Expresii raționale ale ecuației. Ecuații raționale fracționale

Mai simplu spus, acestea sunt ecuații în care există cel puțin o variabilă în numitor.

De exemplu:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemplu Nu ecuații raționale fracționale:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Cum se rezolvă ecuațiile raționale fracționale?

Principalul lucru de reținut despre ecuațiile raționale fracționale este că trebuie să scrieți în ele. Și după ce găsiți rădăcinile, asigurați-vă că le verificați pentru admisibilitate. În caz contrar, pot apărea rădăcini străine, iar întreaga decizie va fi considerată incorectă.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale:

Scrieți și „rezolvați” ODZ.

Înmulțiți fiecare termen din ecuație cu numitorul comun și anulați fracțiile rezultate. Numitorii vor dispărea.

Scrieți ecuația fără a deschide parantezele.

Rezolvați ecuația rezultată.

Verificați rădăcinile găsite cu ODZ.

Scrieți în răspunsul dvs. rădăcinile care au trecut testul de la pasul 7.

Nu memorați algoritmul, 3-5 ecuații rezolvate și va fi reținut de la sine.

Exemplu . Rezolvați ecuația rațională fracțională \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Soluţie:

Răspuns: \(3\).

Exemplu . Găsiți rădăcinile ecuației raționale fracționale \(=0\)

Soluţie:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Scriem și „rezolvăm” ODZ. Expandăm \(x^2+7x+10\) în conform formulei: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Din fericire, am găsit deja \(x_1\) și \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Evident, numitorul comun al fracțiilor este \((x+2)(x+5)\). Înmulțim întreaga ecuație cu ea.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Fracții reducătoare
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Deschiderea parantezelor
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Prezentăm termeni similari
\(2x^2+9x-5=0\)		Găsirea rădăcinilor ecuației
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Una dintre rădăcini nu se potrivește cu ODZ, așa că scriem doar a doua rădăcină în răspuns.

Răspuns: \(\frac(1)(2)\).

Am învățat deja cum să rezolvăm ecuații pătratice. Acum să extindem metodele studiate la ecuații raționale.

Ce este o expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale sunt expresii alcătuite din numere, variabile, puterile acestora și simboluri ale operațiilor matematice.

În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde - expresii raţionale.

Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații liniare. Acum să luăm în considerare acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații pătratice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

O fracție este egală cu 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu 0 și numitorul ei nu este egal cu 0.

Obtinem urmatorul sistem:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, să împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:

Obținem două rădăcini: ; .

Deoarece 2 nu este niciodată egal cu 0, trebuie îndeplinite două condiții: . Deoarece niciuna dintre rădăcinile ecuației obținute mai sus nu coincide cu valorile invalide ale variabilei care au fost obținute la rezolvarea celei de-a doua inegalități, ambele sunt soluții ale acestei ecuații.

Răspuns:.

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât partea dreaptă să se termine cu 0.

2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.

3. Echivalează fracția rezultată cu 0 utilizând următorul algoritm: .

4. Notează acele rădăcini care au fost obținute în prima ecuație și satisface a doua inegalitate din răspuns.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația: .

Soluţie

La început, mutăm toți termenii spre stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta.

Acum să aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:

Această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.

Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:

Obținem două rădăcini: ; .

Acum să rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.

Trebuie îndeplinite două condiții: . Constatăm că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.

Răspuns:.

În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și am învățat, de asemenea, cum să rezolvăm ecuații raționale, care se reduc la ecuații patratice.

În lecția următoare ne vom uita la ecuațiile raționale ca modele de situații reale și, de asemenea, vom analiza problemele de mișcare.

Referințe

Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi alţii Algebra, 8. Ed. a 5-a. - M.: Educație, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Manual pentru instituțiile de învățământ general. - M.: Educație, 2006.

Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Teme pentru acasă

Am introdus ecuația de mai sus în § 7. Mai întâi, să ne amintim ce este o expresie rațională. Aceasta este o expresie algebrică formată din numere și variabila x folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și exponențiere cu un exponent natural.

Dacă r(x) este o expresie rațională, atunci ecuația r(x) = 0 se numește ecuație rațională.

Cu toate acestea, în practică, este mai convenabil să folosiți o interpretare puțin mai largă a termenului „ecuație rațională”: aceasta este o ecuație de forma h(x) = q(x), unde h(x) și q(x) sunt expresii rationale.

Până acum nu am putut rezolva nicio ecuație rațională, ci doar una care, ca urmare a diferitelor transformări și raționamente, s-a redus la ecuație liniară. Acum capacitățile noastre sunt mult mai mari: vom putea rezolva o ecuație rațională care se reduce nu numai la liniară.
mu, dar și la ecuația pătratică.

Să ne amintim cum am rezolvat mai înainte ecuațiile raționale și să încercăm să formulăm un algoritm de soluție.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

Soluţie. Să rescriem ecuația sub forma

În acest caz, ca de obicei, profităm de faptul că egalitățile A = B și A - B = 0 exprimă aceeași relație între A și B. Acest lucru ne-a permis să mutăm termenul în partea stângă a ecuației cu semnul opus.

Să transformăm partea stângă a ecuației. Avem

Să ne amintim condițiile egalității fractii zero: dacă și numai dacă două relații sunt satisfăcute simultan:

1) numărătorul fracției este zero (a = 0); 2) numitorul fracției este diferit de zero).
Echivalând numărătorul fracției din partea stângă a ecuației (1) la zero, obținem

Rămâne de verificat îndeplinirea celei de-a doua condiții indicate mai sus. Relația înseamnă pentru ecuația (1) că . Valorile x 1 = 2 și x 2 = 0,6 satisfac relațiile indicate și, prin urmare, servesc ca rădăcini ale ecuației (1) și, în același timp, rădăcinile ecuației date.

1) Să transformăm ecuația în formă

2) Să transformăm partea stângă a acestei ecuații:

(a schimbat simultan semnele la numărător și
fracții).
Astfel, ecuația dată ia forma

3) Rezolvați ecuația x 2 - 6x + 8 = 0. Aflați

4) Pentru valorile găsite, verificați îndeplinirea condiției . Numărul 4 îndeplinește această condiție, dar numărul 2 nu. Aceasta înseamnă că 4 este rădăcina ecuației date, iar 2 este o rădăcină străină.
RĂSPUNS: 4.

2. Rezolvarea ecuaţiilor raţionale prin introducerea unei noi variabile

Metoda de introducere a unei noi variabile vă este familiară; am folosit-o de mai multe ori. Să arătăm cu exemple cum este folosit în rezolvarea ecuațiilor raționale.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația x 4 + x 2 - 20 = 0.

Soluţie. Să introducem o nouă variabilă y = x 2 . Deoarece x 4 = (x 2) 2 = y 2, atunci ecuația dată poate fi rescrisă ca

y 2 + y - 20 = 0.

Aceasta este o ecuație pătratică, ale cărei rădăcini pot fi găsite folosind cunoscut formule; obținem y 1 = 4, y 2 = - 5.
Dar y = x 2, ceea ce înseamnă că problema a fost redusă la rezolvarea a două ecuații:
x 2 =4; x 2 = -5.

Din prima ecuație aflăm că a doua ecuație nu are rădăcini.
Raspuns: .
O ecuație de forma ax 4 + bx 2 +c = 0 se numește ecuație biquadratică („bi” este doi, adică un fel de ecuație „dublă pătratică”). Ecuația tocmai rezolvată a fost tocmai biquadratică. Orice ecuație biquadratică se rezolvă în același mod ca și ecuația din Exemplul 3: introduceți o nouă variabilă y = x 2, rezolvați ecuația pătratică rezultată în raport cu variabila y și apoi reveniți la variabila x.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația

Soluţie. Rețineți că aceeași expresie x 2 + 3x apare de două ori aici. Aceasta înseamnă că este logic să introduceți o nouă variabilă y = x 2 + 3x. Acest lucru ne va permite să rescriem ecuația într-o formă mai simplă și mai plăcută (care, de fapt, este scopul introducerii unui nou variabilă- si simplificarea inregistrarii
devine mai clară, iar structura ecuației devine mai clară):

Acum să folosim algoritmul pentru rezolvarea unei ecuații raționale.

1) Să mutăm toți termenii ecuației într-o singură parte:

= 0
2) Transformați partea stângă a ecuației

Deci, am transformat ecuația dată în forma

3) Din ecuația - 7y 2 + 29y -4 = 0 găsim (tu și cu mine am rezolvat deja destul de multe ecuații pătratice, așa că probabil că nu merită să dați întotdeauna calcule detaliate în manual).

4) Să verificăm rădăcinile găsite folosind condiția 5 (y - 3) (y + 1). Ambele rădăcini îndeplinesc această condiție.
Deci, ecuația pătratică pentru noua variabilă y este rezolvată:
Deoarece y = x 2 + 3x, iar y, după cum am stabilit, ia două valori: 4 și , mai avem de rezolvat două ecuații: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Rădăcinile primei ecuații sunt numerele 1 și - 4, rădăcinile celei de-a doua ecuații sunt numerele

În exemplele luate în considerare, metoda de introducere a unei noi variabile a fost, după cum le place să spună matematicienii, adecvată situației, adică îi corespundea bine. De ce? Da, pentru că aceeași expresie a apărut clar în ecuație de mai multe ori și a existat un motiv pentru a desemna această expresie cu o nouă literă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna, uneori, o nouă variabilă „apare” doar în timpul procesului de transformare. Este exact ceea ce se va întâmpla în exemplul următor.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Soluţie. Avem
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Aceasta înseamnă că ecuația dată poate fi rescrisă sub formă

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Acum a „apărut” o nouă variabilă: y = x 2 - 3x.

Cu ajutorul ei, ecuația poate fi rescrisă sub forma y (y + 2) = 24 și apoi y 2 + 2y - 24 = 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt numerele 4 și -6.

Revenind la variabila inițială x, obținem două ecuații x 2 - 3x = 4 și x 2 - 3x = - 6. Din prima ecuație găsim x 1 = 4, x 2 = - 1; a doua ecuație nu are rădăcini.

RĂSPUNS: 4, - 1.

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practica sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul; Lecții integrate

Să ne familiarizăm cu ecuațiile raționale și fracționale, să le dăm definiția, să dăm exemple și să analizăm, de asemenea, cele mai comune tipuri de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuația rațională: definiție și exemple

Cunoașterea expresiilor raționale începe în clasa a VIII-a de școală. În acest moment, la lecțiile de algebră, elevii încep din ce în ce mai mult să întâmpine sarcini cu ecuații care conțin expresii raționale în notele lor. Să ne reîmprospătăm memoria despre ce este.

Definiția 1

Ecuație rațională este o ecuație în care ambele părți conțin expresii raționale.

În diverse manuale puteți găsi o altă formulare.

Definiția 2

Ecuație rațională- aceasta este o ecuație, a cărei parte stângă conține o expresie rațională, iar partea dreaptă conține zero.

Definițiile pe care le-am dat pentru ecuațiile raționale sunt echivalente, deoarece vorbesc despre același lucru. Corectitudinea cuvintelor noastre este confirmată de faptul că pentru orice expresii raționale PŞi Q ecuații P = QŞi P − Q = 0 vor fi expresii echivalente.

Acum să ne uităm la exemple.

Exemplul 1

Ecuații raționale:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Ecuațiile raționale, la fel ca și ecuațiile de alte tipuri, pot conține orice număr de variabile de la 1 la mai multe. Pentru început, ne vom uita la exemple simple în care ecuațiile vor conține o singură variabilă. Și apoi vom începe să complicăm treptat sarcina.

Ecuațiile raționale sunt împărțite în două grupuri mari: întregi și fracționale. Să vedem ce ecuații se vor aplica fiecărui grup.

Definiția 3

O ecuație rațională va fi întreagă dacă laturile ei stânga și dreapta conțin expresii raționale întregi.

Definiția 4

O ecuație rațională va fi fracțională dacă una sau ambele părți conțin o fracție.

Ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă sau variabila este prezentă în numitor. Nu există o astfel de diviziune în scrierea ecuațiilor întregi.

Exemplul 2

3 x + 2 = 0Şi (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– ecuații raționale întregi. Aici ambele părți ale ecuației sunt reprezentate prin expresii întregi.

1 x - 1 = x 3 și x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sunt ecuații fracționale raționale.

Ecuațiile raționale întregi includ ecuații liniare și pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Rezolvarea unor astfel de ecuații se reduce de obicei la transformarea lor în ecuații algebrice echivalente. Acest lucru poate fi realizat prin efectuarea de transformări echivalente ale ecuațiilor în conformitate cu următorul algoritm:

mai întâi obținem zero în partea dreaptă a ecuației pentru a face acest lucru, trebuie să mutăm expresia din partea dreaptă a ecuației în partea stângă și să schimbăm semnul;
apoi transformăm expresia din partea stângă a ecuației într-un polinom de formă standard.

Trebuie să obținem o ecuație algebrică. Această ecuație va fi echivalentă cu ecuația inițială. Cazurile simple ne permit să reducem întreaga ecuație la una liniară sau pătratică pentru a rezolva problema. În general, rezolvăm o ecuație algebrică a gradului n.

Exemplul 3

Este necesar să găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Soluţie

Să transformăm expresia originală pentru a obține o ecuație algebrică echivalentă. Pentru a face acest lucru, vom transfera expresia conținută în partea dreaptă a ecuației în partea stângă și vom înlocui semnul cu cel opus. Ca rezultat obținem: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Acum să transformăm expresia care se află în partea stângă într-un polinom de formă standard și să efectuăm acțiunile necesare cu acest polinom:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Am reușit să reducem soluția ecuației inițiale la soluția unei ecuații pătratice de formă x 2 − 5 x − 6 = 0. Discriminantul acestei ecuații este pozitiv: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Aceasta înseamnă că vor exista două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 sau x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 sau x 2 = - 1

Să verificăm corectitudinea rădăcinilor ecuației pe care le-am găsit în timpul rezolvării. Pentru aceasta, înlocuim numerele primite în ecuația originală: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3Şi 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. În primul caz 63 = 63 , în al doilea 0 = 0 . Rădăcini x=6Şi x = − 1 sunt într-adevăr rădăcinile ecuației date în condiția exemplu.

Răspuns: 6 , − 1 .

Să ne uităm la ce înseamnă „gradul unei întregi ecuații”. Vom întâlni adesea acest termen în cazurile în care trebuie să reprezentăm o întreagă ecuație în formă algebrică. Să definim conceptul.

Definiția 5

Gradul întregii ecuații este gradul unei ecuații algebrice echivalente cu ecuația întreagă inițială.

Dacă te uiți la ecuațiile din exemplul de mai sus, poți stabili: gradul întregii ecuații este al doilea.

Dacă cursul nostru s-ar limita la rezolvarea ecuațiilor de gradul doi, atunci discuția despre subiect s-ar putea încheia aici. Dar nu este atât de simplu. Rezolvarea ecuațiilor de gradul al treilea este plină de dificultăți. Și pentru ecuațiile de peste gradul al patrulea nu există deloc formule generale de rădăcină. În acest sens, rezolvarea ecuațiilor întregi de gradul al treilea, al patrulea și de alte grade necesită să folosim o serie de alte tehnici și metode.

Cea mai frecvent utilizată abordare pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi se bazează pe metoda factorizării. Algoritmul acțiunilor în acest caz este următorul:

mutăm expresia din partea dreaptă la stânga, astfel încât zero să rămână în partea dreaptă a înregistrării;
Reprezentăm expresia din partea stângă ca un produs al factorilor și apoi trecem la un set de mai multe ecuații mai simple.

Exemplul 4

Aflați soluția ecuației (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Soluţie

Mutăm expresia din partea dreaptă a înregistrării la stânga cu semnul opus: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Transformarea părții stângi într-un polinom al formei standard este inadecvată din cauza faptului că aceasta ne va oferi o ecuație algebrică de gradul al patrulea: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Ușurința conversiei nu justifică toate dificultățile în rezolvarea unei astfel de ecuații.

Este mult mai ușor să mergi în altă direcție: să scoatem factorul comun din paranteze x 2 − 10 x + 13 . Așa că ajungem la o ecuație a formei (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Acum înlocuim ecuația rezultată cu un set de două ecuații pătratice x 2 − 10 x + 13 = 0Şi x 2 − 2 x − 1 = 0și găsiți rădăcinile lor prin discriminant: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Răspuns: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

În același mod, putem folosi metoda introducerii unei noi variabile. Această metodă ne permite să trecem la ecuații echivalente cu grade mai mici decât gradele din ecuația întregă originală.

Exemplul 5

Ecuația are rădăcini? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Soluţie

Dacă acum încercăm să reducem o întreagă ecuație rațională la una algebrică, vom obține o ecuație de gradul 4 care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, ne va fi mai ușor să mergem în altă direcție: introduceți o nouă variabilă y, care va înlocui expresia din ecuație x 2 + 3 x.

Acum vom lucra cu întreaga ecuație (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Să mutam partea dreaptă a ecuației la stânga cu semnul opus și să efectuăm transformările necesare. Primim: y 2 + 4 y + 3 = 0. Să găsim rădăcinile ecuației pătratice: y = − 1Şi y = − 3.

Acum să facem înlocuirea inversă. Obținem două ecuații x 2 + 3 x = − 1Şi x 2 + 3 · x = − 3 . Să le rescriem ca x 2 + 3 x + 1 = 0 și x 2 + 3 x + 3 = 0. Folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice pentru a găsi rădăcinile primei ecuații din cele obținute: - 3 ± 5 2. Discriminantul celei de-a doua ecuații este negativ. Aceasta înseamnă că a doua ecuație nu are rădăcini reale.

Răspuns:- 3 ± 5 2

Ecuații întregi de grade înalte apar destul de des în probleme. Nu trebuie să-ți fie frică de ei. Trebuie să fiți gata să utilizați o metodă non-standard pentru a le rezolva, inclusiv o serie de transformări artificiale.

Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale

Vom începe examinarea acestui subtopic cu un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0, unde p(x)Şi q(x)– expresii raționale întregi. Rezolvarea altor ecuații raționale fracționale poate fi întotdeauna redusă la soluția ecuațiilor de tipul indicat.

Metoda cea mai des folosită pentru rezolvarea ecuațiilor p (x) q (x) = 0 se bazează pe următoarea afirmație: fracție numerică u v, Unde v- acesta este un număr care este diferit de zero, egal cu zero numai în acele cazuri când numărătorul fracției este egal cu zero. Urmând logica afirmației de mai sus, putem pretinde că soluția ecuației p (x) q (x) = 0 poate fi redusă la îndeplinirea a două condiții: p(x)=0Şi q(x) ≠ 0. Aceasta este baza pentru construirea unui algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0:

găsiți soluția întregii ecuații raționale p(x)=0;
verificăm dacă condiția este îndeplinită pentru rădăcinile găsite în timpul soluției q(x) ≠ 0.

Dacă această condiție este îndeplinită, atunci rădăcina găsită. Dacă nu, atunci rădăcina nu este o soluție la problemă.

Exemplul 6

Să găsim rădăcinile ecuației 3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0.

Soluţie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracțională de forma p (x) q (x) = 0, în care p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Să începem să rezolvăm ecuația liniară 3 x − 2 = 0. Rădăcina acestei ecuații va fi x = 2 3.

Să verificăm rădăcina găsită pentru a vedea dacă îndeplinește condiția 5 x 2 − 2 ≠ 0. Pentru a face acest lucru, înlocuiți o valoare numerică în expresie. Se obține: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Condiția este îndeplinită. Aceasta înseamnă că x = 2 3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns: 2 3 .

Există o altă opțiune pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale p (x) q (x) = 0. Amintiți-vă că această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p(x)=0 pe intervalul de valori admisibile ale variabilei x din ecuația originală. Acest lucru ne permite să folosim următorul algoritm în rezolvarea ecuațiilor p (x) q (x) = 0:

rezolva ecuatia p(x)=0;
găsiți intervalul de valori admisibile ale variabilei x;
luăm rădăcinile care se află în intervalul de valori admisibile ale variabilei x ca rădăcini dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Soluţie

Mai întâi, să rezolvăm ecuația pătratică x 2 − 2 x − 11 = 0. Pentru a calcula rădăcinile sale, folosim formula rădăcinilor pentru al doilea coeficient par. Primim D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12și x = 1 ± 2 3 .

Acum putem găsi ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Acestea sunt toate numerele pentru care x 2 + 3 x ≠ 0. Este la fel ca x (x + 3) ≠ 0, de unde x ≠ 0, x ≠ − 3.

Acum să verificăm dacă rădăcinile x = 1 ± 2 3 obținute în prima etapă a soluției se află în intervalul valorilor permise ale variabilei x. Îi vedem intrând. Aceasta înseamnă că ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini x = 1 ± 2 3.

Răspuns: x = 1 ± 2 3

A doua metodă de soluție descrisă este mai simplă decât prima în cazurile în care intervalul de valori admisibile ale variabilei x este ușor de găsit și rădăcinile ecuației p(x)=0 iraţional. De exemplu, 7 ± 4 · 26 9. Rădăcinile pot fi raționale, dar cu un numărător sau numitor mare. De exemplu, 127 1101 Şi − 31 59 . Acest lucru economisește timp la verificarea stării q(x) ≠ 0: Este mult mai ușor să excludeți rădăcinile care nu sunt potrivite conform ODZ.

În cazurile în care rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt numere întregi, este mai oportun să se folosească primul algoritm descris pentru rezolvarea ecuațiilor de forma p (x) q (x) = 0. Găsiți mai repede rădăcinile unei întregi ecuații p(x)=0, apoi verificați dacă condiția este îndeplinită pentru ei q(x) ≠ 0, mai degrabă decât să găsești ODZ și apoi să rezolvi ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, este de obicei mai ușor să verificați decât să găsiți DZ.

Exemplul 8

Aflați rădăcinile ecuației (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Soluţie

Să începem prin a privi întreaga ecuație (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0și găsindu-și rădăcinile. Pentru a face acest lucru, aplicăm metoda de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare. Se dovedește că ecuația inițială este echivalentă cu un set de patru ecuații 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, dintre care trei sunt liniare și unul este pătratic. Găsirea rădăcinilor: din prima ecuație x = 1 2, din a doua - x=6, din a treia – x = 7 , x = − 2 , din a patra – x = − 1.

Să verificăm rădăcinile obținute. Este dificil pentru noi să determinăm ODZ în acest caz, deoarece pentru aceasta va trebui să rezolvăm o ecuație algebrică de gradul cinci. Va fi mai ușor să verificați condiția conform căreia numitorul fracției, care se află în partea stângă a ecuației, nu ar trebui să meargă la zero.

Să înlocuim pe rând rădăcinile pentru variabila x în expresie x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 si calculeaza-i valoarea:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 112 = 122 + 1 3 0;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Verificarea efectuată ne permite să stabilim că rădăcinile ecuației raționale fracționale originale sunt 1 2, 6 și − 2 .

Răspuns: 1 2 , 6 , - 2

Exemplul 9

Aflați rădăcinile ecuației raționale fracționale 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Soluţie

Să începem să lucrăm cu ecuația (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Să-i găsim rădăcinile. Ne este mai ușor să ne imaginăm această ecuație ca un set de ecuații patratice și liniare 5 x 2 − 7 x − 1 = 0Şi x − 2 = 0.

Folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice pentru a găsi rădăcinile. Obținem din prima ecuație două rădăcini x = 7 ± 69 10, iar din a doua x = 2.

Ne va fi destul de dificil să înlocuim valoarea rădăcinilor în ecuația originală pentru a verifica condițiile. Va fi mai ușor de determinat ODZ a variabilei x. În acest caz, ODZ a variabilei x sunt toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția este îndeplinită x 2 + 5 x − 14 = 0. Se obține: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Acum să verificăm dacă rădăcinile pe care le-am găsit aparțin intervalului de valori permise ale variabilei x.

Rădăcinile x = 7 ± 69 10 aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației inițiale și x = 2- nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns: x = 7 ± 69 10 .

Să examinăm separat cazurile în care numărătorul unei ecuații raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0 conține un număr. În astfel de cazuri, dacă numărătorul conține un alt număr decât zero, atunci ecuația nu va avea rădăcini. Dacă acest număr este egal cu zero, atunci rădăcina ecuației va fi orice număr din ODZ.

Exemplul 10

Rezolvați ecuația rațională fracțională - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Soluţie

Această ecuație nu va avea rădăcini, deoarece numărătorul fracției din partea stângă a ecuației conține un număr diferit de zero. Aceasta înseamnă că la nicio valoare a lui x valoarea fracției date în enunțul problemei nu va fi egală cu zero.

Răspuns: fara radacini.

Exemplul 11

Rezolvați ecuația 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Soluţie

Deoarece numărătorul fracției conține zero, soluția ecuației va fi orice valoare x din ODZ a variabilei x.

Acum să definim ODZ. Va include toate valorile lui x pentru care x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluții ale ecuației x 4 + 5 x 3 = 0 sunt 0 Şi − 5 , deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) = 0, iar aceasta la rândul său este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 = 0 și x + 5 = 0, unde aceste rădăcini sunt vizibile. Ajungem la concluzia că intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x = 0Şi x = − 5.

Se pare că ecuația rațională fracțională 0 x 4 + 5 x 3 = 0 are un număr infinit de soluții, care sunt orice numere, altele decât zero și - 5.

Răspuns: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Acum să vorbim despre ecuații raționale fracționale de formă arbitrară și despre metodele de rezolvare a acestora. Ele pot fi scrise ca r(x) = s(x), Unde r(x)Şi s(x)– expresii raționale, iar cel puțin una dintre ele este fracțională. Rezolvarea unor astfel de ecuații se reduce la rezolvarea ecuațiilor de forma p (x) q (x) = 0.

Știm deja că putem obține o ecuație echivalentă transferând o expresie din partea dreaptă a ecuației la stânga cu semnul opus. Aceasta înseamnă că ecuația r(x) = s(x) este echivalentă cu ecuația r (x) − s (x) = 0. De asemenea, am discutat deja modalități de a converti o expresie rațională într-o fracție rațională. Datorită acestui lucru, putem transforma cu ușurință ecuația r (x) − s (x) = 0într-o fracție rațională identică de forma p (x) q (x) .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x) = s(x) la o ecuație de forma p (x) q (x) = 0, pe care am învățat deja să o rezolvăm.

Trebuie avut în vedere faptul că atunci când se fac tranziții de la r (x) − s (x) = 0 la p(x)q(x) = 0 și apoi la p(x)=0 este posibil să nu luăm în considerare extinderea intervalului de valori admisibile ale variabilei x.

Este foarte posibil ca ecuația originală r(x) = s(x)și ecuație p(x)=0 ca urmare a transformărilor acestea vor înceta să mai fie echivalente. Apoi soluția ecuației p(x)=0 ne poate da rădăcini care vor fi străine r(x) = s(x). În acest sens, în fiecare caz este necesar să se efectueze verificarea folosind oricare dintre metodele descrise mai sus.

Pentru a vă facilita studierea subiectului, am rezumat toate informațiile într-un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale de forma r(x) = s(x):

transferăm expresia din partea dreaptă cu semnul opus și obținem zero în dreapta;
transformă expresia originală într-o fracție rațională p (x) q (x) , efectuând secvențial operații cu fracții și polinoame;
rezolva ecuatia p(x)=0;
Identificăm rădăcinile străine prin verificarea apartenenței lor la ODZ sau prin substituție în ecuația originală.

Vizual, lanțul de acțiuni va arăta astfel:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminare RĂDĂCINI EXTERNE

Exemplul 12

Rezolvați ecuația rațională fracțională x x + 1 = 1 x + 1 .

Soluţie

Să trecem la ecuația x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Să transformăm expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației în forma p (x) q (x) .

Pentru a face acest lucru, va trebui să reducem fracțiile raționale la un numitor comun și să simplificăm expresia:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Pentru a găsi rădăcinile ecuației - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, trebuie să rezolvăm ecuația − 2 x − 1 = 0. Obținem o singură rădăcină x = - 1 2.

Tot ce trebuie să facem este să verificăm folosind oricare dintre metode. Să ne uităm la amândoi.

Să înlocuim valoarea rezultată în ecuația originală. Se obține - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Am ajuns la egalitatea numerică corectă − 1 = − 1 . Aceasta înseamnă că x = − 1 2 este rădăcina ecuației inițiale.

Acum să verificăm prin ODZ. Să determinăm intervalul de valori admisibile ale variabilei x. Acesta va fi întregul set de numere, cu excepția − 1 și 0 (la x = − 1 și x = 0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina pe care am obținut-o x = − 1 2 aparține ODZ. Aceasta înseamnă că este rădăcina ecuației originale.

Răspuns: − 1 2 .

Exemplul 13

Aflați rădăcinile ecuației x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Soluţie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracțională. Prin urmare, vom acționa conform algoritmului.

Să mutăm expresia din partea dreaptă la stânga cu semnul opus: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Să efectuăm transformările necesare: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Ajungem la ecuație x = 0. Rădăcina acestei ecuații este zero.

Să verificăm dacă această rădăcină este străină ecuației inițiale. Să substituim valoarea în ecuația originală: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. După cum puteți vedea, ecuația rezultată nu are sens. Aceasta înseamnă că 0 este o rădăcină străină, iar ecuația rațională fracțională originală nu are rădăcini.

Răspuns: fara radacini.

Dacă nu am inclus alte transformări echivalente în algoritm, aceasta nu înseamnă că nu pot fi utilizate. Algoritmul este universal, dar este conceput pentru a ajuta, nu a limita.

Exemplul 14

Rezolvați ecuația 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Soluţie

Cel mai simplu mod este de a rezolva ecuația rațională fracțională dată conform algoritmului. Dar există o altă cale. Să luăm în considerare.

Scădeți 7 din partea dreaptă și stângă, obținem: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Din aceasta putem concluziona că expresia din numitorul din partea stângă trebuie să fie egală cu reciproca numărului din partea dreaptă, adică 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Scădeți 3 din ambele părți: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Prin analogie, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, de unde 1 5 - x 2 = 1 3, și apoi 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Să efectuăm o verificare pentru a determina dacă rădăcinile găsite sunt rădăcinile ecuației inițiale.

Răspuns: x = ± 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

„Ecuații raționale cu polinoame” este unul dintre cele mai comune subiecte în sarcinile de testare Unified State Exam în matematică. Din acest motiv, repetarea lor ar trebui să i se acorde o atenție deosebită. Mulți elevi se confruntă cu problema găsirii discriminantului, transferarea indicatorilor din partea dreaptă spre stânga și aducerea ecuației la un numitor comun, motiv pentru care realizarea unor astfel de sarcini creează dificultăți. Rezolvarea ecuațiilor raționale în pregătirea pentru examenul de stat unificat de pe site-ul nostru vă va ajuta să faceți față rapid problemelor de orice complexitate și să treceți cu brio testul.

Alegeți portalul educațional Shkolkovo pentru a vă pregăti cu succes pentru examenul unificat de matematică!

Pentru a cunoaște regulile de calcul a necunoscutelor și pentru a obține cu ușurință rezultate corecte, utilizați serviciul nostru online. Portalul Shkolkovo este o platformă unică în care sunt colectate materialele necesare pregătirii pentru examenul de stat unificat. Profesorii noștri au sistematizat și au prezentat într-o formă ușor de înțeles toate regulile matematice. În plus, invităm elevii să încerce mâna lor la rezolvarea ecuațiilor raționale standard, a căror bază este actualizată și extinsă în mod constant.

Pentru o pregătire mai eficientă pentru testare, vă recomandăm să urmați metoda noastră specială și să începeți cu repetarea regulilor și rezolvarea problemelor simple, trecând treptat la altele mai complexe. Astfel, absolventul va putea identifica cele mai dificile subiecte pentru sine și se va concentra pe studierea lor.

Începeți azi să vă pregătiți pentru testul final cu Shkolkovo, iar rezultatele nu vor întârzia să apară! Alegeți cel mai simplu exemplu dintre cele date. Dacă stăpâniți rapid expresia, treceți la o sarcină mai dificilă. Astfel îți poți îmbunătăți cunoștințele până la rezolvarea sarcinilor USE în matematică la nivel de specialitate.

Instruirea este disponibilă nu numai pentru absolvenții de la Moscova, ci și pentru școlari din alte orașe. Petreceți câteva ore pe zi studiind pe portalul nostru, de exemplu, și foarte curând veți putea face față ecuațiilor de orice complexitate!