Parabola se rotește în jurul axei x. Cum se calculează volumul unui corp de rotație? Aria unei figuri plate

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat folosind formula:

În formulă, numărul trebuie să fie prezent înaintea integralei. Așa s-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cred că este ușor de ghicit cum să setați limitele integrării „a” și „fi” din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plană este delimitată de graficul parabolei din partea de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - funcția din formulă este pătrat: , astfel volumul unui corp de revoluție este întotdeauna nenegativ, ceea ce este foarte logic.

Să calculăm volumul unui corp de revoluție folosind această formulă:

După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspunsul dvs., trebuie să indicați dimensiunea - unități cubice. Adică, în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Ar putea fi centimetri cubi, ar putea fi metri cubi, ar putea fi kilometri cubi, etc., așa câți oameni verzi poate pune imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de linii , ,

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Soluţie: Să descriem în desen o figură plată delimitată de liniile , , , , fără a uita că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei sale, se dovedește a fi o gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Să calculăm volumul corpului de rotație ca diferența de volume a corpurilor.

Mai întâi, să ne uităm la figura încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul unei axe, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con cu .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea scrisă mai scurt, ceva de genul acesta:

Acum hai să ne odihnim puțin și să vă spunem despre iluziile geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, care au fost observate de Perelman (nu acela) în carte Geometrie distractivă. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare să fie mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit bea în toată viața echivalentul unei încăperi de 18 metri pătrați de lichid, care, dimpotrivă, pare un volum prea mic.

În general, sistemul de învățământ din URSS a fost cu adevărat cel mai bun. Aceeași carte a lui Perelman, scrisă de el în 1950, dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, gândirea și învață să caute soluții originale, nestandardizate la probleme. Am recitit recent câteva capitole cu mare interes, o recomand, este accesibilă chiar și pentru umaniști. Nu, nu trebuie să zâmbești că am oferit timp liber, erudiția și orizonturile largi în comunicare sunt un lucru grozav.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Exemplul 4

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plate delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Vă rugăm să rețineți că toate lucrurile se întâmplă în trupă, cu alte cuvinte, sunt date practic limite de integrare gata făcute. De asemenea, încercați să desenați corect grafice ale funcțiilor trigonometrice dacă argumentul este împărțit la doi: atunci graficele sunt întinse de două ori de-a lungul axei. Încercați să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice si completati mai precis desenul. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.

Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe

Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei ordonatelor este, de asemenea, un invitat destul de comun în munca de testare. Pe parcurs se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua metodă este integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe să găsiți cea mai profitabilă cale de soluție. Există și un sens practic al vieții în asta! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și gestionăm în mod optim personalul”. Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).

Exemplul 5

Dată o figură plată delimitată de liniile , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea punct, mai întâi Neapărat citeste primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să facem un desen:

Este ușor de observat că funcția specifică ramura superioară a parabolei, iar funcția specifică ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală care „se află pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsit în modul „obișnuit”, despre care s-a discutat în clasă Integrală definită. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
– pe segment;
- pe segment.

De aceea:

De ce soluția obișnuită este proastă în acest caz? În primul rând, avem două integrale. În al doilea rând, integralele sunt rădăcini, iar rădăcinile în integrale nu sunt un dar și, în plus, puteți deveni confuz în înlocuirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt ucigașe, dar în practică totul poate fi mult mai trist, doar am selectat funcții „mai bune” pentru problemă.

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.

Cum se ajunge la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne uităm la parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura inferioară:

Este mai ușor cu o linie dreaptă:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În acest caz, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii trebuie găsită folosind formula deja familiară:. Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Notă: limitele de integrare de-a lungul axei trebuie setate strict de jos în sus!

Găsirea zonei:

Pe segment, prin urmare:

Vă rugăm să rețineți cum am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrarea a fost efectuată corect.

Răspuns:

2) Să calculăm volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul unui corp de rotație, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să mergem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul unui corp de rotație ar trebui găsit ca diferență de volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura încercuită cu verde în jurul axei și o notăm cu volumul corpului de rotație rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

Care este diferența față de formula din paragraful anterior? Doar în scrisoare.

Dar avantajul integrării, despre care am vorbit recent, este mult mai ușor de găsit decât ridicarea întâi a integrandului la puterea a 4-a.

Răspuns:

Cu toate acestea, nu un fluture bolnăvicios.

Rețineți că, dacă aceeași figură plată este rotită în jurul axei, veți obține un corp de rotație complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Exemplul 6

Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.

1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plane delimitată de aceste drepte prin integrarea peste variabilă.
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Cei interesați pot găsi, de asemenea, zona unei figuri în modul „obișnuit”, verificând astfel punctul 1). Dar dacă, repet, rotiți o figură plată în jurul axei, veți obține un cu totul alt corp de rotație cu un volum diferit, apropo, răspunsul corect (și pentru cei cărora le place să rezolve probleme).

Soluția completă a celor două puncte propuse ale sarcinii este la sfârșitul lecției.

Da, și nu uitați să înclinați capul spre dreapta pentru a înțelege corpurile de rotație și limitele integrării!

Eram pe cale să termin articolul, dar astăzi au adus un exemplu interesant doar pentru găsirea volumului unui corp de revoluție în jurul axei ordonatelor. Proaspăt:

Exemplul 7

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de curbe și. Ramura stângă nefolosită a parabolei corespunde funcției inverse - graficul funcției este situat pe segmentul de deasupra axei;

Este logic să presupunem că volumul unui corp de revoluție ar trebui căutat ca suma volumelor corpurilor de revoluție!

Folosim formula:

În acest caz:

Răspuns:

ÎN problema găsirii ariei unei figuriînsumarea zonelor este adesea folosită, dar însumarea volumelor corpurilor de rotație este aparent rară, deoarece o astfel de varietate aproape că a ieșit din câmpul meu vizual. Cu toate acestea, este bine că exemplul pe care l-am discutat a apărut în timp util – am reușit să extragem o mulțime de informații utile.

Promovarea cu succes a figurilor!

Un cilindru este un corp geometric simplu, obținut prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale. O altă definiție: un cilindru este un corp geometric delimitat de o suprafață cilindrică și două plane paralele care îl intersectează.

formula volumului cilindrului

Dacă doriți să știți cum să calculați volumul unui cilindru, atunci tot ce trebuie să faceți este să găsiți înălțimea (h) și raza (r) și să le conectați la formula:

Dacă te uiți îndeaproape la această formulă, vei observa că (\pi r^2) este formula pentru aria unui cerc, iar în cazul nostru, aria bazei.

Prin urmare, formula pentru volumul unui cilindru poate fi scrisă în termeni de suprafață și înălțime de bază:

Calculatorul nostru online vă va ajuta să calculați volumul unui cilindru. Pur și simplu introduceți parametrii specificați ai cilindrului și obțineți volumul acestuia.

Evaluarea dvs

[Evaluări: 168 în medie: 3,4]

Formula pentru volumul unui cilindru (folosind raza bazei și înălțimea)

(V=\pi r^2 h), unde

r este raza bazei cilindrului,

h - înălțimea cilindrului

Formula pentru volumul unui cilindru (prin suprafața bazei și înălțimea)

S este aria bazei cilindrului,

h - înălțimea cilindrului

Calculator de volum al cilindrului online

Cum să găsiți volumul unui corp de revoluție folosind o integrală

Folosind o integrală definită, puteți calcula nu numai zonele figurilor plane, dar și volumele corpurilor formate prin rotirea acestor figuri în jurul axelor de coordonate.

Un corp care se formează prin rotația în jurul axei Ox a unui trapez curbiliniu delimitat de sus de graficul funcției y= f(x) are un volum

În mod similar, volumul v al unui corp obținut prin rotație în jurul axei ordonatelor (Oy) a unui trapez curbiliniu este exprimat prin formula

Când se calculează aria unei figuri plane, am aflat că ariile unor figuri pot fi găsite ca diferența a două integrale în care integranții sunt acele funcții care limitează figura de sus și de jos. Acest lucru este similar cu situația cu unele corpuri de rotație, ale căror volume sunt calculate ca diferență între volumele a două corpuri sunt discutate în exemplele 3, 4 și 5.

Exemplul 1.

Aflați volumul corpului format prin rotație în jurul axei absciselor (Ox) a figurii delimitate de hiperbolă, axa absciselor și liniile ,.

Soluţie. Găsim volumul unui corp de rotație folosind formula (1), în care , și limitele de integrare a = 1, b = 4:

Exemplul 2.

Aflați volumul unei sfere cu raza R.

Soluţie. Să considerăm o minge ca un corp obținut prin rotirea în jurul axei absciselor unui semicerc de rază R cu centrul său la origine. Atunci în formula (1) funcția integrand se va scrie sub forma , iar limitele integrării sunt -R și R. În consecință,

Nu ai timp să aprofundezi în soluție?

Poți comanda un loc de muncă!

Exemplul 3. Aflați volumul corpului format prin rotație în jurul axei absciselor (Ox) a figurii cuprinse între parabole și .

Să ne imaginăm volumul necesar ca diferență între volumele corpurilor obținute prin rotirea trapezelor curbilinii ABCDE și ABFDE în jurul axei absciselor. Găsim volumele acestor corpuri folosind formula (1), în care limitele de integrare sunt egale cu și sunt abscisele punctelor B și D ale intersecției parabolelor. Acum putem afla volumul corpului:

Exemplul 4.

Calculați volumul unui tor (un tor este un corp obținut prin rotirea unui cerc cu raza a în jurul unei axe situate în planul său la o distanță b de centrul cercului ().

De exemplu, un volan are forma unui tor).

Soluţie. Lăsați cercul să se rotească în jurul axei Ox (Fig.

Formule pentru ariile și volumele figurilor geometrice

20). Volumul unui tor poate fi reprezentat ca diferența dintre volumele corpurilor obținute din rotația trapezelor curbilinii ABCDE și ABLDE în jurul axei Ox.

Ecuația cercului LBCD este

și ecuația curbei BCD

și ecuația curbei BLD

Folosind diferența dintre volumele corpurilor, obținem expresia pentru volumul torusului v

Exemplul 5.

Aflați volumul corpului format prin rotație în jurul axei ordonatelor (Oy) a figurii mărginite de drepte și.

Să ne imaginăm volumul necesar ca diferența dintre volumele corpurilor obținute prin rotirea în jurul axei ordonatelor triunghiului OBA și a trapezului curbiliniu OnBA.

Găsim volumele acestor corpuri folosind formula (2). Limitele de integrare sunt și - ordonatele punctelor O și B ale intersecției parabolei și dreptei.

Astfel, obținem volumul corpului:

Începutul paginii

Faceți testul pe tema Integral

Începutul subiectului „Integral”

Integrală nedefinită: concepte de bază, proprietăți, tabelul integralelor nedefinite

Aflați integrala nedefinită: începuturi, exemple de soluții

Metodă de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită

Integrarea prin subsumarea semnului diferenţial

Metoda de integrare pe părți

Integrarea fracțiilor

Integrarea funcţiilor raţionale şi metoda coeficienţilor nedeterminaţi

Integrarea unor funcții iraționale

Integrarea funcțiilor trigonometrice

Integrală definită

Aria unei figuri plane folosind o integrală

Integrale improprii

Calculul integralelor duble

Lungimea arcului unei curbe folosind integrala

Suprafața de revoluție folosind integrală

Determinarea muncii unei forțe folosind o integrală

Cel mai bun pătuț la matematică. Calitativ. Nimic in plus.

Volumul unei figuri geometrice- o caracteristică cantitativă a spațiului ocupat de un corp sau substanță. Volumul corpului sau containerului unui vas este determinat de forma și dimensiunile liniare ale acestuia.

Volumul unui cub

Volumul unui cub egală cu cubul lungimii feței ei.

Formula Cube

unde este volumul cubului,
- lungimea cubului.

Zona prismei

Zona prismei egal cu produsul dintre suprafața fundului prismei și înălțimea.

Formula volumului prismei

unde este gradul prismei,

- baza prismei,

— înălțimea prismei.

Volumul paralelipipedelor

Volumul paralelipipedelor egal cu produsul suprafeței bazei raportat la înălțime.

Volumul formulei paralelipipedului

unde este volumul paralelipipedelor,

- suprafata de baza,

— înălțimea înălțimii.

Volumul unui paralelipiped dreptunghiular acesta este același cu produsul lungimii, lățimii și înălțimii sale.

Formula pentru volumul unui paralelipiped dreptunghic

unde este volumul unui paralelipiped dreptunghiular,
- lungime,

- latime

- înălțime.

Volumul piramidei

Volumul piramidei constituie o treime din produs în zona de bază după înălțime.

Formula pentru volumul unei piramide

unde este volumul piramidei,

- baza bazei piramidei,

- lungimea piramidei.

Volumul unui tetraedru regulat

Formula pentru volumul unui tetraedru regulat

Lăsați linia să fie limitată. o figură plană este definită într-un sistem de coordonate polare.

Exemplu: Calculați circumferința: x 2 +y 2 =R 2

Calculați lungimea celei de-a patra părți a cercului situat în primul cadran (x≥0, y≥0):

Dacă ecuația curbei este specificată sub formă de parametru:
, funcțiile x(t), y(t) sunt definite și continue împreună cu derivatele lor pe intervalul [α,β]. Derivată, apoi înlocuind în formula:
și având în vedere că

primim
adăugați un multiplicator
sub semnul rădăcinii și ajungem în sfârșit

Notă: Având în vedere o curbă plană, puteți lua în considerare și o funcție dată de un parametru în spațiu, apoi adăugați funcția z=z(t) și formula

Exemplu: Calculați lungimea astroidului, care este dată de ecuația: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

Calculați lungimea părții a 4-a:

conform formulei

Lungimea arcului unei curbe plane specificată într-un sistem de coordonate polare:

Fie dată ecuația curbei în sistemul de coordonate polare:
- o funcție continuă, împreună cu derivata ei pe intervalul [α,β].

Formule pentru tranziția de la coordonatele polare:

considerați ca parametri:

ϕ - parametru, conform f-le

2

Ex: Calculați lungimea curbei:
>0

Concept: să calculăm jumătate din circumferință:

Volumul unui corp, calculat din aria secțiunii transversale a corpului.

Să fie dat un corp, delimitat de o suprafață închisă, și să fie cunoscută aria oricărei secțiuni a acestui corp printr-un plan perpendicular pe axa Ox. Această zonă va depinde de poziția planului de tăiere.

lăsați întregul corp să fie închis între 2 planuri perpendiculare pe axa Ox, intersectându-l în punctele x=a, x=b (a

Pentru a determina volumul unui astfel de corp, îl împărțim în straturi folosind planuri de tăiere perpendiculare pe axa Ox și intersectându-l în puncte. În fiecare interval parțial
. Să alegem

iar pentru fiecare valoare i=1,….,n vom construi un corp cilindric, a cărui generatoare este paralelă cu Ox, iar ghidajul este conturul secțiunii corpului pe plan x=C i, volumul de un astfel de cilindru elementar cu aria bazei S=C i şi înălţimea ∆x i . V i =S(C i)∆x i . Volumul tuturor acestor cilindri elementari va fi
. Limita acestei sume, dacă există și este finită la max ∆х  0, se numește volumul corpului dat.

.

Deoarece V n este suma integrală pentru o funcție S(x) continuă pe un interval, atunci limita indicată există (condițiile de existență) și se exprimă prin def. Integral.

- volumul corpului, calculat din aria secțiunii transversale.

Volumul corpului de rotație:

Să se formeze corpul prin rotație în jurul axei Ox a unui trapez curbiliniu limitat de graficul funcției y=f(x), axa Ox și liniile drepte x=a, x=b.
obținem o formulă pentru calcularea volumului unui corp de rotație în jurul axei Ox:

Dacă un trapez curbiliniu, limitat de graficul unei funcții continue, se rotește în jurul axei Oy, atunci volumul unui astfel de corp de rotație este:

Același volum poate fi calculat folosind formula:
. Dacă linia este dată de ecuații parametrice:

Prin înlocuirea variabilei obținem:

Dacă linia este dată de ecuații parametrice:

y (α)= c , y (β)= d . Făcând înlocuirea y = y (t) obținem:

Calculați corpurile de revoluție în jurul axei parabolei, .

2) Calculați V al unui corp de revoluție în jurul axei OX a unui trapez curbiliniu delimitat de o dreaptă y=0, un arc (cu centrul în punctul(1;0) și raza=1), cu .

Suprafața unui corp de rotație

Să se formeze o suprafață dată prin rotirea curbei y =f(x) în jurul axei Ox. Este necesar să se determine S a acestei suprafețe la .

Fie ca funcția y =f(x) să fie definită și continuă, să aibă un caracter nenatural și nenegativ în toate punctele segmentului [a;b]

Să desenăm acorduri de lungime pe care le notăm respectiv (n-acorduri)

conform teoremei lui Lagrange:

Suprafața întregii linii întrerupte descrise va fi egală cu

Definiție: limita acestei sume, dacă este finită, când cea mai mare legătură a liniei întrerupte max, se numește aria suprafeței de revoluție luată în considerare.

Se poate dovedi că o sută limita sumei este egală cu limita sumei integrate pentru p-th

Formula pentru S suprafața unui corp de revoluție =

S a suprafeței formate prin Rotația arcului curbei x=g(x) în jurul axei Oy la

Continuă cu derivatul său

Dacă curba este dată parametric de ur-mix=x(t),y= t(t) f-iix’(t), y’(t), x(t), y(t) sunt definite pe intervalul [o; b], x(o)= o, x(b)= bapoi făcând înlocuirea cu o schimbarex= x(t)

Dacă curba este dată parametric, făcând o modificare a formulei obținem:

Dacă ecuația curbei este specificată în sistemul de coordonate polare

Ssuprafata de rotatie in jurul axei va fi egala cu

Folosirea integralelor pentru a găsi volumele corpurilor de rotație

Utilitatea practică a matematicii se datorează faptului că fără

Cunoștințele matematice specifice fac dificilă înțelegerea principiilor dispozitivului și utilizarea tehnologiei moderne. Fiecare persoană din viața sa trebuie să efectueze calcule destul de complexe, să folosească echipamente utilizate în mod obișnuit, să găsească formulele necesare în cărțile de referință și să creeze algoritmi simpli pentru rezolvarea problemelor. În societatea modernă, din ce în ce mai multe specialități care necesită un nivel înalt de educație sunt asociate cu aplicarea directă a matematicii. Astfel, matematica devine o materie semnificativă din punct de vedere profesional pentru un student. Rolul principal revine matematicii în formarea gândirii algoritmice ea dezvoltă capacitatea de a acționa conform unui algoritm dat și de a construi noi algoritmi.

În timp ce studiez subiectul utilizării integralei pentru a calcula volumele corpurilor de revoluție, sugerez studenților de la clasele opționale să ia în considerare subiectul: „Volumele corpurilor de rotație folosind integrale”. Mai jos sunt recomandări metodologice pentru luarea în considerare a acestui subiect:

1. Aria unei figuri plate.

Din cursul de algebră știm că problemele de natură practică au condus la conceptul de integrală definită. Una dintre ele este calcularea ariei unei figuri plate delimitate de o linie continuă y=f(x) (unde f(x)DIV_ADBLOCK243">

Să calculăm aria unui trapez curbiliniu folosind formula dacă baza trapezului se află pe axa x sau folosind formula https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" lățime ="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Pentru a afla volumul unui corp de rotație format prin rotația unui trapez curbiliniu în jurul axei Ox, delimitat de o linie întreruptă y=f(x), axa Ox, drepte x=a și x=b, calculăm folosind formula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Volumul cilindrului.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Conul se obține prin rotirea triunghiului dreptunghic ABC (C = 90) în jurul axei Ox pe care se află piciorul AC.

Segmentul AB se află pe linia dreaptă y=kx+c, unde https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Fie a=0, b=H (H este înălțimea conului), apoi Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= „>.

5.Volumul unui trunchi de con.

Un trunchi de con poate fi obținut prin rotirea unui trapez dreptunghiular ABCD (CDOx) în jurul axei Ox.

Segmentul AB se află pe dreapta y=kx+c, unde , c=r.

Deoarece dreapta trece prin punctul A (0;r).

Astfel, linia dreaptă arată ca https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Fie a=0, b=H (H este înălțimea trunchiului de con), apoi https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Volumul mingii.

Mingea poate fi obținută prin rotirea unui cerc cu centrul (0;0) în jurul axei Ox. Semicercul situat deasupra axei Ox este dat de ecuație

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Pe lângă asta găsirea ariei unei figuri plane folosind o integrală definită cea mai importantă aplicaţie a temei este calcularea volumului unui corp de revoluție. Materialul este simplu, dar cititorul trebuie să fie pregătit: trebuie să fii capabil să rezolvi integrale nedefinite complexitate medie și aplicați formula Newton-Leibniz în integrală definită . Ca și în problema găsirii zonei, aveți nevoie de abilități de desen încrezător - acesta este aproape cel mai important lucru (deoarece integralele în sine vor fi adesea ușoare). Puteți stăpâni tehnici de graficare competente și rapide cu ajutorul materialului metodologic . Dar, de fapt, despre importanța desenelor am vorbit deja de câteva ori în clasă. .

În general, există o mulțime de aplicații interesante în calculul integral folosind o integrală definită, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de rotație, lungimea unui arc, aria suprafeței; un corp și multe altele. Deci va fi distractiv, vă rog să fiți optimist!

Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Introdus? ... Mă întreb cine a prezentat ce... =))) Am găsit deja zona lui. Dar, în plus, această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

– în jurul axei x; – în jurul axei ordonatelor.

Acest articol va examina ambele cazuri. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, ea provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Ca bonus, voi reveni la problema găsirii ariei unei figuri și vă voi spune cum să găsiți zona în al doilea mod - de-a lungul axei. Nu este atât de mult un bonus, deoarece materialul se potrivește bine cu subiectul.

Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

Calculul volumului unui corp format prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe

Exemplul 1

Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea unei figuri delimitate de linii în jurul unei axe.

Soluţie: Ca și în problema găsirii zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică, pe plan este necesar să construiți o figură delimitată de drepte și nu uitați că ecuația specifică axa. Cum să finalizați un desen mai eficient și mai rapid poate fi găsit pe pagini Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare Şi Integrală definită. Cum se calculează aria unei figuri . Acesta este un memento chinezesc și, în acest moment, nu mă voi opri mai departe.

Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru este cea care se rotește în jurul axei. Ca rezultat al rotației, rezultatul este o farfurie zburătoare ușor ovoidă, care este simetrică față de axă. De fapt, corpul are un nume matematic, dar mi-e prea lene să mă uit în cartea de referință, așa că mergem mai departe.

Cum se calculează volumul unui corp de rotație?

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat folosind formula:

În formulă, numărul trebuie să fie prezent înaintea integralei. Așa s-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cred că este ușor de ghicit cum să setați limitele integrării „a” și „fi” din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plană este delimitată de graficul parabolei din partea de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - funcția din formulă este pătrat: , astfel volumul unui corp de revoluție este întotdeauna nenegativ, ceea ce este foarte logic.

Să calculăm volumul unui corp de revoluție folosind această formulă:

După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspunsul dvs., trebuie să indicați dimensiunea - unități cubice. Adică, în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Ar putea fi centimetri cubi, ar putea fi metri cubi, ar putea fi kilometri cubi, etc., așa câți oameni verzi poate pune imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de linii , ,

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Soluţie: Să descriem în desen o figură plată delimitată de liniile , , , , fără a uita că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei sale, se dovedește a fi o gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Să calculăm volumul corpului de rotație ca diferența de volume a corpurilor.

Mai întâi, să ne uităm la figura încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul unei axe, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con cu .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea scrisă mai scurt, ceva de genul acesta:

Acum hai să ne odihnim puțin și să vă spunem despre iluziile geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, care au fost observate de Perelman (nu acela) în carte Geometrie distractivă. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare să fie mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit bea în toată viața echivalentul unei încăperi de 18 metri pătrați de lichid, care, dimpotrivă, pare un volum prea mic.

În general, sistemul de învățământ din URSS a fost cu adevărat cel mai bun. Aceeași carte a lui Perelman, scrisă de el în 1950, dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, gândirea și învață să caute soluții originale, nestandardizate la probleme. Am recitit recent câteva capitole cu mare interes, o recomand, este accesibilă chiar și pentru umaniști. Nu, nu trebuie să zâmbești că am oferit timp liber, erudiția și orizonturile largi în comunicare sunt un lucru grozav.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Exemplul 4

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plate delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Vă rugăm să rețineți că toate lucrurile se întâmplă în trupă, cu alte cuvinte, sunt date practic limite de integrare gata făcute. De asemenea, încercați să desenați corect grafice ale funcțiilor trigonometrice dacă argumentul este împărțit la doi: atunci graficele sunt întinse de două ori de-a lungul axei. Încercați să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice si completati mai precis desenul. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.