Ce relație proporțională se numește directă? Dependență direct proporțională

Exemplu

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 etc. Factorul de proporționalitate Se numește o relație constantă de mărimi proporționale

factor de proporționalitate

factor de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea alteia. Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o anumita cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul acestora sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă

proporţional

, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.(Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:) = fMatematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:,f = xocon

s

t Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă

- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Exemplu

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 etc. Factorul de proporționalitate Se numește o relație constantă de mărimi proporționale

factor de proporționalitate

factor de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea alteia. Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o anumita cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul acestora sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă

proporţional

, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.(Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:) = fMatematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:,f = xocon

s

t Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă

- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia. 2010. I. Mărimi direct proporţionale. Lasă valoarea y Lasă valoarea depinde de marime X. Dacă la creşterea Lasă valoarea de mai multe ori mai mare la crește cu aceeași cantitate, apoi astfel de valori

Şi

1 la se numesc direct proportionale.

2 Exemple. . Cantitatea de bunuri achiziționate și prețul de achiziție (cu un preț fix pentru o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.)

3 De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, cu atât au plătit mai mult. . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (la viteză constantă).)

De câte ori este calea mai lungă, de câte ori mai mult timp va dura pentru a o finaliza.

. Volumul unui corp și masa acestuia. (

Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât altul, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților. Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități. Sarcina 1. Pentru dulceata de zmeura am luat 12 kg zmeura si 8 kg

Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua?

9 kg zmeura? Soluţie. zmeura si zmeura Masa de zmeură și masa de zahăr sunt cantități direct proporționale: de câte ori sunt mai puține zmeură, de același număr de ori mai puțin zahăr este nevoie. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) ( 12:9 ) va fi egal cu raportul de zahăr luat ( 8:x). Obținem proporția:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Răspuns: pe zmeura si trebuie luate zmeura 6 kg Sahara.

Rezolvarea problemei S-ar putea face astfel:

Lasă-te zmeura si trebuie luate zmeura x kg Sahara.

(Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție, iar în sus sau în jos nu contează. Semnificație: de câte ori numărul 12 mai mult număr 9 , de același număr de ori 8 mai mult număr Lasă valoarea, adică aici există o relație directă).

Răspuns: pe zmeura si Trebuie să iau niște zmeură 6 kg Sahara.

Sarcina 2. Masina pentru 3 ore parcurs distanta 264 km. Cât îi va lua să călătorească? 440 km, dacă conduce cu aceeași viteză?

Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua?

Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.

Răspuns: va trece mașina 440 km in 5 ore.

Sarcina 3. Apa curge din conductă în piscină. Pentru 2 ore ea umple 1/5 piscină În ce parte a piscinei este umplută cu apă 5 ore?

Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua?

Răspundem la întrebarea sarcinii: pentru 5 ore va fi umplut 1/x parte a piscinei. (Întregul bazin este luat ca un întreg).

Conceptul de proporționalitate directă

Imaginați-vă că plănuiți să cumpărați bomboanele preferate (sau orice vă place cu adevărat). Dulciurile din magazin au propriul preț. Să spunem 300 de ruble pe kilogram. Cu cât cumpărați mai multe bomboane, cu atât plătiți mai mulți bani. Adică dacă vrei 2 kilograme, plătești 600 de ruble, iar dacă vrei 3 kilograme, plătești 900 de ruble. Se pare că totul este clar, nu?

Dacă da, atunci îți este clar acum ce este proporționalitatea directă - acesta este un concept care descrie relația dintre două cantități dependente una de cealaltă. Iar raportul acestor mărimi rămâne neschimbat și constant: cu câte părți crește sau scade una dintre ele, cu același număr de părți a doua crește sau scade proporțional.

Proporționalitatea directă poate fi descrisă cu următoarea formulă: f(x) = a*x, iar a în această formulă este o valoare constantă (a = const). În exemplul nostru despre bomboane, prețul este o valoare constantă, o constantă. Nu crește și nici nu scade, indiferent câte bomboane ați decide să cumpărați. Variabila independentă (argumentul) x este câte kilograme de bomboane vei cumpăra. Iar variabila dependentă f(x) (funcția) este câți bani plătiți pentru achiziție. Deci, putem înlocui numerele în formulă și obținem: 600 de ruble. = 300 de ruble. * 2 kg.

Concluzia intermediară este aceasta: dacă argumentul crește, crește și funcția, dacă argumentul scade, și funcția scade

Funcția și proprietățile sale

Funcția direct proporțională este un caz special al unei funcții liniare. Dacă funcția liniară este y = k*x + b, atunci pentru proporționalitate directă arată astfel: y = k*x, unde k se numește coeficient de proporționalitate și este întotdeauna un număr diferit de zero. Este ușor de calculat k - se găsește ca un coeficient al unei funcții și al unui argument: k = y/x.

Pentru a fi mai clar, să luăm un alt exemplu. Imaginează-ți că o mașină se deplasează din punctul A în punctul B. Viteza sa este de 60 km/h. Dacă presupunem că viteza de mișcare rămâne constantă, atunci poate fi luată ca o constantă. Și apoi scriem condițiile sub forma: S = 60*t, iar această formulă este similară cu funcția de proporționalitate directă y = k *x. Să facem o paralelă mai departe: dacă k = y/x, atunci viteza mașinii poate fi calculată cunoscând distanța dintre A și B și timpul petrecut pe drum: V = S /t.

Și acum, din aplicarea aplicată a cunoștințelor despre proporționalitate directă, să revenim la funcția acesteia. ale căror proprietăți includ:

domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale (precum și submulțimile sale);

funcția este impară;

modificarea variabilelor este direct proporţională pe toată lungimea dreptei numerice.

Proporționalitatea directă și graficul acesteia

Graficul unei funcții de proporționalitate directă este o dreaptă care intersectează originea. Pentru a-l construi, este suficient să mai marchezi un singur punct. Și conectați-l și originea coordonatelor cu o linie dreaptă.

În cazul unui grafic, k este panta. Dacă panta este mai mică decât zero (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graficul și axa x formează un unghi ascuțit, iar funcția este în creștere.

Și încă o proprietate a graficului funcției de proporționalitate directă este direct legată de panta k. Să presupunem că avem două funcții neidentice și, în consecință, două grafice. Deci, dacă coeficienții k ai acestor funcții sunt egali, graficele lor sunt situate paralel cu axa de coordonate. Și dacă coeficienții k nu sunt egali între ei, graficele se intersectează.

Exemple de probleme

Acum să rezolvăm câteva probleme de proporționalitate directă

Să începem cu ceva simplu.

Problema 1: Imaginează-ți că 5 găini au depus 5 ouă în 5 zile. Și dacă sunt 20 de găini, câte ouă vor depune în 20 de zile?

Rezolvare: Să notăm necunoscutul cu kx. Și vom raționa astfel: de câte ori au devenit mai mulți găini? Împărțiți 20 la 5 și aflați că este de 4 ori. De câte ori mai multe ouă vor depune 20 de găini în aceleași 5 zile? De asemenea, de 4 ori mai mult. Așadar, pe ale noastre le găsim așa: 5*4*4 = 80 de ouă vor fi depuse de 20 de găini în 20 de zile.

Acum, exemplul este puțin mai complicat, să parafrazăm problema din „Aritmetica generală” a lui Newton. Problema 2: Un scriitor poate compune 14 pagini dintr-o carte nouă în 8 zile. Dacă ar avea asistenți, de câți oameni ar fi nevoie pentru a scrie 420 de pagini în 12 zile?

Soluție: Raționăm că numărul de persoane (scriitor + asistenți) crește odată cu volumul de muncă dacă ar trebui făcută în același timp. Dar de câte ori? Împărțind 420 la 14, aflăm că crește de 30 de ori. Dar, deoarece, conform condițiilor sarcinii, se acordă mai mult timp pentru muncă, numărul asistenților crește nu de 30 de ori, ci în acest fel: x = 1 (scriitor) * 30 (ori): 12/8 ( zile). Să ne transformăm și să aflăm că x = 20 de persoane vor scrie 420 de pagini în 12 zile.

Să rezolvăm o altă problemă similară cu cele din exemplele noastre.

Problema 3: Două mașini au pornit în aceeași călătorie. Unul se deplasa cu o viteză de 70 km/h și a parcurs aceeași distanță în 2 ore, pe care celălalt a durat 7 ore. Găsiți viteza celei de-a doua mașini.

Soluție: După cum vă amintiți, traseul este determinat prin viteză și timp - S = V *t. Deoarece ambele mașini au parcurs aceeași distanță, putem echivala cele două expresii: 70*2 = V*7. Cum aflăm că viteza celei de-a doua mașini este V = 70*2/7 = 20 km/h.

Și încă câteva exemple de sarcini cu funcții de proporționalitate directă. Uneori problemele necesită găsirea coeficientului k.

Sarcina 4: Având în vedere funcțiile y = - x/16 și y = 5x/2, determinați coeficienții de proporționalitate ale acestora.

Rezolvare: După cum vă amintiți, k = y/x. Aceasta înseamnă că pentru prima funcție coeficientul este egal cu -1/16, iar pentru a doua k = 5/2.

De asemenea, puteți întâlni o sarcină precum Sarcina 5: scrieți proporționalitatea directă cu o formulă. Graficul său și graficul funcției y = -5x + 3 sunt situate în paralel.

Rezolvare: Funcția care ne este dată în condiție este liniară. Știm că proporționalitatea directă este un caz special al unei funcții liniare. Și mai știm că dacă coeficienții k funcțiilor sunt egali, graficele lor sunt paralele. Aceasta înseamnă că tot ceea ce este necesar este să calculăm coeficientul unei funcții cunoscute și să stabilim proporționalitatea directă folosind formula cunoscută nouă: y = k *x. Coeficient k = -5, proporționalitate directă: y = -5*x.

Concluzie

Acum ați învățat (sau v-ați amintit, dacă ați tratat deja acest subiect înainte) cum se numește proporționalitate directă, și s-a uitat la el exemple. Am vorbit și despre funcția de proporționalitate directă și graficul acesteia și am rezolvat câteva exemple de probleme.

Dacă acest articol a fost util și v-a ajutat să înțelegeți subiectul, spuneți-ne despre el în comentarii. Ca să știm dacă vă putem beneficia.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Tipuri de dependență

Să ne uităm la încărcarea bateriei. Ca primă cantitate, să luăm timpul necesar pentru încărcare. A doua valoare este timpul în care va funcționa după încărcare. Cu cât încărcați bateria mai mult, cu atât va dura mai mult. Procesul va continua până când bateria este complet încărcată.

Dependența timpului de funcționare a bateriei de timpul în care este încărcată

Nota 1

Această dependență se numește direct:

Pe măsură ce o valoare crește, la fel crește și a doua. Pe măsură ce o valoare scade, scade și a doua valoare.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Cu cât un student citește mai multe cărți, cu atât va face mai puține greșeli în dictare. Sau cu cât te ridici mai sus în munți, cu atât presiunea atmosferică va fi mai mică.

Nota 2

Această dependență se numește verso:

Pe măsură ce o valoare crește, a doua scade. Pe măsură ce o valoare scade, a doua valoare crește.

Astfel, în caz dependență directă ambele cantități se modifică în mod egal (ambele cresc sau scad), iar în caz relație inversă– invers (unul crește și celălalt scade, sau invers).

Determinarea dependențelor dintre cantități

Exemplul 1

Timpul necesar pentru a vizita un prieten este de $20$ minute. Dacă viteza (prima valoare) crește de $2$ ori, vom afla cum se schimbă timpul (a doua valoare) care va fi petrecut pe calea către un prieten.

Evident, timpul va scădea de $2$ ori.

Nota 3

Această dependență se numește proporţional:

De câte ori se modifică o cantitate, de câte ori se modifică a doua cantitate.

Exemplul 2

Pentru pâine de 2 USD în magazin trebuie să plătiți 80 de ruble. Dacă trebuie să cumpărați pâine de $4$ (cantitatea de pâine crește de $2$ ori), de câte ori mai mult va trebui să plătiți?

Evident, costul va crește și de 2$ ori. Avem un exemplu de dependență proporțională.

În ambele exemple, au fost luate în considerare dependențele proporționale. Dar în exemplul cu pâine, cantitățile se schimbă într-o direcție, prin urmare, dependența este direct. Și în exemplul de a merge la casa unui prieten, relația dintre viteză și timp este verso. Astfel există relație direct proporționalăŞi relație invers proporțională.

Proporționalitate directă

Să luăm în considerare cantitățile proporționale de $2$: numărul de pâini și costul acestora. Pâine de 2$ să coste 80$ ruble. Dacă numărul de chifle crește de $4$ ori ($8$ chifle), costul lor total va fi de $320$ ruble.

Raportul dintre numărul de chifle: $\frac(8)(2)=4$.

Raportul costului bunului: $\frac(320)(80)=$4.

După cum puteți vedea, aceste relații sunt egale între ele:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definiția 1

Se numește egalitatea a două rapoarte proporţie.

Cu o dependență direct proporțională, se obține o relație atunci când modificarea primei și a doua mărimi coincide:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definiția 2

Cele două mărimi sunt numite direct proporțională, dacă atunci când una dintre ele se modifică (crește sau scade), se modifică și cealaltă valoare (crește sau, respectiv, scade) cu aceeași valoare.

Exemplul 3

Mașina a parcurs $180$ km în $2$ ore. Găsiți timpul în care va acoperi de 2$ ori distanța cu aceeași viteză.

Soluţie.

Timpul este direct proporțional cu distanța:

$t=\frac(S)(v)$.

De câte ori va crește distanța, la o viteză constantă, cu aceeași valoare va crește timpul:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Mașina a parcurs $180$ km în $2$ ore

Mașina va parcurge $180 \cdot 2=360$ km – în $x$ ore

Cu cât mașina se deplasează mai mult, cu atât va dura mai mult. În consecință, relația dintre cantități este direct proporțională.

Să facem o proporție:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Răspuns: Masina va avea nevoie de $4$ ore.

Proporționalitate inversă

Definiția 3

Soluţie.

Timpul este invers proporțional cu viteza:

$t=\frac(S)(v)$.

De câte ori crește viteza, cu aceeași cale, timpul scade cu aceeași cantitate:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Să scriem condiția problemei sub forma unui tabel:

Mașina a parcurs $60$ km - în $6$ ore

Mașina va parcurge $120$ km – în $x$ ore

Cu cât viteza mașinii este mai mare, cu atât va dura mai puțin timp. În consecință, relația dintre cantități este invers proporțională.

Să facem o proporție.

Deoarece proporționalitatea este inversă, a doua relație în proporție este inversată:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Răspuns: mașina va avea nevoie de $3$ ore.