Extinderea numărului e într-o serie Extinderea funcțiilor în serie de puteri

Dacă funcția f(x) are derivate de toate ordinele pe un anumit interval care conține punctul a, atunci i se poate aplica formula Taylor:
,
Unde r n– așa-numitul termen de rest sau rest al seriei, poate fi estimat folosind formula Lagrange:
, unde numărul x este între x și a.

f(x)=

în punctul x 0 = Numărul elementelor de rând 3 4 5 6 7

Utilizați expansiunea funcțiilor elementare e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Reguli de intrare în funcții:

Dacă pentru o anumită valoare X r n→0 la n→∞, atunci în limită formula Taylor devine convergentă pentru această valoare Seria Taylor:
,
Astfel, funcția f(x) poate fi extinsă într-o serie Taylor în punctul x luat în considerare dacă:
1) are derivate de toate ordinele;
2) seria construită converge în acest punct.

Când a = 0 obținem o serie numită seria Maclaurin:
,
Extinderea celor mai simple funcții (elementare) din seria Maclaurin:
Funcții exponențiale
, R=∞
Funcții trigonometrice
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funcția actgx nu se extinde în puteri ale lui x, deoarece ctg0=∞
Funcții hiperbolice


Funcții logaritmice
, -1