Formule trigonometrice ale produsului. Suma și diferența de sinusuri și cosinusuri: derivarea formulelor, exemple

Cele mai frecvente întrebări

Se poate face o ștampilă pe un document conform eșantionului furnizat? Răspuns Da, este posibil. Trimiteți o copie sau o fotografie scanată la adresa noastră de e-mail de bună calitate, și vom face duplicatul necesar.

Ce tipuri de plată acceptați? Răspuns Puteti achita documentul la primirea de catre curier, dupa verificarea corectitudinii completarii si a calitatii executiei diplomei. Acest lucru se poate face și la biroul companiilor poștale care oferă servicii de ramburs.
Toate condițiile de livrare și de plată pentru documente sunt descrise în secțiunea „Plată și livrare”. De asemenea, suntem pregătiți să ascultăm sugestiile dumneavoastră cu privire la condițiile de livrare și de plată a documentului.

Pot fi sigur că după plasarea unei comenzi nu vei dispărea cu banii mei? Răspuns Avem o experiență destul de lungă în domeniul producerii de diplome. Avem mai multe site-uri web care sunt actualizate constant. Specialiștii noștri lucrează în diferite părți ale țării, producând peste 10 documente pe zi. De-a lungul anilor, documentele noastre au ajutat mulți oameni să rezolve probleme de angajare sau să treacă la mai multe loc de muncă bine plătit. Ne-am câștigat încredere și recunoaștere în rândul clienților, așa că nu există absolut niciun motiv să facem asta. Mai mult, acest lucru este pur și simplu imposibil de făcut fizic: plătiți comanda în momentul în care o primiți în mâinile dvs., nu există nicio plată în avans.

Pot comanda o diplomă de la orice universitate? Răspuns În general, da. Lucrăm în acest domeniu de aproape 12 ani. În acest timp, s-a format o bază de date aproape completă de documente emise de aproape toate universitățile din țară și nu numai. ani diferiti emitere. Tot ce aveți nevoie este să selectați o universitate, o specialitate, un document și să completați formularul de comandă.

Ce trebuie să faceți dacă găsiți greșeli de scriere și erori într-un document? Răspuns La primirea unui document de la curierul nostru sau firma postala, vă recomandăm să verificați cu atenție toate detaliile. În cazul în care se descoperă o greșeală de tipar, o eroare sau o inexactitate, aveți dreptul de a nu ridica diploma și trebuie să indicați personal defectele constatate curierului sau în scris prin trimiterea unei scrisori către e-mail.
ÎN cât mai repede posibil Vom corecta documentul și îl vom retrimite la adresa specificată. Desigur, transportul va fi plătit de compania noastră.
Pentru a evita astfel de neînțelegeri, înainte de a completa formularul original, trimitem clientului prin e-mail o machetă a viitorului document pentru verificarea și aprobarea versiunii finale. Înainte de a trimite un document prin curier sau poștă, facem și noi fotografie suplimentarăși video (inclusiv în lumină ultravioletă), astfel încât să aveți o idee clară despre ce veți obține în final.

Ce ar trebui să fac pentru a comanda o diplomă de la compania dumneavoastră? Răspuns Pentru a comanda un document (certificat, diplomă, certificat academic etc.), trebuie să completați formularul de comandă online de pe site-ul nostru sau să ne furnizați adresa de e-mail, astfel încât să vă putem trimite un formular de cerere, pe care trebuie să îl completați și să îl trimiteți înapoi la noi.
Dacă nu știți ce să indicați în niciun câmp al formularului de comandă/chestionar, lăsați-le necompletate. Prin urmare, vom clarifica prin telefon toate informațiile lipsă.

Ultimele recenzii

Alexey:

Aveam nevoie să obțin o diplomă pentru a obține un loc de muncă ca manager. Și cel mai important lucru este că am atât experiență, cât și abilități, dar nu pot obține un loc de muncă fără document. Odată ce am dat peste site-ul tău, am decis în sfârșit să cumpăr o diplomă. Diploma a fost finalizata in 2 zile!! Acum am o meserie la care nu am visat niciodată!! Multumesc!

Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste concepte, la prima vedere, complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari) și pentru a ne asigura că „diavolul nu este atât de groaznic pe cât este pictat”, să începem de la de la început și înțelegeți conceptul de unghi.

Conceptul de unghi: radian, grad

Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi colţ.

Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, desigur, unități unghiulare!

Unghiul, atât în geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.

Unghiul (un grad) este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc egal cu o parte a cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.

Adică, figura de mai sus arată un unghi egal cu, adică acest unghi se sprijină pe un arc circular de mărimea circumferinței.

Un unghi în radiani este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, te-ai dat seama? Dacă nu, atunci hai să ne dăm seama din desen.

Deci, figura prezintă un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se sprijină pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcului). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:

Unde este unghiul central în radiani.

Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani sunt conținute în unghiul descris de cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferință. Iată-l:

Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să aflăm că unghiul descris de cerc este egal. Adică, prin corelarea valorii în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.

Câți radiani sunt? Asta e corect!

Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și remediați:

Aveți dificultăți? Atunci uite răspunsuri:

Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unghiului

Deci, ne-am dat seama de conceptul de unghi. Dar ce este sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne va ajuta un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru aceasta este latura); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele adiacente unghi drept), și, dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este opusul. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Cosinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).

În triunghiul nostru.

Cotangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

În triunghiul nostru.

Aceste definiții sunt necesare amintește-ți! Pentru a fi mai ușor să vă amintiți ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăŞi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusurilorŞi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

Cosinu → atinge → atinge → adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu mă crezi? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!

Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.

Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghi.

Cercul unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).

Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonatele axei și coordonatele axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiulară deoarece este perpendiculară pe axă.

Cu ce este egal triunghiul? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:

Cu ce este egal triunghiul? Ei bine desigur! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:

Deci, poți spune ce coordonate are un punct aparținând unui cerc? Ei bine, în niciun caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama de asta și sunt doar numere? Cărei coordonate corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Si la ce coordonata corespunde? Așa e, coordonate! Astfel, punct.

Atunci ce sunt și egal cu? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: unghi (ca adiacent unui unghi). Care sunt valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar va fi doar negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul unui cerc este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază către sau către? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.

În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.

Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală sau (unde este orice număr întreg)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: unghiul la corespunde unui punct cu coordonate, prin urmare:

Nu există;

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

Nu există

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și, date în tabelul de mai jos, trebuie amintit:

Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu suficient memorare simplă valorile corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi (), precum și valoarea tangentei unghiului. Cunoscând aceste valori, este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți toate valorile din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?

Ei bine, bineînțeles că poți! Hai să-l scoatem afară formula generala pentru a afla coordonatele unui punct.

De exemplu, iată un cerc în fața noastră:

Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele unui punct obținute prin rotirea punctului cu grade.

După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

Apoi avem asta pentru coordonata punctului.

Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Astfel,

Deci, în vedere generală coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

Coordonatele centrului cercului,

Raza cercului,

Unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:

Ei bine, haideți să încercăm aceste formule exersând găsirea punctelor pe un cerc?

1. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

2. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

3. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

4. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

5. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?

Rezolva aceste cinci exemple (sau te pricepi la rezolvarea lor) si vei invata sa le gasesti!

Puteți observa asta. Dar știm ce corespunde unei revoluții complete punct de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:

2. Cercul unitar este centrat într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Puteți observa asta. Știm ce corespunde la două revoluții complete ale punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:

Sinus și cosinus sunt valorile tabelului. Ne amintim semnificațiile lor și obținem:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

3. Cercul unitar este centrat într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Puteți observa asta. Să reprezentăm exemplul în cauză în figură:

Raza formează unghiuri egale cu și cu axa. Știind că valorile de tabel ale cosinusului și sinusului sunt egale și s-a stabilit că cosinusul de aici ia valoare negativă, iar sinusul este pozitiv, avem:

Mai multe detalii exemple similare sunt înțelese la studierea formulelor de reducere a funcțiilor trigonometrice din subiect.

Astfel, punctul dorit are coordonate.

Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție)

Pentru a determina semnele corespunzătoare de sinus și cosinus, construim un cerc și un unghi unitar:

După cum puteți vedea, valoarea, adică este pozitivă, iar valoarea, adică este negativă. Cunoscând valorile tabelare ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare, obținem că:

Să substituim valorile obținute în formula noastră și să găsim coordonatele:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

5. Pentru a rezolva această problemă, folosim formule în formă generală, unde

Coordonatele centrului cercului (în exemplul nostru,

Raza cercului (după condiție)

Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție).

Să înlocuim toate valorile în formulă și să obținem:

și - valorile tabelului. Să ne amintim și să le înlocuim în formula:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă (depărtată) și latura adiacentă (închisă).

Cotangenta unui unghi este raportul dintre latura adiacentă (în apropiere) și latura opusă (depărtată).

Vom începe studiul nostru de trigonometrie cu triunghiul dreptunghic. Să definim ce sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.

Să vă reamintim că unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate de unghi rotit.

Unghi ascuțit- sub 90 de grade.

Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. Când se aplică unui astfel de unghi, „obtuz” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)

Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat cu . Vă rugăm să rețineți că latura opusă colțului este indicată de aceeași literă, doar mică. Astfel, latura opusă unghiului A este desemnată .

Unghiul este notat cu litera greacă corespunzătoare.

Ipotenuză a unui triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.

Picioarele- laturile situate opuse unghiurilor ascuțite.

Piciorul situat opus unghiului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe una dintre laturile unghiului, se numește adiacent.

Sinusul Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:

Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:

Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:

O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unghiului și cosinusul său:

Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura adiacentă și opusul (sau, ceea ce este același, raportul dintre cosinus și sinus):

Observați mai jos relațiile de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Ne vor fi de folos atunci când rezolvăm probleme.

Să demonstrăm unele dintre ele.

Bine, am dat definiții și am notat formule. Dar de ce mai avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?

Știm asta suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu.

Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .

Se dovedește că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând cele două laturi ale unui triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Aceasta înseamnă că unghiurile au propriul raport, iar laturile au propriul lor raport. Dar ce ar trebui să faci dacă într-un triunghi dreptunghic cunoști un unghi (cu excepția unghiului drept) și o latură, dar trebuie să găsești celelalte laturi?

Aceasta este ceea ce oamenii în trecut au întâlnit când făceau hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.

Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc funcții unghiulare trigonometrice- da relatii intre petreceriŞi colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.

De asemenea, vom desena un tabel cu valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile „bune” de la până.

Vă rugăm să rețineți cele două linii roșii din tabel. La valorile unghiulare adecvate, tangenta și cotangenta nu există.

Să ne uităm la câteva probleme de trigonometrie din Banca de activități FIPI.

1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsiți .

Problema este rezolvată în patru secunde.

Din moment ce , .

2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsiți .

Să-l găsim folosind teorema lui Pitagora.

Problema este rezolvată.

Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și. Amintiți-vă raporturile de bază pentru ei pe de rost!

Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.

Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.

Ne-am uitat la probleme de rezolvat triunghiuri dreptunghiulare- adică pentru a găsi laturi sau unghiuri necunoscute. Dar asta nu este tot! ÎN Opțiuni pentru examenul de stat unificat la matematică există multe probleme în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului extern al unui triunghi. Mai multe despre asta în următorul articol.

Identități trigonometrice- acestea sunt egalități care stabilesc o relație între sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi, ceea ce vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția ca oricare alta să fie cunoscută.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și pătratul cosinusului unui unghi este egală cu unu, ceea ce face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când cosinusul lui este cunoscut și invers. .

La conversie expresii trigonometrice Este foarte des folosită această identitate, ceea ce permite înlocuirea cu unul a pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi și, de asemenea, efectuarea operației de înlocuire în ordine inversă.

Găsirea tangentei și cotangentei folosind sinus și cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți la el, atunci prin definiție ordonata y este un sinus, iar abscisa x este un cosinus. Atunci tangenta va fi egală cu raportul \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), și raportul \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- va fi o cotangentă.

Să adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \alpha la care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens, identitățile se vor menține, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

De exemplu: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) este valabil pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pentru un unghi \alpha altul decât \pi z, z este un întreg.

Relația dintre tangentă și cotangentă

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Această identitate este valabilă numai pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2) z. În caz contrar, nici cotangenta, fie tangenta nu vor fi determinate.

Pe baza punctelor de mai sus, obținem asta tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Rezultă că tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Astfel, tangenta și cotangenta aceluiași unghi la care au sens sunt numere reciproc inverse.

Relații dintre tangentă și cosinus, cotangentă și sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- suma pătratului tangentei unghiului \alpha și 1 este egală cu pătratul invers al cosinusului acestui unghi. Această identitate este valabilă pentru toate \alpha, altele decât \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- suma lui 1 și pătratul cotangentei unghiului \alpha este egală cu pătratul invers al sinusului unghi dat. Această identitate este valabilă pentru orice \alpha diferit de \pi z.

Exemple cu soluții la probleme folosind identități trigonometrice

Exemplul 1

Găsiți \sin \alpha și tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Şi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Arată soluția

Soluţie

Funcțiile \sin \alpha și \cos \alpha sunt legate prin formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Înlocuind în această formulă \cos \alpha = -\frac12, obținem:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Această ecuație are 2 soluții:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru sinusul este pozitiv, deci \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Pentru a găsi bronz \alpha, folosim formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemplul 2

Găsiți \cos \alpha și ctg \alpha dacă și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Arată soluția

Soluţie

Înlocuind în formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 număr dat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), primim \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Această ecuație are două soluții \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru cosinusul este negativ, deci \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Pentru a găsi ctg \alpha , folosim formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Cunoaștem valorile corespunzătoare.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

În acest articol vom vorbi despre substituție trigonometrică universală. Ea implică exprimarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei oricărui unghi prin tangenta unui semiunghi. Mai mult, o astfel de înlocuire se realizează rațional, adică fără rădăcini.

În primul rând, vom scrie formule care exprimă sinus, cosinus, tangentă și cotangente în termeni de tangente a unui jumătate de unghi. În continuare vom arăta derivarea acestor formule. În concluzie, să ne uităm la câteva exemple de utilizare a substituției trigonometrice universale.

Navigare în pagină.

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă prin tangenta unui jumătate de unghi

Mai întâi, să scriem patru formule care exprimă sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi prin tangenta unui jumătate de unghi.

Formulele indicate sunt valabile pentru toate unghiurile la care sunt definite tangentele și cotangentele incluse în ele:

Formule derivate

Să analizăm derivarea formulelor care exprimă sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi prin tangenta unui semiunghi. Să începem cu formulele pentru sinus și cosinus.

Să reprezentăm sinusul și cosinusul folosind formulele unghiului dublu ca Şi respectiv. Acum expresiile Şi îl scriem sub formă de fracții cu numitorul 1 ca Şi . În continuare, pe baza identității trigonometrice principale, înlocuim unitățile din numitor cu suma pătratelor sinusului și cosinusului, după care obținem Şi . În cele din urmă, împărțim numărătorul și numitorul fracțiilor rezultate la (valoarea sa este diferită de zero, furnizat ). Ca rezultat, întregul lanț de acțiuni arată astfel:

Şi

Aceasta completează derivarea formulelor care exprimă sinusul și cosinusul prin tangenta unui semiunghi.

Rămâne să derivăm formule pentru tangentă și cotangentă. Acum, ținând cont de formulele obținute mai sus, atât formulele cât și , obținem imediat formule care exprimă tangenta și cotangenta prin tangentei semiunghiului:

Deci, am derivat toate formulele pentru substituția trigonometrică universală.

Exemple de utilizare a substituției trigonometrice universale

Mai întâi, să ne uităm la un exemplu de utilizare a substituției trigonometrice universale la transformarea expresiilor.

Exemplu.

Dați o expresie la o expresie care conține o singură funcție trigonometrică.

Soluţie.

Răspuns:

Referințe.

Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.