Exemple de noduri. Divizor comun și multiplu. Ce este GCD

Un dividend care este divizibil cu un anumit divizor fără rest este altfel numit multipli. De exemplu, 48 este un multiplu al lui 8, numărul 48 este un multiplu, iar numărul 8 este un divizor.

Un număr poate fi un multiplu de nu unul, ci mai multe numere deodată; multiplu comun. De exemplu, numărul 77 este un multiplu comun al numerelor: 1, 7, 11, 77.

Un alt exemplu. Numărul 3 are multipli de 12, 15, 24, 27, 30 etc. Numărul 5 are multipli de 10, 15, 25, 30, 35 etc. Numerele 3 și 5 au multipli comuni de 15 și 30.

Găsirea multiplu comun al mai multor numere este destul de simplă, puteți pur și simplu înmulți numerele date, ca urmare, produsul acestor numere va fi multiplu comun al acestora.

NOC

Dintre toți multiplii comuni ai numerelor date, cel mai mic multiplu comun prezintă un interes deosebit.

Cel mai mic multiplu comun(abreviat LCM) al mai multor numere date este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele date.

De exemplu, pentru trei numere: 3, 5 și 12, cel mai mic multiplu comun este 60, deoarece niciun alt număr mai mic de 60 nu este divizibil cu 3, 5 sau 12.

De obicei, cel mai mic multiplu comun se scrie astfel: LCM ( o, b, ...) = x.

În conformitate cu aceasta, notăm cel mai mic multiplu comun al numerelor 3, 5 și 12:

LCM(3, 5, 12) = 60.

Calculator NOC

Acest calculator vă va ajuta să găsiți cel mai mic multiplu comun de numere. Introduceți numerele separate prin spații sau virgule și faceți clic pe butonul Calculați LCM.

Cel mai mare factor comun este o altă măsurătoare care facilitează lucrul cu fracții. Foarte des, calculele au ca rezultat fracții cu valori foarte mari ale numărătorului și numitorului. Este posibil să reduceți astfel de numere pas cu pas, dar este extrem de consumator de timp, așa că este mai ușor să găsiți imediat un GCD și să îl reduceți cu acesta. Să privim subiectul mai detaliat.

Ce este GCD?

Cel mai mare divizor comun (MCD) al unei serii de numere este cel mai mare număr cu care fiecare dintre numerele din serie poate fi împărțit fără rest.

Cum să găsiți GCD?

Pentru a găsi mcd, este necesar să descompunem fiecare dintre numere în factori primi și să izolăm partea comună.

Nu au venit cu o formulă specială pentru aceasta, dar există un algoritm de calcul.

Să dăm un exemplu de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere naturale: 540 și 252. Să factorăm 640 în factori primi. Secvența acțiunilor este următoarea:

• Împărțiți numărul la cel mai mic număr prim posibil. Adică, dacă un număr poate fi împărțit la 2, 3 sau 5, atunci trebuie mai întâi să împărțiți la 5. Doar pentru a nu fi confuz.
• Împărțim rezultatul rezultat la cel mai mic număr prim posibil.
• Repetăm ​​împărțirea fiecărui rezultat obținut până obținem un număr prim.

Acum, să efectuăm aceeași procedură în practică.

• 540: 2=270
• 270:2=135
• 135: 3 =45
• 45: 3=15
• 15: 5 = 3

Să scriem rezultatul ca egalitatea 540=2*2*3*3*3*5. Pentru a nota rezultatul, trebuie să înmulțiți ultimul număr rezultat cu toți divizorii.

Să facem același lucru cu numărul 252:

• 252: 2=126
• 126: 2=63
• 63: 3=21
• 21: 3 = 7

Să notăm rezultatul: 252=2*2*3*3*7.

Fiecare extindere are aceleași numere. Să le găsim, acestea sunt două numere 2 și două numere 3. Doar 7 și 3*5 diferă.

Pentru a găsi GCD-ul trebuie să înmulțiți factorii comuni. Adică, produsul va avea doi doi și doi trei.

GCD=2*2*3*3=36

Cum poți folosi asta?

Sarcină: reduceți fracția $$252\over540$$.

Am găsit deja mcd-ul pentru aceste două numere, acum vom folosi pur și simplu valoarea deja calculată.

Reduceți numărătorul și numitorul fracției cu 36 și obțineți răspunsul.

$$(252\over540) =(7\over15)$$ - pentru a reduce rapid, priviți doar descompunerea numerelor.

Dacă 540=2*2*3*3*3*5 și GCD=36=2*2*3*3, atunci 540 = 36*3*5. Și dacă împărțim 540 la 36, ​​obținem 3*5=15.

Fără GCD, ar trebui să scriem abrevieri într-un rând lung. În plus, există momente în care nu este clar dacă o fracție poate fi redusă deloc. Pentru astfel de situații, matematica a venit cu descompunerea numerelor în factori primi și mcd.

Ce am învățat?

Am învățat care este cel mai mare divizor comun al unei perechi de numere, am descoperit cum să folosim exponentul în practică, am rezolvat problema găsirii GCD și folosirea GCD pentru a reduce fracțiile. Ne-am dat seama că folosind GCD puteți reduce mai ușor și mai rapid fracțiile greoaie prin găsirea GCD pentru numărător și numitor.

Test pe tema

Evaluarea articolului

Evaluare medie: 4.3. Evaluări totale primite: 204.

Divizor comun mai multe numere este numărul cu care se împarte fiecare dintre numerele date. De exemplu, date fiind două numere: 6 și 9. Numărul 6 are divizori 1, 2, 3, 6. Numărul 9 are divizori 1, 3, 9. Vedem că numerele 6 și 9 au divizori comuni 1 și 3.

Cel mai mare divizor comun(abreviat GCD) al mai multor numere se numește cel mai mare divizor comun prin care fiecare dintre aceste numere este împărțit fără rest.

Astfel, dintre toți factorii comuni ai numerelor 6 și 9, cel mai mare factor comun este numărul 3.

De obicei, cel mai mare divizor comun se scrie astfel: GCD ( o, b, ...) = x.

În conformitate cu aceasta, notăm cel mai mare divizor comun al numerelor 6 și 9:

GCD (6, 9) = 3.

Se numesc numerele a căror mcd este egal cu unu numere coprime. De exemplu, numerele 14 și 15 sunt relativ prime: GCD (14, 15) = 1.

Calculator GCD

Acest calculator vă va ajuta să găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor. Introduceți numere separate prin spații sau virgule și faceți clic pe butonul Calculați GCD.

Cuvinte cheie ale rezumatului:Numerele naturale. Operatii aritmetice pe numere naturale. Divizibilitatea numerelor naturale. Numere prime și compuse. Factorizarea unui număr natural în factori primi. Semne de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Cel mai mare divizor comun (MCD), precum și cel mai mic multiplu comun (LCD). Împărțire cu rest.

Numerele naturale- acestea sunt numere care sunt folosite pentru a număra obiectele - 1, 2, 3, 4 , ... Dar numărul 0 nu este firesc!

Mulțimea numerelor naturale se notează cu N. Înregistra "3 ∈ N"înseamnă că numărul trei aparține mulțimii numerelor naturale, iar notația "0 ∉ N"înseamnă că numărul zero nu aparține acestei mulțimi.

Sistem de numere zecimale- sistem de numere radix pozițional 10 .

Operatii aritmetice pe numere naturale

Pentru numerele naturale sunt definite următoarele acțiuni: adunare, scădere, înmulțire, împărțire, exponențiere, extracție rădăcină. Primele patru acțiuni sunt aritmetică.

Fie a, b și c numere naturale, atunci

1. ADULTARE. Termen + Termen = Sumă

Proprietățile adăugării
1. Comunicativ a + b = b + a.
2. Conjunctiv a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. SCADĂ. Minuend - Subtrahend = Diferență

Proprietățile scăderii
1. Scăzând suma din numărul a - (b + c) = a - b - c.
2. Scăderea unui număr din suma (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.

3. MULTIPLICARE. Multiplicator * Multiplicator = Produs

Proprietățile înmulțirii
1. Comunicativ a*b = b*a.
2. Conjunctiv a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Distributiv (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. DIVIZIUNEA. Dividend: Divizor = coeficient

Proprietăți de împărțire
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Nu poți împărți la zero!
3. 0: a= 0.

Procedură

1. În primul rând, acțiunile dintre paranteze.
2. Apoi înmulțirea, împărțirea.
3. Și numai la sfârșit adunarea și scăderea.

Divizibilitatea numerelor naturale. Numere prime și compuse.

Împărțitor al unui număr natural O este numărul natural la care Oîmpărțit fără rest. Număr 1 este un divizor al oricărui număr natural.

Numărul natural este numit simplu, dacă doar are două divizor: unu și numărul însuși. De exemplu, numerele 2, 3, 11, 23 sunt numere prime.

Se numește un număr care are mai mult de doi divizori compozit. De exemplu, numerele 4, 8, 15, 27 sunt numere compuse.

Testul de divizibilitate fabrică mai multe numere: dacă cel puțin unul dintre factori este divizibil cu un anumit număr, atunci produsul este și el divizibil cu acest număr. Lucru 24 15 77 împărțit la 12 , deoarece multiplicatorul acestui număr 24 împărțit la 12 .

Test de divizibilitate pentru o sumă (diferență) numere: dacă fiecare termen este divizibil cu un anumit număr, atunci întreaga sumă este împărțită la acest număr. Dacă a: bŞi c: b, Asta (a + c): b. Și dacă a: b, A c nedivizibil cu b, Asta a+c nu este divizibil cu un număr b.

Dacă a:cŞi c: b, Asta a: b. Pe baza faptului că 72: 24 și 24: 12, concluzionăm că 72: 12.

Se numește reprezentarea unui număr ca produs al puterilor numerelor prime factorizarea unui număr în factori primi.

Teorema fundamentală a aritmeticii: orice număr natural (cu excepția 1 ) sau este simplu, sau poate fi factorizat într-un singur mod.

Când se descompune un număr în factori primi, se folosesc semnele de divizibilitate și se folosește notația „coloană” În acest caz, divizorul este situat în dreapta liniei verticale, iar coeficientul este scris sub dividend.

De exemplu, sarcină: factorizarea unui număr în factori primi 330 . Soluţie:

Semne de divizibilitate în 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 și 11.

Există semne de divizibilitate în 6, 15, 45 etc., adică în numere al căror produs poate fi factorizat 2, 3, 5, 9 Şi 10 .

Cel mai mare divizor comun

Se numește cel mai mare număr natural cu care fiecare dintre cele două numere naturale date este divizibil cel mai mare divizor comun aceste numere ( GCD). De exemplu, mcd (10; 25) = 5; şi GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

Dacă cel mai mare divizor comun a două numere naturale este egal cu 1 , atunci aceste numere sunt numite prim reciproc.

Algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun(DA DIN CAP)

GCD este adesea folosit în probleme. De exemplu, 155 de caiete și 62 de pixuri au fost împărțite în mod egal între elevii dintr-o clasă. Câți elevi sunt în această clasă?

Soluţie: Găsirea numărului de elevi din această clasă se reduce la găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor 155 și 62, deoarece caietele și pixurile au fost împărțite în mod egal. 155 = 5 31; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.

Răspuns: 31 de elevi în clasă.

Cel mai mic multiplu comun

Multiplii unui număr natural O este un număr natural care este divizibil cu O fara urma. De exemplu, numărul 8 are multipli: 8, 16, 24, 32 , ... Orice număr natural are infiniti multipli.

Cel mai mic multiplu comun(LCM) este cel mai mic număr natural care este un multiplu al acestor numere.

Algoritm pentru găsirea celui mai mic multiplu comun ( NOC):

LCM este, de asemenea, adesea folosit în probleme. De exemplu, doi bicicliști au pornit simultan de-a lungul unei piste de biciclete în aceeași direcție. Unul face un cerc în 1 minut, iar celălalt în 45 de secunde. În ce număr minim de minute după începerea mișcării se vor întâlni la start?

Soluţie: Numărul de minute după care se vor întâlni din nou la start trebuie împărțit la 1 min, precum și pe 45 s. În 1 min = 60 s. Adică, este necesar să se găsească LCM (45; 60).
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
NOC (45; 60)= 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
Rezultatul este că bicicliștii se vor întâlni la start în 180 s = 3 min.

Răspuns: 3 min.

Împărțire cu rest

Dacă un număr natural O nu este divizibil cu un număr natural b, atunci poți face împărțire cu rest. În acest caz, se numește coeficientul rezultat incomplet. Egalitatea este corectă:

a = b n + r,

Unde O- divizibil, b- separator, n- coeficient incomplet, r- restul. De exemplu, să fie dividendul egal 243 , separator - 4 , Atunci 243: 4 = 60 (restul 3). Adică a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, atunci 243 = 60 4 + 3 .

Numerele care sunt divizibile cu 2 fără rest, sunt numite chiar: a = 2n, n ∈ N.

Numerele rămase sunt apelate ciudat: b = 2n + 1, n ∈ N.

Acesta este un rezumat al subiectului „Numerele naturale. Semne de divizibilitate". Pentru a continua, selectați pașii următori:

• Accesați următorul rezumat:

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun(NOK) și cel mai mare divizor comun(GCD) a două numere, utilizați calculatorul nostru online:

Introduceți numere: Şi
NOC:
GCD:

Defini

Doar introduceți numerele și obțineți rezultatul.

Cum să găsiți LCM a două numere

Cel mai mic multiplu comun (LCM) două sau mai multe numere - acesta este cel mai mic număr care poate fi împărțit la fiecare dintre aceste numere fără rest.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) a două numere, puteți utiliza următorul algoritm (clasa 5):

1. Ambele numere (cel mai mare număr mai întâi).
2. Să comparăm factorii numărului mai mare cu factorii numărului mai mic. Să selectăm toți factorii numărului mai mic pe care nu îi are numărul mai mare.
3. Să adăugăm factorii evidențiați ai numărului mai mic la factorii numărului mai mare.
4. Să găsim LCM prin înmulțirea seriei de factori obținuți la pasul 3.

Exemplu

De exemplu, să definim LCM-ul numerelor 8 Şi 22 .

1) Să o împărțim în factori simpli:

2) Să selectăm toți factorii cu 8, pe care 22 nu au:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) Să adăugăm factorii selectați de 8 la factorii de 22:

LCM (8; 22) = 2 11 2 · 2

4) Calculăm LOC:

NOC (8; 22)= 2 11 2 2 = 88

Cum să găsiți mcd-ul a două numere

Cel mai mare divizor comun (GCD) două sau mai multe numere este cel mai mare număr întreg natural prin care aceste numere pot fi împărțite fără rest.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun (MCD) a două numere, mai întâi trebuie să le descompuneți în factori primi. Apoi trebuie să evidențiați factorii comuni pe care îi au atât primul număr, cât și al doilea. Le înmulțim - acesta va fi mcd. Pentru a înțelege mai bine algoritmul, luați în considerare un exemplu:

Exemplu

De exemplu, să definim mcd-ul numerelor 20 Şi 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

GCD(20,30) = 2⋅5 = 10