Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Ecuațiile incerte sunt ecuații care conțin mai multe necunoscute. Prin o soluție a unei ecuații nedeterminate înțelegem un set de valori ale necunoscutelor care transformă ecuația dată într-o egalitate adevărată.

Pentru a rezolva în numere întregi o ecuație de forma ah + de = c , Unde O, b , c - numere întregi altele decât zero, prezentăm o serie de prevederi teoretice care ne vor permite stabilirea unei reguli de decizie. Aceste prevederi se bazează și pe fapte deja cunoscute ale teoriei divizibilității.

Teorema 1.Dacă gcd (O, b ) = d , apoi există astfel de numere întregi XŞi la, că egalitatea este valabilă ah + b y = d . (Această egalitate se numește o combinație liniară sau o reprezentare liniară a celui mai mare divizor comun a două numere în ceea ce privește numerele în sine.)

Demonstrarea teoremei se bazează pe utilizarea egalității algoritmului euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere (cel mai mare divizor comun este exprimat în termeni de coeficienti parțiali și resturi, pornind de la ultima egalitate din algoritmul euclidian).

Exemplu.

Aflați reprezentarea liniară a celui mai mare divizor comun al numerelor 1232 și 1672.

Soluţie.

1. Să creăm egalitățile algoritmului euclidian:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, adică. (1672,352) = 88.

2) Să exprimăm secvenţial 88 prin câte şi resturi incomplete, folosind egalităţile obţinute mai sus, începând de la sfârşit:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, adică. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorema 2. Dacă ecuaţia ah + b y = 1 , dacă gcd (O, b ) = 1 , este suficient să ne imaginăm numărul 1 ca o combinație liniară a numerelor a și b.

Valabilitatea acestei teoreme rezultă din teorema 1. Astfel, pentru a găsi o singură soluție întreagă a ecuației ah + b y = 1, dacă mcd (a, b) = 1, este suficient să reprezentați numărul 1 ca o combinație liniară de numere O Şi V .

Exemplu.

Găsiți o soluție întreagă a ecuației 15x + 37y = 1.

Soluţie.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorema 3. Dacă în Ec. ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 Şi Cu nedivizibil cu d , atunci ecuația nu are soluții întregi.

Pentru a demonstra teorema, este suficient să presupunem contrariul.

Exemplu.

Găsiți o soluție întreagă a ecuației 16x - 34y = 7.

Soluţie.

(16,34)=2; 7 nu este divizibil cu 2, ecuația nu are soluții întregi

Teorema 4. Dacă în Ec. ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 și c d , atunci este

Când se demonstrează teorema, ar trebui să se arate că o soluție întreagă arbitrară a primei ecuații este, de asemenea, o soluție a celei de-a doua ecuații și invers.

Teorema 5. Dacă în Ec. ah + b y = c gcd(a, b ) = 1, atunci toate soluțiile întregi ale acestei ecuații sunt conținute în formulele:

t – orice număr întreg.

Când se demonstrează teorema, ar trebui să se arate, în primul rând, că formulele de mai sus oferă de fapt soluții pentru această ecuație și, în al doilea rând, că o soluție întreagă arbitrară a acestei ecuații este conținută în formulele de mai sus.

Teoremele de mai sus ne permit să stabilim următoarea regulă pentru rezolvarea ecuației în numere întregi ah+ b y = c gcd(a, b ) = 1:

1) Se găsește o soluție întreagă a ecuației ah + b y = 1 prin reprezentarea 1 ca o combinație liniară de numere O Şib (există și alte modalități de a găsi soluții întregi la această ecuație, de exemplu folosind fracții continue);

O formulă generală pentru soluțiile întregi ale datei

Dăruind t anumite valori întregi, puteți obține soluții parțiale ale acestei ecuații: cea mai mică în valoare absolută, cea mai mică pozitivă (dacă este posibil), etc.

Exemplu.

Găsiți soluții întregi ale ecuației 407x - 2816y = 33.

Soluţie.

1. Simplificam aceasta ecuatie, aducand-o la forma 37x - 256y = 3.

2. Rezolvați ecuația 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Forma generală a tuturor soluțiilor întregi ale acestei ecuații:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Metoda de enumerare exhaustivă a tuturor valorilor posibile ale variabilelor,

incluse în ecuație.

Aflați mulțimea tuturor perechilor de numere naturale care sunt soluții ale ecuației 49x + 51y = 602.

Soluţie:

Să exprimăm variabila x din ecuație prin y x =, deoarece x și y sunt numere naturale, atunci x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

O căutare completă a opțiunilor arată că soluțiile naturale ale ecuației sunt x=5, y=7.

Răspuns: (5;7).

Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda factorizării.

Diophantus, împreună cu ecuațiile liniare, considerau ecuații nedefinite pătratice și cubice. Rezolvarea lor este de obicei dificilă.

Să luăm în considerare un caz în care formula diferenței de pătrate sau o altă metodă de factorizare poate fi utilizată în ecuații.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 23 = y 2

Soluţie:

Să rescriem ecuația sub forma: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Deoarece x și y sunt numere întregi și 23 este un număr prim, sunt posibile următoarele cazuri:

Rezolvând sistemele rezultate, găsim:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Exprimarea unei variabile în termenii alteia și izolarea întregii părți a fracției.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Soluţie:

Să exprimăm y prin x din această ecuație:

y(x - 1) =2 - x 2,

Heinrich G.N. FMS nr. 146, Perm

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(mod 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Ridicând k la putere, obținem 56k ≡ 1(mod 7) pentru orice k natural. Prin urmare 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Geometric, această egalitate înseamnă că ocolim cercul, începând de la 5, nouăzeci și două de cicluri și încă trei numere). Astfel, numărul 222555 lasă un rest de 6 atunci când este împărțit la 7.

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Fără îndoială, unul dintre subiectele interesante din matematică este soluția ecuațiilor diofantine. Această temă este studiată în clasele a VIII-a, apoi în clasele a X-a și a XI-a.

Orice ecuație care trebuie rezolvată în numere întregi se numește ecuație diofantină. Cea mai simplă dintre ele este o ecuație de forma ax+bу=c, unde a, b și cÎ Z. Următoarea teoremă este folosită pentru a rezolva această ecuație.

Teorema. Ecuația diofantină liniară ax+bу=c, unde a, b și сО Z are o soluție dacă și numai dacă c este divizibil cu mcd a numerelor a și b. Dacă d=GCD (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d și (x0, y0) este o soluție a ecuației akh+bу=с, atunci toate soluțiile sunt date prin formulele x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, unde t este un întreg arbitrar.

1. Rezolvați ecuațiile în numere întregi:

	3xy–6x2 =y–2x+4;
	(x–2)(xy+4)=1;		y-x-xy=2;
	2x2 +xy=x+7;		3xy+2x+3y=0;
	x2 – xy – x + y = 1;
	x2 –3xy=x–3y+2;	10. x2 – xy – y = 4.

2. Am luat în considerare următoarele probleme cu absolvenții în pregătirea pentru Examenul de stat unificat la matematică pe această temă.

1). Rezolvați ecuația în numere întregi: xy+3y+2x+6=13. Soluţie:

Să factorizăm partea stângă a ecuației. Primim:

y(x+3)+2(x+3)=13;

(x+3)(y+2)=13.

Deoarece x,уО Z, obținem un set de sisteme de ecuații:

Heinrich G.N.

	М x +
	М x +
	М x +
ê Ð x +

FMS nr. 146, Perm

		М x =
		М x =
		М x =
	ê Ð x =

Răspuns: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Rezolvați ecuația în numere naturale: 3x +4y =5z.

9). Aflați toate perechile de numere naturale m și n pentru care este valabilă egalitatea 3m +7=2n.

10). Aflați toate tripletele numerelor naturale k, m și n pentru care egalitatea este valabilă: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

11). Toți termenii șirului finit sunt numere naturale. Fiecare membru al acestei secvențe, începând cu al doilea, este fie de 14 ori mai mare, fie de 14 ori mai mic decât cel precedent. Suma tuturor termenilor șirului este 4321.

c) Care este cel mai mare număr de termeni pe care o poate avea șirul? Soluţie:

a) Fie a1 =x, apoi a2 = 14x sau a1 =14x, apoi a2 =x. Apoi, prin condiție, a1 + a2 = 4321. Se obține: x + 14x = 4321, 15x = 4321, dar 4321 nu este un multiplu al lui 15, ceea ce înseamnă că nu pot exista doi termeni în succesiune.

b) Fie a1 =x, apoi a2 = 14x, a3 =x sau 14x+x+14x=4321, sau x+14x+x=4321. 29x=4321, apoi x=149, 14x=2086. Aceasta înseamnă că secvența poate avea trei termeni. În al doilea caz, 16x=4321, dar atunci x nu este un număr natural.

Răspuns: a) nu; b) da; c) 577.

Heinrich G.N.

FMS nr. 146, Perm

12). Toți termenii șirului finit sunt numere naturale. Fiecare membru al acestei secvențe, începând cu al doilea, sau la 10; ori mai mult sau de 10 ori mai puțin decât precedentul. Suma tuturor termenilor șirului este 1860.

a) Poate o secvență să aibă doi termeni? b) O succesiune poate avea trei termeni?

c) Care este cel mai mare număr de termeni pe care o poate avea șirul?

Evident, putem vorbi despre divizibilitatea numerelor întregi și putem lua în considerare problemele pe această temă la nesfârșit. Am încercat să consider această temă în așa fel încât să-i intereseze într-o măsură mai mare pe elevi, să le arăt frumusețea matematicii din acest punct de vedere.

Heinrich G.N.

FMS nr. 146, Perm

Referinte:

1. A. Ya Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Cum se rezolvă problemele non-standard Moscova ICSME 2001

2. A.V. Spivak. Supliment la revista Kvant nr. 4/2000 Sărbătoare matematică, Moscova 2000

3. A.V. Spivak. Cercul matematic, „Semănat” 2003

4. Sankt Petersburg palatul orașului al creativității tineretului. Cercul matematic. Cartea cu probleme pentru primul și al doilea an de studiu. Sankt Petersburg. 1993

5. Algebră pentru clasa a VIII-a. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii. Editat de N.Ya Vilenkin. Moscova, 1995

6. M.L. Galitsky, A.M. Zvavich. Culegere de probleme de algebră pentru 8-9 clase. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii. Moscova, Iluminismul. 1994

7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Algebră clasa a VIII-a. Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii. Moscova, 2001

8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMATICĂ Algebră. Începuturile analizei matematice. Nivel de profil. Manual pentru clasa a XI-a. Binom din Moscova. Laboratorul de cunoștințe 2009

9. M.I. Shabunin, A.A. Prokofiev, T.V. Sokolova. UMK MATEMATICĂ Algebră. Începuturile analizei matematice. Nivel de profil Cartea cu probleme pentru clasa a XI-a. Binom din Moscova. Laboratorul de cunoștințe 2009

10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matematică. Colectarea testelor conform planului Unified State Exam 2010

11. Examenul de stat unificat-2010. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2009

12. Examenul de stat unificat UMK „Matematică. Pregătirea pentru examenul de stat unificat”. Editat de F.F Lysenko, S.Yu. Pregătirea pentru Examenul de stat unificat 2011. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2010

13. UMK „Matematică. Examenul de stat unificat 2010”. Editat de F.F Lysenko, S.Yu. MATEMATICĂ Pregătire pentru Examenul Unificat de Stat-2010. Teste educaționale și de formare. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2009

14. Examenul de stat unificat FIPI. Materiale universale pentru pregătirea elevilor MATH 2010„Intellect-Center” 2010

15. A.Zh.Zhafyarov. Matematică. Unified State Exam-2010 Consultare expresă. Editura Universității din Siberia, 2010

La cursul de matematică de clasa a VII-a ne întâlnim pentru prima dată ecuații cu două variabile, dar ele sunt studiate numai în contextul sistemelor de ecuații cu două necunoscute. De aceea, o serie întreagă de probleme în care se introduc anumite condiții asupra coeficienților ecuației care îi limitează scad din vedere. În plus, metodele de rezolvare a problemelor precum „Rezolvarea unei ecuații în numere naturale sau întregi” sunt și ele ignorate, deși probleme de acest gen se găsesc din ce în ce mai des în materialele Unified State Exam și la examenele de admitere.

Care ecuație va fi numită ecuație cu două variabile?

Deci, de exemplu, ecuațiile 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 sau xy = 12 sunt ecuații în două variabile.

Luați în considerare ecuația 2x – y = 1. Devine adevărată când x = 2 și y = 3, deci această pereche de valori variabile este o soluție a ecuației în cauză.

Astfel, soluția oricărei ecuații cu două variabile este un set de perechi ordonate (x; y), valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o adevărată egalitate numerică.

O ecuație cu două necunoscute poate:

O) au o singura solutie. De exemplu, ecuația x 2 + 5y 2 = 0 are o soluție unică (0; 0);

b) au mai multe solutii. De exemplu, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 are 4 soluții: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nu au solutii. De exemplu, ecuația x 2 + y 2 + 1 = 0 nu are soluții;

G) au infinit de solutii. De exemplu, x + y = 3. Soluțiile acestei ecuații vor fi numere a căror sumă este egală cu 3. Mulțimea soluțiilor acestei ecuații poate fi scrisă sub forma (k; 3 – k), unde k este orice real număr.

Principalele metode de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile sunt metode bazate pe factorizarea expresiilor, izolarea unui pătrat complet, folosind proprietățile unei ecuații pătratice, expresii limitate și metode de estimare. Ecuația este de obicei convertită într-o formă din care se poate obține un sistem pentru găsirea necunoscutelor.

Factorizarea

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația: xy – 2 = 2x – y.

Soluţie.

Grupăm termenii în scopul factorizării:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Din fiecare paranteză scoatem un factor comun:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Avem:

y = 2, x – orice număr real sau x = -1, y – orice număr real.

Astfel, răspunsul este toate perechile de forma (x; 2), x € R și (-1; y), y € R.

Egalitatea numerelor nenegative la zero

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Soluţie.

Grupare:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Acum fiecare paranteză poate fi pliat folosind formula diferenței pătrate.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Suma a două expresii nenegative este zero numai dacă 3x – 2 = 0 și 2y – 3 = 0.

Aceasta înseamnă x = 2/3 și y = 3/2.

Răspuns: (2/3; 3/2).

Metoda de estimare

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Soluţie.

În fiecare paranteză selectăm un pătrat complet:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Să estimăm sensul expresiilor din paranteze.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 și (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atunci partea stângă a ecuației este întotdeauna cel puțin 2. Egalitatea este posibilă dacă:

(x + 1) 2 + 1 = 1 și (y – 2) 2 + 2 = 2, ceea ce înseamnă x = -1, y = 2.

Răspuns: (-1; 2).

Să facem cunoștință cu o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile de gradul doi. Această metodă constă în tratarea ecuației ca pătrat în raport cu o variabilă.

Exemplul 4.

Rezolvați ecuația: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Soluţie.

Să rezolvăm ecuația ca o ecuație pătratică pentru x. Să găsim discriminantul:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ecuația va avea o soluție numai când D = 0, adică dacă y = 4. Înlocuim valoarea lui y în ecuația originală și aflăm că x = 3.

Răspuns: (3; 4).

Adesea în ecuații cu două necunoscute indică restricții asupra variabilelor.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Soluţie.

Să rescriem ecuația sub forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Latura dreaptă a ecuației rezultate atunci când este împărțită la 5 dă un rest de 2. Prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 5. Dar pătratul lui a numărul nedivizibil cu 5 dă un rest de 1 sau 4. Astfel, egalitatea este imposibilă și nu există soluții.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Soluţie.

Să evidențiem pătratele complete din fiecare paranteză:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare sau egală cu 3. Egalitatea este posibilă cu condiția |x| – 2 = 0 și y + 3 = 0. Astfel, x = ± 2, y = -3.

Răspuns: (2; -3) și (-2; -3).

Exemplul 7.

Pentru fiecare pereche de numere întregi negative (x;y) care satisface ecuația
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculați suma (x + y). Vă rugăm să indicați cea mai mică sumă în răspunsul dvs.

Soluţie.

Să selectăm pătrate complete:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Deoarece x și y sunt numere întregi, pătratele lor sunt de asemenea numere întregi. Obținem suma pătratelor a două numere întregi egale cu 37 dacă adunăm 1 + 36. Prin urmare:

(x – y) 2 = 36 și (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 și (y + 2) 2 = 36.

Rezolvând aceste sisteme și ținând cont de faptul că x și y sunt negative, găsim soluții: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Răspuns: -17.

Nu disperați dacă aveți dificultăți în rezolvarea ecuațiilor cu două necunoscute. Cu puțină practică, poți gestiona orice ecuație.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații în două variabile?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

1. Ecuații de gradul I cu două necunoscute

1. Exemple de ecuații de gradul doi cu trei necunoscute

1. Cazul general al unei ecuații de gradul doi cu două necunoscute

R A Z R A B O T C A P R O G R A M M

1. Programul nr. 1 (ecuații cu o necunoscută)

INTRODUCERE

Proiectul meu de curs este dedicat uneia dintre cele mai interesante secțiuni ale teoriei numerelor - rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Rezolvarea în ecuații algebrice întregi cu coeficienți întregi și mai mult de o necunoscută este una dintre cele mai dificile probleme din teoria numerelor.

Problema rezolvării ecuațiilor în numere întregi a fost rezolvată complet doar pentru ecuațiile de gradul doi cu două necunoscute. Rețineți că pentru ecuațiile de orice grad cu o necunoscută nu prezintă un interes semnificativ, deoarece această problemă poate fi rezolvată folosind un număr finit de încercări. Pentru ecuațiile de peste gradul doi cu două sau mai multe necunoscute, nu numai sarcina de a găsi toate soluțiile în numere întregi este foarte dificilă, dar chiar și sarcina mai simplă de a stabili existența unei mulțimi finite sau infinite de astfel de soluții este foarte dificilă.

În proiectul meu am încercat să prezint câteva dintre principalele rezultate obținute în teorie; rezolvarea ecuațiilor în numere întregi. Teoremele formulate în acesta sunt prevăzute cu dovezi în cazurile în care aceste dovezi sunt destul de simple.

1. ECUATII CU UNUL NECUNOSCUT

Luați în considerare o ecuație de gradul întâi cu o necunoscută

Fie coeficienții ecuației

și sunt numere întregi. Este clar că soluția acestei ecuații

va fi un număr întreg numai dacă

este complet divizibil cu . Astfel, ecuația (1) nu este întotdeauna rezolvabilă în numere întregi; deci, de exemplu, a două ecuații, prima are o soluție întreagă, dar a doua este de nerezolvat în numere întregi.

Aceeași împrejurare întâlnim și în cazul ecuațiilor al căror grad este mai mare decât prima: ecuația pătratică

are soluții întregi, ; Ecuația în numere întregi este de nerezolvat deoarece rădăcinile sale sunt iraționale.

Problema găsirii rădăcinilor întregi ale unei ecuații de gradul al n-lea cu coeficienți întregi

(2)

usor de rezolvat. Într-adevăr, să

este întreaga rădăcină a acestei ecuații. Apoi

, .

Din ultima egalitate este clar că

împărțit fără rest; prin urmare, fiecare rădăcină întreagă a ecuației (2) este un divizor al termenului liber al ecuației. Pentru a găsi soluții întregi la o ecuație, trebuie să alegeți acei divizori care, atunci când sunt înlocuiți în ecuație, o transformă într-o identitate. Deci, de exemplu, din numerele 1, -1, 2 și -2, care sunt toți divizori ai termenului liber al ecuației

,

doar -1 este o rădăcină. Prin urmare, această ecuație are o singură rădăcină întreagă

. Folosind aceeași metodă este ușor să arăți că ecuația

în numere întregi este indecidabilă.

De un interes mult mai mare este soluția în numere întregi a unei ecuații cu multe necunoscute.

2. ECUATII DE GRADUL I CU DOUA NUMERE NECUNOSCUTE

Luați în considerare o ecuație de gradul întâi cu două necunoscute

,

(3)

și sunt numere întregi altele decât zero și este un număr întreg arbitrar. Vom presupune că coeficienții și nu au divizori comuni alții decât unitatea. Într-adevăr, dacă cel mai mare divizor comun al acestor coeficienți este diferit de unul, atunci egalitățile , ; ecuația (3) ia forma

si poate avea solutii intregi numai daca

este împărțit la . Astfel, în cazul - toți coeficienții ecuației (3) trebuie să fie divizibili cu , și, reducând (3) cu , ajungem la ecuație

,

ai căror coeficienţi

și sunt reciproc simple.

Să luăm în considerare mai întâi cazul când

Textul lucrării este postat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere.

Obiect de studiu.

Cercetarea se referă la una dintre cele mai interesante secțiuni ale teoriei numerelor - rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Subiect de cercetare.

Rezolvarea în ecuații algebrice întregi cu coeficienți întregi și mai mult de o necunoscută este una dintre cele mai dificile și străvechi probleme de matematică și nu este suficient prezentată la cursul de matematică școlar. În lucrarea mea voi prezenta o analiză destul de completă a ecuațiilor în numere întregi, o clasificare a acestor ecuații prin metode de rezolvare a acestora, o descriere a algoritmilor de rezolvare a acestora, precum și exemple practice de utilizare a fiecărei metode pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi. .

Ţintă.

Aflați cum să rezolvați ecuații în numere întregi.

Sarcini:

Studiază literatură educațională și de referință;

Colectați material teoretic despre cum să rezolvați ecuații;

Analizați algoritmi de rezolvare a ecuațiilor de acest tip;

Descrieți soluții;

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor folosind aceste metode.

Ipoteză:

După ce am întâlnit ecuații în numere întregi în sarcinile olimpiadei, am presupus că dificultățile în rezolvarea lor se datorau faptului că nu toate metodele de rezolvare a acestora îmi erau cunoscute.

Relevanţă:

În timp ce rezolvăm versiuni eșantioane ale sarcinilor Unified State Exam, am observat că există adesea sarcini pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul întâi și al doilea în numere întregi. În plus, sarcinile olimpiadei la diferite niveluri conțin și ecuații în numere întregi sau probleme care sunt rezolvate folosind capacitatea de a rezolva ecuații în numere întregi. Importanța de a ști cum să rezolv ecuații în numere întregi determină relevanța cercetării mele.

Metode de cercetare

Analiza teoretică și generalizarea informațiilor din literatura științifică despre ecuații în numere întregi.

Clasificarea ecuațiilor în numere întregi după metode de rezolvare a acestora.

Analiza și generalizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.

Rezultatele cercetării

Lucrarea descrie metode de rezolvare a ecuațiilor, ia în considerare materialul teoretic al teoremei lui Fermat, al teoremei lui Pitagora și al algoritmului lui Euclid și prezintă exemple de soluții la probleme și ecuații de diferite niveluri de complexitate.

2. Istoricul ecuațiilor în numere întregi

Diophantus - om de știință - algebriist al Greciei Antice, conform unor surse a trăit până în 364 d.Hr. e. S-a specializat în rezolvarea problemelor în numere întregi. De aici provine denumirea de ecuații diofantine. Cea mai cunoscută problemă, rezolvată de Diophantus, este problema „descompunerii în două pătrate”. Echivalentul său este binecunoscuta teoremă a lui Pitagora. Viața și opera lui Diofant s-au desfășurat în Alexandria, a adunat și a rezolvat probleme cunoscute și a venit cu altele noi. Mai târziu le-a combinat într-o mare lucrare numită Aritmetică. Din cele treisprezece cărți care au alcătuit Aritmetica, doar șase au supraviețuit până în Evul Mediu și au devenit o sursă de inspirație pentru matematicienii Renașterii. Aritmetica lui Diophantus este o colecție de probleme, fiecare incluzând o soluție și explicația necesară. Colecția include o varietate de probleme, iar soluțiile lor sunt adesea extrem de ingenioase. Diophantus este interesat doar de numere întregi pozitive și soluții raționale. El numește deciziile iraționale „imposibile” și selectează cu atenție coeficienții astfel încât să se obțină soluțiile pozitive, raționale dorite.

Teorema lui Fermat este folosită pentru a rezolva ecuații în numere întregi. Istoria a cărei dovadă este destul de interesantă. Mulți matematicieni eminenti au lucrat la o demonstrație completă a Marii Teoreme, iar aceste eforturi au condus la multe dintre rezultatele teoriei numerelor moderne. Se crede că teorema se află pe primul loc în ceea ce privește numărul de demonstrații incorecte.

Remarcabilul matematician francez Pierre Fermat a afirmat că ecuația pentru întregul n ≥ 3 nu are soluții în numere întregi pozitive x, y, z (xyz = 0 este exclus de pozitivitatea lui x, y, z. Pentru cazul n = 3, aceasta Teorema a fost încercată în secolul al X-lea, demonstrată de matematicianul din Asia Centrală al-Khojandi, dar demonstrația sa nu a fost păstrată Ceva mai târziu, Fermat însuși a publicat o dovadă a unui caz special pentru n = 4.

Euler în 1770 a demonstrat teorema pentru cazul n = 3, Dirichlet și Legendre în 1825 - pentru n = 5, Lame - pentru n = 7. Kummer a arătat că teorema este adevărată pentru toate numerele prime n mai mici de 100, cu posibila excepție. din 37, 59, 67.

În anii 1980, a apărut o nouă abordare pentru rezolvarea problemei. Din conjectura lui Mordell, dovedită de Faltings în 1983, rezultă că ecuația

pentru n > 3 poate avea doar un număr finit de soluții relativ simple.

Ultimul, dar cel mai important, pas în demonstrarea teoremei a fost făcut în septembrie 1994 de Wiles. Dovada sa de 130 de pagini a fost publicată în revista Annals of Mathematics. Dovada se bazează pe presupunerea matematicianului german Gerhard Frey că Ultima Teoremă a lui Fermat este o consecință a conjecturei Taniyama-Shimura (această presupunere a fost dovedită de Ken Ribet cu participarea lui J.-P. Serres a publicat prima). versiunea dovezii sale în 1993 (după 7 ani de muncă grea), dar în curând a apărut un decalaj serios; Cu ajutorul lui Richard Lawrence Taylor, decalajul a fost rapid închis. Versiunea finală a fost publicată în 1995. 15 martie 2016 Andrew Wiles primește Premiul Abel. În prezent, prima este de 6 milioane de coroane norvegiene, adică aproximativ 50 de milioane de ruble. Potrivit lui Wiles, premiul a fost o „surpriză completă” pentru el.

3. Ecuații liniare în numere întregi

Ecuațiile liniare sunt cele mai simple dintre toate ecuațiile diofantine.

O ecuație de forma ax=b, unde a și b sunt niște numere și x este o variabilă necunoscută, se numește ecuație liniară cu o necunoscută. Aici trebuie să găsiți numai soluții întregi ale ecuației. Se poate observa că dacă a ≠ 0, atunci ecuația va avea o soluție întreagă numai dacă b este complet divizibil cu a și această soluție este x = b/ph. Dacă a=0, atunci ecuația va avea o soluție întreagă când b=0 și în acest caz x este orice număr.

deoarece 12 este divizibil cu 4, atunci

Deoarece a=o și b=0, atunci x este orice număr

Deoarece 7 nu este complet divizibil cu 10, atunci nu există soluții.

4. Metoda de enumerare a opțiunilor.

În metoda de enumerare a opțiunilor, este necesar să se țină cont de semnele de divizibilitate a numerelor și să se ia în considerare toate opțiunile posibile pentru egalitatea enumerării finale. Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva aceste probleme:

№1 Aflați mulțimea tuturor perechilor de numere naturale care sunt o soluție a ecuației 49x+69y=602

Exprimăm din ecuația x =,

Deoarece x și y sunt numere naturale, atunci x = ≥ 1, înmulțiți întreaga ecuație cu 49 pentru a scăpa de numitor:

Mutați 602 la stânga:

51y ≤ 553, exprimă y, y= 10

O căutare completă a opțiunilor arată că soluțiile naturale ale ecuației sunt x=5, y=7.

Răspuns: (5.7).-

№2 Rezolvați problema

Din numerele 2, 4, 7, ar trebui să creați un număr din trei cifre în care niciun număr nu poate fi repetat de mai mult de două ori.

Să găsim numărul tuturor numerelor din trei cifre care încep cu numărul 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - sunt 8 dintre ele.

În mod similar, găsim toate numerele din trei cifre care încep cu numerele 4 și 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - există și câte 8 numere fiecare. Este doar 24.

Răspuns: 24.

5. Fracție continuă și algoritm euclidian

O fracție continuă este o expresie a unei fracții obișnuite sub forma

unde q 1 este un număr întreg și q 2, ..., qn sunt numere naturale. Această expresie se numește fracție continuă (finită continuă). Există fracții continue finite și infinite.

Pentru numerele raționale, fracția continuă are o formă finită. În plus, șirul a i este exact șirul de câte care se obține prin aplicarea algoritmului euclidian la numărătorul și numitorul unei fracții.

Rezolvând ecuații cu fracții continue, am compilat un algoritm general pentru această metodă de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.

Algoritm

1) Compuneți raportul coeficienților pentru necunoscute sub forma unei fracții

2) Convertiți expresia într-o fracție improprie

3) Selectați întreaga parte a fracției improprie

4) Înlocuiți o fracție adecvată cu o fracție egală

5) Faceți 3.4 cu fracția improprie rezultată la numitor

6) Repetați 5 până la rezultatul final

7) În expresia rezultată, aruncați ultima verigă a fracției continuate, transformați noua fracție continuată rezultată într-una simplă și scădeți-o din fracția inițială.

Exemplu№1 Rezolvați ecuația 127x- 52y+ 1 = 0 în numere întregi

Să transformăm raportul coeficienților pentru necunoscute.

În primul rând, să selectăm întreaga parte a fracției improprii; = 2 +

Inlocuim fractia potrivita cu o fractiune egala.

De la = 2+

Să facem aceleași transformări cu fracția improprie obținută la numitor.

Acum fracția inițială va lua forma: . Repetând același raționament pentru fracția pe care o obținem Izolând întreaga parte a fracției improprie, ajungem la rezultatul final:

Am obținut o expresie numită fracție continuă finită. După ce am aruncat ultima verigă a acestei fracții continuate - o cincime, transformăm noua fracție continuă rezultată într-una simplă și o scădem din fracția inițială:

Să reducem expresia rezultată la un numitor comun și să o aruncăm.

De unde provine 127∙9-52∙22+1=0. Dintr-o comparație a egalității rezultate cu ecuația 127x- 52y+1 = 0 rezultă că atunci x= 9, y= 22 este soluția ecuației inițiale, iar conform teoremei, toate soluțiile acesteia vor fi conținute în progresii x= 9+ 52t, y= 22+ 127t , unde t=(0; ±1; ±2….. Rezultatul obţinut sugerează că, în cazul general, să se găsească o soluţie la ecuaţia ax+by+). c=0, este necesar să extindeți raportul coeficienților necunoscutelor într-o fracție continuă, să renunțați la ultima ei legătură și să efectuați calcule similare celor date mai sus.

Pentru a demonstra această ipoteză, vom avea nevoie de unele proprietăți ale fracțiilor continue.

Să considerăm o fracție ireductibilă. Să notăm cu q 1 câtul și cu r 2 restul împărțirii lui a la b. Apoi obținem:

Atunci b=q 2 r 2 +r 3 ,

Exact la fel

r2 =q3r3 +r4,;

r3 =q4r4+r5,;

………………………………..

Mărimile q 1, q 2,... se numesc câte incomplete. Procesul de mai sus de formare a coeficientilor incompleti se numeste Algoritmul euclidian. Resturile din diviziunea r 2 , r 3 ,... satisfac inegalitățile

aceste. formează o serie de numere nenegative descrescătoare.

Exemplul nr. 2 Rezolvați ecuația 170x+190y=3000 în numere întregi

După reducerea cu 10, ecuația arată astfel:

Pentru a găsi o anumită soluție, folosim descompunerea unei fracții într-o fracție continuă

Prin prăbușirea penultimei fracții care o potrivește într-o fracție obișnuită

O soluție specială a acestei ecuații are forma

X 0 = (-1)4300∙9=2700, y 0 =(-1)5300∙8=-2400,

iar cea generală este dată de formula

x=2700-19k, y= -2400+17k.

din care obținem condiția pentru parametrul k

Aceste. k=142, x=2, y=14. .

6. Metoda factorizării

Metoda de enumerare a opțiunilor este o metodă incomodă, deoarece există cazuri în care este imposibil să se găsească soluții complete prin enumerare, deoarece există un număr infinit de astfel de soluții. Metoda factorizării este o tehnică foarte interesantă și se regăsește atât în ​​matematica elementară, cât și în cea superioară.

Esența este transformarea identității. Sensul oricărei transformări identice este de a scrie o expresie într-o formă diferită, păstrându-i în același timp esența. Să ne uităm la exemple de utilizare a acestei metode.

№1 Rezolvați ecuația în numere întregi y 3 -x 3 = 91.

Folosind formule de înmulțire prescurtate, factorizăm partea dreaptă a ecuației:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

Notăm toți divizorii numărului 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Observăm că pentru orice întreg x și y numărul

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

prin urmare, ambii factori din partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitivi. Atunci ecuația inițială este echivalentă cu un set de sisteme de ecuații:

După ce am rezolvat sistemele, selectăm acele rădăcini care sunt numere întregi.

Obținem soluții la ecuația inițială: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

Răspuns: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Aflați toate perechile de numere naturale care satisfac ecuația x 2 -y 2 = 69

Să factorizăm partea stângă a ecuației și să scriem ecuația sub forma

Deoarece Divizorii numărului 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, apoi 69 se poate obține în două moduri: 69=1·69 și 69=3·23. Având în vedere că x-y > 0, obținem două sisteme de ecuații, rezolvând care putem găsi numerele necesare:

Exprimând o variabilă și substituind-o în a doua ecuație, găsim rădăcinile ecuațiilor Primul sistem are o soluție x=35;y=34, iar al doilea sistem are o soluție x=13, y=10.

Răspuns: (35; 34), (13; 10).

№3 Rezolvați ecuația x + y = xy în numere întregi:

Să scriem ecuația sub forma

Să factorizăm partea stângă a ecuației. Primim

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:

Primul sistem are o soluție x=2, y=2, iar al doilea sistem are o soluție x=0, y=0 Răspuns: (2; 2), (0; 0).

№4 Demonstrați că ecuația (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nu are soluții în numere întregi.

Să factorizăm partea stângă a ecuației și să împărțim ambele părți ale ecuației la 3, rezultând următoarea ecuație:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

Divizorii lui 10 sunt numerele ±1, ±2, ±5, ±10. De asemenea, rețineți că suma factorilor din partea stângă a ecuației este egală cu 0. Este ușor de verificat că suma oricăror trei numere din mulțimea divizorilor numărului 10, dând produsul 10, nu va fi egală. 0. În consecință, ecuația originală nu are soluții în numere întregi.

7. Metoda reziduală

Sarcina principală a metodei este de a găsi restul la împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr întreg, pe baza rezultatelor obținute. Adesea informațiile obținute reduc posibilitățile de seturi de soluții pentru ecuație. Să ne uităm la exemple:

№1 Demonstrați că ecuația x 2 = 3y + 2 nu are soluții întregi.

Dovada.

Luați în considerare cazul în care x, y ∈ N. Luați în considerare restul când ambele părți sunt împărțite la 3. Partea dreaptă a ecuației dă un rest de 2 când este împărțit la 3 pentru orice valoare a lui y. Latura stângă, care este pătratul unui număr natural, atunci când este împărțită la 3, dă întotdeauna un rest de 0 sau 1. Pe baza acestui fapt, constatăm că nu există o soluție pentru această ecuație în numerele naturale.

Să luăm în considerare cazul când unul dintre numere este 0. Atunci, evident, nu există soluții în numere întregi.

Cazul în care y este un întreg negativ nu are soluții, deoarece partea dreaptă va fi negativă, iar partea stângă va fi pozitivă.

Cazul în care x este un întreg negativ, de asemenea, nu are soluții, deoarece se încadrează într-unul dintre cazurile considerate anterior datorită faptului că (-x) 2 = (x) 2.

Se pare că ecuația indicată nu are soluții în numere întregi, ceea ce trebuia demonstrat.

№2 Rezolvați cu numere întregi 3 X = 1 + y 2 .

Nu este greu de observat că (0; 0) este soluția acestei ecuații. Rămâne de demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini întregi.

Să luăm în considerare cazurile:

1) Dacă x∈N, y∈N, atunci 3 este divizibil cu trei fără rest, iar 1 + y 2 când este împărțit la 3 dă

restul este fie 1, fie 2. Prin urmare, egalitate pentru natural

valorile x, y sunt imposibile.

2) Dacă x este un număr întreg negativ, y∈Z, atunci 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

egalitatea este de asemenea imposibilă. Prin urmare, (0; 0) este singurul

Răspuns: (0; 0).

№3 Rezolvați ecuația 2x 2 -2xy+9x+y=2 în numere întregi:

Să exprimăm din ecuație necunoscuta care este inclusă în ea doar până la primul grad, adică variabila y:

2x 2 +9x-2=2xy-y, unde de la

Să selectăm întreaga parte a unei fracții folosind regula împărțirii unui polinom la un polinom la un „unghi”. Primim:

Evident, diferența 2x-1 poate lua doar valorile -3, -1, 1 și 3.

Rămâne de parcurs aceste patru cazuri, în urma cărora obținem soluțiile: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Răspuns: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Un exemplu de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile în numere întregi ca pătrat în raport cu una dintre variabile

№1 Rezolvați ecuația 5x în numere întregi 2 +5у 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Această ecuație poate fi rezolvată prin factorizare, dar această metodă, atunci când este aplicată acestei ecuații, necesită destul de multă muncă. Să luăm în considerare un mod mai rațional.

Să scriem ecuația în formă pătratică în raport cu variabila x:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Îi găsim rădăcinile.

Această ecuație are o soluție dacă și numai dacă discriminantul

din această ecuație este egală cu zero, adică - 9(y+1) 2 =0, deci y= - 1.

Dacă y= -1, atunci x= 1.

Răspuns: (1; - 1).

9.Un exemplu de rezolvare a problemelor folosind ecuații în numere întregi.

№ 1. Rezolvați ecuația în numere naturale : unde n>m

Să exprimăm variabila n prin variabila m:

Să găsim divizorii numărului 625: acesta este 1; 5; 25; 125; 625

1) dacă m-25 =1, atunci m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, apoi m=30, n=150

3) m-25 =25, apoi m=50, n=50

4) m-25 =125, apoi m=150, n=30

5) m-25 =625, apoi m=650, n=26

Răspuns: m=150, n=30

№ 2. Rezolvați ecuația în numere naturale: mn +25 = 4m

Rezolvare: mn +25 = 4m

1) exprimați variabila 4m în termeni de n:

2) găsiți divizorii naturali ai numărului 25: acesta este 1; 5; 25

dacă 4-n =1, atunci n=3, m=25

4-n=5, apoi n=-1, m=5; 4-n =25, apoi n=-21, m=1 (rădăcini străine)

Răspuns: (25;3)

Pe lângă sarcinile de rezolvare a unei ecuații în numere întregi, există sarcini pentru a demonstra faptul că ecuația nu are rădăcini întregi.

Atunci când rezolvați astfel de probleme, este necesar să vă amintiți următoarele proprietăți de divizibilitate:

1) Dacă n Z; n este divizibil cu 2, atunci n = 2k, k ∈ Z.

2) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 2, atunci n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Dacă n ∈ Z; n este divizibil cu 3, atunci n = 3k, k ∈ Z.

4) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 3, atunci n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 4, atunci n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Dacă n ∈ Z; n(n+1) este divizibil cu 2, atunci n (n+1)(n+2) este divizibil cu 2;3;6.

7) n; n+1 sunt relativ prime.

№3 Demonstrați că ecuația x 2 - 3y = 17 nu are soluții întregi.

Dovada:

Fie x; y - soluții ale ecuației

x 2 = 3(y+6)-1 Deoarece y ∈ Z atunci y+6 ∈ Z, ceea ce înseamnă că 3(y+6) este divizibil cu 3, prin urmare, 3(y+6)-1 nu este divizibil cu 3, prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 3, prin urmare , x nu este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă x = 3k±1, k ∈ Z.

Să înlocuim acest lucru în ecuația originală.

Avem o contradicție. Aceasta înseamnă că ecuația nu are soluții întregi, ceea ce trebuia demonstrat.

10.Pica formula

Formula Pieck a fost descoperită de matematicianul austriac Georg Pieck în 1899. Formula este legată de ecuații în numere întregi, prin aceea că numai nodurile întregi sunt luate din poligoane, la fel ca și numerele întregi din ecuații.

Folosind această formulă, puteți găsi aria unei figuri construite pe o foaie de hârtie într-o cușcă (triunghi, pătrat, trapez, dreptunghi, poligon).

În această formulă vom găsi puncte întregi în interiorul poligonului și pe marginea acestuia.

În problemele care vor fi la Examenul Unificat de Stat există un întreg grup de sarcini în care este dat un poligon, construit pe o foaie de hârtie într-un pătrat, iar întrebarea este despre găsirea zonei. Scara celulei este de un centimetru pătrat.

Exemplul nr. 1

M - numărul de noduri de pe marginea triunghiului (pe laturi și vârfuri)

N este numărul de noduri din interiorul triunghiului.

*Prin „noduri” înțelegem intersecția liniilor. Să găsim aria triunghiului:

Să marchem nodurile:

M = 15 (indicat cu roșu)

N=34 (în albastru)

Exemplul nr. 2

Să găsim aria poligonului: Marcați nodurile:

M = 14 (indicat cu roșu)

N=43 (în albastru)

12.Metoda coborârii

Una dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi - metoda coborârii - se bazează pe teorema lui Fermat.

Metoda coborârii este o metodă care constă în construirea unei soluții la o succesiune infinită de soluții cu z pozitiv infinit descrescător.

Să luăm în considerare algoritmul acestei metode folosind exemplul de rezolvare a unei anumite ecuații.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația în numere întregi 5x + 8y = 39.

1) Să alegem necunoscuta care are cel mai mic coeficient (în cazul nostru este x) și să o exprimăm printr-o altă necunoscută:

2) Să selectăm partea întreagă: În mod evident, x va fi un număr întreg dacă expresia se dovedește a fi un număr întreg, care, la rândul său, va apărea când numărul 4 - 3y este divizibil cu 5 fără rest.

3) Să introducem o variabilă întreagă suplimentară z astfel: 4 -3y = 5z. Ca urmare, obținem o ecuație de același tip cu cea inițială, dar cu coeficienți mai mici.

4) O rezolvăm în raport cu variabila y, raționând exact ca la punctele 1, 2: Selectând întreaga parte, obținem:

5) Raționând similar celui precedent, introducem o nouă variabilă u: 3u = 1 - 2z.

6) Exprimați necunoscuta cu cel mai mic coeficient, în acest caz variabila z: . Cerând ca acesta să fie un întreg, obținem: 1 - u = 2v, de unde u = 1 - 2v. Nu mai sunt fracții, coborârea este finalizată (continuăm procesul până când nu mai rămân fracții în expresia pentru următoarea variabilă).

7) Acum trebuie să „mergi în sus”. Să exprimăm prin variabila v mai întâi z, apoi y și apoi x:

8) Formulele x = 3+8v și y = 3 - 5v, unde v este un număr întreg arbitrar, reprezintă soluția generală a ecuației inițiale în numere întregi.

Astfel, metoda coborârii implică mai întâi exprimarea secvenţială a unei variabile în termenii alteia până când nu mai rămân fracţii în reprezentarea variabilei, iar apoi „ascensiunea” secvenţială de-a lungul lanţului de egalităţi pentru a obţine o soluţie generală a ecuaţiei.

12.Concluzie

În urma studiului, s-a confirmat ipoteza că dificultățile în rezolvarea ecuațiilor în numere întregi se datorează faptului că nu mi-au fost cunoscute toate metodele de rezolvare a acestora. În cursul cercetării mele, am reușit să găsesc și să descriu metode puțin cunoscute pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi și să le ilustrez cu exemple. Rezultatele cercetării mele pot fi utile tuturor studenților interesați de matematică.

13.Bibliografie

Resurse de carte:

1. N. Ya Vilenkin et al., Algebră și analiză matematică / clasa a X-a, clasa a XI-a // M., „Iluminarea”, 1998;

2. A.F. Ivanov și colab., Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea pentru examen // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gelfond, Matematică, teoria numerelor // Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi // Casa de carte LIBROKOM

Resurse de internet:

4. Opțiuni demonstrative pentru materialele de măsurare de control ale examenului de stat unificat la matematică http://fipi.ru/

5. Exemple de soluții ale ecuațiilor în numere întregi http://reshuege.ru

6. Exemple de soluții ale ecuațiilor în numere întregi http://mat-ege.ru

7. Istoria ecuațiilor diofantine http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Istoria lui Diophantus http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9. Istoria ecuațiilor diofantine http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Istoria lui Diophantus http://www.studfiles.ru/preview/4518769/