Suprafața totală a unei formule sfere. Cum se află raza unei sfere. Cum să găsiți aria unei sfere

Nota. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (stereometrie secțiuni, probleme despre sferă). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici - scrie despre asta pe forum. În probleme, în locul simbolului „rădăcină pătrată” se folosește funcția sqrt(), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicandă este indicată în paranteze. Pentru expresii radicale simple se poate folosi semnul"√".

Sarcină

Un con este înscris într-o sferă, a cărei generatoare este egală cu l, iar unghiul de la vârful secțiunii axiale este egal cu 60 de grade. Găsiți aria sferei.

Soluţie.
Găsim aria sferei folosind formula:

Deoarece un con este înscris într-o sferă, desenăm o secțiune prin vârful conului, care va fi un triunghi isoscel. Deoarece unghiul de la vârful secțiunii axiale este de 60 de grade, triunghiul este echilateral (suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade, ceea ce înseamnă că unghiurile rămase sunt (180-60) / 2 = 60, adică toate unghiurile sunt egale).

Prin urmare, raza sferei este egală cu raza cercului circumscris unui triunghi echilateral. Latura triunghiului este egală cu l prin condiție. Adică

Astfel, zona sferei

S = 4π(√3/3 l) 2
S = 4/3πl 2

Răspuns: aria sferei este 4/3πl 2.

Sarcină

Recipientul are forma unei emisfere (emisferă). Circumferința bazei este de 46 cm se consumă 300 de grame de vopsea pe 1 metru pătrat. Câtă vopsea este necesară pentru a vopsi un recipient?

Soluţie.
Suprafața figurii va fi egală cu jumătate din aria sferei și cu aria secțiunii transversale a sferei.
Deoarece știm circumferința bazei, să-i găsim raza:
L = 2πR
Unde
R = L/2π
R = 46 / 2π
R = 23 / π

De unde aria bazei este egală cu
S = πR 2
S = π (23/π) 2
S = 529 / π

Găsim aria sferei folosind formula:
S = 4πr 2

În consecință, zona emisferei
S = 4πr 2 / 2
S = 2π (23/π) 2
S = 1058/π

Suprafața totală a figurii este:
529 / π + 1058 / π = 1587 / π

Acum să calculăm consumul de vopsea (țin cont că consumul este dat pe metru pătrat, iar valoarea calculată este în centimetri pătrați, adică există 10.000 de centimetri pătrați într-un metru)
1587 / π * 300 / 10.000 = 47,61 / π grame ≈ 15,15 g

Sarcină

Soluţie. Rishennya.

	Pentru a explica soluția, să comentăm fiecare dintre formulele date Să folosim formula pentru găsirea suprafeței unei bile și să o scriem pentru prima bilă, presupunând că raza ei este egală cu R 1 Scriem aria suprafeței celei de-a doua bile folosind exact aceeași formulă, presupunând că raza ei este egală cu R 2 Să găsim raportul ariilor lor împărțind prima expresie la a doua. Să reducem fracția rezultată. Este ușor de observat că raportul dintre ariile a două bile este egal cu raportul dintre pătratele razelor lor. În funcție de condițiile problemei, acest raport este egal cu m/n Din egalitatea rezultată găsim raportul razelor bilelor luând rădăcina pătrată. Să ne amintim egalitatea rezultată Să folosim formula pentru a găsi volumul unei bile și să o scriem pentru prima bilă cu rază R 1 Scriem volumul celei de-a doua bile folosind aceeași formulă, înlocuind raza în ea R 2	Pentru a clarifica decizia, comentăm tenul folosind formulele date Folosind o formulă rapidă pentru a găsi suprafața lichidului de răcire, o notăm pentru primul lichid de răcire, indicând că raza acestuia este egală R 1 Să notăm aria suprafeței altui cerc folosind aceeași formulă exactă, dând seama că raza lui este egală R 2 Cunoaștem relația dintre zonele lor, împărțind prima expresie una pe cealaltă. Să înlăturăm rapid driblingul. Este important de menționat că relația dintre ariile celor două obiecte este aceeași cu relația dintre pătratele razelor lor. Potrivit minții, relația este egală cu m/n Din egalitatea eliminată cunoaștem relația dintre raze și calea trasării rădăcinii pătrate. Voi renunța la gelozia mirosului Folosind o formulă rapidă, putem găsi volumul miezului și îl putem nota pentru primul miez cu rază R 1 Să scriem despre celălalt lichid de răcire folosind aceeași formulă, înlocuind raza din acesta R 2
	8. Împărțiți volumele primei și celei de-a doua bile unul la celălalt 9. Să reducem fracția rezultată. Rețineți că raportul dintre volumul a două bile este egal cu raportul dintre cuburile razelor lor. Să luăm în considerare expresia pe care am obținut-o mai devreme în formula 4 și să o înlocuim. Deoarece rădăcina pătrată este un număr cu puterea 1/2, transformăm expresia 10. Deschideți parantezele și scrieți relația rezultată sub forma unei proporții. Răspuns primit.	8. Vom împărți prima și celelalte părți una câte una 9. Să dribăm repede, scho vyyshov. Se observă că relația dintre cele două valori este similară cu relația dintre cuburile numărului lor din lume 1/2, expresie convertibilă 10. Deschide brațele și notează relația sub formă de proporție. Povestea a fost eliminată.

Mulți dintre noi ne place să joace fotbal, sau cel puțin aproape toți am auzit despre acest celebru joc sportiv. Toată lumea știe că fotbalul se joacă cu o minge.

Dacă întrebi un trecător ce formă geometrică are mingea, atunci unii oameni vor spune că este sferică, iar unii vor spune că este sferică. Deci care are dreptate? Și care este diferența dintre o sferă și o minge?

Important!

minge este un corp spațial. Interiorul mingii este plin cu ceva. Prin urmare, volumul unei sfere poate fi găsit.

Exemple de minge în viață: un pepene verde și o minge de oțel.

O minge și o sferă, ca un cerc și un cerc, au centru, rază și diametru.

Important!

Sferă- suprafata mingii. Puteți găsi suprafața unei sfere.

Exemple de sfere în viață: o minge de volei și o minge de tenis de masă.

Cum să găsiți aria unei sfere

Ține minte!

Formula pentru aria unei sfere: S=4 π R 2

Pentru a găsi aria unei sfere, trebuie să vă amintiți ce este puterea unui număr.
Cunoscând definiția gradului, putem scrie formula pentru aria unei sfere după cum urmează. S=4

π R2 = 4π R · R; Să consolidăm cunoştinţele dobândite şi

Să rezolvăm problema pe zona unei sfere.

Zubareva clasa a VI-a. Numărul 692(a)

• Stare problema: Calculați aria unei sfere dacă raza acesteia este
  = = = 88

  88

  = 1
• 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
• R3 = 1

Important!

R = 1 m

Dragi parinti!

Când se calculează în sfârșit raza, nu este nevoie să forțezi copilul să numere rădăcina cubă. Elevii de clasa a VI-a încă nu au luat și nu cunosc definiția rădăcinilor în matematică.

În clasa a VI-a, atunci când rezolvați o astfel de problemă, folosiți metoda forței brute.

Întrebați elevul ce număr, dacă este înmulțit de 3 ori cu el însuși, va da unul. Înainte de a vă grăbi cu îndrăzneală să rezolvați problema găsirii razei unei sfere, trebuie să aflați ce sunt de fapt o sferă și o minge. Stereometria ne spune că o sferă este o suprafață formată dintr-o masă de puncte din spațiu care se află la aceeași distanță de centru. Acest punct este centrul sferei și raza sferei ( R

) este distanța la care fiecare punct este îndepărtat de centrul sferei. O minge este un corp care este limitat de suprafața unei sfere.

Desigur, modul de a determina însăși raza sferei va depinde de datele pe care le avem.

Metoda 1: Determinarea razei unei sfere folosind suprafața acesteia

Să presupunem că ni se oferă o sferă împreună cu suprafața ei. În acest caz, vom folosi formula pentru suprafața sa pentru a calcula raza. Unde S este aria suprafeței sferei,.

Pi = 3,14

Metoda 2. Determinarea razei unei sfere folosind volumul unei bile

Să presupunem că ni se oferă o sferă împreună cu suprafața ei. În acest caz, vom folosi formula pentru suprafața sa pentru a calcula raza. Dacă ni se dă volumul unei bile delimitate de o sferă, atunci raza se află după cum urmează: V este aria suprafeței sferei,.

- acesta este volumul mingii,

Dacă sfera noastră este înscrisă într-un poliedru obișnuit sau descrisă în jurul acestuia, putem folosi următoarea serie de formule.

Formula 1. O sferă este înscrisă într-un tetraedru regulat

Pentru o sferă care este înscrisă într-un tetraedru obișnuit:

Să presupunem că ni se oferă o sferă împreună cu suprafața ei. În acest caz, vom folosi formula pentru suprafața sa pentru a calcula raza. o

Formula 2. O sferă este descrisă în jurul unui tetraedru regulat

Pentru o sferă care este descrisă lângă un tetraedru obișnuit:

Să presupunem că ni se oferă o sferă împreună cu suprafața ei. În acest caz, vom folosi formula pentru suprafața sa pentru a calcula raza. o- lungimea muchiei tetraedrului (AS = SB = AB = BC = SC = AC = a).

Formula 3. O sferă este înscrisă într-un cub

Pentru o sferă care este înscrisă într-un cub:

Să presupunem că ni se oferă o sferă împreună cu suprafața ei. În acest caz, vom folosi formula pentru suprafața sa pentru a calcula raza. o- lungimea muchiei cubului.

Formula 4. O sferă este descrisă în jurul unui cub

Pentru o sferă care este descrisă lângă un cub:

Să presupunem că ni se oferă o sferă împreună cu suprafața ei. În acest caz, vom folosi formula pentru suprafața sa pentru a calcula raza. o- lungimea muchiei cubului.

Definiţie.

Sferă (suprafata mingii) este colecția tuturor punctelor din spațiul tridimensional care se află la aceeași distanță de un punct, numită centrul sferei(DESPRE).

O sferă poate fi descrisă ca o figură tridimensională care se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său cu 180° sau a unui semicerc în jurul diametrului său cu 360°.

Definiţie.

minge este colecția tuturor punctelor din spațiul tridimensional, distanța de la care nu depășește o anumită distanță până la un punct numit centrul mingii(O) (mulțimea tuturor punctelor spațiului tridimensional limitate de o sferă).

O minge poate fi descrisă ca o figură tridimensională care se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său cu 180° sau a unui semicerc în jurul diametrului său cu 360°.

Definiţie. Raza sferei (minge)(R) este distanța de la centrul sferei (minge) Oîn orice punct al sferei (suprafața mingii).

Definiţie. Diametrul sferei (mingii).(D) este un segment care leagă două puncte ale unei sfere (suprafața unei mingi) și care trece prin centrul acesteia.

Formula. Volumul sferei:

V=	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formula. Suprafața unei sfere prin rază sau diametru:

S = 4π R 2 = π D 2

Ecuația sferei

1. Ecuația unei sfere cu raza R și centru la originea sistemului de coordonate carteziene:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Ecuația unei sfere cu raza R și centru într-un punct cu coordonatele (x 0, y 0, z 0) în sistemul de coordonate carteziene:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definiţie. Puncte diametral opuse sunt oricare două puncte de pe suprafața unei bile (sfere) care sunt conectate printr-un diametru.

Proprietățile de bază ale unei sfere și ale unei mingi

1. Toate punctele sferei sunt la fel de îndepărtate de centru.

2. Orice secțiune a unei sfere de către un plan este un cerc.

3. Orice secțiune a unei mingi de către un plan este un cerc.

4. Sfera are cel mai mare volum dintre toate figurile spațiale cu aceeași suprafață.

5. Prin oricare două puncte diametral opuse puteți desena multe cercuri mari pentru o sferă sau cercuri pentru o minge.

6. Prin oricare două puncte, cu excepția punctelor diametral opuse, puteți desena un singur cerc mare pentru o sferă sau un cerc mare pentru o minge.

7. Orice două cercuri mari ale unei bile se intersectează de-a lungul unei linii drepte care trece prin centrul bilei, iar cercurile se intersectează în două puncte diametral opuse.

8. Dacă distanța dintre centrele oricăror două bile este mai mică decât suma razelor lor și mai mare decât modulul diferenței razelor lor, atunci astfel de bile se intersectează, iar în planul de intersecție se formează un cerc.

Secanta, coardă, planul secant al unei sfere și proprietățile acestora

Definiţie. Sferă secante este o linie dreaptă care intersectează sfera în două puncte. Punctele de intersecție sunt numite puncte de perforare suprafețe sau puncte de intrare și ieșire de pe suprafață.

Definiţie. Coarda unei sfere (minge)- acesta este un segment care leagă două puncte de pe o sferă (suprafața unei mingi).

Definiţie. Plan de tăiere este planul care intersectează sfera.

Definiţie. Plan diametral- acesta este un plan secant care trece prin centrul unei sfere sau bile, secțiunea se formează în consecință cerc mareŞi cerc mare. Cercul mare și cercul cel mare au un centru care coincide cu centrul sferei (minge).

Orice coardă care trece prin centrul unei sfere (bile) este un diametru.

O coardă este un segment al unei linii secante.

Distanța d de la centrul sferei la secanta este întotdeauna mai mică decât raza sferei:

d< R

Distanța m dintre planul de tăiere și centrul sferei este întotdeauna mai mică decât raza R:

m< R

Locația secțiunii planului de tăiere pe sferă va fi întotdeauna cerc mic, iar pe minge secțiunea va fi cerc mic. Cercul mic și cercul mic au propriile lor centre care nu coincid cu centrul sferei (minge). Raza r a unui astfel de cerc poate fi găsită folosind formula:

r = √R 2 - m 2,

Unde R este raza sferei (bilei), m este distanța de la centrul bilei la planul de tăiere.

Definiţie. Emisferă (emisferă)- aceasta este o jumătate de sferă (minge), care se formează atunci când este tăiată de un plan diametral.

Tangenta, planul tangent la o sferă și proprietățile acestora

Definiţie. Tangenta la o sfera- Aceasta este o linie dreaptă care atinge sfera într-un singur punct.

Definiţie. Plan tangent la o sferă este un plan care atinge sfera doar într-un punct.

Linia tangentă (planul) este întotdeauna perpendiculară pe raza sferei trasate la punctul de contact

Distanța de la centrul sferei la linia tangentă (planul) este egală cu raza sferei.

Definiţie. Segment de minge- aceasta este partea de minge care este tăiată de minge de un plan de tăiere. Baza segmentului numit cercul care s-a format la locul secțiunii. Înălțimea segmentului h este lungimea perpendicularei trase de la mijlocul bazei segmentului până la suprafața segmentului.

Formula. Suprafața exterioară a unui segment de sferă cu înălțimea h prin raza sferei R:

S = 2πRh

Capitolul VII. Volumele corpurilor și suprafețele.

§ 92. Aria sferei și părțile sale.

Teorema 1. Aria unei sfere cu raza R se calculează prin formula

O sferă cu raza R poate fi obținută prin rotirea în jurul unei axe Oh semicerc dat de ecuație

la= √R 2 - X 2 , X[-R; R]

Apoi, folosind formula pentru suprafața de rotație, obținem

O formulă este derivată în mod similar pentru zona unei centuri sferice, care se obține prin rotirea în jurul unei axe Oh arce de cerc (Fig. 276) la= √R 2 - X 2 , X [o; b ].

într-adevăr,

Teorema 2. Zona unei centuri cu rază sferică R și înălțimi N calculate prin formula

Formula (3) se obține din formula (2), deoarece H = b - a.

Un segment sferic poate fi obținut prin rotirea unui arc de cerc

la= √R 2 - X 2 , o< x< R

în jurul axei Oh. În consecință, un segment sferic este un caz special al unei centuri sferice ( b= R).

Consecinţă.Aria unui segment de rază sferică R și înălțimi N calculate prin formula (3).

3 a d a h a. Un cub cu margine este înscris într-o sferă O(Fig. 277).

Găsiți zone:
a) sfere;
b) o centură sferică tăiată de planurile fețelor superioare și inferioare ale cubului;

a) Diagonala unui cub cu muchie O egal cu √3 O. Prin urmare, | AC 1 | = √3 O. Pe de altă parte, dacă R este raza sferei, atunci | AC 1 | = 2R. Prin urmare 2R = √3 O, adică R= √ 3 / 2 o.

Folosind formula (1) găsim aria S a sferei: S = 4πR 2 = 4π 3 / 4 O 2 = 3π O 2 .

b) Înălțimea centurii sferice în acest caz este evident egală cu O. Punând în formula (3) H = Oși R = √ 3 / 2 o, găsiți aria S 1 a centurii sferice

S 1 = 2πRH = 2π √ 3 / 2 O 2 = π√3 O 2 .

c) Înălțimea segmentului sferic este egală cu lungimea segmentului O 1 K. Să o calculăm:

| O 1 K| = |OK| - |OO 1 | = R- o / 2 = √ 3 / 2 o - o / 2 = √ 3 -1 / 2 o

Punând în formula (3) Н = √ 3 -1 / 2 oși R= √ 3 / 2 o, aflați aria S 2 a segmentului sferic:

S 2 = 2πRH = 2π √ 3 / 2 O √ 3 -1 / 2 o = π 3-√ 3 / 2 o 2