Studiul funcției x3 3 x2 8x 3. Probleme din colecția Kuznetsova L. A. Calculul valorii unei funcții în puncte intermediare

Rezolvatorul Kuznetsov.
III Diagrame

Sarcina 7. Efectuați un studiu complet al funcției și construiți graficul acesteia.

        Înainte de a începe descărcarea opțiunilor, încercați să rezolvați problema conform exemplului dat mai jos pentru opțiunea 3. Unele dintre opțiuni sunt arhivate în format .rar

        7.3 Efectuați un studiu complet al funcției și trasați-o

Soluţie.

        1) Domeniul de aplicare al definiției:         sau        , adică        .
.
Astfel:         .

        2) Nu există puncte de intersecție cu axa Ox. Într-adevăr, ecuația         nu are soluții.
Nu există puncte de intersecție cu axa Oy, deoarece        .

        3) Funcția nu este nici pară, nici impară. Nu există simetrie în jurul axei ordonatelor. De asemenea, nu există simetrie cu privire la origine. Deoarece
.
Vedem că         și        .

        4) Funcția este continuă în domeniul definiției
.

; .

; .
În consecință, punctul         este un punct de discontinuitate de al doilea fel (discontinuitate infinită).

5) Asimptote verticale:       

Să găsim asimptota oblică        . Aici

;
.
În consecință, avem o asimptotă orizontală: y=0. Nu există asimptote oblice.

        6) Să găsim prima derivată. Prima derivată:
.
Și iată de ce
.
Să găsim puncte staționare în care derivata este egală cu zero, adică
.

        7) Să găsim derivata a doua. Derivata a doua:
.
Și acest lucru este ușor de verificat, deoarece

Dacă problema necesită un studiu complet al funcției f (x) = x 2 4 x 2 - 1 cu construcția graficului său, atunci vom lua în considerare acest principiu în detaliu.

Pentru a rezolva o problemă de acest tip, ar trebui să utilizați proprietățile și graficele funcțiilor elementare de bază. Algoritmul de cercetare include următorii pași:

Găsirea domeniului definiției

Deoarece cercetările sunt efectuate pe domeniul definirii funcției, este necesar să începem cu acest pas.

Exemplul 1

Exemplul dat implică găsirea zerourilor numitorului pentru a le exclude din ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ca rezultat, puteți obține rădăcini, logaritmi și așa mai departe. Atunci ODZ poate fi căutată pentru o rădăcină de grad par de tip g (x) 4 prin inegalitatea g (x) ≥ 0, pentru logaritmul log a g (x) prin inegalitatea g (x) > 0.

Studierea limitelor ODZ și găsirea asimptotelor verticale

Există asimptote verticale la granițele funcției, când limitele unilaterale în astfel de puncte sunt infinite.

Exemplul 2

De exemplu, considerați punctele de frontieră egale cu x = ± 1 2.

Apoi este necesar să se studieze funcția pentru a găsi limita unilaterală. Atunci obținem că: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Aceasta arată că limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că liniile drepte x = ± 1 2 sunt asimptotele verticale ale graficului.

Studiul unei funcții și dacă este par sau impar

Când condiția y (- x) = y (x) este îndeplinită, funcția este considerată pară. Aceasta sugerează că graficul este situat simetric în raport cu Oy. Când condiția y (- x) = - y (x) este îndeplinită, funcția este considerată impară. Aceasta înseamnă că simetria este relativă la originea coordonatelor. Dacă cel puțin o inegalitate nu este satisfăcută, obținem o funcție de formă generală.

Egalitatea y (- x) = y (x) indică faptul că funcția este pară. La construcție, este necesar să se țină cont de faptul că va exista simetrie față de Oy.

Pentru a rezolva inegalitatea, se folosesc intervale de creștere și descreștere cu condițiile f " (x) ≥ 0 și, respectiv, f " (x) ≤ 0.

Definiția 1

Puncte staționare- acestea sunt punctele care transformă derivata la zero.

Puncte critice- sunt puncte interne din domeniul definiției unde derivata funcției este egală cu zero sau nu există.

La luarea unei decizii, trebuie luate în considerare următoarele note:

• pentru intervalele existente de inegalități crescătoare și descrescătoare de forma f " (x) > 0, punctele critice nu sunt incluse în soluție;
• punctele la care funcția este definită fără o derivată finită trebuie incluse în intervalele de creștere și descreștere (de exemplu, y = x 3, unde punctul x = 0 face ca funcția să fie definită, derivata are valoarea infinitului la acest punctul, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 este inclus în intervalul crescător);
• Pentru a evita neînțelegerile, se recomandă utilizarea literaturii matematice recomandate de Ministerul Educației.

Includerea punctelor critice în intervale de creștere și scădere dacă acestea satisfac domeniul de definire al funcției.

Definiția 2

Pentru determinand intervalele de crestere si scadere ale unei functii, este necesar sa se gaseasca:

• derivat;
• puncte critice;
• împărțiți domeniul definiției în intervale folosind puncte critice;
• determinați semnul derivatei pe fiecare dintre intervale, unde + este o creștere și - este o scădere.

Exemplul 3

Aflați derivata pe domeniul definiției f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Soluţie

Pentru a rezolva ai nevoie de:

• găsiți puncte staționare, acest exemplu are x = 0;
• găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero la x = ± 1 2.

Punem puncte pe axa numerelor pentru a determina derivata pe fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din interval și să efectuați calculul. Dacă rezultatul este pozitiv, înfățișăm + pe grafic, ceea ce înseamnă că funcția este în creștere și - înseamnă că este în scădere.

De exemplu, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, ceea ce înseamnă că primul interval din stânga are semnul +. Luați în considerare pe linia numerică.

Răspuns:

• funcția crește pe intervalul - ∞; - 1 2 și (- 1 2 ; 0 ] ;
• are loc o scădere a intervalului [ 0 ; 1 2) și 1 2; + ∞ .

În diagramă, folosind + și -, sunt prezentate pozitivitatea și negativitatea funcției, iar săgețile indică scăderea și creșterea.

Punctele extreme ale unei funcții sunt puncte în care funcția este definită și prin care derivata își schimbă semnul.

Exemplul 4

Dacă luăm în considerare un exemplu în care x = 0, atunci valoarea funcției din acesta este egală cu f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Când semnul derivatei se schimbă de la + la - și trece prin punctul x = 0, atunci punctul cu coordonatele (0; 0) este considerat punctul maxim. Când semnul se schimbă de la - la +, obținem un punct minim.

Convexitatea și concavitatea sunt determinate prin rezolvarea inegalităților de forma f "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0. Mai puțin folosit este denumirea de convexitate în jos în loc de concavitate și convexitate în sus în loc de convexitate.

Definiția 3

Pentru determinarea intervalelor de concavitate şi convexitate necesar:

• găsiți derivata a doua;
• găsiți zerourile funcției derivate a doua;
• împărțiți zona de definire în intervale cu punctele care apar;
• determinați semnul intervalului.

Exemplul 5

Găsiți derivata a doua din domeniul definiției.

Soluţie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Găsim zerourile numărătorului și numitorului, unde în exemplul nostru avem că zerourile numitorului x = ± 1 2

Acum trebuie să trasați punctele pe dreapta numerică și să determinați semnul derivatei a doua din fiecare interval. Înțelegem asta

Răspuns:

• funcţia este convexă din intervalul - 1 2 ; 1 2 ;
• funcţia este concavă din intervalele - ∞ ; - 1 2 și 1 2; + ∞ .

Definiția 4

Punct de inflexiune– acesta este un punct de forma x 0 ; f (x 0). Când are o tangentă la graficul funcției, atunci când trece prin x 0 funcția își schimbă semnul opus.

Cu alte cuvinte, acesta este un punct prin care derivata a doua trece și își schimbă semnul, iar în punctele în sine este egală cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate a fi domeniul funcției.

În exemplu, era clar că nu există puncte de inflexiune, deoarece derivata a doua își schimbă semnul în timp ce trece prin punctele x = ± 1 2. Ele, la rândul lor, nu sunt incluse în domeniul de aplicare al definiției.

Găsirea asimptotelor orizontale și oblice

Când definiți o funcție la infinit, trebuie să căutați asimptote orizontale și oblice.

Definiția 5

Asimptote oblice sunt reprezentate folosind drepte date de ecuația y = k x + b, unde k = lim x → ∞ f (x) x și b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Pentru k = 0 și b nu este egal cu infinitul, aflăm că asimptota oblică devine orizontală.

Cu alte cuvinte, asimptotele sunt considerate drepte de care graficul unei funcții se apropie la infinit. Acest lucru facilitează construirea rapidă a unui grafic al funcției.

Dacă nu există asimptote, dar funcția este definită la ambele infinitități, este necesar să se calculeze limita funcției la aceste infinitități pentru a înțelege cum se va comporta graficul funcției.

Exemplul 6

Să luăm ca exemplu faptul că

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

este o asimptotă orizontală. După examinarea funcției, puteți începe să o construiți.

Calcularea valorii unei funcții în puncte intermediare

Pentru a face graficul mai precis, se recomandă să găsiți mai multe valori ale funcției în puncte intermediare.

Exemplul 7

Din exemplul pe care l-am luat în considerare, este necesar să găsim valorile funcției în punctele x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Deoarece funcția este pară, obținem că valorile coincid cu valorile din aceste puncte, adică obținem x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Să scriem și să rezolvăm:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pentru a determina maximele și minimele funcției, punctele de inflexiune și punctele intermediare, este necesar să se construiască asimptote. Pentru o desemnare convenabilă, sunt înregistrate intervalele de creștere, descreștere, convexitate și concavitate. Să ne uităm la poza de mai jos.

Este necesar să trasați linii grafice prin punctele marcate, ceea ce vă va permite să abordați asimptotele urmând săgețile.

Aceasta încheie explorarea completă a funcției. Există cazuri de construire a unor funcții elementare pentru care se folosesc transformări geometrice.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Această lecție acoperă subiectul „Investigarea unei funcții și a problemelor conexe”. Această lecție se referă la reprezentarea grafică a funcțiilor folosind derivate. Se studiază funcția, se construiește graficul acesteia și se rezolvă o serie de probleme aferente.

Subiect: derivat

Lecția: Explorarea unei funcțiiși sarcini aferente

Este necesar să se studieze această funcție, să se construiască un grafic, să se găsească intervale de monotonitate, maxime, minime și ce probleme însoțesc cunoștințele despre această funcție.

În primul rând, să profităm din plin de informațiile furnizate de funcția fără derivată.

1. Găsiți intervalele de semn constant ale funcției și construiți o schiță a graficului funcției:

1) Să găsim.

2) Rădăcinile funcției: , de aici

3) Intervale de semn constant al funcției (vezi Fig. 1):

Orez. 1. Intervale de semn constant al unei funcții.

Acum știm că în interval și graficul este deasupra axei X, în intervalul - sub axa X.

2. Să construim un grafic în vecinătatea fiecărei rădăcini (vezi Fig. 2).

Orez. 2. Graficul unei funcții în vecinătatea rădăcinii.

3. Construiți un grafic al funcției în vecinătatea fiecărui punct de discontinuitate din domeniul definiției. Domeniul definiției se rupe la punctul . Dacă valoarea este aproape de punct, atunci valoarea funcției tinde să (vezi Fig. 3).

Orez. 3. Graficul funcției în vecinătatea punctului de discontinuitate.

4. Să determinăm cum se comportă graficul în vecinătatea punctelor de la infinit:

Să-l scriem folosind limite

. Este important ca pentru valori foarte mari, funcția să nu fie aproape deloc diferită de unitate.

Să găsim derivata, intervalele semnului său constant și vor fi intervale de monotonitate pentru funcție, să găsim acele puncte la care derivata este egală cu zero și să aflăm unde este punctul maxim și unde este punctul minim.

De aici, . Aceste puncte sunt puncte interne ale domeniului definiției. Să aflăm ce semn al derivatei este pe intervale și care dintre aceste puncte este punctul maxim și care este punctul minim (vezi Fig. 4).

Orez. 4. Intervale de semn constant al derivatei.

Din fig. 4 se poate observa că punctul este un punct minim, punctul este un punct maxim. Valoarea funcției în punct este . Valoarea funcției în punct este 4. Acum să construim un grafic al funcției (vezi Fig. 5).

Orez. 5. Graficul funcției.

Astfel am construit graficul unei funcții. Să o descriem. Să notăm intervalele peste care funcția scade monoton: , - acestea sunt intervalele în care derivata este negativă. Funcția crește monoton pe intervalele și . - punct minim, - punct maxim.

Aflați numărul de rădăcini ale ecuației în funcție de valorile parametrilor.

1. Construiți un grafic al funcției. Graficul acestei funcții este reprezentat mai sus (vezi Fig. 5).

2. Disecă graficul cu o familie de drepte și notează răspunsul (vezi fig. 6).

Orez. 6. Intersecția graficului unei funcții cu drepte.

1) Când - o soluție.

2) Când - două soluții.

3) Când - trei soluții.

4) Când - două soluții.

5) Când - trei soluții.

6) Când - două soluții.

7) Când - o soluție.

Astfel, am rezolvat una dintre problemele importante și anume găsirea numărului de soluții ale ecuației în funcție de parametrul . Pot exista diferite cazuri speciale, de exemplu, în care va exista o soluție, sau două soluții sau trei soluții. Rețineți că aceste cazuri speciale, toate răspunsurile la aceste cazuri speciale sunt cuprinse în răspunsul general.

1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a (manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.

5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanţii la instituţiile de învăţământ superior (editate M.I. Skanavi - M.: Şcoala superioară, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra și începuturile analizei. Clasele 8-11: Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii (materiale didactice - M.: Bustard, 2002).

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general - M.: Prosveshchenie, 2003).

9. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.

10. Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Clasele 9-10 (manual pentru profesori).-M.: Educaţie, 1983

Resurse web suplimentare

2. Portalul Științelor Naturii ().

Fă-o acasă

Nr. 45.7, 45.10 (Algebra și începuturile analizei, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil) editată de A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)