Rangul minor al matricei. Calculul rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare (algoritmul Gauss). Cum să găsiți rangul unei matrice folosind minori

Să fie dată o matrice:

Să selectăm în această matrice șiruri arbitrare și coloane arbitrare
. Apoi determinantul ordinul al-lea, compus din elemente de matrice
, situat la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, se numește minor matricea de ordinul al-lea
.

Definiția 1.13. Rangul matricei
este cel mai mare ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

Pentru a calcula rangul unei matrice, trebuie să luăm în considerare toți minorii ei de ordinul cel mai mic și, dacă cel puțin unul dintre ei este diferit de zero, să trecem la luarea în considerare a minorilor de ordinul cel mai înalt. Această abordare pentru determinarea rangului unei matrice se numește metoda de limită (sau metoda de limită a minorilor).

Problema 1.4. Folosind metoda limitării minorilor, determinați rangul matricei
.

Luați în considerare marginile de ordinul întâi, de exemplu,
. Apoi trecem la considerarea unor margini de ordinul doi.

De exemplu,
.

În cele din urmă, să analizăm marginea de ordinul trei.

Deci, cel mai înalt ordin al unui minor diferit de zero este 2, prin urmare
.

Când rezolvați Problema 1.4, puteți observa că un număr de minori de ordinul doi sunt diferit de zero. În acest sens, se aplică următorul concept.

Definiția 1.14. O bază minoră a unei matrice este orice minoră diferită de zero a cărei ordine este egală cu rangul matricei.

Teorema 1.2.(Teorema de bază minoră). Rândurile de bază (coloanele de bază) sunt liniar independente.

Rețineți că rândurile (coloanele) unei matrice sunt dependente liniar dacă și numai dacă cel puțin una dintre ele poate fi reprezentată ca o combinație liniară a celorlalte.

Teorema 1.3. Numărul de rânduri de matrice liniar independente este egal cu numărul de coloane de matrice liniar independente și este egal cu rangul matricei.

Teorema 1.4.(Condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero). Pentru ca determinantul -a ordine a fost egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.

Calcularea rangului unei matrice pe baza definiției sale este prea greoaie. Acest lucru devine deosebit de important pentru matricele de ordin înalt. În acest sens, în practică, rangul unei matrice este calculat pe baza aplicării teoremelor 10.2 - 10.4, precum și a utilizării conceptelor de echivalență a matricei și transformări elementare.

Definiția 1.15. Două matrice
Şi sunt numite echivalente dacă rangurile lor sunt egale, adică
.

Dacă matrice
Şi sunt echivalente, apoi rețineți
 .

Teorema 1.5. Rangul matricei nu se modifică din cauza transformărilor elementare.

Vom numi transformări matrice elementare
oricare dintre următoarele operații pe o matrice:

Înlocuirea rândurilor cu coloane și coloanelor cu rândurile corespunzătoare;

Rearanjarea rândurilor matricei;

Tăierea unei linii ale cărei elemente sunt toate zero;

Înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;

Adăugarea elementelor unei linii a elementelor corespunzătoare unei alte linii înmulțite cu același număr
.

Corolarul teoremei 1.5. Dacă matricea
obtinut din matrice folosind un număr finit de transformări elementare, apoi matricea
Şi sunt echivalente.

Când se calculează rangul unei matrice, aceasta ar trebui redusă la o formă trapezoidală folosind un număr finit de transformări elementare.

Definiția 1.16. Vom numi trapezoidală o formă de reprezentare a unei matrice atunci când, în marginea minoră de ordinul cel mai înalt, altul decât zero, toate elementele de sub cele diagonale dispar. De exemplu:

Aici
, elemente de matrice
mergi la zero. Apoi forma de reprezentare a unei astfel de matrice va fi trapezoidală.

De regulă, matricele sunt reduse la o formă trapezoidală folosind algoritmul gaussian. Ideea algoritmului Gauss este că, prin înmulțirea elementelor primului rând al matricei cu factorii corespunzători, se realizează ca toate elementele primei coloane situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi, înmulțind elementele coloanei a doua cu factorii corespunzători, ne asigurăm că toate elementele coloanei a doua situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi procedați în același mod.

Problema 1.5. Determinați rangul unei matrice prin reducerea acesteia la o formă trapezoidală.

Pentru a facilita utilizarea algoritmului gaussian, puteți schimba prima și a treia linie.








.

Este evident că aici
. Cu toate acestea, pentru a aduce rezultatul într-o formă mai elegantă, puteți continua transformarea coloanelor.










.

Anterior pentru o matrice pătrată Ordinul a fost introdus conceptul de minor
element . Să ne amintim că acesta este numele dat determinantului ordinii
, obtinut din determinant
prin tăiere a linia și a coloana.

Să introducem acum conceptul general de minor. Să luăm în considerare câteva nu neapărat pătrat matrice . Să alegem câteva numere de linie
Şi numerele coloanei
.

Definiţie. Comanda minora matrici (corespunzător rândurilor și coloanelor selectate) se numește determinant de ordine , format din elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, i.e. număr

Fiecare matrice are tot atâtea minore dintr-un ordin dat , în câte moduri puteți selecta numerele de linii
și coloane
.

Definiţie. În matrice dimensiuni
comanda minora numit de bază, dacă este diferit de zero și toți minorii sunt de ordine
egal cu zero sau ordin minor
la matrice deloc.

Este clar că o matrice poate avea mai mulți minori de bază diferite, dar toți minorii de bază au aceeași ordine. Într-adevăr, dacă toți minorii sunt de ordine
sunt egale cu zero, atunci toți minorii ordinului sunt egali cu zero
, și, în consecință, toate ordinele superioare.

Definiţie. Rangul matricei Ordinea minorului de bază se numește, sau, cu alte cuvinte, cea mai mare ordine pentru care există minori, alții decât zero. Dacă toate elementele unei matrice sunt egale cu zero, atunci rangul unei astfel de matrice, prin definiție, este considerat zero.

Rangul matricei vom nota prin simbol
. Din definiția rangului rezultă că pentru matrice dimensiuni
raportul este corect.

Două moduri de a calcula rangul unei matrice

O) Metoda marginală minoră

Să se găsească un minor în matrice
-al-lea, diferit de zero. Să luăm în considerare doar acei minori
-allea ordin, care conțin (margine) un minor
: dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este . În caz contrar, printre minorii învecinați se numără un minor non-zero
-a ordine și se repetă întreaga procedură.

Exemplul 9 . Aflați rangul unei matrice prin metoda limitării minorilor.

Să alegem un minor de ordinul doi
. Există doar un minor de ordinul al treilea, învecinat cu minorul selectat
. Să-l calculăm.

Deci este minor
de bază, iar rangul matricei este egal cu ordinea acesteia, adică

Este clar că iterarea prin minori în acest fel în căutarea bazei este o sarcină asociată cu calcule mari, dacă dimensiunile matricei nu sunt foarte mici. Există, totuși, o modalitate mai simplă de a găsi rangul unei matrice - folosind transformări elementare.

b) Metoda de transformare elementară

Definiţie. Transformări matrice elementare Următoarele transformări se numesc:

înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;

adăugarea unei alte linii la o linie;

rearanjarea liniilor;

aceleași transformări de coloană.

Transformările 1 și 2 sunt efectuate element cu element.

Prin combinarea transformărilor primului și celui de-al doilea tip, putem adăuga o combinație liniară a șirurilor rămase la orice șir.

Teorema. Transformările elementare nu schimbă rangul matricei.

(Fără dovadă)

Ideea unei metode practice de calculare a rangului unei matrice

este că cu ajutorul transformărilor elementare această matrice duce la apariție

, (5)

în care elementele „diagonale”.
sunt diferite de zero, iar elementele situate sub cele „diagonale” sunt egale cu zero. Să fim de acord să numim matricea acest tip de triunghiular (altfel, se numește diagonală, trapezoidală sau scară). După reducerea matricei la forma triunghiulară putem scrie imediat că
.

De fapt,
(deoarece transformările elementare nu schimbă rangul). Dar matricea există o comandă minoră diferită de zero :

si orice minor de ordine
conține șirul nul și, prin urmare, este egal cu zero.

Să formulăm acum practic regula de calcul al rangului matrici folosind transformări elementare: pentru a afla rangul matricei ar trebui adusă la o formă triunghiulară folosind transformări elementare . Apoi rangul matricei va fi egal cu numărul de rânduri diferite de zero din matricea rezultată .

Exemplul 10. Aflați rangul unei matrice prin metoda transformărilor elementare

Soluţie.

Să schimbăm prima și a doua linie (deoarece primul element al celei de-a doua linii este −1 și va fi convenabil să efectuați transformări cu acesta). Ca rezultat, obținem o matrice echivalentă cu aceasta.

Să notăm - acel rând al matricei - . Trebuie să reducem matricea originală la formă triunghiulară. Vom considera prima linie ca fiind linia de conducere ea va participa la toate transformările, dar ea însăși rămâne neschimbată.

În prima etapă, vom efectua transformări care ne permit să obținem zerouri în prima coloană, cu excepția primului element. Pentru a face acest lucru, scădeți prima linie din a doua linie, înmulțită cu 2
, adăugați primul la a treia linie
, iar din a treia îl scadem pe primul, înmulțit cu 3
Obținem o matrice al cărei rang coincide cu rangul acestei matrice. Să o notăm cu aceeași literă :

Deoarece trebuie să reducem matricea la forma (5), scădem a doua din al patrulea rând. În acest caz avem:

Se obține o matrice de formă triunghiulară și putem concluziona că
, adică numărul de linii diferite de zero. Pe scurt, soluția problemei poate fi scrisă după cum urmează:

Rânduri (coloane). Se spune că mai multe rânduri (coloane) sunt liniar independente dacă niciunul dintre ele nu poate fi exprimat liniar în termenii celorlalte. Rangul sistemului de rânduri este întotdeauna egal cu rangul sistemului de coloane, iar acest număr se numește rangul matricei.

Rangul unei matrice este cel mai înalt dintre ordinele tuturor minorilor posibili diferit de zero ale acestei matrice. Rangul unei matrice zero de orice dimensiune este zero. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt zero, atunci rangul este unul etc.

Rangul matricei - dimensiunea imaginii dim ⁡ (im ⁡ (A)) (\displaystyle \dim(\operatorname (im) (A))) operator liniar căruia îi corespunde matricea.

De obicei, rangul matricei A (\displaystyle A) notat cu sunat ⁡ A (\displaystyle \operatorname (rang) A), r ⁡ A (\displaystyle \operatorname (r) A), rg ⁡ A (\displaystyle \operatorname (rg) A) sau rang ⁡ A (\displaystyle \operatorname (rank) A). Ultima opțiune este tipică pentru limba engleză, în timp ce primele două sunt pentru germană, franceză și o serie de alte limbi.

YouTube enciclopedic

1 / 5

Fie o matrice dreptunghiulară.

Apoi, prin definiție, rangul matricei A (\displaystyle A) este:

Teorema (despre corectitudinea determinării rangurilor). Lasă toți minorii matricei A m × n (\displaystyle A_(m\times n)) comanda k (\displaystyle k) sunt egale cu zero ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Apoi ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0), dacă ele există.

Definiții înrudite

Proprietăți

Teorema (despre baza minoră): Lasă r = sunat ⁡ A , M r (\displaystyle r=\operatorname (rang) A,M_(r))- baza minoră a matricei A (\displaystyle A), Atunci:
Consecințe:
Teorema (despre invarianța rangului în cadrul transformărilor elementare): Să introducem o notație pentru matricele obținute între ele prin transformări elementare. Atunci următoarea afirmație este adevărată: Dacă A ∼ B (\displaystyle A\sim B), atunci rangurile lor sunt egale.
Teorema Kronecker-Capelli: Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse. În special:
- Numărul de variabile principale ale sistemului este egal cu rangul sistemului.
- Un sistem consistent va fi definit (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale.
Inegalitatea lui Sylvester: Dacă OŞi B matrici de dimensiuni m x nŞi n x k, Asta

a sonat ⁡ A B ≥ a sonat ⁡ A + a sonat ⁡ B - n (\displaystyle \operatorname (rang) AB\geq \operatorname (rang) A+\operatorname (rang) B-n)

Acesta este un caz special al următoarei inegalități.

Inegalitatea lui Frobenius: Dacă AB, BC, ABC sunt definite corect, atunci

a sonat ⁡ A B C ≥ a sonat ⁡ A B + a sonat ⁡ B C − a sonat ⁡ B (\displaystyle \operatorname (rang) ABC\geq \operatorname (rang) AB+\operatorname (rang) BC-\operatorname (rang) B)

Transformarea liniară și rangul matricei

Lasă A (\displaystyle A)- matricea dimensiunilor m × n (\displaystyle m\times n) peste câmp C (\displaystyle C)(sau R (\displaystyle R)). Lasă T (\displaystyle T)- transformarea liniară corespunzătoare A (\displaystyle A) pe o bază standard; asta înseamnă că T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Rangul matricei A (\displaystyle A) este dimensiunea intervalului de transformare T (\displaystyle T).

Metode

Există mai multe metode pentru a găsi rangul unei matrice:

Metoda de transformare elementară

Rangul unei matrice este egal cu numărul de rânduri diferite de zero din matrice după reducerea acesteia la formă eșalonată folosind transformări elementare pe rândurile matricei.

Metoda marginală minoră

Lasă în matrice A (\displaystyle A) minor diferit de zero găsit k (\displaystyle k)-a ordine M (\displaystyle M). Să luăm în considerare toți minorii (k + 1) (\displaystyle (k+1))-al-lea ordin, inclusiv (de margini) minor M (\displaystyle M); dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu k (\displaystyle k). În caz contrar, printre minorii învecinați există unul diferit de zero, iar toată procedura se repetă.

Rangul matricei

Definiția 1

Se spune că un sistem de rânduri/coloane ale unei matrice este liniar independent dacă niciunul dintre aceste rânduri (niciuna dintre aceste coloane) nu este exprimat liniar în termeni de alte rânduri/coloane.

Rangul unui sistem de rânduri/coloane dintr-o anumită matrice $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ este cel mai mare număr de rânduri/coloane liniar independente.

Rangul sistemului de coloane se potrivește întotdeauna cu rangul sistemului de rânduri. Acest rang se numește rangul matricei în cauză.

Rangul unei matrice este maximul ordinelor minore ale unei matrice date pentru care determinantul este diferit de zero.

Următoarele notații sunt folosite pentru a indica rangul unei matrice: $rangA$, $rgA$, $rankA$.

Rangul unei matrice are următoarele proprietăți:

Pentru o matrice zero, rangul matricei este zero, pentru restul, rangul este un număr pozitiv.
Rangul unei matrice dreptunghiulare de ordinul $m\times n$ nu este mai mare decât cel mai mic dintre numărul de rânduri sau coloane ale matricei, i.e. $0\le rang\le \min (m,n)$.
Pentru o matrice pătrată nesingulară de un anumit ordin, rangul acestei matrice coincide cu ordinea matricei date.
Determinantul unei matrice pătrate de un anumit ordin, având un rang mai mic decât ordinul matricei, egal cu zero.

Există două moduri de a găsi rangul unei matrice:

frontieră folosind determinanți și minori (metoda marginii);
prin transformări elementare.

Algoritmul metodei de margine include următoarele:

În cazul în care toți minorii de ordinul întâi sunt egali cu zero, avem rangul matricei luate în considerare egal cu zero.
În cazul în care cel puțin unul dintre minorii de ordinul întâi nu este egal cu zero și toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, rangul matricei este egal cu 1.
În cazul în care cel puțin unul dintre minorii de ordinul doi nu este egal cu zero, se examinează minorii de ordinul trei. Ca urmare, este găsit un minor de ordinul $k$ și se verifică dacă minorii de ordinul $k+1$ sunt egali cu zero. Dacă toți minorii de ordin $k+1$ sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu $k$.

Cum se determină rangul unei matrice: exemple

Exemplul 1

Soluţie:

Rețineți că rangul matricei originale nu poate fi mai mare de 3.

Printre minorii de ordinul întâi sunt minori care nu sunt egali cu zero, de exemplu, $M_(1) =\left|-2\right|=-2$. Să luăm în considerare minorii de ordinul doi.

$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (-2) & (1) \\ (1) & (0) \end(array)\right|=-2\cdot 0-1 \cdot 1=0-1=-1\ne 0$

$M_(3) =\left|\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2) ) și (3) \end(matrice)\right|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 3\cdot (-2)=3+8-0-3+12=20\ne 0$

Prin urmare, rangul matricei în cauză este 3.

Exemplul 2

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin(array)(ccccc) (1) & (2) & (3) & (0) & (1) \\ (0) & (1) & ( 2) & (3) & (4) \\ (2) & (3) & (1) & (4) & (5) \\ (0) & (0) & (0) & (0) & ( 0) \ end(matrice)\right)$.

Soluţie:

Rețineți că rangul matricei originale nu poate fi mai mare de 4 (4 rânduri, 5 coloane).

Printre minorii de ordinul întâi se numără și altele diferite de zero, de exemplu, $M_(1) =\left|1\right|=1$. Să luăm în considerare minorii de ordinul doi.

$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (1) & (2) \\ (0) & (1) \end(array)\right|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$

Să executăm marginea minorului de ordinul doi și să obținem un minor de ordinul trei.

$M_(3) =\left|\begin(array)(ccc) (1) și (2) și (3) \\ (0) și (1) și (2) \\ (2) și (3) & (1) \end(matrice)\right|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 3\cdot 3-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot 1\ cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$

Să efectuăm marginea minorului de ordinul al treilea și să obținem un minor de ordinul al patrulea.

$M_(4) =\left|\begin(array)(cccc) (1) & (2) & (3) & (0) \\ (0) & (1) & (2) & (3) \ \ (2) & (3) & (1) & (4) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \end(array)\right|=0$ (conține un șir nul)

$M_(5) =\left|\begin(array)(cccc) (1) & (2) & (3) & (1) \\ (0) & (1) & (2) & (4) \ \ (2) & (3) & (1) & (5) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \end(array)\right|=0$ (conține un șir nul)

Toți minorii de ordinul al patrulea ai matricei sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei în cauză este 3.

Găsirea rangului unei matrice prin transformări elementare se reduce la reducerea matricei la o formă diagonală (în trepte). Rangul matricei obtinut ca urmare a transformarilor este egal cu numarul de elemente diagonale nenule.

Exemplul 3

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2) & (3) \end(matrice)\right)$.

Soluţie:

Să schimbăm primul și al doilea rând al matricei A:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2) & ( 3) \end(array)\right)\sim \left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-2) & (1) & (4) \\ (1) și (2) și (3) \end(array)\right)$

Înmulțiți primul rând al matricei B cu numărul 2 și adăugați-l la al doilea rând:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) și (0) și (3) \\ (-2) și (1) și (4) \\ (1) și (2) și (3) \end(matrice)\right)\sim \left(\begin(array)(ccc) (1) și (0) și (3) \\ (0) și (1) și (10) \\ (1) & (2) & (3) \end(matrice)\right)$

Să înmulțim primul rând al matricei C cu numărul -1 și să îl adăugăm la al treilea rând:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (1) & (2) & (3) \ sfârşit(matrice)\right)\sim \left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (2) și (0) \end(matrice)\right)$

Să înmulțim al doilea rând al matricei D cu numărul -2 și să îl adăugăm la al treilea rând:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (2) & (0) \ sfârşit(matrice)\right)\sim \left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) și (-20) \end(matrice)\right)$

$\left(\begin(array)(ccc) (1) și (0) și (3) \\ (0) și (1) și (10) \\ (0) și (0) și (-20) \end(array)\right)$ - matrice eșalon

Numărul de elemente diagonale nenule este 3, deci $rang=3$.

Acest articol va discuta un astfel de concept precum rangul unei matrice și conceptele suplimentare necesare. Vom oferi exemple și dovezi de găsire a rangului unei matrice și, de asemenea, vă vom spune ce este o matrice minoră și de ce este atât de importantă.

Matrice minoră

Pentru a înțelege care este rangul unei matrice, trebuie să înțelegeți conceptul de matrice minoră.

Definiția 1

Minorkde ordinul matricei este determinantul unei matrici pătrate de ordinul k×k, care este compusă din elemente ale matricei A situate în k-rânduri și k-coloane preselectate, menținând în același timp poziția elementelor matricei A.

Mai simplu spus, dacă în matricea A ștergeți (p-k) rânduri și (n-k) coloane, iar din acele elemente care rămân, creați o matrice, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul matricei rezultate este ordinul k minor al matricei A.

Din exemplu rezultă că minorii de ordinul întâi ale matricei A sunt elementele matricei în sine.

Putem da mai multe exemple de minori de ordinul 2. Să selectăm două rânduri și două coloane. De exemplu, primul și al doilea rând, a treia și a patra coloană.

Cu această alegere a elementelor, minorul de ordinul doi va fi - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Un alt minor de ordinul 2 al matricei A este 0 0 1 1 = 0

Să oferim ilustrări ale construcției minorilor de ordinul doi din matricea A:

Un minor de ordinul 3 se obține prin tăierea celei de-a treia coloane a matricei A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ilustrație a modului în care se obține minorul de ordinul 3 al matricei A:

Pentru o anumită matrice, nu există minori mai mari de ordinul 3, deoarece

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Câte minore de ordinul k există pentru matricea A de ordinul p×n?

Numărul de minori se calculează folosind următoarea formulă:

C p k × C n k , unde e C p k = p ! k! (p - k) ! și C n k = n ! k! (n - k) ! - numărul de combinații de la p la k, respectiv de la n la k.

După ce am determinat care sunt minorele matricei A, putem trece la determinarea rangului matricei A.

Rang matrice: metode de găsire

Definiția 2

Rangul matricei - ordinul cel mai înalt al matricei, altul decât zero.

Denumirea 1

Rang (A), Rg (A), Rang (A).

Din definiția rangului unei matrice și a minorului unei matrice, devine clar că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice non-zero este diferit de zero.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție

Definiția 3

Metoda de enumerare a minorilor - o metodă bazată pe determinarea rangului unei matrice.

Algoritm de acțiuni folosind metoda de enumerare a minorilor :

Este necesar să găsim rangul unei matrice A de ordin p× n. Dacă există cel puțin un element diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unul ( deoarece există un minor de ordinul 1 care nu este egal cu zero).

Urmează enumerarea minorilor de ordinul 2. Dacă toți minorii de ordinul 2 sunt egali cu zero, atunci rangul este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor de ordinul 2, diferit de zero, este necesar să se trece la enumerarea minorilor de ordinul 3, iar rangul matricei, în acest caz, va fi egal cu cel puțin doi.

Să facem același lucru cu rangul de ordinul 3: dacă toți minorii matricei sunt egali cu zero, atunci rangul va fi egal cu doi. Dacă există cel puțin un minor diferit de zero de ordinul al 3-lea, atunci rangul matricei este de cel puțin trei. Și așa mai departe, prin analogie.

Exemplul 2

Aflați rangul matricei:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său minim este unul.

Minorul de ordinul 2 - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 este diferit de zero. Rezultă că rangul matricei A este de cel puțin doi.

Sortăm minorii de ordinul 3: C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3) ! = 10 bucăți.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Minorii de ordinul 3 sunt egali cu zero, deci rangul matricei este doi.

Răspuns : Rang (A) = 2.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda minorilor limită

Definiția 3

Metoda marginală minoră - o metodă care vă permite să obțineți rezultate cu mai puțină muncă de calcul.

Marginea minoră - minor M o k (k + 1) de ordinul al treilea al matricei A, care mărginește M o minor de ordinul k al matricei A, dacă matricea care corespunde minorului M o k „conține” matricea care corespunde minor M.

Mai simplu spus, matricea care corespunde minorului de margine M se obține din matricea corespunzătoare minorului de margine M o k prin ștergerea elementelor unui rând și a unei coloane.

Exemplul 3

Aflați rangul matricei:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Pentru a găsi rangul luăm minorul de ordinul 2 M = 2 - 1 4 1

Notăm toți minorii învecinați:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Pentru a justifica metoda limitării minorilor, prezentăm o teoremă, a cărei formulare nu necesită o demonstrație.

Teorema 1

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k+1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Algoritmul acțiunilor :

Pentru a găsi rangul unei matrice, nu este necesar să parcurgeți toți minorii, ci doar uitați-vă la cei învecinați.

Dacă minorii învecinați sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este zero. Dacă există cel puțin un minor care nu este egal cu zero, atunci luăm în considerare minorii învecinați.

Dacă toate sunt zero, atunci rangul (A) este doi. Dacă există cel puțin un minor învecinat diferit de zero, atunci trecem să luăm în considerare minorii săi învecinați. Și așa mai departe, în același mod.

Exemplul 4

Găsiți rangul unei matrice folosind metoda minorilor marginii

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Cum se rezolvă?

Deoarece elementul a 11 al matricei A nu este egal cu zero, luăm un minor de ordinul I. Să începem să căutăm un minor învecinat care este diferit de zero:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Am găsit un minor învecinat de ordinul 2 care nu este egal cu zero 2 0 4 1 .

Să enumerăm minorii învecinați - (sunt (4 - 2) × (5 - 2) = 6 bucăți).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Răspuns : Rang(A) = 2.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda Gaussiană (folosind transformări elementare)

Să ne amintim ce sunt transformările elementare.

Transformări elementare:

prin rearanjarea rândurilor (coloanelor) matricei;
prin înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar non-nul k;

prin adăugarea la elementele oricărui rând (coloană) elemente care corespund altui rând (coloană) a matricei, care se înmulțesc cu un număr arbitrar k.

Definiția 5

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda Gaussiană - o metodă care se bazează pe teoria echivalenței matriceale: dacă matricea B se obține din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B).

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din definiția matricei:

Dacă rândurile sau coloanele unei matrice sunt rearanjate, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când rearanjați rândurile sau coloanele rămâne egal cu zero;
în cazul înmulțirii tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar k care nu este egal cu zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale, care se înmulțește cu k;

în cazul adunării la elementele unui anumit rând sau coloană a unei matrice a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană, care sunt înmulțite cu numărul k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare : reduceți matricea al cărei rang trebuie găsit la una trapezoidală folosind transformări elementare.

Pentru ce?

Rangul matricelor de acest tip este destul de ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care au cel puțin un element diferit de zero. Și deoarece rangul nu se schimbă atunci când se efectuează transformări elementare, acesta va fi rangul matricei.

Să ilustrăm acest proces:

pentru matrice dreptunghiulară A de ordinul p cu n, al căror număr de rânduri este mai mare decât numărul de coloane:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

pentru matrice dreptunghiulară A de ordinul p cu n, al căror număr de rânduri este mai mic decât numărul de coloane:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋯ p 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

pentru matrice pătrată A de ordinul n cu n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 0 0 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Exemplul 5

Găsiți rangul matricei A folosind transformări elementare:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Cum se rezolvă?

Deoarece elementul a 11 este diferit de zero, este necesar să se înmulțească elementele primului rând al matricei A cu 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Adăugăm la elementele liniei a 2-a elementele corespunzătoare ale liniei 1, care se înmulțesc cu (-3). La elementele liniei a 3-a adăugăm elementele liniei 1, care se înmulțesc cu (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Elementul a 22 (2) este diferit de zero, așa că înmulțim elementele celui de-al doilea rând al matricei A cu A (2) cu 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

La elementele rândului 3 al matricei rezultate adăugăm elementele corespunzătoare din rândul 2, care se înmulțesc cu 3 2;
la elementele liniei a 4-a - elementele liniei a 2-a, care se înmulțesc cu 9 2;
la elementele din al 5-lea rând - elementele din al 2-lea rând, care sunt înmulțite cu 3 2.

Toate elementele de rând sunt zero. Astfel, folosind transformări elementare, am adus matricea într-o formă trapezoidală, din care se poate observa că R an k (A (4)) = 2. Rezultă că rangul matricei originale este, de asemenea, egal cu doi.

Comentariu

Dacă efectuați transformări elementare, atunci valorile aproximative nu sunt permise!

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter