantis dviem pavyzdžiais, pateikiamas arckosino apibrėžimas: jei modulis a yra mažesnis arba lygus 1, tai arccos a yra skaičius iš atkarpos nuo 0 iki π, kurios kosinusas yra lygus a. Tada išraiška cos t = a, kurios modulis a yra mažesnis arba lygus 1, gali atrodyti taip, kaip t = ± arccos a + 2πk. Žemiau yra t reikšmės, kai cos t = 0; cos t = 1; cos t = -1.

Autorius pateikia pavyzdį 1. Raskite išraiškos arccos sprendimą. Nurodykime, kad ši arkos reikšmė yra lygi t, todėl cos t yra lygi šiai reikšmei, kur t priklauso atkarpai nuo 0 iki π. Naudodamiesi reikšmių lentele, nustatome, kad cos t atitinka reikšmę t =π/6. Raskime atitinkamą kosinuso reikšmę, kur π/6 priklauso atkarpai nuo 0 iki π.

Pažiūrėkime į 2 pavyzdį. Apskaičiuokite neigiamo skaičiaus arcсos. Tarkime, kad šio skaičiaus arcсos yra lygus, todėl cos t yra lygus šiam skaičiui, kur t priklauso atkarpai nuo 0 iki π. Iš verčių lentelės pamatysime, kokia vertė atitinka cos t, tai yra t = 5π/6. Tie. cos 5π/6 yra atėmus šaknį iš trijų, padalytų iš dviejų, kur 5π/6 priklauso atkarpai nuo 0 iki π.

Toliau autorius svarsto teoremą: bet kuriai a, priklausančiai atkarpai nuo minus vieneto, lygybė tikrai yra arccos a + arccos (-a) = π. tada - a< 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.

Kai a > 0, arccos a priklauso pirmajam apskritimo ketvirčiui (pažymėta paveikslėlyje), o kai a< 0, arccos a принадлежит II четверти.

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Išspręskite išraišką, kur cos t lygus neigiamam skaičiui. Užrašykime, kam šiuo atveju lygi t. Tada randame lanko kosinuso reikšmę, tai yra 3π/4. Rastą arcсos reikšmę pakeisime t reikšme ir gausime, kad t = ± 3π/4+ 2πk.

Išanalizuokime kaštų nelygybės sprendimą. Norėdami išspręsti, turime rasti skaičių apskritimo taškus, kuriuose x yra lygus kosinuso reikšmei. Tai taškai su reikšmėmis π/4 ir - π/4. Kaip matyti paveikslėlyje, lanko ilgis MN yra π/4≤ t ≤π/4. Tai reiškia, kad atsakymas į nelygybę bus – π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.

TEKSTO IŠKODAVIMAS:

Lanko kosinusas. Lygties sprendimas kaštai = a

Apsvarstykime, kaip išspręsti lygtį kaštai = .

Atsižvelgiant į tai, kad cos t yra skaičių apskritimo taško M(t) (em iš te) abscisė, randame taškus su abscisėmis skaičių apskritime

Ant skaičių apskritimo pažymime taškus M(t 1), N(t 2) - tiesės x= susikirtimo su šiuo apskritimu taškus.

t 1 – lanko AM ilgis, t 2 – lanko AN ilgis, t 2 = – t 1.

Kai matematikai pirmą kartą susidūrė su tokia situacija, jie pristatė naują simbolį arccos

arccos (lanko kosinusas iš ketvirtadalio).

Tada t 1 = arccos; t 2 = - arccos

Ir tada lygties kaina = šaknis galima parašyti dviem formulėmis:

t = arccos + 2πk, t = - arccos + 2πk arba t = arccos + 2πk.

Ką reiškia arckos

Šis skaičius

(lanko ilgis AM), kurio kosinusas yra lygus ketvirtadaliui ir šis skaičius priklauso pirmajam ketvirčiui, tai yra atkarpai.

Dabar apsvarstykite lygtį

kaina = -. Panašiai kaip ir sprendžiant ankstesnę lygtį, rašome

t = arckos) + 2πk.

Kaip suprasti arccos(-)? Šis skaičius

(lanko ilgis AM), kurio kosinusas yra lygus minus vienam ketvirtadaliui ir šis skaičius priklauso antrajam ketvirčiui, tai yra atkarpai [; ].

Apibrėžkime lanko kosinusą:

APIBRĖŽIMAS. Tegul | a | 1 (modulis a yra mažesnis arba lygus vienetui). Lanko kosinusas a yra skaičius iš atkarpos, kurios kosinusas lygus a (1 pav.).

1 PAVYZDYS. Apskaičiuokite lankus (lanko kosinuso šaknis iš trijų kartų).

Sprendimas. Tegul arccos = t. Tada kaina = ir t[; ](te priklauso segmentui nuo nulio iki pi). Prisiminkime cos reikšmę

(Rodyti reikšmių lentelę) Tai reiškia t = (pi iš karto šešis), nes cos = ir . Tai reiškia arccos = .

arcos yra lanko ilgis, bet apskritimo lanko ilgis yra t sąnaudų apibrėžime

(Sąlygiškai galime sakyti, kad lanko kosinusas yra „kampo vertė“, kuriuo taškas nuėjo iš M iš taško A, jei prisimenate, kad skaičių t įvedėme kaip apskritimo ilgio dalį, spindulys lygus iki 1 (vienas), o tada 2π - visas apskritimas lygus 360°, π - pusė apskritimo =180°, ==60°)

2 PAVYZDYS. Apskaičiuokite arccos(- (lanko kosinusas atėmus šaknį iš trijų kartų du).

Sprendimas. Tegu arccos(-) = t. Tada kaina = ir t[; ](te priklauso segmentui nuo nulio iki pi). Tai reiškia t = (penki pi x šeši), nes cos = - ir [; ]. Taigi, arccos) = .

Įrodykime TEOREMĄ. Bet kokiam [; ](ir iš atkarpos nuo minus vieno iki vieno) lygybė arccosа+ arccos(-а) = π (arkosino a ir arckozino minus a suma lygi pi).

Įrodymas. Tikslumui darysime prielaidą, kad a 0, tada a 0. Ant skaičių apskritimo pažymime arcos a (tai yra lanko AK ilgis) ir

arccos(-a) (tai lanko ilgis AT) (žr. 2 pav.)

Iš įrodytos teoremos išplaukia: arcos (-a) = π - arcos a (arkosinas atėmus a yra lygus skirtumui tarp pi ir arckozino a), kur 0 a 1 (kur a yra didesnis arba lygus nuliui ir mažesnis už arba lygus vienam).

Kai a > 0, laikoma, kad arcos A priklauso pirmajam skaičių apskritimo ketvirčiui.

Kai a< 0 считают, что arcosA priklauso antrajam skaičių apskritimo ketvirčiui.

PAVYZDYS 3. Išspręskite lygtį kaina = - .

Sprendimas. Sukurkime sprendinių formulę: t = arccos(-)+ 2πk.

Apskaičiuokime arckosino reikšmes: arccos(-) = π - arccos = π - = .

(Pagal santykį arccos(-) = π - arccos arccos, tada pakeitę šią reikšmę į formulę, gauname, kad arccos(-) =) .

Rastą reikšmę pakeiskime sprendinio formule t = arccos(-)+ 2πk ir gaukime t reikšmę: t = + 2πk.

4 PAVYZDYS.Išspręskite kaštų nelygybę.

Sprendimas. Žinome, kad kaina yra skaičių apskritimo taško M(t) abscisė. Tai reiškia, kad skaičių apskritime reikia rasti taškus M(t), kurie tenkina nelygybę x.

Tiesė x = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir N.