Soluție particulară a ecuației diferențiale y. Rezolvarea celor mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Datorită serviciului nostru online, puteți rezolva ecuații diferențiale de orice tip și complexitate: neomogene, omogene, neliniare, liniare, de ordinul întâi, al doilea, cu variabile separabile sau neseparabile etc. Primiți o soluție a ecuațiilor diferențiale în formă analitică cu o descriere detaliată. Mulți oameni sunt interesați: de ce este necesar să rezolvați ecuații diferențiale online? Acest tip de ecuație este foarte comun în matematică și fizică, unde va fi imposibil să rezolvi multe probleme fără a calcula ecuația diferențială. Ecuațiile diferențiale sunt, de asemenea, comune în economie, medicină, biologie, chimie și alte științe. Rezolvarea online a unei astfel de ecuații vă simplifică foarte mult sarcinile, vă oferă posibilitatea de a înțelege mai bine materialul și de a vă testa. Avantajele rezolvării ecuațiilor diferențiale online. Un site web modern de servicii matematice vă permite să rezolvați ecuații diferențiale online de orice complexitate. După cum știți, există un număr mare de tipuri de ecuații diferențiale și fiecare dintre ele are propriile metode de rezolvare. Pe serviciul nostru puteți găsi online soluții pentru ecuații diferențiale de orice ordine și tip. Pentru a obține o soluție, vă sugerăm să completați datele inițiale și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Sunt excluse erorile în funcționarea serviciului, astfel încât puteți fi 100% sigur că ați primit răspunsul corect. Rezolvați ecuații diferențiale cu serviciul nostru. Rezolvați ecuații diferențiale online. În mod implicit, într-o astfel de ecuație, funcția y este o funcție a variabilei x. Dar puteți specifica și propria dvs. desemnare variabilă. De exemplu, dacă specificați y(t) într-o ecuație diferențială, atunci serviciul nostru va determina automat că y este o funcție a variabilei t. Ordinea întregii ecuații diferențiale va depinde de ordinea maximă a derivatei funcției prezente în ecuație. Rezolvarea unei astfel de ecuații înseamnă găsirea funcției dorite. Serviciul nostru vă va ajuta să rezolvați ecuații diferențiale online. Nu este nevoie de mult efort din partea ta pentru a rezolva ecuația. Trebuie doar să introduceți părțile din stânga și din dreapta ale ecuației în câmpurile necesare și să faceți clic pe butonul „Soluție”. La introducere, derivata unei funcții trebuie notă cu un apostrof. În câteva secunde veți primi o soluție detaliată gata făcută a ecuației diferențiale. Serviciul nostru este absolut gratuit. Ecuații diferențiale cu variabile separabile. Dacă într-o ecuație diferențială există o expresie în partea stângă care depinde de y, iar în partea dreaptă există o expresie care depinde de x, atunci o astfel de ecuație diferențială se numește cu variabile separabile. Partea stângă poate conține o derivată a lui y soluția ecuațiilor diferențiale de acest tip va fi sub forma unei funcții a lui y, exprimată prin integrala părții drepte a ecuației. Dacă în partea stângă există o diferență a funcției lui y, atunci în acest caz ambele părți ale ecuației sunt integrate. Când variabilele dintr-o ecuație diferențială nu sunt separate, ele vor trebui separate pentru a obține o ecuație diferențială separată. Ecuație diferențială liniară. O ecuație diferențială a cărei funcție și toate derivatele ei sunt de gradul I se numește liniară. Forma generală a ecuației: y’+a1(x)y=f(x). f(x) și a1(x) sunt funcții continue ale lui x. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de acest tip se reduce la integrarea a două ecuații diferențiale cu variabile separate. Ordinea ecuației diferențiale. O ecuație diferențială poate fi de ordinul întâi, al doilea, al n-lea. Ordinea unei ecuații diferențiale determină ordinea celei mai mari derivate pe care o conține. În serviciul nostru puteți rezolva ecuații diferențiale online pentru prima, a doua, a treia etc. comanda. Soluția ecuației va fi orice funcție y=f(x), înlocuind-o în ecuație, veți obține o identitate. Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește integrare. Problema Cauchy. Dacă, pe lângă ecuația diferențială în sine, este dată și condiția inițială y(x0)=y0, atunci aceasta se numește problema Cauchy. Indicatorii y0 și x0 se adaugă la soluția ecuației și se determină valoarea unei constante arbitrare C, iar apoi se determină o soluție particulară a ecuației la această valoare a lui C. Aceasta este soluția problemei Cauchy. Problema Cauchy se mai numește și o problemă cu condiții la limită, care este foarte comună în fizică și mecanică. De asemenea, aveți ocazia să setați problema Cauchy, adică din toate soluțiile posibile ale ecuației, selectați un coeficient care îndeplinește condițiile inițiale date.

Ecuație diferențială (DE) - aceasta este ecuația,
unde sunt variabilele independente, y este funcția și sunt derivatele parțiale.

Ecuație diferențială obișnuită este o ecuație diferențială care are o singură variabilă independentă, .

Ecuație cu diferență parțială este o ecuație diferențială care are două sau mai multe variabile independente.

Cuvintele „ordinare” și „derivate parțiale” pot fi omise dacă este clar ce ecuație este luată în considerare. În cele ce urmează, sunt luate în considerare ecuațiile diferențiale obișnuite.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate.

Iată un exemplu de ecuație de ordinul întâi:

Iată un exemplu de ecuație de ordinul al patrulea:

Uneori, o ecuație diferențială de ordinul întâi este scrisă în termeni de diferențe:

În acest caz, variabilele x și y sunt egale. Adică, variabila independentă poate fi fie x, fie y.
În primul caz, y este o funcție a lui x.
.
În al doilea caz, x este o funcție a lui y.
.

Dacă este necesar, putem reduce această ecuație la o formă care include în mod explicit derivata y′.

Împărțind această ecuație la dx obținem:

• Din moment ce și , rezultă că

  Rezolvarea ecuațiilor diferențiale Derivatele funcțiilor elementare sunt exprimate prin funcții elementare. Integralele funcțiilor elementare nu sunt adesea exprimate în termeni de funcții elementare. Cu ecuațiile diferențiale situația este și mai proastă. Ca rezultat al soluției, puteți obține: dependența explicită a unei funcții de o variabilă; Rezolvarea unei ecuații diferențiale

• este funcția y = u (x), care este definit, de n ori diferențiabil și .

  dependenta implicita sub forma unei ecuatii de tip Φ (x, y) = 0

• sau sisteme de ecuații;

  Integrală a unei ecuații diferențiale este o soluție a unei ecuații diferențiale care are o formă implicită.

• dependența exprimată prin funcții elementare și integrale din acestea;

Rezolvarea unei ecuații diferențiale în cuadraturi Integrală parțială a unei ecuații diferențiale este integrala generală pentru valorile date ale constantelor C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Literatura folosita:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, „LKI”, 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.

6.1. CONCEPTE ȘI DEFINIȚII DE BAZĂ

La rezolvarea diferitelor probleme din matematică și fizică, biologie și medicină, destul de des nu este posibil să se stabilească imediat o relație funcțională sub forma unei formule care conectează variabilele care descriu procesul studiat. De obicei trebuie să utilizați ecuații care conțin, pe lângă variabila independentă și funcția necunoscută, și derivatele acesteia.

Definiţie. Se numește o ecuație care conectează o variabilă independentă, o funcție necunoscută și derivatele acesteia de diferite ordine diferenţial.

O funcție necunoscută este de obicei indicată y(x) sau doar y,și derivatele sale - y", y" etc.

Sunt posibile și alte denumiri, de exemplu: dacă y= x(t), atunci x"(t), x""(t)- derivatele sale, și t- variabila independenta.

Definiţie. Dacă o funcție depinde de o variabilă, atunci ecuația diferențială se numește obișnuită. Vedere generală ecuație diferențială obișnuită:

sau

Funcții FŞi f poate să nu conțină unele argumente, dar pentru ca ecuațiile să fie diferențiale, prezența unei derivate este esențială.

Definiţie.Ordinea ecuației diferențiale se numește ordinea celei mai mari derivate incluse în ea.

De exemplu, x 2 y"- y= 0, y" + sin x= 0 sunt ecuații de ordinul întâi și y"+ 2 y"+ 5 y= x- ecuația de ordinul doi.

La rezolvarea ecuațiilor diferențiale se folosește operația de integrare, care este asociată cu apariția unei constante arbitrare. Dacă se aplică acţiunea de integrare n ori, atunci, evident, soluția va conține n constante arbitrare.

6.2. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL I

Vedere generală ecuație diferențială de ordinul întâi este determinată de expresie

Ecuația poate să nu conțină în mod explicit xŞi y, dar conține în mod necesar y”.

Dacă ecuația poate fi scrisă ca

atunci obținem o ecuație diferențială de ordinul întâi rezolvată în raport cu derivata.

Definiţie. Soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul întâi (6.3) (sau (6.4)) este mulțimea soluțiilor , Unde CU- constantă arbitrară.

Graficul soluției unei ecuații diferențiale se numește curba integrala.

Oferind o constantă arbitrară CU valori diferite, se pot obține soluții parțiale. Într-un avion xOy soluția generală este o familie de curbe integrale corespunzătoare fiecărei soluții particulare.

Dacă ai stabilit un punct A (x 0 , y 0), prin care curba integrală trebuie să treacă, apoi, de regulă, dintr-un set de funcții Se poate alege unul - o soluție privată.

Definiţie.Decizie privată a unei ecuații diferențiale este soluția acesteia care nu conține constante arbitrare.

Dacă este o soluție generală, apoi din condiție

poți găsi o constantă CU. Se numește condiția starea initiala.

Problema găsirii unei anumite soluții la ecuația diferențială (6.3) sau (6.4) care satisface condiția inițială la numit Problema Cauchy. Această problemă are întotdeauna o soluție? Răspunsul este conținut în următoarea teoremă.

teorema lui Cauchy(teorema existenței și unicității unei soluții). Lăsați ecuația diferențială y"= f(x,y) funcţie f(x,y) si ea

derivat parțial definită şi continuă în unele

regiune D, conţinând un punct Apoi în zonă D există

singura soluție a ecuației care satisface condiția inițială la

Teorema lui Cauchy afirmă că în anumite condiții există o curbă integrală unică y= f(x), trecând printr-un punct Puncte în care nu sunt îndeplinite condițiile teoremei

Cauchies se numesc special.În aceste puncte se rupe f(x, y) sau.

Fie mai multe curbe integrale, fie nici una nu trece printr-un punct singular.

Definiţie. Dacă soluția (6.3), (6.4) se găsește sub forma f(x, y, C)= 0, nu este permis în raport cu y, atunci se numește integrală generală ecuație diferențială.

Teorema lui Cauchy garantează doar că există o soluție. Deoarece nu există o metodă unică pentru găsirea unei soluții, vom lua în considerare doar câteva tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi care pot fi integrate în cuadraturi.

Definiţie. Ecuația diferențială se numește integrabil în cuadraturi, dacă găsirea soluției sale se reduce la integrarea funcțiilor.

6.2.1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile

Definiţie. O ecuație diferențială de ordinul întâi se numește ecuație cu variabile separabile,

Partea dreaptă a ecuației (6.5) este produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde de o singură variabilă.

De exemplu, ecuația este o ecuație cu separare

amestecat cu variabile
și ecuația

nu poate fi reprezentat sub forma (6.5).

Având în vedere că , rescriem (6.5) sub forma

Din această ecuație obținem o ecuație diferențială cu variabile separate, în care diferențialele sunt funcții care depind doar de variabila corespunzătoare:

Integrarea termen cu termen, avem

unde C = C 2 - C 1 - constantă arbitrară. Expresia (6.6) este integrala generală a ecuației (6.5).

Împărțind ambele părți ale ecuației (6.5) la, putem pierde acele soluții pentru care, Într-adevăr, dacă la

Că în mod evident, este o soluție a ecuației (6.5).

Exemplul 1. Găsiți o soluție a ecuației care satisface

stare: y= 6 at x= 2 (y(2) = 6).

Soluţie. Vom înlocui y" apoi . Înmulțiți ambele părți cu

dx,întrucât în ​​timpul integrării ulterioare este imposibil să pleci dx la numitor:

iar apoi împărțind ambele părți la obținem ecuația,

care poate fi integrat. Să integrăm:

Apoi ; potențarea, obținem y = C. (x + 1) - ob-

solutie generala.

Folosind datele inițiale, determinăm o constantă arbitrară, înlocuindu-le în soluția generală

În sfârșit, obținem y= 2(x + 1) este o soluție particulară. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a ecuațiilor cu variabile separabile.

Exemplul 2. Găsiți soluția ecuației

Soluţie. Având în vedere că , primim .

Integrând ambele părți ale ecuației, avem

unde

Exemplul 3. Găsiți soluția ecuației Soluţie.Împărțim ambele părți ale ecuației în acei factori care depind de o variabilă care nu coincide cu variabila sub semnul diferențial, i.e. și să integreze. Apoi primim

si in sfarsit

Exemplul 4. Găsiți soluția ecuației

Soluţie.Știind ce vom obține. Secțiune

variabile lim. Apoi

Integrarea, obținem

Comentariu.În exemplele 1 și 2, funcția necesară este y exprimată în mod explicit (soluție generală). În exemplele 3 și 4 - implicit (integrală generală). Pe viitor, forma deciziei nu va fi specificată.

Exemplul 5. Găsiți soluția ecuației Soluţie.

Exemplul 6. Găsiți soluția ecuației , satisfacator

stare voi)= 1.

Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu dxși mai departe, primim

Integrând ambele părți ale ecuației (integrala din partea dreaptă este luată pe părți), obținem

Dar după condiție y= 1 la x= e. Apoi

Să înlocuim valorile găsite CU la solutia generala:

Expresia rezultată se numește soluție parțială a ecuației diferențiale.

6.2.2. Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi

Definiţie. Se numește ecuația diferențială de ordinul întâi omogen, dacă poate fi reprezentat sub formă

Să prezentăm un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații omogene.

1.În schimb y să introducem o nouă funcție Apoi şi prin urmare

2. Din punct de vedere al funcției u ecuația (6.7) ia forma

adică înlocuirea reduce o ecuație omogenă la o ecuație cu variabile separabile.

3. Rezolvând ecuația (6.8), găsim mai întâi u și apoi y= ux.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

Facem înlocuirea:
Apoi

Vom înlocui

Înmulțiți cu dx: Împărțiți cu xși mai departe Apoi

După ce am integrat ambele părți ale ecuației peste variabilele corespunzătoare, avem

sau, revenind la vechile variabile, ajungem în sfârșit

Exemplul 2.Rezolvați ecuația Soluţie.Lasă Apoi

Să împărțim ambele părți ale ecuației cu x2: Să deschidem parantezele și să rearanjam termenii:

Trecând la vechile variabile, ajungem la rezultatul final:

Exemplul 3.Găsiți soluția ecuației dat fiind

Soluţie.Efectuarea unei înlocuiri standard primim

sau

sau

Aceasta înseamnă că soluția particulară are forma Exemplul 4. Găsiți soluția ecuației

Soluţie.

Exemplul 5.Găsiți soluția ecuației Soluţie.

Munca independentă

Găsiți soluții la ecuații diferențiale cu variabile separabile (1-9).

Găsiți o soluție pentru ecuații diferențiale omogene (9-18).

6.2.3. Câteva aplicații ale ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi

Problema dezintegrarii radioactive

Rata de descompunere a Ra (radiului) în fiecare moment de timp este proporțională cu masa sa disponibilă. Aflați legea dezintegrarii radioactive a lui Ra dacă se știe că la momentul inițial a existat Ra și timpul de înjumătățire al lui Ra este de 1590 de ani.

Soluţie. Fie în momentul de față masa Ra x= x(t) g, și Atunci rata de dezintegrare Ra este egală cu

În funcție de condițiile problemei

Unde k

Separând variabilele din ultima ecuație și integrând, obținem

unde

Pentru a determina C folosim condiția inițială: când .

Apoi si, prin urmare,

Factorul de proporționalitate k determinată din condiția suplimentară:

Avem

De aici și formula necesară

Problema ratei de reproducere a bacteriilor

Rata de reproducere a bacteriilor este proporțională cu numărul lor. La momentul inițial erau 100 de bacterii. În 3 ore numărul lor s-a dublat. Găsiți dependența de timp a numărului de bacterii. De câte ori va crește numărul bacteriilor în decurs de 9 ore?

Soluţie. Lasă x- numărul de bacterii la un moment dat t. Apoi, conform condiției,

Unde k- coeficientul de proporţionalitate.

De aici Din condiţie se ştie că . Mijloace,

Din condiția suplimentară . Apoi

Funcția pe care o cauți:

Deci, când t= 9 x= 800, adică în 9 ore numărul bacteriilor a crescut de 8 ori.

Problema creșterii cantității de enzime

Într-o cultură de drojdie de bere, rata de creștere a enzimei active este proporțională cu cantitatea sa inițială x. Cantitatea inițială de enzimă o dublat într-o oră. Găsiți dependența

x(t).

Soluţie. După condiție, ecuația diferențială a procesului are forma

de aici

Dar . Mijloace, C= o si apoi

Se mai stie ca

Prin urmare,

6.3. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL AL DOILEA

6.3.1. Concepte de bază

Definiţie.Ecuație diferențială de ordinul doi se numește relație care leagă variabila independentă, funcția dorită și derivatele sale prima și a doua.

În cazuri speciale, x poate lipsi din ecuație, la sau y". Cu toate acestea, o ecuaţie de ordinul doi trebuie să conţină în mod necesar y." În cazul general, o ecuație diferențială de ordinul doi se scrie astfel:

sau, dacă este posibil, în forma rezolvată cu privire la derivata a doua:

Ca și în cazul unei ecuații de ordinul întâi, pentru o ecuație de ordinul doi pot exista soluții generale și particulare. Solutia generala este:

Găsirea unei anumite soluții

în condiţii iniţiale – dat

numere) se numește Problema Cauchy. Geometric, aceasta înseamnă că trebuie să găsim curba integrală la= y(x), trecând printr-un punct dat şi având o tangentă în acest punct care este

se aliniază cu direcția pozitivă a axei Bou unghiul specificat. e. (Fig. 6.1). Problema Cauchy are o soluție unică dacă partea dreaptă a ecuației (6.10), neîncetat

este discontinuă și are derivate parțiale continue în raport cu uh, uh"într-o vecinătate a punctului de plecare

Pentru a găsi constante incluse într-o soluție privată, sistemul trebuie rezolvat

Orez. 6.1. Curba integrală