Pamokos įranga: paskaitų konspektai.

Vertinimo kriterijai

Darbo tvarka

1 užduotis.

Skaityti paskaitą Nr.9

2 užduotis.

9 paskaita.

neapibrėžtas integralas iš šios funkcijos:

10 .

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

20. Funkcijos diferencialo neapibrėžtas integralas yra lygus šiai funkcijai ir savavališkai konstantai:

30. Pastovų koeficientą galima išimti iš neapibrėžtinio integralo ženklo.

40. Funkcijų algebrinės sumos neapibrėžtasis integralas yra lygus funkcijų dėmenų neapibrėžtųjų integralų algebrinei sumai:

50. Jei a yra konstanta, tai formulė galioja

Peržiūrėkite dokumento turinį
„Integracijos tiesioginės integracijos technika“

PRAKTINIS DARBAS№ 7

Tema: Integravimo technika. Tiesioginė integracija

Tikslai:

studijuoti neapibrėžtinio integralo skaičiavimo formules ir taisykles

išmokti spręsti pavyzdžius naudojant tiesioginę integraciją

Pamokos įranga: paskaitų konspektai.

Vertinimo kriterijai

Už teisingą visų darbo užduočių atlikimą suteikiamas balas „5“.

įvertinimas „4“ skiriamas už 1 užduoties atlikimą ir teisingas sprendimas bet kokie dešimt 2 užduoties pavyzdžių.

Atlikus 1 užduotį ir teisingai išsprendus bet kuriuos septynis 2 užduoties pavyzdžius, įvertinamas 3 balas.

Darbo tvarka

1 užduotis.

Skaityti paskaitą Nr.9

Naudodamiesi paskaitomis atsakykite į klausimus ir užsirašykite atsakymus į sąsiuvinį:

1.Kokias žinai neapibrėžtinio integralo savybes?

2. Įrašykite į pagrindines integravimo formules

3. Kokie atvejai galimi su tiesiogine integracija?

2 užduotis.

Išspręskite pavyzdžius savarankiškas sprendimas

9 paskaita.

Tema: „Neapibrėžtas integralas. Tiesioginė integracija"

Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) antidariniu, jei F "(x) = f(x).

Bet koks nuolatinė funkcija f(x) turi begalinį skaičių antidarinių, kurie vienas nuo kito skiriasi pastoviu nariu.

Visų funkcijos f(x) antidarinių aibės bendroji išraiška F(x) +C vadinama neapibrėžtas integralas iš šios funkcijos:

dx = F(x) +С, jei d(F(x) +С) = dx

Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės

1 0 .Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrand funkcija o skirtumas nuo jo lygus integrandui:

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

2 0 . Neapibrėžtas funkcijos diferencialo integralas yra lygus šiai funkcijai ir savavališkai konstantai:

3 0 . Pastovų koeficientą galima išimti iš neapibrėžtinio integralo ženklo.

4 0 .Funkcijų algebrinės sumos neapibrėžtasis integralas yra lygus funkcijų dėmenų neapibrėžtųjų integralų algebrinei sumai:

+dx

5 0 . Jei a yra konstanta, formulė galioja

Pagrindinės integravimo formulės (lentelės integralai)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arcsin + C

Taikant (3), (10) formules. (11) ženklas absoliuti vertė rašomas tik tais atvejais, kai po logaritmo ženklu esanti išraiška gali turėti neigiama vertė.

Kiekvieną formulę lengva patikrinti. Dėl dešinės pusės diferencijavimo gaunamas integrandas.

Tiesioginė integracija.

Tiesioginė integracija yra pagrįsta tiesioginis naudojimas integralų lentelės. Čia jie gali prisistatyti sekančių atvejų:

1) šį integralą galima rasti tiesiogiai iš atitinkamo lentelės integralo;

2) šis integralas, pritaikius savybes 3 0 ir 4 0, redukuojamas iki vieno ar kelių lentelių integralų;

3) šis integralas po elementarių tapatybių transformacijų per integrandą ir pritaikius 3 0 ir 4 0 savybes, redukuojamas į vieną ar daugiau lentelių integralų.

Pavyzdžiai.

Remiantis savybe 3 0, pastovus koeficientas 5 išimamas iš integralo ženklo ir, naudojant 1 formulę, gauname

Sprendimas. Naudodami savybę 3 0 ir formulę 2, gauname

6

Sprendimas. Naudodami savybes 3 0 ir 4 0 bei formules 1 ir 2, turime

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

Integravimo konstanta C yra lygi trijų integravimo konstantų algebrinei sumai, nes kiekvienas integralas turi savo savavališką konstantą (C 1 – C 2 + C 3 = C)

Sprendimas. Mes turime kiekvieną terminą suskaidydami į kvadratą ir integruodami juos

Naudojant trigonometrinę formulę 1 + vaikiška lovelė 2 x =

= = - ctgx - x + C

Sprendimas. Atėmus ir prie integrando skaitiklio pridėjus skaičių 9, gauname

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Savarankiško sprendimo pavyzdžiai

Įvertinkite integralus naudodami tiesioginę integraciją:

Stebėti mokinių žinias:

patikrinti praktinį darbą;

Reikalavimai praktiniam darbui atlikti:

Užduotis turi būti atlikta sąsiuvinyje, skirta praktinis darbas

Pateikite darbą po pamokų

Šioje temoje išsamiai kalbėsime apie neapibrėžtinio integralo savybes ir apie pačių integralų radimą naudojant minėtas savybes. Taip pat dirbsime su neapibrėžtųjų integralų lentelė. Čia pateikta medžiaga yra temos tęsinys "Neapibrėžtas integralas. Pradžia". Sąžiningai kalbant, in bandymai Retai yra integralų, kuriuos galima paimti naudojant tipines lenteles ir (arba) paprastas savybes. Šias savybes galima palyginti su abėcėle, kurios žinios ir supratimas yra būtinas norint suprasti integralų sprendimo mechanizmą kitose temose. Dažnai vadinama integracija, naudojant integralų lenteles ir neapibrėžto integralo savybes tiesioginė integracija.

Ką aš gaunu: funkcijos keičiasi, bet formulė, kaip rasti išvestinę, lieka nepakitusi, skirtingai nei integralas, kuriam jau turėjome išvardyti du metodus.

Eikime toliau. Norėdami rasti išvestinę $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ ta pati formulė $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, į kurią turėsite pakeisti $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ Bet norint rasti integralą $\int x^(-\frac(1)(. 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ reikės naudoti naują metodą – Chebyshev pakaitalus.

Ir galiausiai: norint rasti funkcijos $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ išvestinę formulę $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" Vėlgi taikomas $, į kuriuos vietoj $u$ ir $v$ atitinkamai pakeičiame $\sin x$ ir $\frac(1)(x)$, bet $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ imamas Tiksliau, jis neišreiškiamas per baigtinį elementariųjų funkcijų skaičių.

Apibendrinkime: kur išvestinei rasti prireikė vienos formulės, integralui reikėjo keturių (ir tai nėra riba), o pastaruoju atveju integralas apskritai atsisakė rastis. Pakeitė funkciją – reikėjo naujas metodas integracija. Čia mes turime kelių puslapių lenteles žinynuose. Nebuvimas bendras metodas(tinka spręsti „rankiniu būdu“) veda į gausybę privačių metodų, kurie taikomi tik integruojant savo, itin ribotą funkcijų klasę (tolimesnėse temose šiuos metodus nagrinėsime detaliau). Nors negaliu nepastebėti Risch algoritmo buvimo (patariu perskaityti aprašymą Vikipedijoje), jis tinkamas tik neapibrėžtų integralų programiniam apdorojimui.

Klausimas #3

Bet jei šių savybių yra tiek daug, kaip išmokti imti integralus? Su išvestinėmis priemonėmis buvo lengviau!

Žmogui kol kas yra tik vienas būdas: išspręsti kuo daugiau taikymo pavyzdžių. įvairios technikos integraciją, kad, atsiradus naujam neapibrėžtam integralui, pagal savo patirtį galėtumėte pasirinkti jam sprendimo būdą. Suprantu, kad atsakymas nelabai džiuginantis, bet kito kelio nėra.

Neapibrėžtinio integralo savybės

Turtas Nr.1

Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrandui, t.y. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Ši savybė yra gana natūrali, nes integralas ir išvestinė yra atvirkštinės operacijos. Pavyzdžiui, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ ir pan.

Turtas Nr.2

Ne apibrėžtasis integralas kurios nors funkcijos diferencialas yra lygus šiai funkcijai, t.y. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Paprastai ši savybė suvokiama kaip šiek tiek sudėtinga, nes atrodo, kad po integralu nėra „nieko“. Norėdami to išvengti, nurodytą savybę galite parašyti taip: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Šios savybės naudojimo pavyzdys: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ arba, jei norite, tokia forma: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Turtas Nr.3

Iš integralo ženklo galima išimti pastovųjį veiksnį, t.y. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (manome, kad $a\neq 0$).

Turtas gana paprastas ir, ko gero, nereikalauja komentarų. Pavyzdžiai: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Turtas Nr.4

Dviejų funkcijų sumos (skirtumo) integralas lygi sumaišių funkcijų integralų (skirtumai):

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Pavyzdžiai: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

Standartiniuose bandymuose dažniausiai naudojamos savybės Nr.3 ir Nr.4, todėl prie jų pasiliksime plačiau.

3 pavyzdys

Raskite $\int 3 e^x dx$.

Panaudokime savybę Nr.3 ir išimkime konstantą, t.y. skaičius $3$, integraliniam ženklui: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Dabar atidarykime integralų lentelę ir pakeitę $u=x$ į formulę Nr. 4 gausime: $\int e^x dx=e^x+C$. Iš to išplaukia, kad $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Manau, kad skaitytojui iš karto kils klausimas, todėl šį klausimą suformuluosiu atskirai:

Klausimas #4

Jei $\int e^x dx=e^x+C$, tai $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! Kodėl jie tiesiog parašė $3e^x+C$, o ne $3e^x+3C$?

Klausimas visiškai pagrįstas. Esmė ta, kad integralinę konstantą (t. y. tą patį skaičių $C$) galima pavaizduoti bet kokios išraiškos forma: svarbiausia, kad ši išraiška „pereitų“ visą realiųjų skaičių aibę, t.y. svyravo nuo $-\infty$ iki $+\infty$. Pavyzdžiui, jei $-\infty≤ C ≤ +\infty$, tada $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, taigi konstanta $C$ gali būti pavaizduota forma $\ frac(C)(3)$. Galime parašyti, kad $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ ir tada $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. Kaip matote, čia nėra prieštaravimų, tačiau reikia būti atsargiems keičiant integralinės konstantos formą. Pavyzdžiui, konstantą $C$ pavaizduoti kaip $C^2$ būtų klaida. Esmė ta, kad $C^2 ≥ 0$, t.y. $C^2$ nesikeičia iš $-\infty$ į $+\infty$ ir "nepereina" visų realių skaičių. Taip pat būtų klaidinga konstantą pavaizduoti kaip $\sin C$, nes $-1≤ \sin C ≤ 1$, t.y. $\sin C$ "nepereina" per visas tikrosios ašies reikšmes. Toliau šio klausimo nenagrinėsime išsamiai, o tiesiog parašysime konstantą $C$ kiekvienam neapibrėžtam integralui.

4 pavyzdys

Raskite $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.

Naudokime nuosavybę Nr. 4:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Dabar paimkime konstantas (skaičius) už integralo ženklų ribų:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

Toliau dirbsime su kiekvienu gautu integralu atskirai. Pirmasis integralas, t.y. $\int \sin x dx$, galima lengvai rasti integralų lentelėje Nr. 5. 5 formulėje pakeitę $u=x$ gauname: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

Norint rasti antrąjį integralą $\int\frac(dx)(x^2+9)$, reikia pritaikyti formulę Nr. 11 iš integralų lentelės. Pakeitę $u=x$ ir $a=3$, gauname: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3) + C$.

Ir galiausiai norėdami rasti $\int x^3dx$ naudojame formulę Nr. 1 iš lentelės, pakeisdami $u=x$ ir $\alpha=3$: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

Rasti visi integralai, įtraukti į išraišką $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$. Belieka juos pakeisti:

4 USD\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3) )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Problema išspręsta, atsakymas yra: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17)(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Prie šios problemos pridėsiu nedidelę pastabą:

Tik maža pastaba

Galbūt šio įterpimo niekam neprireiks, bet vis tiek paminėsiu, kad $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. Tie. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9) $.

Pažiūrėkime į pavyzdį, kuriame iracionalumui (kitaip tariant, šaknims) įterpti naudojame formulę Nr. 1 iš integralų lentelės.

5 pavyzdys

Raskite $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.

Pirmiausia atliksime tuos pačius veiksmus, kaip ir pavyzdyje Nr. 3, būtent: išskaidysime integralą į du ir perkelsime konstantas už integralų ženklų:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

Kadangi $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, tada $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7) )dx$. Norėdami rasti šį integralą, taikome formulę Nr. 1, pakeisdami ją $u=x$ ir $\alpha=\frac(4)(7)$: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Jei norite, galite pateikti $\sqrt(x^(11))$ kaip $x\cdot\sqrt(x^(4))$, bet tai nėra būtina.

Dabar pereikime prie antrojo integralo, t.y. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Kadangi $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, tada nagrinėjamas integralas gali būti pavaizduotas tokia forma: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Norėdami rasti gautą integralą, taikome formulę Nr. 1 iš integralų lentelės, pakeičiant $u=x$ ir $\alpha=-\frac(6)(11)$: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x) ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Pakeitę gautus rezultatus, gauname atsakymą:

$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^() 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Atsakymas: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Ir galiausiai paimkime integralą, kuris patenka į integralų lentelės formulę Nr. 9. Pavyzdys Nr. 6, prie kurio dabar pereisime, galėtų būti sprendžiamas kitu būdu, tačiau tai bus aptariama tolesnėse temose. Kol kas liksime lentelės naudojimo ribose.

6 pavyzdys

Raskite $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.

Pirmiausia atlikime tą pačią operaciją, kaip ir anksčiau: perkelkime konstantą (skaičius $12$) už integralo ženklo:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Gautas integralas $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ jau yra arti lentelės $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (formulė Nr. 9 integralų lentelė). Mūsų integralas skiriasi tuo, kad prieš $x^2$ po šaknimi yra koeficientas $7$, kurio lentelės integralas neleidžia. Todėl turime atsikratyti šių septynių perkeldami jį už šaknies ženklo:

12 $\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)) ) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Jei palyginsime lentelės integralą $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ ir $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ tampa aišku, kad jų struktūra vienoda. Tik integrale $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ vietoj $u$ yra $x$, o vietoj $a^2$ yra $\frac (15)(7)$. Na, jei $a^2=\frac(15)(7)$, tai $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. $u=x$ ir $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ pakeičiant formulę $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$, gauname tokį rezultatą:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Jei atsižvelgsime į tai, kad $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, tada rezultatą galima perrašyti be „trijų aukštų “ trupmenos:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Problema išspręsta, atsakymas gautas.

Atsakymas: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

7 pavyzdys

Raskite $\int\tg^2xdx$.

Dėl integracijos trigonometrinės funkcijos Mes turime savo metodus. Tačiau į šiuo atveju galite išsiversti su paprastomis žiniomis trigonometrines formules. Kadangi $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, tada $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ dešinėje)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Atsižvelgdami į $\sin^2x=1-\cos^2x$, gauname:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Taigi $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Išplėsdami gautą integralą į integralų sumą ir pritaikę lentelių formules, turėsime:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Atsakymas: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Metodas tiesioginė integracija yra pagrįstas integrando funkcijos transformavimu, taikant neapibrėžto integralo savybes ir integrando išraišką redukuojant į lentelės formą.

Pavyzdžiui:

Apžiūra

Apžiūra

2. Pakeitimo metodas (kintamasis pakeitimas)

Šis metodas pagrįstas naujo kintamojo įvedimu. Pakeiskime integralą:

;

Todėl gauname:

Pavyzdžiui:

1)

Egzaminas:

2)

Apžiūra(remiantis neapibrėžto integralo savybe Nr. 2):

Integruota gabalas po gabalo

Leiskite u Ir v - diferencijuojamos funkcijos. Atskleisime šių funkcijų sandaugos skirtumą:

,

kur

Integruokime gautą išraišką:

Pavyzdžiui:

Apžiūra(remiantis neapibrėžto integralo savybe Nr. 1):

2)

Nuspręskime

Apžiūra(remiantis neapibrėžto integralo savybe Nr. 1):

PRAKTINĖ DALIS

Užduotys skirtos namų sprendimas

Raskite integralą:

A) ; e) ;

V) ; h)

G) ; Ir)

d) ; į)

A) ; e) ;

V); h) ;

d) ; į) .

A) ; V); d)

b) ; G); e)

Problemos, kurias reikia išspręsti praktiniai pratimai:

I. Tiesioginės integracijos metodas

A) ; ir) ;

b) ; h) ;

V) ; Ir)

G) ; į)

e) ; m)

II. Pakeitimo metodas (kintamasis pakeitimas)

G); į) ;

d) ; l) ;

III. Integravimo dalimis būdas

TEMA Nr.4

TIKRAS INTEGRALAS

Atliekant matematinius skaičiavimus, dažnai reikia rasti antidarinės funkcijos prieaugį, kai jos argumentas pasikeičia nurodytose ribose. Šią problemą tenka spręsti skaičiuojant įvairių figūrų plotus ir tūrius, nustatant vidutinę funkcijos reikšmę, skaičiuojant kintamos jėgos darbą. Šios problemos gali būti išspręstos apskaičiuojant atitinkamus apibrėžtuosius integralus.

Pamokos tikslas:

1. Išmokite apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą naudodami Niutono-Leibnizo formulę.

2. Gebėti taikyti apibrėžtojo integralo sąvoką taikomiesiems uždaviniams spręsti.

TEORINĖ DALIS

NUSTATYTO INTEGRALO SAMPRATA IR JO GEOMETRINĖ PRASMĖ

Apsvarstykite vietovės paieškos problemą lenkta trapecija.

Tegu duota kokia nors funkcija y=f(x), kurio grafikas parodytas paveiksle.

1 pav. Geometrinė reikšmė apibrėžtasis integralas.

Ant ašies 0x pasirinkti taškus “a" Ir "V" ir atstatyti iš jų statmenus, kol jie susikirs su kreive. Figūra, apribota kreivės, statmenų ir ašies 0x vadinama lenkta trapecija. Padalinkime intervalą į keletą mažų segmentų. Pasirinkime savavališką segmentą. Išlenktą trapeciją, atitinkančią šį atkarpą, pastatykime į stačiakampį. Tokio stačiakampio plotas nustatomas taip:

Tada visų užpildytų stačiakampių plotas intervale bus lygus:

;

Jei kiekvienas segmentas yra pakankamai mažas ir linkęs į nulį, tada bendro ploto stačiakampiai bus linkę į kreivinės trapecijos plotą:

;

Taigi, kreivinės trapecijos ploto apskaičiavimo problema yra sumos ribos nustatymas.

Integralinė suma yra argumento prieaugio ir funkcijos vertės sandaugų suma f(x) , paimtas tam tikru intervalo tašku, kurio ribose keičiasi argumentas. Matematiškai integralo sumos ribos radimo problema, jei nepriklausomo kintamojo prieaugis linkęs į nulį, veda prie apibrėžtojo integralo sąvokos.

Funkcija f(x ) tam tikru intervalu nuo x=a į x=b integruojamas, jei yra skaičius, į kurį integralioji suma linksta kaip Dх®0 . Šiuo atveju skaičius J paskambino apibrėžtasis integralas funkcijas f(x) intervale:

;

kur] a, c[ – integracijos sritis,

A– apatinė integracijos riba,

V– viršutinė integracijos riba.

Taigi geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra figūros plotas, apribotas funkcijos grafiku tam tikrame intervale] a, c [ ir x ašis.

Kadangi dabar kalbėsime tik apie neapibrėžtą integralą, trumpumo dėlei terminą „neapibrėžtas“ praleisime.

Norėdami išmokti skaičiuoti integralus (arba, kaip sakoma, integruoti funkcijas), pirmiausia turite išmokti integralų lentelę:

1 lentelė. Integralų lentelė

2. ( ),u>0. 2a. (α=0); 2b. (α=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

Be to, jums reikės galimybės apskaičiuoti tam tikros funkcijos išvestinę, o tai reiškia, kad turite atsiminti diferenciacijos taisykles ir pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę:

2 lentelė. Išvestinių ir diferenciacijos taisyklių lentelė:

6.a .

(nuodėmė Ir) = cos Ir  Ir (cos u) = – nuodėmė Ir Ir

Mums taip pat reikia gebėjimo rasti funkcijos skirtumą. Prisiminkite, kad funkcijos skirtumas
rasti pagal formulę
, t.y. funkcijos diferencialas lygus šios funkcijos išvestinės ir jos argumento diferencialui. Naudinga turėti omenyje šiuos žinomus ryšius:

3 lentelė. Diferencialinė lentelė

1. (b= Konst) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Konst) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Be to, šias formules galite naudoti skaitydami jas iš kairės į dešinę arba iš dešinės į kairę.

Paeiliui panagrinėkime tris pagrindinius integralo skaičiavimo būdus. Pirmasis iš jų vadinamas tiesioginės integracijos metodu. Jis pagrįstas neapibrėžto integralo savybių naudojimu ir apima du pagrindinius metodus: integralo išplėtimas į algebrinę sumą paprastesnis ir pasirašydamas diferencialinį ženklą, ir šie metodai gali būti naudojami tiek atskirai, tiek kartu.

A) Pasvarstykime algebrinės sumos išplėtimas– šis metodas apima identiškų integrando transformacijų ir neapibrėžto integralo tiesiškumo savybių naudojimą:
Ir.

1 pavyzdys. Raskite integralus:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Sprendimas.

A)Transformuokime integrandą, padalydami skaitiklio terminą iš termino:

Čia naudojama galių savybė:
.

b) Pirmiausia transformuojame trupmenos skaitiklį, tada dalijame skaitiklio terminą iš vardiklio:

Čia taip pat naudojama laipsnių savybė:
.

Čia naudojamas turtas:
,
.

.

Čia naudojamos 1 lentelės 2 ir 5 formulės.

2 pavyzdys. Raskite integralus:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Sprendimas.

A)Transformuokime integrandą naudodami trigonometrinę tapatybę:

.

Čia vėl naudojame skaitiklio padalijimą po terminus iš vardiklio ir 1 lentelės 8 ir 9 formules.

b) Transformuojame panašiai, naudodami tapatybę
:

.

c) Pirmiausia padalykite skaitiklio terminą iš vardiklio ir išimkite konstantas iš integralo ženklo, tada naudokite trigonometrinę tapatybę
:

d) Taikykite laipsnio mažinimo formulę:

,

e) Naudodami trigonometrinius tapatumus, transformuojame:

B) Panagrinėkime integravimo techniką, kuri vadinama p padėdami jį po diferencialiniu ženklu. Šis metodas pagrįstas neapibrėžto integralo nekintamumo savybe:

Jeigu
, tada bet kuriai diferencijuojamai funkcijai Ir=Ir(X) vyksta:
.

Ši savybė leidžia žymiai išplėsti paprastųjų integralų lentelę, kadangi dėl šios savybės 1 lentelės formulės galioja ne tik nepriklausomam kintamajam Ir, bet ir tuo atveju, kai Ir yra kito kintamojo diferencijuojama funkcija.

Pavyzdžiui,
, bet ir
, Ir
, Ir
.

Arba
Ir
, Ir
.

Metodo esmė yra atskirti tam tikros funkcijos diferencialą duotame integrande, kad šis izoliuotas diferencialas kartu su likusia išraiška sudarytų šios funkcijos lentelės formulę. Jei reikia, tokio konvertavimo metu galima atitinkamai pridėti konstantas. Pavyzdžiui:

(paskutiniame pavyzdyje parašyta ln(3 + x 2) vietoj ln|3 + x 2 | , nes išraiška yra 3 + x 2 visada yra teigiamas).

3 pavyzdys. Raskite integralus:

A)
; b)
;
;

V)
G)
;
;

d)
;
.

Sprendimas.

A).

e)

Integruoti peržiūros funkcijas
labai dažnai pasitaiko skaičiuojant sudėtingesnių funkcijų integralus. Kad aukščiau aprašyti veiksmai nebūtų kartojami kiekvieną kartą, rekomenduojame atsiminti atitinkamas 1 lentelėje pateiktas formules.

.

Čia naudojama 1 lentelės 3 formulė.

c) Panašiai, atsižvelgdami į tai, transformuojame:

.

Čia naudojama 1 lentelės formulė 2c.

V)

.

d) ;

e)

.

ir) ;

h)

.

4 pavyzdys. Raskite integralus:

A)
b)

V)
.

Sprendimas.

a) transformuoti:

Čia taip pat naudojama 1 lentelės 3 formulė.

b) Naudojame laipsnio mažinimo formulę
:

Čia naudojamos 1 lentelės 2a ir 7a formulės.

Čia kartu su 1 lentelės 2 ir 8 formulėmis taip pat naudojamos 3 lentelės formulės:
,
.

5 pavyzdys. Raskite integralus:

A)
; b)

V)
;
.

Sprendimas.

G)
a) Darbas
gali būti papildyta (žr. 3 lentelės 4 ir 5 formules) prie funkcijos skirtumo A, Kur b Ir
– bet kokios konstantos,
.

. Tiesa, iš kur

.

Tada mes turime:
b) Naudodami 3 lentelės 6 formulę, turime
, ir taip pat
, o tai reiškia buvimą produkto integrandoje
reiškia užuominą: po diferencialo ženklu reikia įvesti išraišką

. Todėl gauname
c) toks pat, kaip b punkte, produktas
gali būti išplėstas į diferencines funkcijas

.

. Tada gauname:

d) Pirmiausia naudojame integralo tiesiškumo savybes: Raskite integralus:

A)
; 6 pavyzdys.
;

V)
b)
.

Sprendimas.

A); G)
Atsižvelgiant į tai

(3 lentelės 9 formulė), transformuojame:

b) Naudodami 3 lentelės 12 formulę gauname

c) Atsižvelgdami į 3 lentelės 11 formulę, transformuojame

.

d) Naudodami 3 lentelės 16 formulę, gauname: Raskite integralus:

A)
; b)
;

V)
; V)
.

Sprendimas.

A)7 pavyzdys. Visi šiame pavyzdyje pateikti integralai turi bendrą bruožą

.

b)

.

: Integrandas turi kvadratinį trinalį. Todėl šių integralų apskaičiavimo metodas bus pagrįstas ta pačia transformacija - išskiriant visą kvadratą šiame kvadratiniame trinalyje.

V)

G) Ir Diferencialinio ženklo pakeitimo metodas yra bendresnio integralo skaičiavimo metodo, vadinamo pakeitimo metodu arba kintamojo pakeitimu, įgyvendinimas žodžiu. Iš tiesų, kiekvieną kartą, 1 lentelėje pasirinkdami tinkamą formulę, gautą susumavus funkcijos diferencialo ženklą, mintyse pakeisdavome raidę