Întocmirea unui sistem de ecuații. Rezolvarea problemelor de împărțire proporțională

Sarcinile se bazează pe împărțirea proporțională Sarcina este de a găsi a patra proporțional. Prin urmare, problemele privind împărțirea proporțională sunt începute după familiarizarea cu problemele privind găsirea celui de-al patrulea proporțional.

Problemele de împărțire proporțională includ următoarele:

O). probleme în părți sau probleme rezolvate prin împărțirea proporțională la o serie de numere date;

b). Probleme la găsirea numerelor după sumă și raportul multiplu;

V). probleme rezolvate prin împărțirea unui număr proporțional la mai multe serii de numere.

Să ne oprim asupra examinării problemelor de primul tip.

„Pentru două bucăți de țesătură identică, de 5 m și 7 m, au plătit 36 ​​de ruble... Cât costă fiecare bucată de țesătură?”

Să facem un tabel:

Stabilind o relație între date și cele solicitate, acordăm atenție faptului că dacă materialul este același, atunci prețul ei este același și, prin urmare, cu cât sunt mai mulți metri într-o bucată de astfel de material, cu atât este mai scump. Prin urmare, a doua piesă este mai scumpă decât prima. Cu toate acestea, este imposibil să găsiți imediat costul oricărei bucăți de țesătură, deoarece prețul nu este indicat.

Pentru a afla prețul, trebuie să cunoașteți costul total al întregii țesături - este indicat în condiții - și număr total metri de țesătură în două bucăți. Acest număr poate fi găsit deoarece dimensiunile primei și celei de-a doua piese sunt cunoscute. Pe baza acestei analize, întocmim un plan de soluții:

Să aflăm numărul de metri de țesătură din două bucăți.

Aflați prețul pentru 1 m de țesătură.

Să calculăm costul primei bucăți de material.

Să calculăm costul celei de-a doua bucăți de material textil.

1). 5+7=12 (m) 2).36:12=3 (frec.) 3).3*5= 15 (frec.)

4).3*7=21 (frec.) 12 m de țesătură costă 36 de ruble. 3 frecați. costă 1 m de țesătură 15 frecare. prima bucată de material merită.

21 frecați. există o a doua bucată de material

Verificarea soluției problemei: 15+21 = 36. Costul întregii țesături obținute din soluție coincide cu numărul dat în condiție.

Pentru a verifica soluția unei astfel de probleme, puteți folosi compoziția și rezolvarea problemei inverse. Trebuie reținut că problema inversă trebuie să fie și o problemă de împărțire proporțională.

§ 3. Probleme de găsire a numerelor după două diferenţe. În ceea ce privește dificultatea, problemele care implică găsirea numerelor după două diferențe sunt clasificate în categoria de lângă problemele care implică împărțirea proporțională. La rezolvarea problemelor tipul specificat

“Băiatul a cumpărat 7 foi, iar fata a cumpărat 11 foi. Fata a plătit 12 copeici. mai mult decât un băiat. Cât a plătit fata pentru hârtie și cât a plătit băiatul?”

O scurtă analiză a condițiilor și întrebărilor problemei vă va permite să o scrieți sub forma unui tabel:

Pentru a rezolva această problemă, puteți urma această cale:

1) afla câte coli de hârtie a mai cumpărat fata decât băiatul (11-7=4);

2). afla pretul unei foi de hartie (12:4=3);

3). afla cat a platit baiatul pentru 7 foi (3*7=21);

4). cat a platit fata pentru 11 foi (3*11=33).

La verificare, vor afla câte copeici a plătit fata mai mult decât băiatul: 33-21=12, ceea ce coincide cu datele din condiție.

Sau creează o problemă care este inversa acesteia. Problema inversă trebuie să fie de același tip de problemă.

(modulul Adaptive Adsense bloc la începutul articolului)

PROBLEME DE DIVIZIUNE PROPORȚIONALĂ

CLASA 4

Problemele de divizare proporțională își iau numele de la felul în care sunt rezolvate. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, este necesar să se întocmească o anumită proporție și să se calculeze modul în care cantitățile necesare se raportează între ele.

Să luăm în considerare rezolvarea problemei împărțirii proporționale folosind un exemplu:

Sarcină: Doi muncitori au câștigat 9.000 de ruble. Unul a lucrat 2 săptămâni, iar celălalt 8 săptămâni. Câți bani a câștigat fiecare persoană?

Soluţie: Pe baza condițiilor problemei, puteți afla cum este plătită o săptămână de astfel de muncă:

9000 ÷ (8 + 2) = 900 de ruble pe săptămână.

900 · 2 = 1800 ruble - un muncitor;

900 · 8 = 7200 de ruble - un alt muncitor.

Răspuns: 1800 și 7200.

Exemple de probleme de împărțire proporțională:

1) Doi muncitori au primit 8.000 de ruble. Cum își vor împărți câștigurile dacă unul a lucrat timp de 6 săptămâni, iar celălalt timp de 4 săptămâni?

2) 25 m de sârmă cântăresc 700 g Am luat două bobine de sârmă. O șaviță conține 30 m de sârmă, iar cealaltă mai are 15 m. Cât cântărește fiecare frișcă?

3) Pentru a pregăti vase cu humus de turbă, luați 2 părți de turbă la 7 părți de sol. Cât pământ trebuie să luați pentru 200 kg de turbă?

4) Două școli au comandat răsaduri de căpșuni în valoare de 960 de ruble. O școală a luat 3 cutii, iar cealaltă 5 cutii. Cât ar trebui să plătească fiecare școală pentru răsaduri de căpșuni?

5) Două camioane au transportat 77 de tone de marfă, făcând același număr de călătorii. Câte tone de marfă a transportat fiecare camion dacă un camion a transportat 3 tone pe călătorie, iar celălalt - 4 tone?

6) Doi muncitori au comandat 26 de meri de la pepiniera. Cum ar trebui să împartă pomii de meri dacă unul a dat 500 de ruble pentru cumpărare, iar celălalt 800 de ruble?

7) Câte grame de lipici de cauciuc se vor obține din 50 g de cauciuc dacă pentru a pregăti lipiciul luați 9 părți de benzină purificată la o parte de cauciuc?

8) Doi muncitori au câștigat 8.400 de ruble. Primul a lucrat 5 săptămâni, iar al doilea timp de 7 săptămâni. Câți bani a câștigat fiecare muncitor?

9) Două echipe au lucrat pentru aceeași perioadă de timp și împreună au câștigat 810 ruble. Cum ar trebui să împartă aceste câștiguri dacă sunt 4 oameni într-o echipă și 5 în cealaltă?

10) Clubul a cumpărat același număr de schiuri și patine. O pereche de patine costă 6 USD, iar o pereche de schiuri costă 9 USD. Cât costă separat patinele și schiurile dacă ai plătit 900 USD pentru întreaga achiziție?

11) Pentru a pregăti lipici lichid pentru lemn, luați 15 părți de adeziv pentru faianță și 17 părți de apă. Cât adeziv trebuie să folosiți pentru a face 640 g de adeziv lichid pentru lemn?

12) Pentru 118 ruble am cumpărat același număr de paltoane pentru băieți și fete. Câte dintre ambele au fost cumpărate dacă fiecare palton pentru băieți costa 31 de mărci, iar pentru fete 28 de mărci?

13) Ferma colectivă aducea tot atâtea lăzi cu mere și pere. Fiecare cutie de pere cântărea 50 kg, iar fiecare cutie de mere 40 kg. Toate fructele împreună cântăreau 810 kg. Câte kilograme din acestea și alte fructe au fost aduse separat?

14) În două bucăți 24 m pânză. O bucată costă 240 USD, iar cealaltă 480 USD. Câți metri de pânză sunt în fiecare bucată?

15) „Moskvich” consumă 9 litri de benzină la 100 km, „Volga” - 13 litri. Ambele mașini sunt furnizate cu 66 de litri de benzină la 300 km. Câți litri de benzină sunt furnizați fiecărei mașini?

(modulul Adaptive Adsense bloc la sfârșitul articolului)

Împărțirea proporțională

împărțirea oricărei mărimi într-un raport dat. Dacă această valoare există o, iar relația este n, atunci trebuie să împărțim oîn două părți xȘi ( Oh) astfel încât raportul x Pentru ( topor) ar fi egal n. Exprimând aceasta ca o ecuație și rezolvând-o x, obținem:

x = un/(1 + n).

Întrebările despre împărțirea proporțională includ două probleme geometrice binecunoscute: găsirea lungimii x, medie proporțională cu două lungimi date oŞi b; împărțiți o lungime dată în rapoarte extreme și medii. Construcțiile cu ajutorul cărora se obțin soluții la aceste și probleme similare sunt date în manuale de geometrie elementară.

Dicţionar Enciclopedic F. Brockhaus și I.A. Efron. - S.-Pb.: Brockhaus-Efron. 1890-1907 .

Vedeți ce este „Diviziunea proporțională” în alte dicționare:

Regula de parteneriat, aritmetică. o metodă de împărțire a unui număr în părți proporționale cu numerele date; este adesea folosit la împărțirea profiturilor între parteneri proporțional (respectiv) cu capitalul pe care l-au contribuit la întreprindere sau... ...

- (Latina proportionalis din proportio relatie, asemanare, proportie). Proporțional, legal. Dicţionar cuvinte străine, inclus în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. PROPORȚIONAL lat. propotiornalis, din proportio, proportion.… … Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

PROPORȚIONAL, proporțional, proporțional; proporțional, proporțional, în proporție (lat. proporcionalis proportional) (carte). 1. Posedă proporționalitate a pieselor. Fizicul proporțional. 2. Una care, cu creșterea... Dicţionar Ushakova

Istoria științei... Wikipedia

Parte din papirusul Ahmes Papirusul matematic al lui Ahmes (cunoscut și ca Papirusul Rhind sau Papirusul Rhind) Manual de aritmetică egiptean antic ... Wikipedia

Acest articol face parte din recenzia History of Mathematics. Articolul este dedicat stării și dezvoltării matematicii în Egiptul anticîn perioada de aproximativ XXX până în secolul III î.Hr. e. Cele mai vechi texte matematice egiptene antice datează de la începutul lui II... ... Wikipedia

Istoria științei După subiect Matematică Științe ale naturii ... Wikipedia

Petrov (Ivan) Contor rusesc fenomenal. Născut în 1823 într-o familie de iobagi țărani din provincia Kostroma. La o vârstă fragedă, incapabil să citească sau să scrie, i-a uimit pe cei din jur cu abilitățile sale de aritmetică și de rezolvare a problemelor. ÎN… … Dicţionar biografic

Contor rusesc fenomenal. Născut în 1823 într-o familie de iobagi țărani, provincia Kostroma. La o vârstă fragedă, incapabil să citească sau să scrie, i-a uimit pe cei din jur cu abilitățile sale de aritmetică și de rezolvare a problemelor. La 11 ani......

Un contor fenomenal, născut în 1823 în sat. districtul Ragozino Kologrivsky provincia Kostroma; Părinții săi erau iobagi ai moșierului Voltatis. În ciuda analfabetismului său, P., chiar și la o vârstă foarte fragedă, a uimit de abilitățile sale... Enciclopedie biografică mare

Cărți

• Aritmetică: numere întregi. Despre divizibilitatea numerelor. Măsurarea cantităților. Sistem metric de măsuri. Obișnuit, Kiselev, Andrey Petrovici. Prezentăm atenției cititorilor o carte a remarcabilului profesor și matematician rus A.P. Kiselev (1852-1940), care conține un curs sistematic de aritmetică. Cartea cuprinde șase secțiuni...
• Aritmetică, Kiselev A.. Întregi. Despre divizibilitatea numerelor. Măsurători de cantități. Sistem metric măsuri
• Aritmetică. Numerele întregi. Despre divizibilitatea numerelor. Măsurarea cantităților. Sistem metric de măsuri. Fracții obișnuite (simple). Fracții zecimale. Cantități proporționale, Cititorilor A.P. Kiselev li se oferă o carte a remarcabilului profesor și matematician domestic A.P. Kiselev (1852-1940), care conține un curs sistematic de aritmetică. Cartea cuprinde șase secțiuni...

1. Pentru a împărți un anumit număr proporțional cu numerele date (împărțiți într-un raport dat), trebuie să împărțiți acest număr la suma acestor numere și să înmulțiți rezultatul cu fiecare dintre ele.

2. Pentru a împărți un număr în părți invers proporționale cu numerele date, este suficient să împărțiți acest număr în părți direct proporționale cu numerele invers proporționale cu numerele date.

EXERCIȚII CU SOLUȚII

1. Împărțiți un segment de 15 cm lungime în raport cu Soluția. cm.

2. Împărțiți numărul 27 invers proporțional cu numerele 4 și 5.

Soluţie. reciprocele numerelor date sunt după cum urmează:

MATERIAL DIDACTIC

A. 1. Un segment de lungime a fost împărțit în patru părți proporționale cu numerele 2, 3, 4 și 5. Aflați lungimile acestor părți.

2. Laturile unui triunghi al cărui perimetru este proporțional cu numerele 5, 7 și 8. Aflați laturile triunghiului.

3. Împărțiți numărul 196 în părți proporționale cu numerele:

4. Împărțiți numărul 434 în părți invers proporționale cu numerele: a) 15 și 16; b) 2, 3 și 5.

B. 1. Suprafețele câmpurilor semănate cu secară, grâu și orz sunt proporționale cu cifrele 9, 5 și 3. Câte hectare se seamănă cu secară și câte cu orz, dacă se știe că se seamănă cu grâu.

Soluţie: X kg – masa unei piese

Seryozha – X kg, Natasha – 4 X kg, Kolya – 3 X kg

x + 4x + 3x = 2,4

x = 0,3

Seryozha – 0,3 kg, Natasha – 1,2 kg, Kolya – 0,9 kg

Soluție: lasă X

Atunci masa apei este 4 X kg, greutatea boabelor - 3 X kg, zahăr - 2 X kg.

4x + 3x + 2x = 13,5

9x = 13,5

x = 1,5

Greutatea apei – 6 kg, masa fructelor de pădure – 4,5 kg, zahăr – 3 kg.

Soluție: 1 sens. Lasă X– coeficientul de proporționalitate. Atunci lungimea primului segment este de 2 X m, lungimea celui de-al doilea - 3 X m.

2x + 3x = 1

x = 0,2

lungimi ale segmentelor 0,4 m si 0,6 m

Metoda 2. Aflați lungimea unei părți 2+3=5 părți

1:5=0,2 m – lungimea unei piese

Soluție: Lasă X– coeficientul de proporționalitate.

88=16+24+48

Soluție: Lasă X– coeficientul de proporționalitate.

8x = 112

x = 14 – factor de proporționalitate

primul număr este 42, al doilea este 70

Soluție: Lasă X– coeficientul de proporționalitate.

Primul număr este
, a doua - .

Soluție: Lasă X– coeficientul de proporționalitate.

Al treilea număr -
, al doilea număr -
.

Lasă la– coeficientul de proporționalitate.

Primul număr este.

Soluție: Lasă X– coeficientul de proporționalitate.

Atunci viteza propriei navei este 36 km/h, viteza curentă - 5 x km/h, viteza contra curentului - 31 x km/h, viteza în aval - 41 x km/h.

Viteza în aval se referă la viteza în amonte ca 41:31.

Viteză

Timp

5 ore 10 minute = h

x h

Proporționalitate inversă

- timpul pentru drumul înapoi

x, y,z astfel încât x:y=3:4, y:z =4:5.

Soluţie: x:y:z =3:4:5

Total 3+4+5=12 părți

144:12=12 – o parte

x=36, y=48, z =60.

x, y,z astfel încât x:y=3:2, y:z =5:3.

Soluţie:

Total 15+10+6=31 părți

310:31=10 – o parte

x=150, y=100, z= 60.

Soluție: lasă x, y,z – numere date.

10x=15y, 15y=5z

Total 3+2+6=11 părți

Primul număr este
, a doua -
, al treilea -
.

t, 2t, t-3. T se poate rezolva aceasta problema?

Soluție: totală t + 2t + t-3 = 4t – 3 piese

Să aflăm lungimea unei părți:

Lungimea primei părți -
km, lungimea celei de-a doua părți -
km, lungimea celei de-a treia părți -
km.

Problema are o soluție la

Împărțirea proporțională

Seryozha a colectat 2,4 kg de căpșuni. I-a dat patru părți surorii sale Natasha, trei părți fratelui său Kolya și a păstrat o parte pentru el. Câte kilograme de căpșuni a primit fiecare persoană?

Pentru a prepara compot, aveți nevoie de apă, fructe de pădure și zahăr, ale căror mase trebuie să fie proporționale cu numerele 4, 3 și, respectiv, 2. Câtă apă, fructe de pădure și zahăr trebuie să luați (în greutate) pentru a pregăti 13,5 kg de compot?

Un segment de 1 m lungime a fost împărțit în două părți, ale căror lungimi sunt proporționale cu numerele 2 și 3. Aflați lungimile acestor segmente.

Trei numere sunt în raport 3:5:8, al treilea număr este 112. Calculați primele două numere.

Viteza proprie a navei cu aburi este legată de viteza curentului râului ca 36:5. Nava cu aburi s-a deplasat în aval de râu timp de 5 ore și 10 minute. Cât îi va lua să se întoarcă?

Împărțiți numărul 144 în trei părți x, y,z astfel încât x:y=3:4, y:z =4:5.

Împărțiți numărul 310 în trei părți x, y,z astfel încât x:y=3:2, y:z =5:3.

Suma a trei numere este 90. Produsele primului număr cu 10, al doilea număr cu 15 și al treilea număr cu 5 sunt egale între ele. Găsiți aceste numere.

De la gară la sat 4 km. Turistul a decis să împartă această distanță în trei părți, proporționale cu cifrele t, 2t, t-3. Aflați câți kilometri este fiecare parte a călătoriei. Pentru orice valoare T se poate rezolva aceasta problema?