Nivel de intrare

Derivată a unei funcții. Ghid cuprinzător (2019)

Să ne imaginăm un drum drept care trece printr-o zonă deluroasă. Adică merge în sus și în jos, dar nu se întoarce la dreapta sau la stânga. Dacă axa este îndreptată orizontal de-a lungul drumului și vertical, atunci linia drumului va fi foarte similară cu graficul unei funcții continue:

Axa este un anumit nivel de altitudine zero în viață, folosim nivelul mării.

Pe măsură ce înaintăm pe un astfel de drum, ne deplasăm și în sus sau în jos. Mai putem spune: atunci când argumentul se schimbă (deplasare de-a lungul axei absciselor), se modifică valoarea funcției (deplasare de-a lungul axei ordonatelor). Acum să ne gândim cum să determinăm „abruptul” drumului nostru? Ce fel de valoare ar putea fi aceasta? Este foarte simplu: cât de mult se va schimba înălțimea atunci când înaintezi o anumită distanță. La urma urmei, pe zone diferite drumuri, mergând înainte (de-a lungul axei x) cu un kilometru, ne vom ridica sau vom coborî cantități diferite metri în raport cu nivelul mării (de-a lungul axei ordonatelor).

Să notăm progresul (a se citi „delta x”).

Litera greacă (delta) este folosită în mod obișnuit în matematică ca prefix care înseamnă „schimbare”. Adică aceasta este o schimbare în cantitate, - o schimbare; atunci ce este? Așa e, o schimbare de amploare.

Important: o expresie este un singur întreg, o variabilă. Nu separa niciodată „delta” de „x” sau de orice altă literă!

Adică, de exemplu, .

Deci, ne-am înaintat, pe orizontală, cu. Dacă comparăm linia drumului cu graficul funcției, atunci cum notăm creșterea? Cu siguranță, . Adică, pe măsură ce înaintăm, ne ridicăm mai sus.

Valoarea este ușor de calculat: dacă la început eram la înălțime, iar după mutare ne-am trezit la înălțime, atunci. Dacă punctul final este mai jos decât punctul de plecare, va fi negativ - asta înseamnă că nu urcăm, ci coborăm.

Să revenim la „abrupte”: aceasta este o valoare care arată cât de mult (abrupt) crește înălțimea atunci când avansăm cu o unitate de distanță:

Acum să ne uităm la vârful unui deal. Dacă luați începutul tronsonului cu jumătate de kilometru înainte de vârf, iar sfârșitul cu jumătate de kilometru după acesta, puteți vedea că înălțimea este aproape aceeași.

Adică, conform logicii noastre, se dovedește că panta aici este aproape egală cu zero, ceea ce în mod clar nu este adevărat. Puțin peste o distanță de kilometri se pot schimba multe. Este necesar să se ia în considerare suprafețe mai mici pentru o evaluare mai adecvată și mai precisă a abruptului. De exemplu, dacă măsurați modificarea înălțimii pe măsură ce vă deplasați cu un metru, rezultatul va fi mult mai precis. Dar chiar și această precizie poate să nu fie suficientă pentru noi - la urma urmei, dacă există un stâlp în mijlocul drumului, putem pur și simplu să-l depășim. Ce distanță ar trebui să alegem atunci? Centimetru? Milimetru? Mai puțin înseamnă mai mult!

ÎN viata reala Măsurarea distanțelor la cel mai apropiat milimetru este mai mult decât suficientă. Dar matematicienii luptă întotdeauna spre perfecțiune. Prin urmare, conceptul a fost inventat infinitezimal, adică valoarea absolută este mai mică decât orice număr pe care îl putem numi. De exemplu, spui: o trilionime! Cu cât mai puțin? Și împărțiți acest număr la - și va fi și mai puțin. Și așa mai departe. Dacă vrem să scriem că o mărime este infinitezimală, scriem astfel: (citim „x tinde spre zero”). Este foarte important de înțeles că acest număr nu este zero! Dar foarte aproape de ea. Aceasta înseamnă că puteți împărți cu el.

Conceptul opus infinitezimal este infinit de mare (). Probabil l-ați întâlnit deja când lucrați la inegalități: acest număr este modulo mai mare decât orice număr la care vă puteți gândi. Dacă găsiți cel mai mare număr posibil, înmulțiți-l cu doi și veți obține un număr și mai mare. Și infinitul încă în plus ce se va întâmpla. De fapt, infinitul de mare și infinit de mic sunt invers unul față de celălalt, adică la și invers: la.

Acum să ne întoarcem la drumul nostru. Panta calculată în mod ideal este panta calculată pentru un segment infinitezimal al traseului, adică:

Observ că cu o deplasare infinitezimală, modificarea înălțimii va fi și ea infinitezimală. Dar permiteți-mi să vă reamintesc că infinitezimal nu înseamnă egal cu zero. Dacă împărțiți numere infinitezimale între ele, puteți obține un număr complet obișnuit, de exemplu, . Adică, o valoare mică poate fi de exact ori mai mare decât alta.

Pentru ce sunt toate acestea? Drumul, abruptul... Nu mergem la un raliu de mașini, dar predăm matematică. Și în matematică totul este exact la fel, doar numit diferit.

Conceptul de derivat

Derivata unei funcții este raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului.

Treptatîn matematică ei numesc schimbare. Se numește măsura în care argumentul () se schimbă pe măsură ce se mișcă de-a lungul axei increment de argumentși este desemnat cât de mult s-a schimbat funcția (înălțimea) când se deplasează înainte de-a lungul axei cu o distanță creșterea funcției si este desemnat.

Deci, derivata unei funcții este raportul față de când. Notăm derivata cu aceeași literă ca și funcția, doar cu un prim în dreapta sus: sau pur și simplu. Deci, să scriem formula derivată folosind aceste notații:

Ca și în analogia cu drumul, aici când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă.

Derivata poate fi egala cu zero? Cu siguranţă. De exemplu, dacă conducem pe un drum orizontal plat, abruptul este zero. Și este adevărat, înălțimea nu se schimbă deloc. Așa este și cu derivata: derivata unei funcții constante (constante) este egală cu zero:

deoarece incrementul unei astfel de funcții este egal cu zero pentru oricare.

Să ne amintim exemplul de pe deal. S-a dovedit că este posibil să se aranjeze capetele segmentului pe părți opuse ale vârfului astfel încât înălțimea la capete să fie aceeași, adică segmentul este paralel cu axa:

Dar segmentele mari sunt un semn de măsurare inexactă. Ne vom ridica segmentul paralel cu el însuși, apoi lungimea acestuia va scădea.

În cele din urmă, când suntem infinit aproape de vârf, lungimea segmentului va deveni infinitezimală. Dar, în același timp, a rămas paralel cu axa, adică diferența de înălțimi la capete este egală cu zero (nu tinde, dar este egală). Deci derivata

Acest lucru poate fi înțeles astfel: când stăm în vârf, o mică deplasare la stânga sau la dreapta ne schimbă neglijabil înălțimea.

Există și o explicație pur algebrică: la stânga vârfului funcția crește, iar la dreapta scade. După cum am aflat mai devreme, atunci când o funcție crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă. Dar se schimbă lin, fără sărituri (din moment ce drumul nu își schimbă brusc panta nicăieri). Prin urmare, între negativ și valori pozitive trebuie să existe cu siguranță. Va fi acolo unde funcția nici nu crește, nici nu scade - în punctul de vârf.

Același lucru este valabil și pentru jgheab (zona în care funcția din stânga scade și din dreapta crește):

Mai multe despre creșteri.

Deci schimbăm argumentul în mărime. Ne schimbăm de la ce valoare? Ce a devenit (argumentul) acum? Putem alege orice punct, iar acum vom dansa din el.

Luați în considerare un punct cu o coordonată. Valoarea funcției din ea este egală. Apoi facem aceeași creștere: creștem coordonatele cu. Care este argumentul acum? Foarte usor: . Care este valoarea funcției acum? Unde merge argumentul, la fel merge și funcția: . Cum rămâne cu creșterea funcției? Nimic nou: aceasta este încă suma cu care funcția s-a schimbat:

Exersați găsirea incrementelor:

1. Găsiți incrementul funcției într-un punct în care incrementul argumentului este egal cu.
2. Același lucru este valabil și pentru funcția la un punct.

Solutii:

În puncte diferite cu același argument increment, incrementul funcției va fi diferit. Aceasta înseamnă că derivata în fiecare punct este diferită (am discutat despre asta chiar de la început - abruptul drumului este diferit în puncte diferite). Prin urmare, atunci când scriem o derivată, trebuie să indicăm în ce moment:

Funcția de putere.

O funcție de putere este o funcție în care argumentul este într-o anumită măsură (logic, nu?).

Mai mult – în orice măsură: .

Cel mai simplu caz este când exponentul este:

Să-i găsim derivata la un punct. Să ne amintim definiția unei derivate:

Deci argumentul se schimbă de la la. Care este incrementul funcției?

Incrementul este acesta. Dar o funcție în orice punct este egală cu argumentul său. De aceea:

Derivata este egala cu:

Derivata lui este egala cu:

b) Acum luați în considerare funcţie pătratică (): .

Acum să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că valoarea incrementului poate fi neglijată, deoarece este infinitezimală și, prin urmare, nesemnificativă pe fondul celuilalt termen:

Deci, am venit cu o altă regulă:

c) Continuăm seria logică: .

Această expresie poate fi simplificată în diferite moduri: deschideți prima paranteză folosind formula de înmulțire abreviată a cubului sumei sau factorizați întreaga expresie folosind formula diferenței cuburilor. Încercați să o faceți singur folosind oricare dintre metodele sugerate.

Deci, am primit următoarele:

Și din nou să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că putem neglija toți termenii care conțin:

Primim: .

d) Reguli similare pot fi obținute pentru puteri mari:

e) Rezultă că această regulă poate fi generalizată pentru o funcție de putere cu un exponent arbitrar, nici măcar un număr întreg:

(2)

Regula poate fi formulată în cuvintele: „gradul este prezentat ca coeficient și apoi redus cu ”.

Vom demonstra această regulă mai târziu (aproape la sfârșit). Acum să ne uităm la câteva exemple. Aflați derivata funcțiilor:

1. (în două moduri: prin formulă și folosind definiția derivatei - prin calcularea incrementului funcției);

1. . Credeți sau nu, aceasta este o funcție de putere. Dacă aveți întrebări precum „Cum este asta? Unde este gradul?”, amintiți-vă subiectul „”!
   Da, da, rădăcina este și ea un grad, doar fracțional: .
   Deci ale noastre rădăcină pătrată- acesta este doar o diplomă cu un indicator:
   .
   Căutăm derivata folosind formula recent învățată:

   Dacă în acest moment devine din nou neclar, repetați subiectul „”!!! (aproximativ un grad cu exponent negativ)

2. . Acum exponentul:

   Și acum prin definiție (ai uitat încă?):
   ;
   .
   Acum, ca de obicei, neglijăm termenul care conține:
   .

3. . Combinație de cazuri anterioare: .

Funcții trigonometrice.

Aici vom folosi un fapt din matematica superioară:

Cu expresie.

Dovada o vei învăța în primul an de institut (și pentru a ajunge acolo, trebuie să treci bine Examenul Unificat de Stat). Acum o voi arăta doar grafic:

Vedem că atunci când funcția nu există - punctul de pe grafic este tăiat. Dar cu cât este mai aproape de valoare, cu atât funcția este mai aproape de aceasta.

În plus, puteți verifica această regulă folosind un calculator. Da, da, nu fi timid, ia un calculator, nu suntem încă la examenul de stat unificat.

Deci, să încercăm: ;

Nu uitați să comutați calculatorul în modul Radians!

etc. Vedem că cu cât mai puțin, cu atât valoare mai apropiată relatie cu

a) Luați în considerare funcția. Ca de obicei, să-i găsim incrementul:

Să transformăm diferența de sinusuri într-un produs. Pentru a face acest lucru, folosim formula (rețineți subiectul „”): .

Acum derivata:

Să facem un înlocuitor: . Atunci pentru infinitezimal este și infinitezimal: . Expresia pentru ia forma:

Și acum ne amintim asta cu expresia. Și, de asemenea, ce se întâmplă dacă o cantitate infinitezimală poate fi neglijată în sumă (adică la).

Deci primim următoarea regulă:derivata sinusului este egală cu cosinusul:

Acestea sunt derivate de bază („tabulare”). Iată-le într-o singură listă:

Mai târziu le vom adăuga câteva, dar acestea sunt cele mai importante, deoarece sunt folosite cel mai des.

Practica:

1. Aflați derivata funcției într-un punct;
2. Aflați derivata funcției.

Solutii:

1. Mai întâi, să găsim derivata în vedere generală, apoi înlocuiți-i valoarea:
   ;
   .
2. Aici avem ceva similar cu o funcție de putere. Să încercăm să o aducem la
   vedere normală:
   .
   Grozav, acum poți folosi formula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Ce este asta????

Bine, ai dreptate, încă nu știm cum să găsim astfel de derivate. Aici avem o combinație de mai multe tipuri de funcții. Pentru a lucra cu ei, trebuie să înveți mai multe reguli:

Exponent și logaritm natural.

Există o funcție în matematică a cărei derivată pentru orice valoare este egală cu valoarea funcției însăși în același timp. Se numește „exponent” și este o funcție exponențială

Baza acestei funcții este o constantă - este infinită zecimal, adică un număr irațional (cum ar fi). Se numește „numărul Euler”, motiv pentru care este notat cu o literă.

Deci, regula:

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să ne uităm la asta imediat functie inversa. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur.

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Expozant și logaritmul natural- funcțiile sunt unic simple în ceea ce privește derivatele. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la un punct;
2. la un punct;
3. la un punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece aceasta funcţie liniară, îți amintești?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: hai să intrăm caracteristică nouăși găsiți-i incrementul:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:

Pentru aceasta vom folosi regula simpla: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

A funcționat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu mai poate fi notat în formă simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar aici: cunoașteți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă transportoare mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ceea ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. Caracteristică importantă funcții complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru primul exemplu, .

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplu original arata cam asa:

Un alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(doar nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivatul produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

La rezolvarea diferitelor probleme de geometrie, mecanică, fizică și alte ramuri ale cunoașterii, a apărut necesitatea folosind același proces analitic din această funcție. y=f(x) obține o nouă funcție numită funcţie derivată(sau doar derivată) a unei funcții date f(x)și este desemnată prin simbol

Procesul prin care dintr-o funcție dată f(x) obține o funcție nouă f" (x), numit diferenţiereși constă din următorii trei pași: 1) dați argumentul x creştere  xși determinați incrementul corespunzător al funcției  y = f(x+ x) -f(x);

2) alcătuiește o relație x 3) numărarea  x constantă şi
0, găsim f" (x), pe care o notăm prin x, ca și cum ar sublinia că funcția rezultată depinde doar de valoare , la care mergem la limită.: Definiţie Derivată y " =f " (x) funcția dată y=f(x) pentru un x dat
se numește limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului, cu condiția ca incrementul argumentului să tinde spre zero, dacă, desigur, această limită există, i.e. finit. Astfel,

, sau x Rețineți că dacă pentru o anumită valoare , de exemplu când x=a
, atitudine  x la f(x)0 nu tinde spre limita finită, atunci în acest caz se spune că funcția , de exemplu când la , de exemplu când(sau la punctul , de exemplu când.

) nu are derivată sau nu este diferențiabilă la punct

2. Sensul geometric al derivatului.

f(x)

Se consideră graficul funcției y = f (x), diferențiabilă în vecinătatea punctului x 0

Să considerăm o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct de pe graficul unei funcții - punctul A(x 0, f (x 0)) și care intersectează graficul într-un punct B(x;f(x)). O astfel de dreaptă (AB) se numește secantă. Din ∆ABC: ​​​​AC = ∆x;

ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Din moment ce AC || Ox, apoi ALO = BAC = β (așa cum corespunde pentru paralel). Dar ALO este unghiul de înclinare al secantei AB față de direcția pozitivă a axei Ox. Aceasta înseamnă că tanβ = k este panta dreptei AB.
Acum vom reduce ∆х, i.e. ∆х→ 0. În acest caz, punctul B se va apropia de punctul A conform graficului, iar secanta AB se va roti. Poziția limită a secantei AB la ∆x→ 0 va fi o dreaptă (a), numită tangentă la graficul funcției y = f (x) în punctul A.
Dacă mergem la limita ca ∆x → 0 în egalitatea tgβ =∆y/∆x, obținem
ortg =f "(x 0), deoarece

-unghiul de înclinare a tangentei la direcția pozitivă a axei Ox

Derivata unei functii in punctul x 0 egală cu panta tangentei la graficul funcției trasate în punctul cu abscisa x 0 .

3. Sensul fizic al derivatului.

Luați în considerare mișcarea unui punct de-a lungul unei linii drepte. Fie dat coordonatele unui punct în orice moment x(t). Se știe (dintr-un curs de fizică) că viteza medie pe o perioadă de timp este egală cu raportul dintre distanța parcursă în această perioadă de timp și timpul, adică.

Vav = ∆x/∆t. Să mergem la limita din ultima egalitate ca ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - viteza instantanee la momentul t 0, ∆t → 0.

și lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (prin definiția derivatei).

Deci, (t) =x"(t).

Semnificația fizică a derivatei este următoarea: derivată a funcțieiy = f(x) la un moment datx 0 este rata de schimbare a funcțieif(x) la punctulx 0

Derivata este folosită în fizică pentru a găsi viteza dintr-o funcție cunoscută de coordonate în funcție de timp, accelerația dintr-o funcție cunoscută a vitezei în funcție de timp.

(t) = x"(t) - viteza,

a(f) = "(t) - accelerație sau

Dacă legea mișcării unui punct material dintr-un cerc este cunoscută, atunci se poate găsi viteza unghiulară și accelerația unghiulară în timpul mișcării de rotație:

φ = φ(t) - modificarea unghiului în timp,

ω = φ"(t) - viteza unghiulara,

ε = φ"(t) - accelerația unghiulară, sau ε = φ"(t).

Dacă legea distribuției masei unei tije neomogene este cunoscută, atunci densitatea liniară a tijei neomogene poate fi găsită:

m = m(x) - masa,

x  , l - lungimea tijei,

p = m"(x) - densitatea liniară.

Folosind derivata se rezolva problemele din teoria elasticitatii si vibratiilor armonice. Deci, conform legii lui Hooke

F = -kx, x – coordonată variabilă, k – coeficient de elasticitate a arcului. Punând ω 2 =k/m, obținem ecuația diferențială a pendulului elastic x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

unde ω = √k/√m frecvența de oscilație (l/c), k - rigiditatea arcului (H/m).

O ecuație de forma y" + ω 2 y = 0 se numește ecuația oscilațiilor armonice (mecanice, electrice, electromagnetice). Soluția unor astfel de ecuații este funcția

y = Asin(ωt + φ 0) sau y = Acos(ωt + φ 0), unde

A - amplitudinea oscilațiilor, ω - frecvența ciclică,

φ 0 - faza initiala.

Problema B9 oferă un grafic al unei funcții sau derivate din care trebuie să determinați una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un punct x 0,
2. Puncte maxime sau minime (puncte extreme),
3. Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, făcând soluția mult mai ușoară. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii de analiză matematică, chiar și cei mai slabi elevi o pot face, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condițiile problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori dați peste texte destul de lungi, dar conditii importante, care influențează cursul deciziei, sunt puține.

Calculul valorii derivate. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se dă un grafic al unei funcții f(x), tangentă la acest grafic la un punct x 0 și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - asta este punct cheie soluții, iar orice greșeală aici are ca rezultat un răspuns incorect.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
3. În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției cu incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Să remarcăm încă o dată: punctele A și B trebuie căutate exact pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Linia tangentă va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte - altfel problema nu va fi formulată corect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu putem formula o regulă: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să numărați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calculul punctelor maxime și minime

Uneori, în loc de graficul unei funcții, problema B9 oferă un grafic al derivatei și necesită găsirea punctului maxim sau minim al funcției. În această situație, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă într-o vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivat, urmați acești pași:

1. Redesenați graficul derivat, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele inutile doar interferează cu decizia. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și asta este tot.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. Și invers, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus este punctul minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile și să lăsăm doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, notăm semnele:

Evident, în punctul x = −3 semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Să notăm semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:

Evident, în punctul x = 5 semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) aparținând segmentului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic limitată de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou grafic pe care marchem doar granițele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic există un singur punct maxim x = 2. În acest punct semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă a fost considerat punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este scrisă corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără loc anume rezidență” nu participă direct la rezolvarea problemei. Desigur, acest truc nu va funcționa cu puncte întregi.

Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare

Într-o astfel de problemă, precum punctele maxime și minime, se propune utilizarea graficului derivat pentru a găsi zone în care funcția în sine crește sau scade. Mai întâi, să definim ce sunt crescătoare și descrescătoare:

1. Se spune că o funcție f(x) este în creștere pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aceste. valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mici a funcției.

Să formulăm conditii suficiente ascendent si descendent:

1. Pentru a functie continua f(x) crește pe segment , este suficient ca derivata sa în interiorul segmentului să fie pozitivă, adică. f’(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f’(x) ≤ 0.

Să acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și descreștere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile inutile. În graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le vom lăsa doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Unde f’(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f’(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema stabilește restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe un nou grafic.
3. Acum că știm comportamentul funcției și constrângerile, rămâne de calculat cantitatea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, să redesenăm graficul și să marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi notăm semnele derivatei. Avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−10; 4]. Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile inutile. Să lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, dintre care au fost patru de data aceasta: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Să marchem semnele derivatei și să obținem următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. astfel unde f’(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece trebuie să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, notăm valoarea l 2 = 5 ca răspuns.

Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ x:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x păcat x. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate ale funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinusul	f(x) = păcat x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−păcat x(minus sinus)
Tangentă	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangentă	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Logaritmul natural	f(x) = jurnal x	1/x
Logaritmul arbitrar	f(x) = jurnal o x	1/(x ln o)
Funcția exponențială	f(x) = e x	e x(nu s-a schimbat nimic)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcții este, de asemenea, ușor de calculat:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Astfel vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiabile în raport cu anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile f(x) Și g(x), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funcţie f(x) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(x) = (x 2 + păcat x)’ = (x 2)’ + (păcat x)’ = 2x+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(x). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Răspuns:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivatul unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funcţie f(x) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x păcat x)

Funcţie g(x) primul factor este un pic mai complicat, dar schema generala asta nu se schimba. Evident, primul factor al funcției g(x) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Răspuns:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x păcat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(x) Și g(x), și g(x) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(x) = f(x)/g(x). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați exemple concrete.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(x) = păcat xși înlocuiți variabila x, să zicem, pe x 2 + ln x. Se va rezolva f(x) = păcat ( x 2 + ln x) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(x) = f ’(t) · t', Dacă x este înlocuit cu t(x).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliată fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = păcat ( x 2 + ln x)

Rețineți că dacă în funcție f(x) în loc de expresia 2 x+ 3 va fi ușor x, atunci se va rezolva funcţie elementară f(x) = e x. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2x+ 3. Obținem:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Acum să ne uităm la funcție g(x). Evident că trebuie înlocuit x 2 + ln x = t. Avem:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = x 2 + ln x. Apoi:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Asta este! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, un prim din suma egal cu suma lovituri. Este mai clar? Ei bine, asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(x n)’ = n · x n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este x 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții teste si examene.

Sarcina. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let x 2 + 8x − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = x 2 + 8x− 7. Avem:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

Sarcină.

Funcția y=f(x) este definită pe intervalul (-5; 6). Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x). Găsiți dintre punctele x 1, x 2, ..., x 7 acele puncte la care derivata funcției f(x) este egală cu zero. Ca răspuns, notează numărul de puncte găsite.

Soluţie:

Principiul în rezolvarea acestei probleme este următorul: există trei comportamente posibile ale funcției pe acest interval:

1) când funcția crește (derivata acolo este mai mare decât zero)

2) când funcția este descrescătoare (unde derivata este mai mică decât zero)

3) când funcția nu crește sau descrește (unde derivata este fie zero, fie nu există)

Suntem interesați de a treia variantă.

Derivata este egală cu zero în cazul în care funcția este netedă și nu există la punctele de întrerupere. Să ne uităm la toate aceste puncte.

x 1 - funcția crește, ceea ce înseamnă derivata f′(x) >0

x 2 - funcția ia un minim și este netedă, ceea ce înseamnă derivata f ′(x) = 0

x 3 - funcția durează maxim, dar în acest moment există o pauză, ceea ce înseamnă derivat f ′(x) nu există

x 4 - funcția ia maximum, dar în acest moment există o pauză, ceea ce înseamnă derivat f ′(x) nu există

x 5 - derivată f ′(x) = 0

x 6 - funcția crește, ceea ce înseamnă derivata f′(x) >0

x 7 - funcția are un minim și este netedă, ceea ce înseamnă derivată f ′(x) = 0

Vedem că f ′(x) = 0 la punctele x 2, x 5 și x 7, în total 3 puncte.