Sinusul este una dintre funcțiile trigonometrice de bază, a cărei utilizare nu se limitează doar la geometrie. Tabelele pentru calcularea funcțiilor trigonometrice, cum ar fi calculatoarele de inginerie, nu sunt întotdeauna la îndemână, iar calcularea sinusului este uneori necesară pentru a rezolva diverse probleme. În general, calcularea sinusului va ajuta la consolidarea abilităților de desen și a cunoștințelor identităților trigonometrice.

Jocuri cu riglă și creion

O sarcină simplă: cum să găsiți sinusul unui unghi desenat pe hârtie? Pentru a rezolva, veți avea nevoie de o riglă obișnuită, un triunghi (sau busolă) și un creion. Cel mai simplu mod de a calcula sinusul unui unghi este împărțirea catetului îndepărtat al unui triunghi cu unghi drept la latura lungă - ipotenuza. Astfel, mai întâi trebuie să completați unghiul ascuțit la forma unui triunghi dreptunghic trasând o linie perpendiculară pe una dintre raze la o distanță arbitrară de vârful unghiului. Va trebui să menținem un unghi de exact 90°, pentru care avem nevoie de un triunghi clerical.

Utilizarea unei busole este puțin mai precisă, dar va dura mai mult timp. Pe una dintre raze trebuie să marcați 2 puncte la o anumită distanță, să setați pe busolă o rază aproximativ egală cu distanța dintre puncte și să desenați semicercuri cu centre în aceste puncte până când sunt obținute intersecțiile acestor linii. Conectând punctele de intersecție ale cercurilor noastre între ele, obținem o perpendiculară strictă pe raza unghiului nostru, tot ce rămâne este să extindem linia până când se intersectează cu o altă rază.

În triunghiul rezultat, trebuie să utilizați o riglă pentru a măsura latura opusă colțului și latura lungă pe una dintre raze. Raportul dintre prima dimensiune și a doua va fi valoarea dorită a sinusului unghiului ascuțit.

Aflați sinusul pentru un unghi mai mare de 90°

Pentru un unghi obtuz sarcina nu este mult mai dificilă. Trebuie să desenăm o rază de la vârf în direcția opusă folosind o riglă pentru a forma o linie dreaptă cu una dintre razele unghiului care ne interesează. Unghiul acut rezultat trebuie tratat așa cum este descris mai sus, sinusurile unghiurilor adiacente care împreună formează un unghi invers de 180° sunt egale.

Calcularea sinusului folosind alte funcții trigonometrice

De asemenea, calcularea sinusului este posibilă dacă sunt cunoscute valorile altor funcții trigonometrice ale unghiului sau cel puțin lungimile laturilor triunghiului. Identitățile trigonometrice ne vor ajuta în acest sens. Să ne uităm la exemple comune.

Cum să găsiți sinusul cu un cosinus cunoscut al unui unghi? Prima identitate trigonometrică, bazată pe teorema lui Pitagora, afirmă că suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este egală cu unu.

Cum să găsiți sinusul cu tangenta cunoscută a unui unghi? Tangenta se obține prin împărțirea laturii îndepărtate la latura apropiată sau împărțirea sinusului la cosinus. Astfel, sinusul va fi produsul cosinusului și tangentei, iar pătratul sinusului va fi pătratul acestui produs. Înlocuim cosinusul pătrat cu diferența dintre unitate și sinusul pătrat în funcție de prima identitate trigonometrică și, prin manipulări simple, reducem ecuația la calculul sinusului pătrat prin tangentă în consecință, pentru a calcula sinusul, veți; trebuie să extragă rădăcina rezultatului obținut.

Cum să găsiți sinusul cu o cotangentă cunoscută a unui unghi? Valoarea cotangentei poate fi calculată împărțind lungimea piciorului cel mai apropiat de unghi la lungimea celui îndepărtat, precum și împărțind cosinusul la sinus, adică cotangenta este o funcție inversă relativă a tangentei. la numărul 1. Pentru a calcula sinusul, puteți calcula tangenta folosind formula tg α = 1 / ctg α și utilizați formula din a doua opțiune. De asemenea, puteți obține o formulă directă prin analogie cu tangenta, care va arăta astfel.

Cum să găsiți sinusul a trei laturi ale unui triunghi

Există o formulă pentru a afla lungimea laturii necunoscute a oricărui triunghi, nu doar a unui triunghi dreptunghic, din două laturi cunoscute folosind funcția trigonometrică a cosinusului unghiului opus. Ea arată așa.

Ei bine, sinusul poate fi apoi calculat din cosinus conform formulelor de mai sus.

Examen de stat unificat pentru 4? Nu vei izbucni de fericire?

Intrebarea, dupa cum se spune, este interesanta... Se poate, se poate trece cu 4! Și în același timp să nu izbucnești... Condiția principală este să faci exerciții regulate. Iată pregătirea de bază pentru examenul de stat unificat la matematică. Cu toate secretele și misterele examenului de stat unificat, despre care nu veți citi în manuale... Studiați această secțiune, rezolvați mai multe sarcini din diverse surse - și totul va funcționa! Se presupune că secțiunea de bază „A C este suficient pentru tine!” nu iti pune probleme. Dar dacă dintr-o dată... Urmărește linkurile, nu fi leneș!

Și vom începe cu un subiect grozav și teribil.

Trigonometrie

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest subiect creează o mulțime de probleme studenților. Este considerat unul dintre cele mai severe. Ce sunt sinus și cosinus? Ce sunt tangente și cotangente? Ce este un cerc numeric? De îndată ce pui aceste întrebări inofensive, persoana devine palidă și încearcă să distragă conversația... Dar în zadar. Acestea sunt concepte simple. Și acest subiect nu este mai dificil decât alții. Trebuie doar să înțelegeți clar răspunsurile la aceste întrebări chiar de la început. Acest lucru este foarte important. Dacă înțelegeți, vă va plăcea trigonometria. Aşa,

Ce sunt sinus și cosinus? Ce sunt tangente și cotangente?

Să începem cu vremurile străvechi. Nu vă faceți griji, vom trece prin toate cele 20 de secole de trigonometrie în aproximativ 15 minute și, fără să observăm, vom repeta o bucată de geometrie din clasa a VIII-a.

Să desenăm un triunghi dreptunghic cu laturile a, b, cși unghi X. Iată-l.

Permiteți-mi să vă reamintesc că laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. a și c– picioare. Sunt doi dintre ei. Latura rămasă se numește ipotenuză. Cu– ipotenuza.

Triunghi și triunghi, gândește-te! Ce să faci cu el? Dar oamenii din vechime știau ce să facă! Să le repetăm ​​acțiunile. Să măsurăm latura V. În figură, celulele sunt desenate special, așa cum se întâmplă în sarcinile Unified State Examination. V Latura egal cu patru celule. BINE. Să măsurăm latura O.

Trei celule. Acum să împărțim lungimea laturii O V pe lungimea laturii Acum să împărțim lungimea laturii. Sau, cum se spune și ei, să luăm atitudinea V. La= 3/4.

a/v V Dimpotrivă, puteți împărți egal cu patru celule. BINE. Să măsurăm latura pe V Primim 4/3. Can împărțiți cu Cu. Cu Ipotenuză Este imposibil de numărat după celule, dar este egal cu 5. Obținem calitate superioară

= 4/5. Pe scurt, puteți împărți lungimile laturilor între ele și puteți obține câteva numere.

Şi ce dacă? Ce rost are această activitate interesantă? Nici unul încă. Un exercițiu fără rost, ca să spunem direct.) Acum hai să facem asta. Să mărim triunghiul. Să extindem părțile laterale in si cu X, dar astfel încât triunghiul să rămână dreptunghiular. Colţ , desigur, nu se schimbă. Pentru a vedea acest lucru, plasați mouse-ul peste imagine sau atingeți-o (dacă aveți o tabletă). petreceri a, b și c se va transforma in m, n, k

, și, desigur, lungimile laturilor se vor schimba.

Dar relația lor nu este! La Atitudine La a fost: = 3/4, a devenit m/n = 6/8 = 3/4. Relațiile celorlalte părți relevante sunt, de asemenea nu se va schimba . Puteți modifica lungimile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic după cum doriți, creșteți, micșorați, – fără a modifica unghiul x relația dintre părțile relevante nu se va schimba

. Puteți să-l verificați sau puteți crede cuvantul oamenilor din vechime.

Dar acest lucru este deja foarte important! Raporturile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic nu depind în niciun fel de lungimile laturilor (la același unghi). Acest lucru este atât de important încât relația dintre părți și-a câștigat propriul nume special. Numele dumneavoastră, ca să spunem așa.) Întâlnește-te. Care este sinusul unghiului x

? Acesta este raportul dintre latura opusă față de ipotenuză:

sinx = a/c ? Acesta este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:

Cuosx= calitate superioară

Ce este tangenta x ? Acesta este raportul dintre latura opusă și cea adiacentă:

tgx =La

Care este cotangenta unghiului x ? Acesta este raportul dintre latura adiacentă și cea opusă:

ctgx = v/a

Este foarte simplu. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt câteva numere. Fără dimensiuni. Doar numere. Fiecare unghi are al lui.

De ce repet totul atât de plictisitor? Atunci ce este asta trebuie să-ți amintești. Este important să ne amintim. Memorarea poate fi mai ușoară. Este cunoscută expresia „Să începem de la distanță...”? Așa că începe de departe.

Sinusul unghiul este un raport îndepărtat de la unghiul catetei la ipotenuză. Cosinus– raportul dintre vecin și ipotenuză.

Tangentă unghiul este un raport îndepărtat de la unghiul piciorului la cel apropiat. Cotangentă- viceversa.

E mai ușor, nu?

Ei bine, dacă vă amintiți că în tangentă și cotangentă există doar catete, iar în sinus și cosinus apare ipotenuza, atunci totul va deveni destul de simplu.

Toată această familie glorioasă - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt de asemenea numite funcții trigonometrice.

Și acum o întrebare de luat în considerare.

De ce spunem sinus, cosinus, tangentă și cotangentă colţ? Vorbim despre relația dintre părți, de genul... Ce legătură are cu asta? colţ?

Să ne uităm la a doua poză. Exact la fel ca primul.

Treceți mouse-ul peste imagine. Am schimbat unghiul X. A crescut de la x la x. Toate relațiile s-au schimbat! Atitudine La a fost de 3/4, iar raportul corespunzător televizor a devenit 6/4.

Și toate celelalte relații au devenit diferite!

Prin urmare, rapoartele laturilor nu depind în niciun fel de lungimile lor (la un unghi x), ci depind foarte mult chiar de acest unghi! Și numai de la el. Prin urmare, termenii sinus, cosinus, tangentă și cotangentă se referă la colţ. Unghiul de aici este cel principal.

Trebuie să se înțeleagă clar că unghiul este indisolubil legat de funcțiile sale trigonometrice. Fiecare unghi are propriul sinus și cosinus. Și aproape fiecare are propria sa tangentă și cotangentă. Acest lucru este important. Se crede că, dacă ni se dă un unghi, atunci sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta acestuia stim noi ! Și invers. Având în vedere un sinus sau orice altă funcție trigonometrică, înseamnă că știm unghiul.

Există tabele speciale în care pentru fiecare unghi sunt descrise funcțiile sale trigonometrice. Se numesc mese Bradis. Au fost compilate cu foarte mult timp în urmă. Când încă nu existau calculatoare sau calculatoare...

Desigur, este imposibil să memorezi funcțiile trigonometrice ale tuturor unghiurilor. Vi se cere să le cunoașteți doar pentru câteva unghiuri, mai multe despre asta mai târziu. Dar vraja Cunosc un unghi, ceea ce înseamnă că îi cunosc funcțiile trigonometrice” - merge mereu!

Așa că am repetat o bucată de geometrie din clasa a VIII-a. Avem nevoie de el pentru examenul de stat unificat? Necesar. Iată o problemă tipică de la examenul de stat unificat. Pentru a rezolva această problemă, clasa a VIII-a este suficientă. Poza dată:

Toate. Nu mai sunt date. Trebuie să găsim lungimea laterală a aeronavei.

Celulele nu prea ajută, triunghiul este poziționat cumva greșit.... Intenționat, presupun... Din informații rezultă lungimea ipotenuzei. 8 celule. Din anumite motive, unghiul a fost dat.

Aici trebuie să vă amintiți imediat despre trigonometrie. Există un unghi, ceea ce înseamnă că îi cunoaștem toate funcțiile trigonometrice. Pe care dintre cele patru funcții ar trebui să folosim? Să vedem, ce știm? Știm ipotenuza și unghiul, dar trebuie să găsim adiacent cateter la acest colt! Este clar, cosinusul trebuie pus în acțiune! Începem. Pur și simplu scriem, după definiția cosinusului (raportul adiacent picior la ipotenuză):

cosC = BC/8

Unghiul nostru C este de 60 de grade, cosinusul său este 1/2. Trebuie să știi asta, fără tabele! Aşa:

1/2 = BC/8

Ecuație liniară elementară. Necunoscut - Soare. Cei care au uitat cum să rezolve ecuații, aruncați o privire pe link, restul rezolvă:

BC = 4

Când oamenii antici și-au dat seama că fiecare unghi are propriul său set de funcții trigonometrice, au avut o întrebare rezonabilă. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt într-un fel legate între ele? Deci, cunoscând o funcție de unghi, le puteți găsi pe celelalte? Fără a calcula unghiul în sine?

Erau atât de neliniştiţi...)

Relația dintre funcțiile trigonometrice ale unui unghi.

Desigur, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt legate între ele. Orice legătură între expresii este dată în matematică prin formule. În trigonometrie există un număr colosal de formule. Dar aici ne vom uita la cele mai elementare. Aceste formule se numesc: identități trigonometrice de bază. Iată-le:

Trebuie să cunoașteți temeinic aceste formule. Fără ele, în general, nu există nimic de făcut în trigonometrie. Din aceste identități de bază urmează încă trei identități auxiliare:

Te avertizez imediat că ultimele trei formule îți ies repede din memorie. Din anumite motive.) Puteți, desigur, să derivați aceste formule din primele trei. Dar, în vremuri dificile... Înțelegi.)

În problemele standard, precum cele de mai jos, există o modalitate de a evita aceste formule de uitat. ŞI reduce drastic erorile din cauza uitării, dar și în calcule. Această practică este în Secțiunea 555, lecția „Relații între funcțiile trigonometrice cu același unghi”.

În ce sarcini și cum sunt utilizate identitățile trigonometrice de bază? Cea mai populară sarcină este să găsești o funcție unghiulară dacă este dată alta. În examenul de stat unificat o astfel de sarcină este prezentă de la an la an.) De exemplu:

Aflați valoarea lui sinx dacă x este un unghi ascuțit și cosx=0,8.

Sarcina este aproape elementară. Căutăm o formulă care să conțină sinus și cosinus. Iată formula:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Inlocuim aici o valoare cunoscuta, si anume, 0,8 in loc de cosinus:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ei bine, numărăm ca de obicei:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Asta e practic tot. Am calculat pătratul sinusului, nu rămâne decât să extragem rădăcina pătrată și răspunsul este gata! Rădăcina lui 0,36 este 0,6.

Sarcina este aproape elementară. Dar cuvântul „aproape” există pentru un motiv... Faptul este că răspunsul sinx= - 0,6 este de asemenea potrivit... (-0,6) 2 va fi și 0,36.

Există două răspunsuri diferite. Și ai nevoie de unul. Al doilea este greșit. cum sa fii!? Da, ca de obicei.) Citiți cu atenție sarcina. Din anumite motive, scrie:... daca x este un unghi ascutit...Și în sarcini, fiecare cuvânt are un sens, da... Această frază este o informație suplimentară pentru soluție.

Un unghi ascuțit este un unghi mai mic de 90°. Și în astfel de colțuri Toate funcții trigonometrice - sinus, cosinus și tangentă cu cotangentă - pozitiv. Aceste. Pur și simplu eliminăm răspunsul negativ aici. Avem dreptul.

De fapt, elevii de clasa a opta nu au nevoie de asemenea subtilități. Ele funcționează doar cu triunghiuri dreptunghiulare, unde colțurile pot fi doar acute. Și nu știu, fericiți, că există atât unghiuri negative, cât și unghiuri de 1000°... Și toate aceste unghiuri groaznice au propriile lor funcții trigonometrice, atât plus cât și minus...

Dar pentru elevii de liceu, fără să țină cont de semn - în niciun caz. Multe cunoștințe înmulțesc necazurile, da...) Și pentru soluția corectă, informații suplimentare sunt neapărat prezente în sarcină (dacă este necesar). De exemplu, poate fi dat de următoarea intrare:

Sau într-un alt mod. Veți vedea în exemplele de mai jos.) Pentru a rezolva astfel de exemple trebuie să știți În ce sfert se încadrează unghiul dat x și ce semn are funcția trigonometrică dorită în acest trimestru?

Aceste elemente de bază ale trigonometriei sunt discutate în lecțiile despre ce este un cerc trigonometric, măsurarea unghiurilor pe acest cerc, măsura în radian a unui unghi. Uneori trebuie să cunoașteți tabelul sinusurilor, cosinusurilor tangentelor și cotangentelor.

Deci, să notăm cel mai important lucru:

Sfaturi practice:

1. Amintiți-vă definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Va fi foarte util.

2. Înțelegem clar: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt strâns legate de unghiuri. Știm un lucru, ceea ce înseamnă că știm altul.

3. Înțelegem clar: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi sunt legate între ele prin identități trigonometrice de bază. Cunoaștem o funcție, ceea ce înseamnă că le putem calcula (dacă avem informațiile suplimentare necesare) pe toate celelalte.

Acum să decidem, ca de obicei. În primul rând, sarcini din sfera clasei a VIII-a. Dar și liceenii o pot face...)

1. Calculați valoarea tgA dacă ctgA = 0,4.

2. β este un unghi dintr-un triunghi dreptunghic. Aflați valoarea lui tanβ dacă sinβ = 12/13.

3. Determinați sinusul unghiului ascuțit x dacă tgх = 4/3.

4. Găsiți sensul expresiei:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Găsiți sensul expresiei:

(1-cosx)(1+cosx), dacă sinx = 0,3

Răspunsuri (separate prin punct și virgulă, în dezordine):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

A funcționat? Mare! Elevii de clasa a VIII-a pot deja să-și ia A.)

Nu a mers totul? Sarcinile 2 și 3 nu sunt cumva foarte bune...? Nici o problemă! Există o tehnică frumoasă pentru astfel de sarcini. Totul se poate rezolva practic fără formule! Și, prin urmare, fără erori. Această tehnică este descrisă în lecția: „Relații între funcțiile trigonometrice ale unui unghi” din Secțiunea 555. Toate celelalte sarcini sunt, de asemenea, tratate acolo.

Acestea au fost probleme precum examenul de stat unificat, dar într-o versiune redusă. Examen de stat unificat - lumină). Și acum aproape aceleași sarcini, dar într-un format cu drepturi depline. Pentru elevii de liceu împovărați de cunoștințe.)

6. Aflați valoarea lui tanβ dacă sinβ = 12/13 și

7. Determinați sinх dacă tgх = 4/3, iar x aparține intervalului (- 540°; - 450°).

8. Aflați valoarea expresiei sinβ cosβ dacă ctgβ = 1.

Răspunsuri (în dezordine):

0,8; 0,5; -2,4.

Aici in problema 6 unghiul nu este specificat foarte clar... Dar in problema 8 nu este specificat deloc! Acest lucru este intenționat). Informații suplimentare sunt preluate nu numai de la sarcină, ci și de la cap.) Dar dacă decideți, o sarcină corectă este garantată!

Dacă nu te-ai hotărât? Hmm... Ei bine, secțiunea 555 va ajuta aici. Acolo soluțiile pentru toate aceste sarcini sunt descrise în detaliu, este greu de înțeles.

Această lecție oferă o înțelegere foarte limitată a funcțiilor trigonometrice. În clasa a VIII-a. Și bătrânii mai au întrebări...

De exemplu, dacă unghiul X(uită-te la a doua poză de pe această pagină) - fă-o prost!? Triunghiul se va destrama complet! Deci ce ar trebui să facem? Nu va exista picior, nici ipotenuză... Sinusul a dispărut...

Dacă oamenii din antichitate nu ar fi găsit o cale de ieșire din această situație, acum nu am avea telefoane mobile, televizor sau electricitate. Da, da! Baza teoretică pentru toate aceste lucruri fără funcții trigonometrice este zero fără un băț. Dar oamenii antici nu au dezamăgit. Cum au ieșit este în lecția următoare.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Ceea ce este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi vă va ajuta să înțelegeți un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru aceasta este latura \(AC\)); catetele sunt cele două laturi rămase \(AB\) și \(BC\) (cele adiacente unghiului drept), iar dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghiul \(BC\), atunci piciorul \(AB\) este piciorul adiacent, iar piciorul \(BC\) este opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unghiului– acesta este raportul dintre catetul opus (distant) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinusul unghiului– acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta unghiului– acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).

În triunghiul nostru:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangenta unghiului– acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

În triunghiul nostru:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Aceste definiții sunt necesare amintește-ți! Pentru a fi mai ușor să vă amintiți ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăŞi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusurilorŞi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

Cosinu → atinge → atinge → adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu mă crezi? Apoi asigurați-vă că uitându-vă la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unghiului \(\beta \) . Prin definiție, dintr-un triunghi \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), dar putem calcula cosinusul unghiului \(\beta \) din triunghiul \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!

Pentru triunghiul \(ABC \) prezentat în figura de mai jos, găsim \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghiul \(\beta \) .

Raspunsuri: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cerc unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu \(1\) . Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei \(x\) (în exemplul nostru, acest este raza \(AB\)).

Fiecare punct de pe cerc corespunde a două numere: coordonatele de-a lungul axei \(x\) și coordonatele de-a lungul axei \(y\). Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Se consideră triunghiul \(ACG\) . Este dreptunghiular deoarece \(CG\) este perpendicular pe axa \(x\).

Ce este \(\cos \ \alpha \) din triunghi \(ACG \)? Asta e corect \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). În plus, știm că \(AC\) este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă \(AC=1\) . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Cu ce ​​este egal cu \(\sin \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Ei bine, desigur \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Înlocuiți valoarea razei \(AC\) în această formulă și obțineți:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Deci, puteți spune ce coordonate are punctul \(C\) aparținând cercului? Ei bine, în nici un caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama că \(\cos \ \alpha \) și \(\sin \alpha \) sunt doar numere? Cu ce ​​coordonată corespunde \(\cos \alpha \)? Ei bine, desigur, coordonata \(x\)! Și cărei coordonate corespunde \(\sin \alpha \)? Așa e, coordonată \(y\)! Deci ideea \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Atunci cu ce sunt \(tg \alpha \) și \(ctg \alpha \) egale? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Considerăm un triunghi dreptunghic \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : unghi (ca adiacent unghiului \(\beta \) ). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrice) \)

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei \(y\) ; valoarea cosinusului unghiului - coordonata \(x\) ; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei \(x\). Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar doar acesta va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic – negativ.

Deci, știm că întreaga revoluție a vectorului rază în jurul cercului este \(360()^\circ \) sau \(2\pi \) . Este posibil să rotiți vectorul rază cu \(390()^\circ \) sau cu \(-1140()^\circ \)? Ei bine, bineînțeles că poți! În primul caz, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), astfel, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția \(30()^\circ \) sau \(\dfrac(\pi )(6) \) .

În al doilea caz, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), adică vectorul rază va face trei ture complete și se va opri în poziția \(-60()^\circ \) sau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă cu \(360()^\circ \cdot m \) sau \(2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg ), corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată unghiul \(\beta =-60()^\circ \) . Aceeași imagine corespunde colțului \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală \(\beta +360()^\circ \cdot m\) sau \(\beta +2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(matrice)\)

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: colțul înăuntru \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corespunde unui punct cu coordonatele \(\left(0;1 \right) \) , prin urmare:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nu există;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile în \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corespund punctelor cu coordonate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dreapta) \), respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0\)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nu există

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nu există

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nu există

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nu există

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Trebuie să vă amintiți sau să îl puteți scoate!! \) !}

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) prezentate în tabelul de mai jos, trebuie să vă amintiți:

Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu de memorare destul de simplă a valorilor corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), precum și valoarea tangentei unghiului în \(30()^\circ \) . Cunoscând aceste valori \(4\), este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(matrice) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Numătorul „\(1 \)” va corespunde cu \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), iar numitorul „\(\sqrt(\text(3)) \)” va corespunde \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți numai valorile \(4\) din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsim un punct (coordonatele lui) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza și unghiul de rotație al acestuia? Ei bine, bineînțeles că poți! Să derivăm o formulă generală pentru a găsi coordonatele unui punct. De exemplu, iată un cerc în fața noastră:

Ni se dă acel punct \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centrul cercului. Raza cercului este \(1,5\) . Este necesar să se găsească coordonatele punctului \(P\) obținute prin rotirea punctului \(O\) cu \(\delta \) grade.

După cum se poate observa din figură, coordonata \(x\) a punctului \(P\) corespunde lungimii segmentului \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lungimea segmentului \(UK\) corespunde coordonatei \(x\) a centrului cercului, adică este egală cu \(3\) . Lungimea segmentului \(KQ\) poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

Atunci avem că pentru punctul \(P\) coordonata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punctul \(P\) . Astfel,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Deci, în general, coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matrice) \), Unde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonatele centrului cercului,

\(r\) - raza cercului,

\(\delta \) - unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru a efectua calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!

În acest articol vom arăta cum să dăruiești definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi și număr în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notații, vom da exemple de intrări și vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, să facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să vedem cum se formează ideea de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă într-un curs de matematică școlar. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care vorbește despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și număr. Să prezentăm toate aceste definiții, să dăm exemple și să dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul de geometrie cunoaștem definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Să dăm formulările lor.

Definiţie.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusa fata de ipotenuza.

Definiţie.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiţie.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic– acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Definiţie.

Cotangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic- acesta este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Denumirile pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt de asemenea introduse acolo - sin, cos, tg și, respectiv, ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul dintre latura opusă BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valorile cunoscute ale sinusului, cosinusului, tangentei, cotangent și lungimea uneia dintre laturi pentru a găsi lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este egal cu 3 și ipotenuza AB este egală cu 7, atunci am putea calcula valoarea cosinusului unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Unghiul de rotație

În trigonometrie, ei încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Mărimea unghiului de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată la 0 până la 90 de grade, unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt date nu ale unui unghi ascuțit, ci ale unui unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1, către care așa-numitul punct de plecare A(1, 0) merge după rotirea lui cu un unghi α în jurul punctului O - începutul sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiţie.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1, adică sinα=y.

Definiţie.

Cosinusul unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1, adică cosα=x.

Definiţie.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tanα=y/x.

Definiţie.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y.

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α, deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata punctului, care se obține prin rotirea punctului de plecare cu unghiul α. Dar tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1), iar acest lucru se întâmplă la unghiurile 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare merge la punctul cu ordonata zero (1, 0) sau (−1, 0), iar acest lucru se întâmplă pentru unghiurile 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), iar cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definițiile includ denumirile deja cunoscute de noi sin, cos, tg și ctg, ele sunt, de asemenea, folosite pentru a desemna sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unghiului de rotație (uneori puteți găsi denumirile tan și cot corespunzând cu tangente și cotangente) . Deci sinusul unui unghi de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, intrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rad este de obicei notat cos3·π.

În concluzia acestui punct, este de remarcat faptul că atunci când vorbim despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, se folosește de obicei expresia „sinus al unghiului alfa” sau, chiar mai scurt, „sinus alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus, tangente și cotangente.

Vom spune, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90 de grade. Vom justifica acest lucru.

Numerele

Definiţie.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul numărului 8·π prin definiție este un număr egal cu cosinusul unghiului de 8·π rad. Și cosinusul unui unghi de 8·π rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8·π este egal cu 1.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t i se asociază un punct de pe cercul unitar cu centrul la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare, iar prin coordonatele acestui punct se determină sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să ne uităm la asta mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește o corespondență între numerele reale și punctele dintr-un cerc:

• numărului 0 i se atribuie punctul de plecare A(1, 0);
• numărul pozitiv t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• numărul negativ t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct de pe cercul A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1)).

Definiţie.

Sinusul numărului t este ordonata punctului de pe cercul unitar corespunzător numărului t, adică sint=y.

Definiţie.

Cosinusul numărului t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică cost=x.

Definiţie.

Tangenta numărului t este raportul dintre ordonata și abscisa unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta unui număr t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost.

Definiţie.

Cotangente a numărului t este raportul dintre abscisa si ordonata unui punct de pe cercul unitar corespunzator numarului t, adica ctgt=x/y. O altă formulare este aceasta: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t: ctgt=cost/sint.

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în concordanță cu definiția dată la începutul acestui paragraf. Într-adevăr, punctul de pe cercul unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare cu un unghi de t radiani.

Încă merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem intrarea sin3. Cum putem înțelege dacă vorbim despre sinusul numărului 3 sau despre sinusul unghiului de rotație de 3 radiani? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu are o importanță fundamentală.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definițiilor date în paragraful anterior, fiecărui unghi de rotație α îi corespunde o valoare foarte specifică sinα, precum și valoarea cosα. În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) corespund valorilor tgα și alte valori decât 180°k, k∈Z (πk rad ) – valori de ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tanα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

Putem vorbi în mod similar despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori foarte specifice sint, precum și costului. În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k, k∈Z corespund valorilor tgt și numerelor π·k, k∈Z - valori ctgt.

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, este clar din context dacă avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau ale unui argument numeric. În caz contrar, ne putem gândi la variabila independentă atât ca măsură a unghiului (argument unghiular), cât și ca argument numeric.

Totuși, la școală studiem în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă vorbim în mod specific despre funcții, atunci este indicat să considerăm funcțiile trigonometrice drept funcții ale argumentelor numerice.

Relația dintre definițiile din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α cuprins între 0 și 90 de grade, atunci definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație în contextul trigonometriei sunt pe deplin compatibile cu definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul de geometrie. Să justificăm asta.

Să descriem cercul unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Să marchem punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y). Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH |=x, lungimea catetei A 1 H opusă unghiului este egală cu ordonata punctului A 1, adică |A 1 H|=y, iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unghiului ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că determinarea sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu determinarea sinusului unghiului de rotație α atunci când α este de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Referințe.

1. Geometrie. 7-9 clase: manual pentru învăţământul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev etc.]. - Ed. 20. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: manual. pentru clasele 7-9. învăţământul general instituţii / A. V. Pogorelov. - Ed. a II-a - M.: Educaţie, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și funcții elementare: Manual pentru elevii clasei a IX-a de liceu / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin - ed. a IV-a. M.: Educație, 1969.
4. Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Educație, 1990. - 272 p.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. învăţământul general instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei. clasa a X-a. În 2 părți. Partea 1: manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adaug. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general instituții: de bază și de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I.: Educație, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Curs: Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi arbitrar

Sinus, cosinus al unui unghi arbitrar

Pentru a înțelege ce sunt funcțiile trigonometrice, să ne uităm la un cerc cu raza unitară. Acest cerc are un centru la origine pe planul de coordonate. Pentru a determina funcțiile date vom folosi vectorul rază SAU, care începe din centrul cercului și punctul R este un punct pe cerc. Acest vector rază formează un unghi alfa cu axa OH. Deoarece cercul are o rază egală cu unu, atunci SAU = R = 1.

Dacă din punct de vedere R coboara perpendiculara pe axa OH, atunci obținem un triunghi dreptunghic cu o ipotenuză egală cu unu.

Dacă vectorul rază se mișcă în sensul acelor de ceasornic, atunci această direcție se numește negativ, dacă se mișcă în sens invers acelor de ceasornic - pozitiv.

Sinusul unghiului SAU, este ordonata punctului R vector pe un cerc.

Adică, pentru a obține valoarea sinusului unui unghi alfa dat, este necesar să se determine coordonatele Uîntr-un avion.

Cum a fost obținută această valoare? Deoarece știm că sinusul unui unghi arbitrar dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, obținem că

Și de când R=1, Asta sin(α) = y 0 .

Într-un cerc unitar, valoarea ordonatei nu poate fi mai mică de -1 și mai mare de 1, ceea ce înseamnă

Sinusul ia o valoare pozitivă în primul și al doilea sferturi ale cercului unitar și negativă în al treilea și al patrulea.

Cosinusul unghiului cerc dat format din vectorul rază SAU, este abscisa punctului R vector pe un cerc.

Adică, pentru a obține valoarea cosinusului unui unghi alfa dat, este necesar să se determine coordonatele Xîntr-un avion.

Cosinusul unui unghi arbitrar dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză, obținem că

Și de când R=1, Asta cos(α) = x 0 .

În cercul unitar, valoarea abscisei nu poate fi mai mică de -1 și mai mare de 1, ceea ce înseamnă

Cosinusul ia o valoare pozitivă în primul și al patrulea sferturi ale cercului unitar și negativă în al doilea și al treilea.

Tangentăunghi arbitrar Se calculează raportul dintre sinus și cosinus.

Dacă luăm în considerare un triunghi dreptunghic, atunci acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Dacă vorbim despre cercul unitar, atunci acesta este raportul dintre ordonate și abscisă.

Judecând după aceste relații, se poate înțelege că tangenta nu poate exista dacă valoarea abscisei este zero, adică la un unghi de 90 de grade. Tangenta poate lua toate celelalte valori.

Tangenta este pozitivă în primul și al treilea sferturi ale cercului unitar și negativă în al doilea și al patrulea.