Ce este o definiție de matrice inversă. Matematică superioară

Similar cu inversul în multe proprietăți.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Cum să găsiți inversul unei matrice - bezbotvy

✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)

✪ Matrice inversă #1

✪ 28-01-2015. Matrice inversă 3x3

✪ 27-01-2015. Matricea inversă 2x2

Subtitrări

Proprietățile unei matrice inverse

det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \\det ) denotă determinantul.
(A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)Şi B (\displaystyle B).
(A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă o matrice transpusă.
(k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
E - 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există soluții deloc.

Metode de găsire a matricei inverse

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi matricea inversă puteți utiliza una dintre următoarele metode:

Metode exacte (directe).

metoda Gauss-Jordan

Să luăm două matrice: the O si singura E. Să prezentăm matricea O la matricea de identitate folosind metoda Gauss-Jordan, aplicând transformări de-a lungul rândurilor (puteți aplica și transformări de-a lungul coloanelor, dar nu amestecate). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când reducerea primei matrice la forma unitară este finalizată, a doua matrice va fi egală cu A−1.

Când se folosește metoda Gaussiană, prima matrice va fi înmulțită în stânga cu una dintre matricele elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau matrice diagonală cu cele pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda), adică va fi cea dorită. complexitatea algoritmului - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Folosind matricea complementului algebric

Matricea inversă a matricei A (\displaystyle A), poate fi reprezentat sub forma

A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice adjunctă;

Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²)·O det.

Folosind descompunerea LU/LUP

Ecuația matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matricea inversă X (\displaystyle X) poate fi considerată o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Să notăm i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); Apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),deoarece i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și diferite părți din dreapta. După efectuarea descompunerii LUP (timp O(n³)), rezolvarea fiecăreia dintre ecuațiile n durează timp O(n²), deci această parte a lucrării necesită și timp O(n³).

Dacă matricea A este nesingulară, atunci descompunerea LUP poate fi calculată pentru aceasta PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lasă PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi din proprietățile matricei inverse putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțiți această egalitate cu U și L, puteți obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Şi D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități este un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea reprezintă, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună, ele reprezintă un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.

Complexitatea algoritmului este O(n³).

Metode iterative

metodele Schultz

( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k)),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimarea erorii

Selectarea unei aproximări inițiale

Problema alegerii aproximării inițiale în procesele iterative de inversare a matricei luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca metode universale independente care concurează cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Totuși, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), atunci ei cred U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Puteți, desigur, să simplificați situația și să profitați de faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, atunci când se specifică matricea inițială în acest fel, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar se va dovedi a fi ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), iar un ordin ridicat al ratei de convergență nu va fi dezvăluit imediat.

Exemple

Matrice 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] .

(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).) Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca.

a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0)

Algebră matriceală - Matrice inversă

Matrice inversă Matrice inversă
este o matrice care, înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu o matrice dată, dă matricea de identitate. Să notăm matricea inversă a matricei O

Unde prin , apoi conform definiției obținem: E
– matricea identitară. Matrice pătrată numit (nu deosebite nedegenerate ) dacă determinantul său nu este zero. Altfel se numeste (special degenera ) sau.

singular Teorema este valabilă:

Fiecare matrice nesingulară are o matrice inversă. Operația de găsire a matricei inverse se numește recurs matrici. Să luăm în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să fie dată o matrice nesingulară n

-a comanda: O ≠ 0.

unde Δ = det Adunarea algebrică a unui element matrici. Să luăm în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să fie dată o matrice nesingulară matrici Să notăm matricea inversă a matricei-a comanda matrici. Să luăm în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să fie dată o matrice nesingulară se numește determinantul unei matrici luate cu un anumit semn ( –1)a ordinea obținută prin ștergere i -a linia și j Să notăm matricea inversă a matricei:

coloana a matricei Să creăm așa-numitul ataşat

matrice: Să notăm matricea inversă a matricei.
unde sunt complementele algebrice ale elementelor corespondente ale matricei Să notăm matricea inversă a matricei Rețineți că adunările algebrice ale elementelor rând matricei Ã sunt plasate în coloanele corespunzătoare ale matricei
, adică matricea este transpusă în același timp. Ã Prin împărțirea tuturor elementelor matricei Să notăm matricea inversă a matricei prin Δ – valoarea determinantului matricei

, obținem matricea inversă ca rezultat:
Să notăm o serie de proprietăți speciale ale matricei inverse: Să notăm matricea inversă a matricei 1) pentru o matrice dată matricea sa inversă
este singurul; 2) dacă există o matrice inversă, atunciŞi dreapta inversă stânga inversă
matricele coincid cu acesta;

3) o matrice specială (singulară) pătrată nu are o matrice inversă.
Proprietățile de bază ale unei matrici inverse:
1) determinantul matricei inverse și determinantul matricei originale sunt reciproce;

2) matricea inversă a produsului matricelor pătrate este egală cu produsul matricei inverse a factorilor, luată în ordine inversă:

EXEMPLU Calculați inversul matricei date.

De obicei, operațiile inverse sunt folosite pentru a simplifica expresii algebrice complexe. De exemplu, dacă problema implică operația de împărțire la o fracție, o puteți înlocui cu operația de înmulțire cu reciproca unei fracții, care este operația inversă. În plus, matricele nu pot fi împărțite, așa că trebuie să înmulțiți cu matricea inversă. Calcularea inversului unei matrice 3x3 este destul de obositoare, dar trebuie să o poți face manual. De asemenea, puteți găsi reciprocul folosind un calculator grafic bun.

Pași

Folosind matricea adjunctă

Transpuneți matricea originală. Transpunerea este înlocuirea rândurilor cu coloane în raport cu diagonala principală a matricei, adică trebuie să schimbați elementele (i,j) și (j,i). În acest caz, elementele diagonalei principale (începe în colțul din stânga sus și se termină în colțul din dreapta jos) nu se modifică.

Pentru a schimba rândurile în coloane, scrieți elementele primului rând în prima coloană, elementele celui de-al doilea rând în a doua coloană și elementele celui de-al treilea rând în a treia coloană. Ordinea schimbării poziției elementelor este prezentată în figură, în care elementele corespunzătoare sunt încercuite cu cercuri colorate.

Găsiți definiția fiecărei matrice 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv unul transpus, este asociat cu o matrice 2x2 corespunzătoare. Pentru a găsi o matrice 2x2 care corespunde unui anumit element, tăiați rândul și coloana în care se află elementul dat, adică trebuie să tăiați cinci elemente din matricea originală 3x3. Patru elemente vor rămâne neîncrucișate, care sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.

De exemplu, pentru a găsi o matrice 2x2 pentru elementul care este situat la intersecția celui de-al doilea rând și prima coloană, tăiați cele cinci elemente care se află în al doilea rând și prima coloană. Cele patru elemente rămase sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
Aflați determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, scădeți produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale (vezi figura).
Informații detaliate despre matrice 2x2 corespunzătoare elementelor specifice ale unei matrice 3x3 pot fi găsite pe Internet.

Creați o matrice de cofactori. Scrieți rezultatele obținute mai devreme sub forma unei noi matrice de cofactori. Pentru a face acest lucru, scrieți determinantul găsit al fiecărei matrice 2x2 unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă luați în considerare o matrice 2x2 pentru elementul (1,1), scrieți determinantul acestuia în poziția (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare conform unei anumite scheme, care este prezentată în figură.

Schema de schimbare a semnelor: semnul primului element al primei linii nu se modifică; semnul celui de-al doilea element al primei linii este inversat; semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se schimbă și așa mai departe rând cu linie. Vă rugăm să rețineți că semnele „+” și „-” care sunt afișate în diagramă (vezi figura) nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. În acest caz, semnul „+” indică faptul că semnul elementului nu se schimbă, iar semnul „-” indică o schimbare a semnului elementului.
Informații detaliate despre matricele de cofactori pot fi găsite pe Internet.
În acest fel veți găsi matricea adiacentă matricei originale. Uneori este numită o matrice conjugată complexă. O astfel de matrice este notată ca adj(M).

Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la determinantul său. Determinantul matricei M a fost calculat de la bun început pentru a verifica existența matricei inverse. Acum împărțiți fiecare element al matricei adiacente la acest determinant. Scrieți rezultatul fiecărei operații de împărțire unde se află elementul corespunzător. În acest fel veți găsi matricea inversă față de cea originală.

Determinantul matricei care este prezentat în figură este 1. Astfel, aici matricea alăturată este matricea inversă (deoarece atunci când orice număr este împărțit la 1, acesta nu se schimbă).
În unele surse, operația de împărțire este înlocuită cu operația de înmulțire cu 1/det(M). Cu toate acestea, rezultatul final nu se schimbă.

Scrieți matricea inversă. Scrieți elementele situate în jumătatea dreaptă a matricei mari ca o matrice separată, care este matricea inversă.

Introduceți matricea originală în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul Matrice, dacă este disponibil. Pentru un calculator Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați butoanele 2nd și Matrix.

Selectați meniul Editare. Faceți acest lucru folosind butoanele săgeată sau butonul de funcție corespunzător situat în partea de sus a tastaturii calculatorului (locația butonului variază în funcție de modelul calculatorului).

Introduceți notația matriceală. Majoritatea calculatoarelor grafice pot lucra cu 3-10 matrici, care pot fi desemnate prin literele A-J. De obicei, selectați [A] pentru a desemna matricea originală. Apoi apăsați butonul Enter.

Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol vorbește despre matrice 3x3. Dar calculatoarele grafice pot lucra cu matrici mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați butonul Enter, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați din nou butonul Enter.

Introduceți fiecare element de matrice. O matrice va fi afișată pe ecranul calculatorului. Dacă ați introdus anterior o matrice în calculator, aceasta va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea pentru primul element și apăsați Enter. Cursorul se va muta automat la următorul element de matrice.

Metode de găsire a matricei inverse, . Luați în considerare o matrice pătrată

Să notăm Δ =det A.

Matricea pătrată A se numește nedegenerat, sau nu deosebite, dacă determinantul său este diferit de zero și degenera, sau special, DacăΔ = 0.

O matrice pătrată B este pentru o matrice pătrată A de același ordin dacă produsul lor este A B = B A = E, unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricele A și B.

Teorema . Pentru ca matricea A să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca determinantul ei să fie diferit de zero.

Matricea inversă a matricei A, notată cu A- 1, deci B = A - 1 și se calculează prin formula

, (1)

unde A i j sunt complemente algebrice ale elementelor a i j ale matricei A..

Calcularea A -1 folosind formula (1) pentru matrice de ordin înalt este foarte laborioasă, așa că în practică este convenabil să găsiți A -1 folosind metoda transformărilor elementare (ET). Orice matrice non-singulară A poate fi redusă la matricea de identitate E prin intermediul ED-urilor numai a coloanelor (sau numai a rândurilor) Dacă ED-urile perfecționate peste matricea A sunt aplicate în aceeași ordine matricei identității E, atunci rezultatul este. o matrice inversă. Este convenabil să efectuați EP pe matricele A și E simultan, scriind ambele matrici una lângă alta printr-o linie. Să remarcăm încă o dată că atunci când căutați forma canonică a unei matrice, pentru a o găsi, puteți utiliza transformări de rânduri și coloane. Dacă trebuie să găsiți inversul unei matrice, ar trebui să utilizați numai rânduri sau numai coloane în timpul procesului de transformare.

Exemplul 2.10. Pentru matrice găsiți A-1.

Soluţie.Mai întâi găsim determinantul matricei A
Aceasta înseamnă că matricea inversă există și o putem găsi folosind formula: , unde A i j (i,j=1,2,3) sunt adunări algebrice ale elementelor a i j ale matricei originale.

Unde .

Exemplul 2.11. Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 pentru matricea: A = .

Soluţie.Atribuim matricei inițiale din dreapta o matrice de identitate de același ordin: . Folosind transformări elementare ale coloanelor, vom reduce „jumătatea” stângă la cea de identitate, efectuând simultan exact aceleași transformări pe matricea din dreapta.
Pentru a face acest lucru, schimbați prima și a doua coloană: ~ . La a treia coloană o adăugăm pe prima, iar la a doua - prima, înmulțită cu -2: . Din prima coloană scadem a doua dublată, iar din a treia - a doua înmulțită cu 6; . Să adăugăm a treia coloană la prima și a doua: . Înmulțiți ultima coloană cu -1: . Matricea pătrată obținută în dreapta barei verticale este matricea inversă a matricei date A. Deci,
.

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Scopul serviciului. Folosind acest serviciu online puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice aliată și matrice inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.

Instrucţiuni. Pentru a obține o soluție, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, completați matricea A în noua casetă de dialog.

Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

Aflarea matricei transpuse A T .
Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

Următorul algoritm pentru găsirea matricei inverse asemănător celui precedent cu excepția unor pași: mai întâi se calculează complementele algebrice, iar apoi se determină matricea aliată C.

Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, altfel matricea inversă nu există.
Definiția complementelor algebrice.
Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
Ei fac o verificare: înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma:

Adunări algebrice.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1	-2
5	4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2	-2
-2	4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2	-1
-2	5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2	3
5	4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1	3
-2	4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1	2
-2	5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2	3
-1	-2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1	3
2	-2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1	2
2	-1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Apoi matrice inversă poate fi scris ca:

A -1 = 1 / 10

6	-4	8
7	2	1
-1	4	-3

A -1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

Să prezentăm o altă schemă de găsire a matricei inverse.

Aflați determinantul unei matrice pătrate date A.
Găsim complemente algebrice la toate elementele matricei A.
Scriem adunări algebrice ale elementelor rând în coloane (transpunere).
Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A.

După cum vedem, operația de transpunere poate fi aplicată atât la început, pe matricea originală, cât și la sfârșit, asupra adunărilor algebrice rezultate.

Caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.